ISOMETRIES DANS LE PLAN

Année Scolaire Isométrie 2011-2012 Terminale Association des Professeurs de Mathématiques de la Région de Sikasso et Sympathisants ISOMETRIES DANS LE PLAN 7 ème ASSEMBLEE GENERALE Koutiala Du 28 au 30 Août Présenté par : APROMARS/ section Kadiolo APROMARS_Koutiala_2012 1

Introduction En fin de classe de 11 ème SE (1 ere C), les élèves ont déjà étudié les isométries. En terminale il s agira de poursuivre cet entrainement et faire un point sur les isométries. Il est important de noter que l enseignement des «isométries» en terminale sciences exactes (terminale C) se fait dans le chapitre intitulé : «isométries et similitude dans le plan», suivant le découpage du programme. Cet enseignement doit permettre aux apprenants de savoir écrire toutes isométries f et comme composée de symétries orthogonales et déterminer la composée f. Les nombres complexes à sa disposition, l élève pourrait traduire ses transformations en écriture complexe. Nous n avons pas l intention de faire un cours, type à enseigner en classe de terminale SE, mais plutôt «un voyage dans le pays des isométries». Nous vous convions de nous suivre dans notre voyage. 1 Généralité 1.1 Définition On appelle isométrie du plan toute transformation f qui conserve les distances, i.e. pour tous points M 1, M 2, si M 1 = f M 1 et M 2 = f M 2 alors on a : d M 1 ; M 2 = d M 1 ; M 2 Contre-exemple : une homothétie de rapport 2 n est pas une isométrie. 1.2 Déplacement et antidéplacement Définitions Une isométrie qui conserve les angles orientés est un déplacement. Une isométrie qui transforme les angles orientés en leurs opposés est un antidéplacement 2 Isométries usuelles Activité Les triangles 1 et 2 sont deux triangles équilatéraux et isométriques dont deux cotés sont sur la même droite (support) et ont un sommet commun. 1 2 Quelles sont les transformations usuelles qui transforment 1 en 2? Pour chacune donner leurs éléments caractéristiques respectifs. Justifier vos réponses. APROMARS_Koutiala_2012 2

2.1 Translation Définition On appelle translation de vecteur u, notée t u, l application du plan E dans lui-même qui à tout point M associe le point M tel que : MM = u. Propriété f est translation si et seulement si pour tous points M et N d images respectives M et N, on a :M N = MN. Théorème 1 Soit M d affixe z et M son image d affixe z. t est la translation de vecteur u d affixe b si et seulement si t a pour écriture complexe z = z + b Démonstration t est la translation de vecteur u d affixe b ce qui signifie que pour tout point M z d image M z, on a MM = u ie que pour tout point M z d image M z, z z = b et donc t a pour écriture complexe z = z + b Théorème 2 La réciproque de la translation de vecteur u est la translation de vecteur u ie t u 1 = t u. Remarque : Une translation n a aucun point fixe. 2.2 Rotation 2.2.1 Définition et théorème Définition Soit Ω un point et θ un nombre réel. On appelle rotation de centre Ω et d'angle θ, l'application, qui à tout point M distinct de Ω, associe le point M telle que : ΩM = ΩM et ΩM ; ΩM = θ. On la note r Ω; θ. Exemples : L'application identique est une rotation d'angle 0. r Ω; π est un demi-tour ou une symétrie centrale de centre Ω ou une homothétie de centre Ω et rapport k = 1. APROMARS_Koutiala_2012 3

