1 Symétrie par rapport à une droite JETIF 1 ÉFINITIN ire que deux figures sont symétriques par rapport à une droite signifie que, en effectuant un pliage le long de la droite, les figures se superposent. La droite (d) est appelée l axe de symétrie. Le symétrique de la figure # par rapport à la droite (d) est la figure #. Les figures # et # sont symétriques par la symétrie axiale d axe la droite (d). Figure (d) Figure 2 Symétrie par rapport à un point JETIF 2 éfinition ÉFINITIN ire que deux figures sont symétriques par rapport à un point signifie que, en effectuant un demi-tour autour de ce point, les figures se superposent. Figure F Figure F Le point est appelé le centre de symétrie. Le symétrique de la figure ^ par rapport à est la figure ^. Les figures ^ et ^ sont symétriques par la symétrie centrale de centre. Figures symétriques ÉFINITIN ire que deux points et sont symétriques par rapport à un point signifie que le point est le milieu du segment [ ]. Pour construire le symétrique d un point sur papier blanc, on reporte au compas la longueur sur la demi-droite [).
Propriétés de la symétrie centrale PRPRIÉTÉ Si trois points sont alignés, alors leurs symétriques par rapport à un point sont aussi alignés. (d) (d ) PRPRIÉTÉ Si deux segments sont symétriques par rapport à un point, alors ils sont parallèles et de même longueur. PRPRIÉTÉ Si deux angles sont symétriques par rapport à un point, alors ils ont la même mesure. PRPRIÉTÉ Si deux figures sont symétriques par rapport à un point, alors elles ont le même périmètre et la même aire. 3 xe de symétrie et centre de symétrie d une figure JETIF 3 ÉFINITIN ire qu une droite est un axe de symétrie d une figure signifie que la figure et son symétrique par rapport à cette droite sont confondus. s (d) (d) ÉFINITIN ire qu un point est un centre de symétrie d une figure signifie que la figure et son symétrique par rapport à ce point sont confondus. s Thème E Géométrie plane
4 onstructions de triangles JETIF 4 n peut construire un triangle dans les trois cas suivants. as 1. n connait la longueur des trois côtés. as 2. n connait la longueur de deux côtés et la mesure de l angle délimité par ces côtés. as 3. n connait la longueur d un côté et la mesure des angles adjacents à ce côté. 4 cm 3 cm 3 cm 4,5 cm 50 4 cm 30 5 cm 80 5 Inégalité triangulaire JETIF 5 as général Le plus court chemin entre deux points est la ligne droite. Tout autre chemin passant par un troisième point est plus long ou de même longueur. En conséquence, on peut énoncer la propriété suivante. PRPRIÉTÉ ans le triangle, on a également : < + et < +. as d égalité PRPRIÉTÉ Si, et sont trois points quelconques, alors : < +. Si un point appartient à un segment [], alors = +. PRPRIÉTÉ Si trois points, et sont tels que = +, alors le point appartient au segment []. pplication aux triangles Pour construire un triangle ayant pour côtés trois longueurs données, il faut que chaque longueur soit inférieure à la somme des deux autres. ans le triangle ci-contre, on a : a, b + c b, a + c c, a + b c b a
