Wechter Loïc Mturité 2013 Mthémtiques Cours de M. Flcoz 2013 Préprtion à l'exmen écrit de mturité Mthémtiques 2013 1.Primitives et intégrles 1.1Primitives (CRM pp.77-80) Une primitive pourrit se définir comme l réciproque de l dérivée. liste de primitives à l pge 78 de l CRM. Attention à ne ps oulier de pllier à un mnque de dérivée interne : ) cos(x) dx = sin(3x)/3 ) sin(1/3*x) dx = -3cos(1/3*x) Grâce à l primitive, il est dès lors possile de connître f à prtir de s dérivée et d'un de ses propres-points. Ex : -f'(x) = 3x² 4 et f(5)=54-3x² 4 dx = x³ 4x + c -5³ 4*5 + c = 54-125 20 + c = 54...105+c = 54...c = 54-105 = -51 -f(x) 1.2Intégrle définie (CRM pp.78-81) Une intégrle permet de clculer l'ire de [;] sous l fonction f Schém 1 On noter lors : f (x). dx Cette dernière se clcule lors comme suit : f (). d f (). d 1 http://fr.wikiversity.org/wiki/int%c3%a9grles_en_physique/somme_et_int%c3%a9grle
Wechter Loïc Mturité 2013 Mthémtiques Cours de M. Flcoz 2013 Toute fonction continue est intégrle! Quelques propriétés des intégrles : 1) f (x). dx= f (x). dx 2) c f (x). dx+ 3) f (x). dx=0 4) ( f ±g)(x). dx= 5) c f (x). dx= α f ( x). dx=α f (x). dx (pour <<c) f ( x). dx+ g (x). dx f (x). dx (pour α pprtennt ux réels) 6) f (x). dx 0 (si f(x) 0 vec x compris [;] cr l limite de f positive est positive) 7) f (x). dx g (x). dx (pour f(x) g(x) et x pprtennt à [;]) théorème de l moyenne : Si f est continue sur [;], lors il existe un point c pprtennt à [;], tel que f(c) = μ (CRM p.81) Méthodes d'intégrtion : -Pr prties : f ' (x) g( x). dx= f () g () f () g () Choisir g, soit l prticule l plus fcilement dérivle f (x) g (x). dx -Pr sustitution :. pour clculer f (x). dx,il est souvent nécessire de poser x= g(s). On otient lors : f ( x). dx= f (g (s)) d (g (s))= f (g (s)) g ' (s). ds Exemple : x x+2. dx -On choisit t comme l'élément emêtnt : t= x+2 -On en tire : t 2 = x+2 donc x=t 2 2et enfin dx=d (t 2 2)=2t dt -On remplce : x x+2. dx= (t 2 2) t 2t.dt -Il ne reste plus qu'à clculer le résultt (même technique vec l'intégrle). -Intégrtion des frctions rtionnelles (qund il fut intégrer une frction rtionnelle (f(x)/g(x)) Incompréhensile!!!???!!! superficie entre deux coures : coure du dessus coure du dessous
Wechter Loïc Mturité 2013 Mthémtiques Cours de M. Flcoz 2013 Intégrles impropres : - f ( x). dx= lim ( f (x). dx) x infinit résultt = c...lors l'intégrle converge résultt = ± infinie...lors l'intégrle diverge -Si f est continue dns ];] on définit : f (x). dx= lim ( f ( x). dx) β +0 +β Suivnt le résultt l'intégrle converge ou diverge (c.f. ci-dessus) 1.3Utilistion prtique de l'intégrle (déit, volume, vitesse, ) Volume en fonction du temps et du déit : tfinl V (Δ t)= tdéprt Σdéits.dt Vitesse en fonction du temps et de l'ccélértion : tfinl V (Δ t)= tdéprt ccélértion.dt Tout cel peut-être déduit pr un schém grphique des données et du recherché. Une vitesse moyenne pourr être otenue vec le théorème de l moyenne. 2.logrithmes et exponentielles c.f. p.68 de l CRM pour les propriétés des deux types de fonctions. g(x) = e f(x) = ln(x) Différence entre l'exponentielle et l logrithmique 2 2 A prtir de GeoGer
