BJ - RELATIONS BINAIRES

BJ - RELATIONS BINAIRES Définitions Soit A et B deux ensembles non vides, et G une partie de A B. On dit qu un élément x de A est relié à un élément y de B par une relation binaire de graphe G, si le couple (x,y) appartient à G, ce que l on note alors xry. On dit alors que R est une relation binaire liant les éléments de A à ceux de B. On notera, si cela est nécessaire, G(R) le graphe d une relation R, et R G la relation binaire de graphe G. On dira que deux relations binaires sont égales, si elles ont le même graphe. Il y a donc identité entre l ensemble des relations binaires liant les éléments de A à ceux de B, et l ensemble des parties de A B : à toute opération sur les graphes correspondra, avec des formules analogues, une opération sur les relations binaires. On dira que R est impossible si son graphe est vide, et que R est triviale si son graphe est A B. Opérations sur les relations binaires 1) Si R a pour graphe G, on note R la relation de graphe A B G. On a donc x Ry (xry). 2) Soit (R j ) j J une famille de relations binaires. On notera On a donc R j la relation binaire de graphe G(R j ), j J j J R j la relation binaire de graphe G(R j ). j J j J x R j y j J, xr j y, j J x j J R j y j J, xr j y. Ces opérations sont liées par des formules obtenues simplement à partir de celles de la réunion, de l intersection et du passage au complémentaire. Par exemple R = R, ( ) R j = j J( R j ). j J

BJ 2 3) Soit R et R deux relations liant les éléments de A à ceux de B. On dira que R implique R, et l on notera R = R si G(R) est inclus dans G(R ). On a alors les propriétés suivantes : R = R, si R = R et R = R alors R = R, si R = R et R = R alors R = R. Autres opérations 1) Soit G une partie de A B, et soit G l ensemble des couples (y,x) de B A tels que (x,y) soit dans G. Si R a pour graphe G, on notera R 1 la relation de graphe G, liant les éléments de B à ceux de A. On dit que R 1 est la relation réciproque de R. On a donc On a aussi les formules suivantes : xry yr 1 x. (R 1 ) 1 = R, ( R) 1 = (R 1 ), ( R j ) 1 = (R 1 j ), ( R j ) 1 = (R 1 j ). 2) Soit A, B, C trois ensembles non vides, G une partie de A B et G une partie de B C. Soit alors G le sous-ensemble de A C formé des couples (x,z) pour lesquels il existe y dans B tel que (x,y) soit dans G et (y,z) dans G. Si R a pour graphe G et R pour graphe G, on note R R la relation de graphe G que l on appelle relation composée de R et R. On a donc On voit facilement que On a également les relations suivantes : xr R z y B, xry et yr z. (R R ) 1 = R 1 R 1. si R = R alors R = R, si R = R alors R 1 = R 1, si R = S et R = S alors R R = S S, si j R j = S j alors R j = R j, Enfin, pour tout j, si j R j = S j alors R j = R j. R j = R j et R j = R j.

BJ 3 Relation binaire dans un ensemble Dans ce qui suit tous les ensembles A, B, C considérés précédemment sont égaux. On appelle alors relation binaire dans A une relation binaire liant les éléments de A à d autres éléments de A. Le graphe est une partie de A A. Si D est la diagonale de A A, on notera E la relation binaire associée. Cette relation est l égalité. xe y x = y. Les relations binaires dans A peuvent avoir des propriétés particulières qui nous définissons ci-dessous (sur une ligne peuvent figurer plusieurs définitions équivalentes). Réflexivité E = R Anti-réflexivité E = R R = E Symétrie R = R 1 R = R 1 R 1 = R Anti-symétrie R R 1 = E R E = R 1 R 1 = R E Transitivité R R = R Totalité E = R R 1 Remarquons qu une relation binaire ne peut être à la fois réflexive et anti-réflexive, et qu une relation est à la fois symétrique et anti-symétrique si et seulement si elle implique l égalité. Relations binaires particulières On appelle relation d équivalence dans A une relation binaire réflexive, symétrique et transitive. On appelle relation d ordre (large) dans A une relation binaire réflexive, anti-symétrique et transitive. On appelle relation d ordre stricte dans A une relation binaire anti-réflexive et transitive. Dans ce cas la relation R R 1 est impossible. Remarques : 1) La définition de la «totalité» choisie ici permet de parler de relation d ordre totale stricte. 2) La seule relation d équivalence totale est la relation triviale. 3) La seule relation qui est à la fois relation d équivalence et relation d ordre est E. 4) Dans l ensemble des relations binaires sur A, la relation = est une relation d ordre. 5) La relation R E est toujours réflexive.