6 roites remarquables d un triangle JETIF 6 ÉFINITIN La médiatrice d un côté ÉFINITIN Une hauteur d un triangle d un triangle est la droite perpendiculaire à ce côté et passant par son milieu. est une droite qui passe par un sommet de ce triangle et qui est perpendiculaire au côté opposé à ce sommet. I édiatrice du côté [] Rappels de propriétés vues en cycle 3 Si un point se trouve sur la médiatrice d un segment, alors il est équidistant des extrémités de ce segment. Si un point se trouve à égale distance de deux points, alors il appartient à la médiatrice du segment d extrémités ces deux points. Hauteur Issue de H H est le pied de la hauteur relative au côté []. 7 Somme des angles d un triangle JETIF 7 PRPRIÉTÉ La somme des mesures des angles d un triangle est égale à 180. ans le triangle, µ + µ + µ = 180. Rappel et conséquences sur les angles des triangles particuliers PRPRIÉTÉS ans un triangle équilatéral, chacun des angles mesure 60. 60 ans un triangle isocèle, les angles à la base ont la même mesure. ans un triangle rectangle, la somme des deux angles aigus est égale à 90. H Vocabulaire Un angle aigu mesure entre 0 et 90. 60 60 E F J µ = µ = µ = 60 E µ = F µ H µ + µ I = 90 I Thème E Géométrie plane
8 Le parallélogramme JETIF 8 éfinition du parallélogramme ÉFINITIN Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles. Le quadrilatère est un parallélogramme, car () // () et () // (). Propriétés du parallélogramme PRPRIÉTÉ Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors il possède un centre de symétrie : le point d intersection de ses diagonales. Soit un parallélogramme. n note son centre de symétrie. n dit que est un parallélogramme de centre. Les côtés PRPRIÉTÉ parallèles. Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés opposés sont PRPRIÉTÉ Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés opposés ont la même longueur. Les diagonales et les angles PRPRIÉTÉ Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses diagonales se coupent en leur milieu. PRPRIÉTÉ Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses angles opposés sont égaux et la somme de deux angles consécutifs est égale à 180. u quadrilatère au parallélogramme vec les côtés PRPRIÉTÉS Si un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles, alors c est un parallélogramme. vec les diagonales Si un quadrilatère (non croisé) a ses côtés opposés de même longueur, alors c est un parallé logramme. Si un quadrilatère (non croisé) a deux côtés opposés parallèles et de même longueur, alors c est un parallélogramme. PRPRIÉTÉ Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, alors c est un parallélogramme.
9 Parallélogrammes particuliers JETIF 9 Rappels de la classe de 6 e ÉFINITINS Un rectangle est un quadrilatère qui a quatre angles droits. Un losange est un quadrilatère qui a quatre côtés de la même longueur. Un carré est un quadrilatère qui a quatre angles droits et quatre côtés de la même longueur. PRPRIÉTÉS Si un quadrilatère est un rectangle, alors ses diagonales sont de même longueur. Si un quadrilatère est un losange, alors ses diagonales sont perpendiculaires. Si un quadrilatère est un carré, alors ses diagonales sont perpendiculaires et de même longueur. Le rectangle, le losange et le carré sont des parallélogrammes particuliers. En effet, ces quadrilatères ont des côtés opposés parallèles. u parallélogramme aux parallélogrammes particuliers vec les côtés ÉFINITIN Si un parallélogramme possède ÉFINITIN Si un parallélogramme possède deux côtés consécutifs perpendi- culaires, alors c est un rectangle. deux côtés consécutifs de même longueur, alors c est un losange. vec les diagonales ÉFINITIN Si un parallélogramme possède ÉFINITIN Si un parallélogramme possède des diagonales de même longueur, alors c est un rectangle. des diagonales perpendiculaires, alors c est un losange. Le cas du carré PRPRIÉTÉ Si un quadrilatère est à la fois un rectangle et un losange, alors c est un carré. Thème E Géométrie plane