Théorème 3 La réciproque de la rotation de centre Ω et d angle θ est la rotation de centre Ω et d angle θ i.e r Ω,θ 1 = r Ω, θ Remarque : une rotation n a qu un seul point fixe : le centre de la rotation 2.2.2 Expression complexe d'une rotation Soit r la rotation de centre Ω et d'angle θ. Les points M et M sont tels que r M = M. Soient ω, z et z les affixes respectives des points Ω, M et M On a : ΩM = ΩM ΩM ; ΩM = θ ce qui équivaut à : z ω = z ω arg z ω z ω = θ Il en résulte que : z ω z ω = cos θ i sin θ = eiθ. Donc z ω = z ω e iθ 2.2.3 Expression analytique d une rotation dans le plan Soit r la rotation de centre Ω et d'angle θ. Les points M et M sont tels que r M = M. Soient ω, z et z les affixes respectives des points Ω, M et M Posons : ω = x 0 + iy 0, z = x + iy et z = x + iy. En utilisant la formule z ω = z ω e iθ, On montre que : x x 0 = cos θ x x 0 sin θ y y 0 y y 0 = sin θ x x 0 + cos θ y y 0 On vérifie que c'est de la forme : réels. 2.3 Réflexion Définition x = cos θ x sin θ y + p y = sin θ x + cos θ y + q où p et q sont des nombres Dire que le point M est l image du point M par la réflexion d axe signifie que : Si M appartient à l axe alors M est confondu avec M. Si M n appartient par à alors est la médiatrice du segment MM. On la note S. NB : A l instar de la translation et de la rotation, la réflexion conserve l alignement, les longueurs et distance, le parallélisme et l orthogonalité. Bref, elle ne déforme pas les figures. APROMARS_Koutiala_2012 4

Remarques : L ensemble des points fixes d une réflexion est son axe. La réflexion est appelée dans les classes antérieures par la symétrie axiale ou la symétrie orthogonale. Théorème 4 La réciproque de la réflexion d axe est la réflexion d axe ie S 1 = S Activité 2 Le plan est muni d un repère orthonormé O, I, J. Soit la droite d équation : y = x. Déterminer l expression analytique et l écriture complexe de S. 3 Composition et décomposition d isométries 3.1 Définition et propriété Définition On appelle Identité, on note Id, l application f du plan telle que pour tout point M, f M = M Propriété Le composé de deux isométries est une isométrie. Attention! En général, l ordre de composition des transformations est important, cette opération n est pas commutative : g f f g. 3.2 Composée de deux translations Théorème 5 La composée de deux translation est une translation : t v t w = t v+w 3.3 Composée de deux rotations Théorème 6 Soient r 1 et r 2 deux rotation d angle respectifs θ 1 et θ 2. On a : Si θ 1 + θ 2 0 2π alors r 1 r 2 est une translation. Si θ 1 + θ 2 0 2π alors r 1 r 2 est une rotation d angle θ 1 + θ 2. Démonstration Dans le plan orienté, r 1 et r 2 ont pour écritures complexes respectives z = e iθ 1z + b 1 et z = e iθ 2z + b 2 APROMARS_Koutiala_2012 5

Il en résulte que r 1 r 2 a pour écriture complexe z = e iθ 1 z = e iθ 2z + b 2 + b 1 ou encore z = e i θ 1+ θ 2 z + e iθ 1b 2 + b 1. Ainsi, r 1 r 2 a une écriture complexe de la forme z = az + b avec a = 1, c est dont une rotation ou une translation. Par suite : Si θ 1 + θ 2 0 2π, e i θ 1+ θ 2 = 1 et z = z + e iθ 1b 2 + b 1 alors r 1 r 2 est une translation. Si θ 1 + θ 2 0 2π alors r 1 r 2 n est plus une translation, donc c est une rotation d angle θ 1 + θ 2. Remarques Pour situer le centre de r 1 r 2, on sait que : Si θ 1 + θ 2 0 2π alors r 1 r 2 est une rotation d angle θ 1 + θ 2 mais le théorème ne nous donne pas son centre. On peut le situer en cherchant les images A et B par r 1 r 2 de deux points particuliers A et B Illustration graphique Soient r 1 et r 2 deux rotation d angles respectifs θ 1 et θ 2. Soient A et B deux points du plan. On a : r 2 A = A 2, r 2 B = B 2, r 1 A 2 = A et r 1 B 2 = B. Les droites et D sont les médiatrices respectives de AA et BB. Le point Ω,l intersection de et D, est le centre de la rotation r 1 r 2. D Le centre de la rotation sera alors le point d intersection des médiatrices de AA et BB. Si θ 1 + θ 2 0 2π alors r 1 r 2 est une translation. On peut trouver son vecteur en cherchant l image A par r 1 r 2 d un point particuliera. Le vecteur de r 1 r 2 est alors le vecteur AA APROMARS_Koutiala_2012 6