Wechter Loïc Mturité 2013 Mthémtiques Cours de M. Flcoz 2013 3.Les Vecteurs VECTEURS rppel : Un vecteur se crctérise pr : son sens ( ), s direction ( ) et s longueur. Il existe donc une multitude de vecteur V puisque V peut être plcé n'importe où dns le grphe tnt qu'il conserve ses crctéristiques.un vecteur peut lors être déplcé prllèlement u sein de O XYZ. ddition vectorielle : U =( ;; c)et V =(d ;e ; f ) V U c.f. nnexe V + U Au niveu des clculs, Il en est de même pour l soustrction. Vecteur directeur : Vdir=( OB OA) λ Tout multiple de OB OA peut donc être pris comme vecteur directeur. De ce fit, pour un seul vecteur il existe une infinité de vecteurs directeurs. Equtions : Il est nécessire d'voir deux points pprtennt à d : -éqution vectorielle : d = OA+λ Vdir = { ( x ; y ; z)+λ( x' ; y ' ; z ') } λ R soit OA = (x;y;z) et Vdir = vecteur directeur = λ (x';y';z') = OB OA -éqution prmétrique : x= 1 +λ d 1 λ R d y= 2 +λ d 2 Soit d1 et d2 = 2 vecteurs directeurs et 1/2 = point pprtennt à l droite. Dns R 3, l'éqution est semlle, à cel s'joute l'éqution pour z insi que 3 et d3. -éqution crtésienne : d =x+y+c=0
Wechter Loïc Mturité 2013 Mthémtiques Cours de M. Flcoz 2013 si = 0 : droite verticle si utre que 0 : coefficient directeur = -/ Vectorielle Prmétrique Crtésienne Exemple : A=(5;2) et B=(3;-1) (identique pour R 3 vec z en plus) 1) d =(5; 2)+λ( 2; 3) éqution vectorielle 2) d x=5 2 λ y=2 3 λ éqution prmétrique 3) suppression de lmd λ= ( x 5) y 2)... et... λ=( lors : 2 3 càd : -3x+15 = -2y+4 ou encore -3x+2y+11=0 = dab (x 5) 2 =( y 2) 3 éqution crtésienne Plns dns R³: Pln : x + y + cz = d (Un pln est toujours infini) -Pour définir un pln vectoriellement, il fut 2 vecteurs directeurs. De ce fit, l'ensemle de tous les vecteurs λ U +μ V = pln pssnt pr l'origine = pln vectoriel. Exemple : p = λ(5 ;5 ;3)+μ(7 ;6 ;3) est un pln vectoriel vec comme vecteurs directeurs (5;5;3) et (7;6;3). -Pour définir un pln (non véctoriel), il fut connître, en plus, un des points du pln. PABC= OA+λ AB+μ AC Comme pour une droite, il est possile de psser d'un type d'éqution à un utre. Produit sclire : exemple : soit U=(1; 3;5)et V =(3 ;7 ; 2) lors u v = (1;-3;5) x (3;7;-2) = (1x3) + (-3x7) + (-2x5) = 3-21-10 = -28 2 vecteurs orthogonux (à ngle droit) si : u v = 0 (et si les deux vecteurs sont non nuls nous pourrons les qulifier de perpendiculires (point commun, se touchent)). L norme : norme = longueur d'un vecteur. L norme de AB représente lors l distnce entre le point A et le point B. norme = AB = A B
Wechter Loïc Mturité 2013 Mthémtiques Cours de M. Flcoz 2013 Exemple : clculons l distnce entre A (1;3) et B (3;1) : AB = 3 3= 9=3 L normle : Le pln possédnt de nomreux vecteurs directeurs, c'est donc l normle qui constitue l spécificité d'un pln. L normle est un vecteur perpendiculire u pln. L normle de P (x + y + cz = d) s'vère être (;;c). PROCEDURES Prllélisme de deux droites 1) oserver les vecteurs directeurs des équtions vectorielles d1 et d2. Vecteurs identiques ou un est multiple de l'utre : les deux droites sont prllèles. Vecteurs différents et non multiple l'un de l'utre : les deux droites sont nonprllèles. Le vecteur directeur donnnt l direction d'une droite, si deux droites ont le même vecteur directeur, lors les deux droites prennent l même direction et sont donc prllèles. Exemple : d 1 =(5 ;7)+λ(3 ; 2) et d 2 =(5; 7)+λ(1 ;7) ne sont ps prllèles. d 1 =(5 ;7)+λ(3; 2) et d 3 =(1 ;3)+λ(9 ; 6) sont prllèles. Enfin, d 2 =(5 ;7)+λ(1 ;7) et d 4 =(1; 9)+λ (1 ;7) sont églement prllèles. D 1 D 2 1) Poser l'églité D1 = D2. (Attention : V dir D2 λ mis = α) 2) Puis, poser églement l'églité D 1 distriué=d 2 distriué 3) Poser 1=2 et 1 = 2 4) En tirer lmd (ou lph) 5) Remplcer lmd (ou lph) l'éqution tirée précédemment 6) Fire en sorte de trouver les points On trouve un point de croisement. On ne trouve ps de point de croisement : D1 et D2 sont prllèles. Exemple : D1 = (3 ;5)+λ(4 ;7) et D2 = (2 ;6)+α(3; 7) 1) (3 ;5)+λ(4 ;7) = (2 ;6)+α(3; 7) 2) (3+4λ ; 5+7 λ)=(2+3 α; 1α) 3) 3+4 λ=2+3 α α= (4 λ+1) 3