10 Périmètre d une figure JETIF 10 Périmètre d un polygone ÉFINITIN Le périmètre d une figure est la longueur de son contour. Il suffit d ajouter les longueurs des côtés d un polygone, données dans la même unité, pour trouver son périmètre : 3,2 + 3,8 + 4 + 4,6 + 7,6 = 23,2. Le périmètre du polygone E est égal à 23,2 cm. E 4,6 cm 7,6 cm 4 cm 3,2 cm 3,8 cm Longueur d un cercle PRPRIÉTÉ La longueur d un cercle est égale au double du produit du nombre pi (noté π) par le rayon de ce cercle. En notant L la longueur du cercle et r son rayon, on a : L = 2 π r. 7,5 cm La longueur d un cercle de rayon 7,5 cm est égale à : 2 π 7,5 = 15 π 47 cm. Remarque La longueur d un cercle s appelle aussi la circonférence d un cercle. Unités de longueur n peut exprimer un périmètre dans différentes unités de longueur et, en particulier, utiliser un tableau de conversion pour trouver l unité la plus adaptée. Par exemple, on peut convertir la longueur du cercle de l exemple précédent. La longueur d un cercle de rayon 7,5 cm est environ égale à 0,47 m. Unité kilomètre hectomètre décamètre mètre décimètre centimètre millimètre Notation km hm dam m dm cm mm 0 4 7
11 ire d une figure JETIF 11 ire de figures usuelles Voici un rappel des formules donnant l aire de quelques figures planes connues. Rectangle arré isque a c r b ire du rectangle : a b Triangle rectangle ire du carré : c c = c 2 ire du disque : π r r = π r 2 Triangle quelconque a b ire du triangle rectangle : a b 2 h b ire du triangle : b h 2 ire d un parallélogramme PRPRIÉTÉ L aire d un parallélogramme est égale au produit d un de ses côtés par la hauteur relative à ce côté, tous deux exprimés dans la même unité.! est l aire du parallélogramme ;! = c h où c est la longueur d un des côtés du parallélogramme ; h est la hauteur relative à ce côté. s h = 30 cm c = 12 m h = 17 m c = 50 cm L aire de ce parallélogramme est égale à : 50 30 = 1 500 cm 2. L aire de ce parallélogramme est égale à : 12 17 = 204 m 2. Unités d aire n peut exprimer une aire dans différentes unités et, en particulier, utiliser un tableau de conversion pour trouver l unité la plus adaptée. En utilisant un tableau de conversion d unités d aire, on peut ainsi écrire que le premier parallélogramme ci-dessus a une aire de 0,15 m 2 et que le second a une aire de 2,04 dam 2. km 2 hm 2 dam 2 m 2 dm 2 cm 2 mm 2 0 1 5 0 0 2 0 4 Thème E Géométrie plane
12 Transformer un point ou une figure par translation JETIF 12 éfinition Transformer un point ou une figure par translation, c est faire glisser ce point ou cette figure selon une direction, un sens et une longueur donnés. s Le triangle est l image du triangle par la translation qui transforme le point en E. E E La Figure 2 est l image de la Figure 1 par la translation qui transforme en. Figure 1 Figure 2 Remarque Un tel glissement n entraine ni déformation de la forme, ni changement d orientation. Notation La translation est symbolisée par une flèche qui donne la direction, le sens et la longueur de ce déplacement. La Figure 2 est l image de la Figure 1 par la translation qui transforme en, mais aussi en N. Télécabines Figure 1 N Figure 2 onstruction Pour construire, l image du point par la translation qui transforme en : ➊ on trace la droite parallèle à ( ) passant par ; ➋ avec un compas, on reporte la distance dans le sens de vers à partir du point. n obtient le point. Le point est l image du point par la translation qui transforme en. Propriétés Une translation conserve l alignement, les longueurs, les angles et les aires. La figure bleue est l image de la figure noire par translation. Les deux figures sont superposables.
