Pavé dans une pyramide 1
PRÉUE. ette étude porte sur des configurations simples de l espace: le pavé droit et la pyramide de base carrée dont les faces sont des triangles équilatéraux, objets bien connus des élèves de collège. ous nous proposons tout d abord de déduire la représentation en perspective cavalière de la pyramide à partir de celle du cube. ous étudierons ensuite la configuration d un pavé droit inscrit dans une pyramide à base carrée : quatre sommets du pavé étant sur les côtés des triangles équilatéraux, les autres sur les diagonales du carré de base. ous détallerons les points suivants : omment représenter un pavé droit inscrit dans une pyramide à partir de la représentation cavalière de la pyramide. es propriétés géométriques simples dégagées dans l étude de la configuration permettent d introduire naturellement une fonction liant le côté du carré de base du pavé inscrit à sa hauteur. étude de cette fonction nous permettra de déterminer les dimensions du pavé de volume maximum inscrit dans la pyramide. ette étude peut être réalisée à différents niveaux de la seconde (méthode algébrique) à la terminale (utilisation de la dérivée d une fonction). ous chercherons enfin la dimension du côté du carré de base pour laquelle le pavé est un cube. e document, dont les différentes parties peuvent être exploitées indépendamment, donne l occasion de construire des activités différenciées de la classe de seconde à celle de terminale des lycées d enseignement généraux et technologiques. ette étude peut-être menée en utilisant conjointement un logiciel de géométrie dynamique. Plan du document 1. Pyramide à base carrée, représentation en perspective cavalière.. Pavé dans une pyramide, représentation en perspective cavalière. 3. Pavé de volume maximum, dans une pyramide. 4. ube dans une pyramide. uteurs : ichel agnenet, lain oussard RE de Franche omté
1 Pyramide à base carrée : représentation en perspective cavalière. Étant donnée une pyramide à base carrée et dont les faces sont des triangles équilatéraux, construire la représentation en perspective cavalière de cette pyramide, celle d un cube étant donnée. P désigne cette pyramide. nalyse de la configuration. oit le sommet de cette pyramide et le carré de base de côté a. es diagonales du carré se coupent en et on a : = a est un point de l espace équidistant des 4 points,, et ; il en est de même pour le point. () est donc la hauteur de cette pyramide. ans le triangle rectangle, = a, = a, donc = a. es triangles,, et sont des triangles rectangles isocèles. ans le triangle, on a : = a, = a et = a donc () est perpendiculaire à (). e même, () est perpendiculaire à (). Représentation en perspective cavalière, celle du cube étant donnée. a représentation en perspective cavalière du cube est donnée par la figure 1. E insi, nous connaissons l angle de fuite R et le rapport de réduction R. figure 1 R a a a a e tracé d un triangle rectangle isocèle dont l hypoténuse mesure a permet d obtenir un segment de mesure a. 3
a représentation de la pyramide peut être réalisée de la façon suivante: R R Tracé du segment [] tel que : = a et () parallèle à (R). Tracé de [] tel que : () parallèle à () et = avec : R = R R = = et (R ) parallèle à (R ) Tracé du parallélogramme de centre. Tracé de tel que () perpendiculaire à () et = a. a figure Remarques : a somme des longueurs des arêtes de P est 8a. a somme des aires des faces de P est (1 + 3 4 ) a Volume de la pyramide P est 6 a3 4
Patron de la pyramide Remarque: e patron peut-être tracé dès la définition de la pyramide. a réalisation de P permet une visualisation de ce solide, afin de mieux appréhender sa représentation en perspective cavalière. 5
Pavé dans une pyramide : représentation en perspective cavalière. On considère une pyramide à base carrée, dont les faces sont des triangles équilatéraux, et un pavé droit à base carrée "inscrit" dans celle-ci. ous allons construire la représentation en perspective cavalière de cette configuration. es sommets du pavé sont soit sur les côtés des triangles équilatéraux, soit dans le carré de base. nalyse de la configuration. analyse de la configuration de la pyramide est donnée dans le paragraphe précédent. Représentation en perspective cavalière. Pour la pyramide, on utilise la représentation précédente. es quatre sommets,,, du pavé sont des points des diagonales du carré de base. es quatre