Wechter Loïc Mturité 2013 Mthémtiques Cours de M. Flcoz 2013 4)[...] (5+7 λ=6 1α...) D O X,Y ou/et Z Si D OX lors pcroisement = (x;0;0) cr, en ce point, D est prllèle à Oy et Oz. Si D Oy lors pcroisement = (0;y;0) cr, en ce point, D est prllèles à Ox et Oz. Si D Oz lors pcroisement= (0;0;z) cr, en ce point, D est prllèle à Ox et Oy. 1) Utiliser l'éqution prmétrique de D. 2) Poser les équtions pour les deux résultts connus (les deux vlnt 0). 3) Chercher l vleur de lmd. Lmd existe et D croise ien l'xe. Lmd n'existe ps, D ne croise ps d'xe. 4) Remplcer lmd pour trouver le point désiré. D p 1) Trnsformer l'éqution vectorielle du pln en éqution crtésienne. 2) Chercher x,y,z qui font que l'éqution crtésienne soit correcte. p D 1) choisir 2 points du pln. 2) définir D qui comprend ces points. Exemple : p=x+y + z=4 A=(2;1;1) B=(1;0;3) D=(1 ;0 ;3)+λ(1; 1; 2) Perpendiculrité de deux vecteurs Si V1 et V2 non nul et leur produit sclire = 0
Wechter Loïc Mturité 2013 Mthémtiques Cours de M. Flcoz 2013 Angle entre 2 vecteurs cos(α)= ( U V ) ( V U ) (ensuite:180-lph) entre deux droites : vdir //entre deux plns : normles //entre pln et droite : vdir et normle Distnce entre deux points clculer l norme Distnce l plus proche entre A et D 1) poser le point x comme tel : x= (+ ' λ ;+' λ) 2) Soustrire A à x. 3) Multiplier ce vecteur pr Vdir de D et poser =0 4) Trouver l vleur de lmd. 5) Clculer l norme de AX ANNEXE
Wechter Loïc Mturité 2013 Mthémtiques Cours de M. Flcoz 2013 4.Proilités 4.1Vriles létoires Rppel : l somme des Xi Pi doit être égle à 1. Exemple 1 : On lnce deux dés, clculons l proilité des différentes sommes de dés possiles Xi 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Pi 1 36 2 36 3 36 4 36 5 36 6 36 5 36 4 36 3 36 2 36 1 36 Σxi/Pi = 36/36 =1 Cr : -l seule fçon d'otenir 2 = 1 et 1 = 1/6*1/6 = 1/36...l seule fçon d'otenir 12 = 6 et =1/6*1/6 = 1/36 E(x) = 7 et écrt type = 2.41 Exemple 2 : Un joueur lnce trois pièces de monnies. S'il fit trois fces, il touche 10 CHF. S'il otient 2 fces, il ggne 5 CHF. Pour 1 fce, il touche 3 CHF lors que pour trois piles, le joueur touche 2 CHF. Xi 2 3 5 10 Pi 1 8 3 8 3 8 1 8 Σxi/Pi = 8/8 = 1 Cr : -pour otenir 2 CHF : PPP = ½ * ½ * ½ = 1/8 -pour otenire 10 CHF : FFF = ½ * ½ * ½ = 1/8 -pour otenir 3 CHF : PPF/FPP/PFP = (½ * ½ * ½) * 3 = 3/8 -pour otenir 5 CHF : FFP/PFF/FPF = (½ * ½ * ½ ) * 3 = 3/8 E(x) = 4.5 et écrt-type = 2.345 méthode utile pour les jeux de crtes, les pièces, (vriles non-continues). 4.2Espérnce mthémtique pour X suivnt une distriution inomile E(x) = n * p σ = n p (1 p) CRM p.102 Exemple : On lnce 600 fois un dé ien équiliré et on compte le nomre de 6 que l'on otient n = 600 = nomres de fois et p = 1/6 (chnce de tomer sur un 6 à chque essi) E(x) = 600 * 1/6 = 100..on peut espérer tomer 100 fois sur le 6. Pour l'écrt-type, il suffit d'utiliser l formule.
Wechter Loïc Mturité 2013 Mthémtiques Cours de M. Flcoz 2013 4.3Vriles létoires continues utile pour des vriles continues comme l tille, l msse, l'énergie,... (vriles représentles sur un grphe...toutes les unités de mesures). p( X )= f (x). dx 4.4Loi normle de Lplce-Guss loi permettnt l formule utile u clcule des proilités de vriles continues. Rppel : E(x) = n*p et σ = n p (1 p) p(x n) ø( X μ ) (X = vrile létoire, µ = proilité vérifiée = E(x) et σ = écrt-type) σ Exemple : E(x) = 50 et écrt-type = 5 p(x<60)= p( x 59.5)=ø( 59.5 50 )=ø( 9.5 5 5 )=ø(1.9) grâce u tleu...ø(1.9) = 0.97128 lors p(x 59.5) = 97.128% 4.5Sttistique utilistion de l loi normle 4.6Intervlle de confince pour l moyenne E( x) μ σ n