13 Transformer un point ou une figure par rotation JETIF 13 éfinition Transformer un point ou une figure par rotation, c est faire tourner ce point ou cette figure par rapport à un centre de rotation et un angle. s Le point est l image du point par la rotation de centre et d angle 45 dans le sens contraire des aiguilles d une montre. 45 Le triangle est l image du triangle par la rotation de centre et d angle 60 dans le sens contraire des aiguilles d une montre. 60 Notation La Figure 2 est l image de la Figure 1 par la rotation de centre et d angle 110 dans le sens contraire des aiguilles d une montre. onstruction Pour construire, l image du point par une rotation de centre et d angle α, dans le sens de la flèche : ➊ avec un compas, on trace un arc de cercle de centre passant par ; Propriétés Figure 2 ➋ avec un rapporteur et une règle non graduée, on trace une demi-droite [x) telle que x = α dans le sens de la flèche ; ➌ on appelle, l intersection de l arc de cercle Œ et de la demi-droite [x). Le point est l image du point par la rotation de centre et d angle α avec les deux conditions réunies : = α et =. L image de par une rotation de centre est le point : on dit que est invariant. La rotation de centre et d angle 180 est la symétrie de centre. α 110 Figure 1 Le point est l image du point : par la rotation de centre et d angle 180 ; par la symétrie centrale de centre. 180 Thème E Géométrie plane
14 L égalité de Pythagore JETIF 14 PRPRIÉTÉ Un triangle rectangle est un triangle dont le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. arré de la longueur du plus grand côté (l hypoténuse) : a 2 b a c Vocabulaire ans un triangle rectangle, l hypoténuse est le côté opposé à l angle droit. est le plus grand côté du triangle. Ici, a 2 = b 2 + c 2. Somme des carrés des longueurs des deux autres côtés : b 2 + c 2 15 alculer une longueur d un côté d un triangle rectangle JETIF 15 PRPRIÉTÉ Théorème de Pythagore Si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de l hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. Si le triangle est rectangle en, alors 2 = 2 + 2. Le triangle est un triangle rectangle en tel que = 12 cm et = 5 cm. n va calculer la longueur du troisième côté []. n peut écrire l égalité de Pythagore pour ce triangle : 2 = 2 + 2 2 = 12 2 + 5 2 2 = 144 + 25 2 = 169 Pour connaitre, il faut donc chercher un nombre positif dont le carré est égal à 169. e nombre est 13. En effet 13 2 = 169. Le troisième côté [] mesure donc 13 cm. 12 cm 5 cm ÉFINITIN Soit a un nombre positif. n appelle «racine carrée de a» le nombre positif dont le carré est égal à a. n le note a. s ans l exemple précédent, 2 = 169 donc = 169 qui est égal à 13. arrés parfaits entre 1 et 144 1 = 1 4 = 2 9 = 3 16 = 4 25 = 5 36 = 6 49 = 7 64 = 8 81 = 9 100 = 10 121 = 11 144 = 12
16 émontrer qu un triangle est rectangle ou non JETIF 16 Prouver qu un triangle est rectangle PRPRIÉTÉ Réciproque du théorème de Pythagore Si le carré de la longueur du plus grand côté d un triangle est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle. Si dans un triangle, on a 2 = 2 + 2 Soit le triangle tel que = 17 cm, = 15 cm et = 8 cm. alors le triangle est rectangle en. 15 cm 8 cm 17 cm n veut vérifier si ce triangle est rectangle. une part : autre part : 2 = 17 2 = 289 2 + 2 = 15 2 + 8 2 = 225 + 64 = 289 onc 2 = 2 + 2. L égalité de Pythagore est vérifiée, donc le triangle est rectangle en. Prouver qu un triangle n est pas rectangle PRPRIÉTÉ Si le carré de la longueur du plus grand côté d un triangle n est pas égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle n est pas rectangle. Si dans un triangle tel que [] est le plus grand côté, on a 2 2 + 2 alors le triangle n est pas rectangle. Soit le triangle tel que = 6 cm, = 5 cm et = 3 cm. n veut vérifier si ce triangle est rectangle. une part : autre part : 2 = 6 2 2 + 2 = 5 2 + 3 2 = 36 = 25 + 9 = 34 onc 2 2 + 2. L égalité de Pythagore n est pas vérifiée, donc le triangle n est pas rectangle. Thème E Géométrie plane
17 ngles et parallélisme JETIF 17 ngles alternes-internes ÉFINITIN Soit deux droites (d) et (d ) coupées par une sécante. ire que deux angles formés par ces trois droites sont alternes-internes signifie : qu ils n ont pas le même sommet ; qu ils sont de part et d autre de la sécante ; qu ils sont à l intérieur de la bande délimitée par les droites (d) et (d ). Les angles vert et jaune formés par les droites (d) et (d ) coupées par la sécante (N) sont alternes-internes. (d) (d ) N ngles alternes-internes et droites parallèles PRPRIÉTÉ Si deux angles alternes-internes sont formés par deux droites parallèles coupées par une sécante, alors ces deux angles sont égaux. Les deux droites vertes sont parallèles donc les deux angles alternes-internes (bleu et rouge) sont égaux. PRPRIÉTÉ Si deux droites coupées par une sécante forment deux angles alternesinternes égaux, alors ces droites sont parallèles. Les deux angles alternes-internes sont égaux donc les deux droites coupées par la sécante sont parallèles. 18 Triangles semblables JETIF 18 Triangles semblables ÉFINITIN ire que deux triangles sont semblables signifie que leurs angles sont égaux deux à deux. n dit aussi que ces triangles sont de même forme.