BJ 4 Conservation des propriétés particulières dans les opérations Opération R réflexive R anti-réflexive R anti-réflexive R réflexive R symétrique R symétrique R anti-symétrique R totale R totale R anti-symétrique Soit (R j ) j J est une famille de relations binaires dans A. Opération j R j réflexive R j réflexive j R j anti-réflexive = R j anti-réflexive j R j symétrique = R j symétrique j R j anti-symétrique = R j anti-symétrique j R j transitive = R j transitive Si la famille (R j ) j J est totalement ordonnée j R j totale = R j totale Opération j R j réflexive = R j réflexive j R j anti-réflexive R j anti-réflexive j R j symétrique = R j symétrique j R j totale = R j totale Si la famille (R j ) j J est totalement ordonnée j R j anti-symétrique = R j anti-symétrique j R j transitive = R j transitive Opération ( ) 1 conserve les propriétés Opération R et R réflexives = R R réflexive R et R symétriques = R R symétrique et R R = R R En particulier, si R est symétrique, il en est de même de R n = R R. Remarquons que le graphe de R n est constitué des couples (x,y) pour lesquels il existe ξ 1,...,ξ n 1 tels que xrξ 1, ξ 1 Rξ 2,..., ξ n 1 Ry.

BJ 5 Proposition 1 Si R est une relation anti-symétrique et transitive, la relation R E est une relation d ordre large et R E est une relation d ordre stricte. On passe donc facilement de l une à l autre. La relation R E est transitive car R et E le sont. Elle est réflexive. On vérifie facilement qu elle est anti-symétrique. C est bien une relation d ordre large. Si l on a xr E y et yr E z, alors, xry et yrz, et, par transitivité, xrz. Si l on avait x = z, alors xry et yrx, et par anti-symétrie, on aurait x = y, ce qui n est pas possible puisque x E y. Donc x E z et par suite xr E z. La relation R E est transitive. Elle est de plus anti-réflexive. C est bien une relation d ordre stricte. Relations binaires extrémales A) Soit R une relation binaire et (P) une propriété. On cherche s il existe une relation binaire S possédant la propriété (P) et qui soit impliquée par R. On demande de plus que S soit minimale, c est-à-dire que si S possède la propriété (P) et vérifie alors S soit égale à S. R = S = S, 1) La propriété (P) est la réflexivité, la symétrie ou la transitivité. La relation triviale possède la propriété (P) et est impliquée par toute relation R. D autre part, pour toute famille de relations S vérifiant la propriété (P), alors S la vérifie aussi. Il en résulte que S = S R = S S vérifie (P) est la plus petite relation binaire impliquée par R et possédant la propriété (P). On a les formules suivantes : si (P) est la réflexivité, S = R E ; si (P) est la symétrie, S = R R 1 ; si (P) est la transitivité, S = R n. n=1

BJ 6 Démontrons la dernière formule. Si R implique la relation transitive S, et si l on a xrξ 1, ξ 1 Rξ 2,..., ξ n 1 Ry, alors xs ξ 1, ξ 1 S ξ 2,..., ξ n 1 S y, donc xs y. Il en résulte que R n implique S, et donc que R n implique S. Il reste à montrer que R n est n=1 n=1 transitive. Si l on a x R n y et y R n z, il existe n et p tels que xr n y et yr p z. Alors, on a n=1 n=1 xrξ 1, ξ 1 Rξ 2,..., ξ n 1 Ry, et yrξ 1, ξ 1Rξ 2,..., ξ p 1Rz, et il en résulte que xr n+p z. Donc x R n z. n=1 Ce qui précède reste vrai si (P) signifie que la relation est une relation d équivalence. Théorème 1 Soit R une relation binaire définie sur A. Il existe une unique relation d équivalence S telle que a) R = S b) Si S est une relation d équivalence vérifiant R = S = S, alors S = S. Cette relation est définie, par exemple, par une des formules suivantes : S = S S = E ( (R R 1 ) n) = (R R 1 E ) n. R = S n=1 n=1 d équivalence

