Un peu d histoire La notion de dérivée a vu le jour au XVII e siècle dans les écrits de Leibniz et de Newton qui la nomme fluxion et qui la définit comme «le quotient ultime de deux accroissements évanescents». C'est cependant Blaise Pascal qui, dans la première moitié du XVII e siècle, a le premier mené des études sur la notion de tangente à une courbe - lui-même les appelait «touchantes»; le marquis de l Hospital participera aussi à la fin du XVII e siècle à étoffer cette nouvelle théorie, notamment en utilisant la dérivée pour calculer une ite dans le cas de formes indéterminées particulières. Gottfried Wilhelm von Leibniz Jean Le Rond d'alembert. C'est au XVIII e siècle que d Alembert introduit la définition plus rigoureuse du nombre dérivé en tant que ite du taux d'accroissement - sous une forme semblable à celle qui est utilisée et enseignée de nos jours. Cependant, à l'époque de d'alembert, c'est la notion de ite qui pose problème : n'est pas encore construit formellement C'est seulement avec les travaux de Weierstrass au milieu du XIX e siècle que le concept de dérivée sera entièrement formalisé. C'est à Lagrange (fin du XVIII e siècle) que l'on doit la notation f (x), aujourd'hui tout à fait usuelle, pour désigner le nombre dérivé de f en. Cours de mathématique en TS d Eric ZERBIB, professeur au lycée Pardailhan à Auch, 3000-1 -
I- Nombre dérivé Approche intuitive On se donne une courbe d une fonction continue Quel que soit le point que l'on choisit sur la courbe, on pourra alors tracer ce qu'on appelle une tangente, c'est-àdire une droite qui épouse localement la direction de cette courbe. Si l'on trace la courbe et sa tangente et que l'on s'approche en zoomant suffisamment, on aura de plus en plus de mal à distinguer la courbe de sa tangente. Si on se donne une abscisse a pour laquelle la fonction f est dérivable, on appelle nombre dérivé de f en a le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse a. Ce réel donne de précieuses informations sur le comportement local d'une fonction. Ainsi, si le nombre dérivé d'une fonction est positif sur un intervalle, cette fonction sera croissante sur ce même intervalle. Inversement, s'il est négatif, elle sera décroissante. Lorsque le nombre dérivé est nul en un point, la courbe admet une tangente horizontale en ce point. a. Théorème Soit f une fonction définie sur un intervalle I et x 0 I. Les deux propositions suivantes sont équivalentes : f ( x0 + h ) f ( x0 ) = a ( nombre fini ) (1) h 0 h () Pour tout h tel que x 0 +h I f ( x0 + h ) = f ( x0 ) + hl + hϕ ( h ) avec ϕ( h ) = 0 b. Remarque h 0 Si on pose x = x 0 + h dans (1) on obtient de manière équivalente f ( x ) f ( x 0 ) = a x x0 x x0 c. Définitions On dit que f est dérivable en x 0 si l une des deux propositions précédentes est vérifiée. Le nombre a s appelle nombre dérivé de f en x 0, on le note f (x 0 ). d. Exemple Montrons que la fonction cube est dérivable en 1. Pour cela utilisons la deuxième proposition : (1+h) 3 = 1 + 3h + 3h² + h 3 = 1 + 3h + h(3h+h²) avec ( 3h + h²) = 0 h 0 en 1, et on retrouve que a = f (1) = 3 ( rappel : (x 3 ) =3x² ) Contre-exemple Montrons que la fonction valeur absolue de x n est pas dérivable en 0. Pour cela utilisons la forme équivalente de (1) :, d où la fonction cube est bien dérivable Cours de mathématique en TS d Eric ZERBIB, professeur au lycée Pardailhan à Auch, 3000 - -