Les triangles et EF sont semblables : µ = E $, $ = $ et $ = F $. F 38 109 33 33 109 38 E PRPRIÉTÉ Si deux angles d un triangle sont égaux à deux angles d un autre triangle, alors ces deux triangles sont semblables. Le fait que la somme des angles d un triangle est égale à 180 permet de prouver cette propriété.! = 180 (! +! ) = 180 (35 + 25) = 120 ; NP = 180 (NP + NP ) = 180 (35 + 25) = 120. n en déduit que! = NP! ;! = NP! et! = NP!, donc que les triangles et NP sont semblables. N 35 25 35 25 P aractérisation des triangles semblables PRPRIÉTÉ Si deux triangles sont de même forme, alors les côtés opposés aux angles égaux ont leurs longueurs proportionnelles. ans l exemple ci-dessus, et NP sont deux triangles semblables avec : [] et [N], [] et [NP], [] et [P] les côtés homologues ; N = P = NP = k. Vocabulaire Le rapport k est appelé coefficient d agrandissement ou de réduction. Vocabulaire ans deux triangles semblables, les côtés opposés à des angles égaux sont appelés «côtés homologues». La réciproque de cette propriété est aussi vraie. PRPRIÉTÉ Si deux triangles ont les longueurs de leurs côtés proportionnelles, alors ils sont de même forme. Thème E Géométrie plane
Transformer un point ou une figure par symétries, 19 JETIF 19 translation, rotation Symétrie axiale ÉFINITIN Transformer une figure par symétrie axiale, c est créer l image de cette figure par rapport à un axe. ction Les deux figures symétriques doivent se superposer parfaitement après le pliage le long de l axe de symétrie. Symétrie centrale ÉFINITIN Transformer une figure par symétrie centrale, c est créer l image de cette figure par rapport à un centre de symétrie. ction Une symétrie centrale fait tourner une figure de 180 autour du centre de symétrie. s Le triangle est l image du triangle par la symétrie d axe (d). (d) s Le triangle est l image du triangle par la symétrie centrale de centre. Les deux oiseaux sont symétriques par rapport à la droite (d). (d) Les deux oiseaux sont symétriques par rapport au point. Translation ÉFINITIN Transformer une figure par translation, c est créer l image de cette figure par rapport à deux points donnés. s Le triangle est l image du triangle par la translation qui transforme E en F. La figure ➋ est l image de la figure ➊ par la translation qui transforme E en F. ction Une translation fait glisser une forme dans une direction, un sens et une longueur donnés. E E 1 Rotation ÉFINITIN Transformer une figure par rotation, c est créer l image de cette figure par rapport à : un centre de rotation ; un angle ; un sens de rotation. ction Une rotation fait tourner une forme autour d un point. F s Le triangle est l image du triangle par la rotation de centre et d angle 90 (dans le sens anti-horaire ). F 2 La figure ➋ est l image de la figure ➊ par la rotation de centre et d angle 90 (sens anti-horaire ). 1 2