autres,,, O et P sont respectivement sur les cotés [], [], [] et [] de la pyramide. a donnée du point détermine les autres sommets du pavé. est placé sur ][, on en déduit,,. est un carré de centre. On pose = k avec 0 < k < 1. ans le triangle, de on trace la parallèle à () ; elle coupe ][ en. On en déduit que = k. Par ailleurs, les droites () et () sont parallèles et () est perpendiculaire à la base (), donc () est perpendiculaire à (). On obtient de même les points, O et P. est un carré, les segments [], [], [O] et [P ] sont perpendiculaires à () et de même longueur. P figure 3 O OP est le pavé demandé. e = k, on déduit que = (1 k). Remarques: En fonction de k, les longueurs de arêtes du pavé sont (1 k)a et k a. a somme des longueurs des arêtes du pavé est : (8(1 k) + k ) a a somme des aires des 6 faces du pavé est : a ((1 k)(1 + ( 1)k) e volume du pavé est : k (1 k) a 3 6
3 Pavé, de volume maximum, dans une pyramide. e pavé est celui du paragraphe précédent, inscrit dans une pyramide de base carrée de côté a et de hauteur a. e paramètre k fixe laposition du point sur le segment [] (k = ) ous allons déterminer la position du point pour lequel le volume du pavé est maximal. e volume du pavé est k a (1 k) a 3 k ]0 ; 1[ oit V (k) = k a (1 k) a 3 où k =. Remarques: i k = 0, le "pavé" est aplati ; son volume est nul. i k = 1, le "pavé" est réduit à un segment, son volume est nul. ette situation géométrique permet d introduire naturellement la fonction f définie sur [0, 1] par f(k) = k (1 k). ans la situation géométrique, la variable k décrit a priori l intervalle ]0, 1[. On ajoute les cas limites pour définir finalement f sur l intervalle fermé [0, 1]. V (k) = a 3 f(k) étude des variations de la fonction f permet de déterminer la valeur de k pour laquelle le volume est maximal. a fonction f est une fonction polynôme du troisième degré. Etude des variations de f à l aide de sa dérivée f est une fonction dérivable f (k) = (1 k) + k((k 1)) d où f (k) = (k 1)(3k 1) k f (k) 0 1 3 1 + 0 - f(k) 0 4 7 0 V admet un maximum sur [0 ; 1] égal à V ( 1 3 ). V ( 1 3 ) = 6 4 9 a3 d où V ( 1 3 ) = 7 a 3 onclusion: orsque le point est au tiers du segment[] à partir de, le pavé a un volume maximum. 7
= 1 3 e volume de la pyramide P est : P O V = 6 a3 e rapport des volumes est : v V = 4 9 figure 4 Remarque : a hauteur du pavé de volume maximum est égale au tiers de la hauteur de la pyramide. étermination du maximum par une méthode algébrique. a recherche du maximum de f(k) peut être conduite à l aide de calculs algébriques. ela permet de résoudre le problème en classe de seconde. observation du graphe de f ou du tableau de valeurs de f(k) permet de conjecturer que 1 3 joue un rôle intéressant ; f( 1 3 ) = 4 7. Vérifions que 1 3 est un maximum en utilsant un calcul algébrique. Étude du signe de 1 3 f(k). f( 1) f(k) = 4 k(1 3 7 k). ette expression s annule pour k = 1, on peut guider les élèves pour obtenir la factorisation 3 suivante : f( 1 3 ) f(k) = (k 1 3 ) ( 4 3 k) onclusion : insi, pour tout réel k de [0 ; 1] différent de 1, la différence 3 f(1 ) f(k) est strictement positive. 3 ela signifie que 1 est le maximum de f sur [0 ; 1]. 3 4 ube dans une pyramide Problème : nscrire un cube dans une pyramide à base carrée dont les faces sont des triangles équilatéraux. es notations sont celles du paragraphe. Représentation en perspective cavalière d un pavé inscrit dans la pyramide P. 8
P O a donnée du point permet de construire le pavé. figure 3 omment choisir pour que ce pavé soit un cube? éthode 1: Utilisation d une méthode de géométrie plane. e pavé OP est un cube si et seulement si =. ans un quart de tour autour de (), et sont invariants. vient en car =, de [] vient en de []. () étant perpendiculaire à (), ( ) est perpendiculaire à (). On en déduit que =. e pavé est un cube si et seulement si = c est à dire si =. ans le plan () : ( ) est un parallélogramme. = si et seulement si ( ) est un losange. ( ) est un losange si et seulement si () est bissectrice de l angle. 9