3.4 La composée d une rotation et d une translation Théorème 7 Soient t une translation et r une rotation d angle θ tel que θ 0 2π. Alors, t r et r t sont des rotations d angle θ non nul. Démonstration Dans le plan orienté, r et t ont respectivement pour écriture complexe z = e iθ z + b 1 et z = z + b 2 d où celle de r t est z = e iθ z + b 2 + b 1 = e iθ z + e iθ b 2 + b 1. Or θ 0 2π, donc r t est une rotation d angle θ. De façon analogue on montre que t r est une rotation d angle θ. Remarque Pour situer le centre de r t (respectivement t r), on cherche l image A et B de deux points particulier A et B par r t (respectivement par t r). Le centre de la rotation sera alors le point d intersection des médiatrices AA et BB 3.5 Composée de deux réflexions Propriété La symétrie axiale est une application involutive, i.e. pour toute droite D, S D S D = Id Théorème 8 Soient s 1 et s 2 deux réflexions d axe respectifs 1 et 2 de vecteurs directeurs respectifs u 1 et u 2. Si 1 et 2 sont parallèles alors s 1 s 2 est une translation de vecteur 2u tel que t u 2 = 1 Si 1 et 2 sont sécantes en Ω alors s 1 s 2 est une rotation de centre Ω et d angle 2 u 2, u 1 Illustration 1 H 1 H 2 Soient D 1 et D 2 deux droite parallèles et M un point du plan. Si H 1 est le projeté orthogonal de M sur D 1, on a M 1 = S D1 M tel que MM 1 = 2MH 1 = 2H 1 M 1 Si H 2 est le projété orthogal de M 1 sur D 2, on a M 2 = S D2 M 1 tel que M 1 M 2 = 2M 1 M 2 = 2M 1 H 2. D où MM 2 = MM 1 + M 1 M 2 = 2 MH 1 + M 1 H 2 = 2H 1 H 2 APROMARS_Koutiala_2012 7

On a un vecteur fixe indépendant de M, ainsi ; S D2 S D1 = t 2H1 H 2. L ordre de la composition est important. On a : S D1 S D2 = t 2H2 H 1 et H 1 H 2 = H 2 H 1 Illustration 2 Soient D 1 et D 2 deux droites concourantes en I et M un point du plan. Soit M 1 = S D1 M et M 2 = S D2 M 1 alors IM = IM 1 = IM 2 et mes IM, IM 2 = mes IM, IM 1 + mes IM 1, IM 2 mes IM, IM 2 = 2 θ 1 + θ 2 est invariante). (la mesure l angle M 2 est donc l image de M par la rotation de centre I et d angle 2θ où θ est la mesure de l angle de droite D 1, D 2 Propriétés Toute translation de vecteur v peut être décomposée d une infinité de façon comme composée de deux réflexions dont les axes sont normaux à v ; l un d eux pouvant être choisi arbitrairement. Toute rotation r d angle θ peut être décomposée, d une infinité de manières différentes possibles, comme s 1 s 2, composée de deux réflexions d axes 1 et 2 sécants au centre de cette rotation et telle que θ = 2 u 2, u 1 avec u 1 et u 2 les vecteurs directeurs respectifs des axes 1 et 2. ( l un des deux axes est choisi arbitrairement) 3.6 Composée d une translation et d une réflexion Cette partie est traitée comme une activité de recherche. Ainsi nous allons essayer de voir le type d isométrie qui se cache derrière les composées t u s et s t u où t u et s sont respectivement la translation de vecteur u non nul et la réflexion d axe. Partons d abord avec t u s puis déduisons s t u. On peut envisager plusieurs cas suivant ce qu est le vecteur de translation par rapport à l axe de la réflexion. Cas 1 : le vecteur u est vecteur normal de Soit l image de la droite par la translation de vecteur 1 2 u. 1 2 u u APROMARS_Koutiala_2012 8