f ( x ) f ( 0 ) x x = = = 1 + + + x 0 x 0 x 0 x 0 x f ( x ) f (0 ) x = = 1 x 0 x 0 0 x La ite à droite étant différente de la ite à gauche, la ite en 0 n existe donc pas. D où f n est pas dérivable en ce point. En x = 0 la courbe admet deux demi tangentes, c est ce qu on appelle un «point anguleux». e. Interprétation graphique Si f est dérivable en x 0, la courbe représentative de f admet en A(x 0,f(x 0 )) une tangente T dont le coefficient directeur est f (x 0 ) = a. Une équation de la tangente en x 0 est : y = f (x 0 )(x-x 0 ) + f(x 0 ) f. Dérivées successives Si la fonction dérivée f est elle-même dérivable sur I, la fonction dérivée de f est appelée dérivée seconde et est notée f. Si la dérivée seconde est dérivable sa dérivée est notée f jusqu à la dérivée d ordre n qui se note f (n). (notation de Lagrange) En physique on utilise la notation de Leibniz ( ou écriture différentielle) df qui équivaut, plus rigoureusement dx à d(f(x)) dx pour f (x), d²f dx² pour f dn f dx n pour f (n). Par exemple, en cinématique, lorsque f(t) est la distance parcourue par un mobile depuis l instant origine jusqu à l instant t, les nombres df(t) et d²f(t) représentent dt dt² respectivement la vitesse instantanée et l accélération instantanée du mobile à l instant t.. Tableau des dérivées usuelles Fonction Fonction dérivée Conditions f(x)= f (x) = a 0 x IR ax a x IR ax n anx n-1 n IN *, x IR 1-1 x IR * x x² x 1 x IR * + x cosx -sinx x IR sinx cosx x IR tanx 1 1+tan²x ou cos²x x π +k π, k Z Cours de mathématique en TS d Eric ZERBIB, professeur au lycée Pardailhan à Auch, 3000-3 -
3. Opérations sur les dérivées Nom Règle Conditions Linéarité (λu+µv) =λu +µv Quels que soient les fonctions u et v dérivables et les réels λ et µ Produit (uv) =uv +u v Quelles que soient les fonctions u et v dérivables Inverse (1/u) = -u Pour tout x tel que u(x) 0 et u dérivable u² Quotient (u/v) = vu -uv u et v dérivables et v(x) 0 v² Puissance (u n ) = nu u n-1 n Z *, et même n IR si u est strictement positive Racine ( u) = u Pour tout x tel que u(x) > 0 u Composée (vou) (x) =u (x) v (u(x)) Si u est dérivable sur I et v dérivable sur u(i) alors vou est dérivable sur I (sinu) =u cosu u dérivable (cosu) =-u sinu u dérivable 4. Dérivabilité et continuité Propriété : Si f est dérivable sur I alors f est continue sur I f(x)-f(x En effet si f est dérivable en x 0 0 ) x x 0 x-x 0 que f est continue en x 0. = a donc x x 0 f(x) = x x 0 [a(x-x 0 ) + f(x 0 )]= f(x 0 ) ce qui prouve La réciproque est fausse!!! Contre-exemple : la fonction racine est continue en 0 ( 0 = 0 = x 0 ( x 0 x - 0 x-0 = x 0 1 x = + ) x) mais n est pas dérivable en 0 5. Applications de la fonction dérivée a. DERIVEE ET SENS DE VARIATION Théorème 1 Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Si f est croissante sur I, alors pour tout x de I, f ( x ) 0 Si f est décroissante sur I, alors pour tout x de I, f ( x ) 0 Si f est constante sur I, alors pour tout x de I, f ( x ) = 0 Démonstration : ( de la première propriété les deux autres se démontrent de la même façon ) Soit x I et h IR* tel que x + h I. f est croissante sur I ; elle conserve donc le sens des inégalités. Ainsi les différences f ( x + h ) f ( x ) et ( x + h ) x ont le même signe. f(x+h) f(x) On en déduit que le rapport est toujours positif. h f(x+h) f(x) f est dérivable en x donc admet une ite finie f (x) quand h tend vers 0. h f(x+h) f(x) Si l on donne à h des valeurs proches de 0, alors prend des valeurs positives et sa ite en 0 est h donc nécessairement positive. On a donc f ( x ) 0. Cours de mathématique en TS d Eric ZERBIB, professeur au lycée Pardailhan à Auch, 3000-4 -