Tracé du losange en vraie grandeur. On trace la bissectrice de l angle. Elle coupe [] en. e tracé du losange est ainsi obtenu. a perspective cavalière conserve les rapports. a connaissance de sur [] permet de réaliser en perspective cavalière la pyramide et le cube. a représentation en perspective cavalière de P étant connue ( voir paragraphe 1), le point peut-être construit sur le segment [] en vraie grandeur. e on trace la parallèle à () qui coupe [] en. P O a représentation du cube peut alors se terminer. figure 5 alcul du rapport. ans le triangle, est le "pied" de la bissectrice de l angle sur []. Une propiété 1 de la bissectrice permet d écrire : = avec = a et = a, donc =. On en déduit que = 1 ce qui permet de placer le point. 1. ette propriété est démontrée plus loin 10
omparaison des volumes : = 1 et = d oú = a( 1). e volume du cube est : a 3 ( 1) 3. Or le volume de la pyramide est : a 3 e rapport des volumes entre le cube et la pyramide est : 6 (10 7 ). 6 émonstration de la propriété de la bissectrice. est un triangle, [) la bissectrice de l angle. e, on trace la parallèle à ( ) qui coupe () en. on : = et = Â, d où =. ans le triangle, les droites () et () sont parallèles. On en déduit que : = et donc que =. 11
éthode : Utilisation d une méthode algébrique. P O figure 3 Posons = x. alculons. es droites () et () sont paralèlles, d où = On en déduit = a x a es droites () et () sont paralèlles, d où = On en déduit = a x a a OP est un cube si et seulement si =. = si et seulement si (a x) = x soit x = ( 1) a. onclusion : e pavé est un cube lorsque le côté de la base du pavé a pour longueur a( 1). 1
Tracé en vraie grandeur de la base. = a, = a. oit T sur [] tel que T = a ; T on a T = a( 1). W oit V de [] tel que V = T et W tel que V W parallélogramme. (V W ) coupe [] en d où le point, tel que V parallélogramme. V e tracé de [] en vraie grandeur se reporte dans le dessin en perspective. Représentation, en perspective cavalière, du cube "inscrit" dans la pyramide P. P O W V figure 5 Remarque : On aurait aussi pu mener les calculs avec l inconnue k définie au paragraphe. e cube est alors obtenu lorsque le paramètre k vérifie : (1 k)a = k a soit k =. e tracé de sur [] tel que = (ou encore = 1) est possible. 13
éthode 3: utilisation d une section plane de la pyramide. P H W O G U E F T figure 3 e pavé étant inscrit dans une pyramide, celui-ci est coupé par le plan médiateur (T U) de [] suivant le rectangle EF GH. e pavé est un cube lorsque le rectangle EF GH est un carré. Figure plane extraite. H W G U E F T e problème revient à inscrire un carré EF GH dans le triangle UT. oit W l intersection de [HG] avec []. HG = GF GW = GF. G est donc l intersection de [T ] et de la demi-droite d origine et de pente dans le repère orthonormal d origine et d unité a. 14
U H a onstruction W a G T a oit UT tel que UT = a, T = U = a 3. En traçant le carré UT T U de côté a, la droite (T ) coupe la droite (T ) au point G. a détermination de ce point G permet de construire le carré GHEF. a connaissance du point F sur le segment [T ] permet la construction du point puisque = F. T ette construction est représentée ci-dessous. U E F T Remarque: e carré EF GH est l image du carré UT T U dans une homothétie de centre, qui transforme T en G. Représentation de la construction de en perspective cavalière. ette configuration ci-dessus est située dans un plan parallèle au plan frontal. U T H G E U F T figure 6 Tracé du triangle T U puis du carré UT T U ; (T ) coupe [U] en H. On en déduit E puis. onnaissant, le cube est alors facile à tracer. 15
éthode 4: En utilisant un agrandissement ou une réduction. Remarque: a notion d homothétie n est pas au programme de mathématique de la classe de seconde mais celle d agrandissement ou réduction figure dans les programmes de collège. En utilisant un agrandissement. a pyramide est celle donnée dans le premier paragraphe. oit un point de [] ; le plan (Π), parallèle au plan () contenant, coupe [] en, [] en O et [] en P. En posant k tel que = k, on a = k, O = k et P = k. étant un carré, on en déduit que O P est un carré. l est alors possible de construire le cube O P. es droites ( ) et () sont parallèles et =. es points,,, et sont coplanaires. ( ) coupe () en. P O figure 7 En se plaçant dans des plans bien choisis, les propriétés peuvent être justifiées. utre position possible du cube O P. P O figure 8 16
En utilisant une réduction. a pyramide étant donnée, on trace un cube extérieur. ( ) coupe () en ; ( ) coupe () en ; ( ) coupe () en, ( ) coupe () en. onnaissant, le tracé du cube peut-être terminé. P O figure 9 En se plaçant dans des plans bien choisis, il est possible de justifier que l on obtient un cube en utilisant des propriétés géométriques connues dans les classes de collège. 17