Ainsi on a : t u s = s s s = s s s = s s s = s Id = s Par suite t u s = s Donc t u s est réflexion d axe. D une manière analogue, en remplaçant par image de la droite par la translation de vecteur 1 2 u, on montre que s t u est aussi réflexion d axe. Conclusion Lorsque le vecteur de translation est normal à l axe de la réflexion, la composée de cette translation par de cette réflexion ( ou cette réflexion par cette translation) est une autre réflexion dont l axe est parallèle au premier. Cas 2 : le vecteur u est un vecteur directeur de Jusqu à ce moment les isométries que nous connaissons sont soit une rotation soit une translation ou une réflexion. Dans notre cas s t u (ou t u s ) est elle une rotation? une translation? ou une réflexion? On peut reformuler cette question par : la composée s t u admet-elle au moins un point fixe? Supposons que s t u admette au moins un point fixe F. Soit F l image de F par la translation t u. D où FF = u, F et F sont distinct puisque u est non nul. On a : s t u F = F et t u F = F s F = F. Il en résulte que est la mediatrice de FF. Si F est sur l axe alors F = F. Ce qui est absurde car F et F sont distincts. Supposons que F n est pas sur u étant un vecteur directeur de, les vecteurs u et FF sont orthogonaux. Ce qui est aussi absurde car nous avions montré que ces deux vecteurs était égaux. Ces absurdités nous permettent de dire que s t u n est ni une rotation (un point fixe qui est son centre), ni une réflexion (les points fixes sont ceux de l axe de la réflexion). Ceci étant, nous pouvons relancer l analyse en essayant de répondre à la question suivante : s t u est-elle une translation? Plaçons nous dans la situation suivante : A et B sont deux points du plan tels que B appartienne à et que A ne l appartienne pas. Soient A et B leurs images respectives par la translation de vecteur u. Appelons A l image de A par s. On a : s t u A = A et s t u B = B u APROMARS_Koutiala_2012 9

Par suite AA = AA + A A = u + A A = BB + A A BB Donc s t u n est pas une translation sinon on aurait AA = BB. Nous pouvons donc conclure que s t u n est ni une translation, ni une rotation, ni réflexion. Cette nouvelle isométrie est appelée symétrie glissée. Activité : la composition est rarement commutative. Montrer que dans notre cas s t u = t u s Démonstration (voir annexe) Nous devons montrer que pour tout point A, on a : t u s A = s t u A Possibilité 1 : A Soit A l image de A par t u. On a : s t u A = s A = A et t u s A = t u A = A. Donc pour tout point A de l axe, t u s A = s t u A. Possibilité 2 : A Soient B, A et A deux points tels que s A = B, t u A = A et s A = A On a : s t u A = A. Nous devons montrer que t u B = A. Le vecteur u étant un vecteur directeur de, les droites AA et IJ sont parallèles. De plus, les droites AI et A J étant perpendiculaires à l axe, elle sont parallèles. Il en résulte que le quadrilatère AA JI est un parallélogramme. D où AA = u = IJ et AI = A j Comme I et J sont les milieux respectifs des segments AB et AA, on a : IB = AI = A j = JA. Par suite : IJA Best un parallélogramme, d où BA = IJ = u Donc t u B = A. Par conséquent t u s A = A. On peut donc conclure que pour point A, on a : t u s A = s t u A Cas 3 : le vecteur u n est pas un vecteur directeur de et n y est pas normal Le vecteur u peut être vu comme étant la somme d un vecteur directeur v de et de l un de ses vecteurs normaux w. Par suite, on a : t u = t v t w = t w t v s t u = s t w t v = s t w t v = s t v APROMARS_Koutiala_2012 10