20 Transformer un point ou une figure par homothétie JETIF 20 ÉFINITIN Transformer une figure par homothétie, c est créer l image de cette figure par rapport à : un centre (un point) ; un rapport k (un nombre). ction Si k. 1 (ou k, 1), l homothétie correspond à un agrandissement. Si 0, k, 1 (ou 1, k, 0), l homothétie correspond à une réduction. s Le triangle est l image du triangle par l homothétie de centre et de rapport k = 0,5. s La figure ➋ est un agrandissement de la figure ➊ par l homothétie de centre et de rapport k = 2. 1 Le triangle est l image du triangle par l homothétie de centre et de rapport k = 0,5. La figure ➋ est une réduction de la figure ➊ par l homothétie de centre et de rapport k = 0,25. 1 2 onstruction Pour construire l image d un point par rapport à l homothétie de centre et de rapport k, il faut : tracer la droite () : si k. 0, est du même côté que par rapport à, sinon, est du côté opposé à par rapport à ; reporter les longueurs : = k si k. 0, et = k si k, 0. 2 s vec k = 3 est du même côté que par rapport à. = 3 vec k = 1,5 est du côté opposé à par rapport à. = 1,5 Propriétés PRPRIÉTÉ 1 Un point, son image par une homothétie et le centre de l homothétie sont alignés. Si est l image de par une homothétie de centre, alors les points, et sont alignés. PRPRIÉTÉ 2 Une homothétie de rapport 1 n effectue aucune transformation. Si est l image de par l homothétie de centre et de rapport 1, alors =. PRPRIÉTÉ 3 Une homothétie de rapport 1 est une symétrie centrale. Si est l image de par l homothétie de centre et de rapport 1, alors est le symétrique de par rapport à. Thème E Géométrie plane
21 Propriété de Thalès dans le triangle JETIF 21 PRPRIÉTÉ Si, dans un triangle, une droite coupe deux côtés parallèlement au troisième côté, alors les deux triangles ainsi formés ont des côtés deux à deux proportionnels. En effet, les triangles et ont des côtés deux à deux proportionnels, donc les rapports entre ces côtés sont égaux. Les triangles et sont des triangles semblables. 22 alculer une longueur avec le théorème de Thalès JETIF 22 PRPRIÉTÉ Si deux droites parallèles coupent deux droites sécantes, alors elles déterminent deux triangles dont les côtés correspondants ont des longueurs proportionnelles. En effet, les triangles et ont des côtés respectivement proportionnels, donc les rapports (qui expriment les coefficients d agrandissement ou de réduction) entre ces côtés sont égaux. Les triangles et sont des triangles semblables.
ans la figure ci-contre, les droites () et () sont parallèles. n peut alors calculer la longueur en appliquant le théorème de Thalès. n a alors : E E = E E =. Soit E E = 4 5 = 3,5 et, en utilisant l égalité des produits en croix, = 5 3,5 = 4,375 cm. 4 5 cm 3,5 cm E? 4 cm 23 Prouver que des droites sont ou ne sont pas parallèles JETIF 23 PRPRIÉTÉ Si deux droites () et (N) sont sécantes en et si deux des rapports, N et N ne sont pas égaux, alors les droites (N) et () ne sont pas parallèles. = 6 8 = 3 4 E = 7, donc 9 E. après la propriété précédente, les droites () et (E) ne sont pas parallèles. E 9 cm 6 cm 7 cm 8 cm PRPRIÉTÉ Réciproque du théorème de Thalès Si, d une part, les points, et et, d autre part, les points, et N sont alignés dans le même ordre sur deux droites sécantes en et si = N, alors les droites (N) et () sont parallèles. N N Remarque La réciproque du théorème de Thalès sert uniquement à prouver que des droites sont parallèles. E = 5 7 F = 4 5,6 = 40 56 = 5, donc E 7 = F. e plus,, E, et, F, sont alignés dans le même ordre. après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (EF) et () sont parallèles. 7 cm 5 cm E 4 cm 5,6 cm F Thème E Géométrie plane