Théorème (admis) Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Si pour tout x de I, f ( x ) 0, alors f est croissante sur I. Si pour tout x de I, f ( x ) 0, alors f est décroissante sur I. Si pour tout x de I, f ( x ) = 0, alors f est constante sur I. Remarque : Si la dérivée f est strictement positive sur I, sauf peut-être en un nombre fini de réels où elle s annule, alors f est strictement croissante sur I. Si la dérivée f est strictement négative sur I, sauf peut-être en un nombre fini de réels où elle s annule, alors f est strictement décroissante sur I. Exemple : Soit f la fonction définie sur IR par f : x x 3 + 9 f est une fonction polynôme, elle est donc dérivable sur IR et pour tout réel x, f ( x ) = 3 x ² - f ( 0 ) = 0 - Pour tout réel x 0, f ( x ) > 0. Ainsi f est strictement croissante sur IR. b. EXTREMUM LOCAL Soit f une fonction dérivable sur I et x 0 I. Dire que f(x 0 ) est un maximum local (resp minimum local) de f signifie que l on peut trouver un intervalle ouvert J I tel que x 0 J et que pour tout x J f(x) f(x 0 ) ( resp f(x) f(x 0 )). Dire que f(x 0 ) est un extremum local signifie que f(x 0 ) est un maximum local ou un minimum local. Théorème1 (admis) : Soit f une fonction dérivable sur I et x 0 I. Si f(x 0 ) est un extremum local alors f (x 0 ) = 0 Remarque : La réciproque est fausse!!! Contre-exemple : f(x) = x 3 f (x) = 3x² f (0) = 0 mais f(0) n est pas un extremum local! Théorème (admis) : Soit f une fonction dérivable sur I et x 0 I. Si f s annule en changeant de signe alors f(x 0 ) est un extremum local. 6. Fonctions trigonométriques Fonctions sinus et cosinus Elles sont définies sur IR. x IR, sin(x+π) = sinx, cos(x+π) = cosx, donc elles sont périodiques de période π. On peut réduire l intervalle d étude à [-π ;π[ et compléter par translation de vecteur π i. x IR, sin(-x) = sinx donc la fonction sinus est impaire. Sa courbe représentative est symétrique par rapport à O x IR, cos(-x) = cosx donc la fonction cosinus est paire. Sa courbe représentative est symétrique par rapport à (Oy). x IR, (sinx) = cosx, donc la dérivée est positive sur [0 ; π ] et négative sur [π ;π], donc la fonction est croissante sur [0 ; π ] et décroissante sur [π ;π]. Cours de mathématique en TS d Eric ZERBIB, professeur au lycée Pardailhan à Auch, 3000-5 -
Limites classiques sinx f(x) f(0) = 1 f(x) = sinx f(0) = 0 f (x) = cos x f (0) = 1 = f (0) = 1 x 0 x x 0 x-0 On peut en déduire que la droite d équation y = x est une approximation affine de la fonction sinus au voisinage de 0. cosx-1 = 0 f(x) =cosx f(0) = 1 f (x) = - sinx f (0) = 0 x 0 x Fonction tangente La fonction tangente est définie pour cosx 0 donc sur IR { π + k π, k Z} sin(x+ π) tan(x+ π) = cos(x+ π) = - sinx = tanx. D où la fonction tangente est périodique de période π. - cosx tan(-x) = sin(-x) cos(-x) = - sinx = - tanx. D où la fonction tangente est impaire. cosx On étudie donc sur [0 ; π [ puis on complète sur ]-π ;π [ par symétrie par rapport à O puis sur D f par translation de vecteur π i. (tanx) = 1 + tan²x > 0. donc la fonction tangente est strictement croissante sur D f. tanx = x π x π 1 cosx = + forme «1 0 +». La droite d équation x = π est asymptote à C f. tanx = 1 f(x) = tanx f(0) = 0 f (x) = 1 + tan²x f (0) = 1 x 0 x La droite d équation y = x est une approximation affine de la fonction tangente en 0. Cours de mathématique en TS d Eric ZERBIB, professeur au lycée Pardailhan à Auch, 3000-6 -
Représentation graphique Cours de mathématique en TS d Eric ZERBIB, professeur au lycée Pardailhan à Auch, 3000-7 -