En effet w étant normal à, s t w est une réflexion d axe qui parallèle à. En plus v étant un vecteur directeur de, il est aussi un vecteur directeur de. Par conséquent : s t v est une symétrie glissée. On peut conclure que si le vecteur u n est pas un vecteur directeur de et n y est pas normal alors s t u est une symétrie glissée. De même : t u s = t v t w s = t v t w s w est normal à c estune réflexion d axe parall èle à = t v s v est parall èle à c estune symetrie gliss ée On peut donc résumer que la composée réflexion et d une translation est soit une autre réflexion d axe parallèle (lorsque le vecteur de translation est normal à l axe de symétrie) soit symétrie glissée. 3.7 Composée d une rotation et d une réflexion Considérons la rotation r A,α et la réflexion s. On suppose que l angle α 0 2π. r A,α peut être vue comme une composée de deux réflexions s D et s D dont les axes sont sécants en A et dont l angle orienté D; D mesure 1 2 α. Nous choisissons la droite D tel que D alors on a : r A,α s = s D s D s = s D s D s Axes parall èles c estune translation de vecteur u normal aux axes = s D t u u n estnormal à D c est une symetrie glis sée Avec un raisonnement analogue on montre que est s r A,α aussi une symétrie glissée. On peut donc conclure que la composée d une rotation et d une réflexion est une symétrie glissée. Attention! la symétrie glissée s t u n est pas nécessairement la symétrie glissée t u s. (voir annexe) Théorème 9 L ensemble des isométries est formé de l identité, des translations, des réflexions, des rotations et des symétries glissées. Toutes isométries peut se décomposer en produit de réflexions. Remarque Un déplacement est la composée d un nombre pair de réflexion et un antidéplacement d un nombre impair de réflexion. APROMARS_Koutiala_2012 11

3.8 Reconnaissance des isométries selon le nombre de points invariants Théorème 10 Soit f une isométrie du plan Si f admet trois points invariants, non alignés, alors f = Id Si f est différente de Id et admet deux points invariants, distincts, A, B, alors f est une symétrie d axe AB. Si f admet un seul point invariant alors f est une rotation de centre ce point. Si f n admet aucun point invariant alors f est une translation ou une symétrie glissée. Activité-bilan A la fin de ce voyage, on pourrait faire l inventaire des espèces dans le fameux pays des isométries. Quels les espèces dans le pays? Quels les particularités de chacune des espèces? Exercice 1 Exercices On donne deux points distincts O 1 et O 2 et deux angles α 1 et α 2. Soient r 1 et r 2 deux rotations de centre respectifs O 1, O 2 et d angles orientés respectifs α 1, α 2. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de r 2 r 1. Exercice 2 Soit t u la translation de vecteurs u et r A,α la rotation de centre A et d angle α. Déterminer la composée t u r A,α. Exercice 3 Soit ABC un triangle isocèle en A et r la rotation de centre A et d angle α = AB, AC. A tout point M, distinct de B et C, on associe le point M tel que : M = r M. 1) Démontrer que : Mes MC, M C Mes MC, MB + α π 2) En déduire le lieu des points M tels que les points C, M et M soient alignés. Exercice 4 Le plan est muni du repère orthonormé O, i, j. Soient : x y = 1 : y = 2 et D : x + y = 1, déterminer la nature et les éléments caractéristiques de s s D et s s D. APROMARS_Koutiala_2012 12

Annexe u est un vecteur directeur de fig_s t u fig_t u s. APROMARS_Koutiala_2012 13