24 osinus, sinus et tangente JETIF 24 ÉFINITINS ans un triangle rectangle, pour un angle aigu donné, on définit trois rapports de longueurs. ôté opposé à cet angle aigu Le sinus de cet angle est égal au quotient :. Hypoténuse ôté adjacent à cet angle aigu Le cosinus de cet angle est égal au quotient :. Hypoténuse ôté opposé à cet angle aigu La tangente de cet angle est égale au quotient : ôté adjacent à cet angle aigu. ans un triangle rectangle en, on a donc : sin = cos = tan = Les calculatrices donnent de très bonnes valeurs approchées de ces rapports. Il faut simplement vérifier qu elles sont bien configurées en «egrés». alculatrice 12 Par exemple, pour le cosinus de 68 : ôté opposé à Hypoténuse ôté adjacent à PRPRIÉTÉ ans un triangle rectangle, le cosinus et le sinus d un angle aigu sont toujours compris entre 0 et 1. En effet, dans un triangle rectangle, l hypoténuse est le plus grand côté donc le rapport entre l un des deux autres côtés et l hypoténuse est toujours compris entre 0 et 1. PRPRIÉTÉ ans un triangle rectangle, pour tout angle aigu de mesure x : (sin x) 2 + (cosx) 2 = 1 tan x = sin x cosx En effet, en écrivant le sinus et le cosinus d'un angle aigu à l'aide des côtés, on arrive à prouver la seconde égalité. En utilisant en plus l'égalité de Pythagore dans ce même triangle, on arrive à prouver que (sin x) 2 + (cos x) 2 = 1. es propriétés sont démontrées dans les exercices N 12 et N 13 p. 341 de ton manuel de cycle.
25 alculer un côté d un triangle rectangle JETIF 25 Pour calculer un côté d un triangle rectangle dont on connait un angle aigu et la longueur d un côté, il faut : faire un schéma du triangle en précisant quels côtés sont l hypoténuse, le côté opposé à l angle connu et le côté adjacent à l angle connu ; se demander ensuite quel est le côté cherché et quel est le côté connu ; écrire une égalité avec le rapport qui fait intervenir ces deux côtés ; on a ainsi une équation à une seule inconnue (le côté cherché) qu il suffit de résoudre. alculer dans le triangle rectangle en. est le sinus qui fait intervenir à la fois l hypoténuse et le côté opposé à l angle $. n peut donc écrire : sin $ = d où sin29 = 6. onc = 6 sin29 La calculatrice connait une valeur approchée de sin29. alculatrice 12 onc 2,9cm. 29 Hypoténuse 6 cm ôté adjacent à l angle µ ôté opposé à l angle µ éterminer la mesure d un angle aigu d un triangle 26 JETIF 26 rectangle Pour déterminer la mesure d un angle aigu d un triangle rectangle dont on connait les longueurs de deux côtés, il faut : faire un schéma du triangle en précisant quels côtés sont l hypoténuse, le côté opposé à l angle cherché et le côté adjacent à l angle cherché ; se demander ensuite quels sont les deux côté connus ; écrire une égalité avec le rapport qui fait intervenir ces deux côtés ; on a ainsi une équation à une seule inconnue (l angle cherché) dont on pourra trouver une valeur approchée grâce à la calculatrice. alculer la mesure de l angle! dans le triangle rectangle en. est le cosinus qui fait intervenir à la fois l hypoténuse et le côté adjacent à l angle. n peut donc écrire :? cos $ = d où cos $ = 11 15. La calculatrice sait alors retrouver une valeur approchée de!. alculatrice 13 Hypoténuse 15 cm 11 cm ôté adjacent à l angle µ ôté opposé à l angle µ onc! 43. Thème E Géométrie plane