BJ 7 2) La propriété (P) est la totalité. La relation triviale est totale. D autre part, si A est une famille de relations binaires impliquées par R et totalement ordonnée, telle que chaque élément possède la propriété (P), alors la relation est totale et impliquée par R. S A S On peut donc appliquer le théorème de Zorn qui assure l existence d un élément minimal. Cette démonstration reste valable si (P) est la conjonction de la totalité et d une ou plusieurs propriétés de 1). 3) La propriété (P) est l anti-réflexivité ou l anti-symétrie. Si R implique S, cette dernière ne peut avoir la propriété (P) que si R l a déjà. On peut remarquer cependant que, si R est anti-réflexive, alors R R 1 est anti-réflexive et symétrique, si R est anti-symétrique, alors R E est anti-symétrique et réflexive. On a également le théorème suivant pour les relations d ordre : Théorème 2 Soit R une relation anti-symétrique et transitive. Il existe une relation d ordre totale S possédant les propriétés suivantes a) R = S b) Si S est une relation d ordre totale telle que R = S = S, alors S = S. c) Si S est une relation d ordre telle que R = S = S, alors S = S. Soit A l ensemble des relations d ordre S impliquées par R. Cet ensemble est non vide car il contient R E d après la proposition 1. On ordonne cet ensemble par implication. Si A est une famille de relations d ordre de A totalement ordonnée, la relation S est une relation d ordre impliquée S A par R et c est le plus grand élément de la famille. Il résulte du théorème de Zorn qu il existe une relation d ordre S maximale. Soit S une relation d ordre qui n est pas totale. Il existe donc a et b dans A, tels que l on n ait, ni as b ni bs a. Soit alors S définie par xs y (xs y) ou (xs a et bs y). (On a ajouté a comme plus grand élément de A et b comme plus petit). C est une relation d ordre impliquée par S et distincte de S puisque as b. Donc S n est pas maximale. Toute relation d ordre maximale est donc totale. La relation S obtenue ci-dessus est donc totale et vérifie la propriété c).

BJ 8 Pour voir qu elle vérifie aussi b), il suffit de montrer qu une relation d ordre totale est maximale. Soit S une relation d ordre totale impliquant S. Supposons S distincte de S. Il existe x et y dans A tels que l on ait xs y et pas xs y. Donc x est distinct de y, et comme S est totale, on doit avoir ys x, donc ys x. Mais puisque S est anti-symétrique, ceci est impossible. Corollaire Sur tout ensemble A, on peut définir une relation d ordre totale. Il suffit d appliquer le théorème précédent avec R = E. B) On étudie maintenant le problème inverse du précédent : si R est une relation binaire et (P) une propriété, on cherche S vérifiant (P) et impliquant R qui soit maximale, c est-à-dire telle que, si S vérifie (P) et S = S = R, alors S est égale à S. 1) La propriété (P) est l anti-réflexivité, symétrie. L unique solution est On a alors, S = S = R S vérifie (P) S. si (P) est l anti-réflexivité, S = R ( E ), si (P) est la symétrie, S = R R 1. 2) La propriété (P) est l anti-symétrie ou la transitivité. Soit A l ensemble des relations S impliquant R et vérifiant (P). Cet ensemble est non vide car il contient la relation impossible. On ordonne cet ensemble par implication. Si A est une famille de relations d ordre de A totalement ordonnée, la relation S est une relation impliquant R et S A vérifiant (P), et c est le plus grand élément de la famille. Il résulte du théorème de Zorn qu il existe une relation d ordre S maximale. Cela reste vrai en particulier en combinant 1) et 2), et également si (P) signifie que la relation est une relation d ordre stricte. 3) La propriété (P) est la totalité ou la réflexivité. Si R est impliquée par S, cette dernière ne peut avoir la propriété (P) que si R l a déjà.

BJ 9 On peut remarquer cependant que, si R est réflexive, alors R R 1 est réflexive et symétrique, si R est réflexive, et si (P) est la transitivité ou l équivalence, le théorème de Zorn s applique. Remarquons que dans le cas où R est réflexive et transitive, alors R R 1 est une relation d équivalence et l on a alors unicité. si R est réflexive et (P) signifie que la relation est une relation d ordre, le problème a également une solution d après le théorème de Zorn. On a également le théorème suivant pour les relations d ordre : Théorème 3 Soit R une relation réflexive et transitive. Il existe une relation d ordre S telle que a) S = R b) Si S est une relation d ordre telle que S = S = R, alors S = S. Notons ẋ la classe de x pour la relation d équivalence R R 1. Soit Rẋ une relation d ordre totale sur ẋ (une telle relation existe d après le corollaire du théorème 2). Posons xs y (ẋ ẏ et xry) ou (ẋ = ẏ et xrẋy). Cela signifie que la relation R permet d ordonner les classes d équivalences les unes par rapport aux autres, et qu il reste à mettre une relation d ordre quelconque sur chaque classe. Cette relation S implique bien R. Soit S telle que S = S = R. Si l on a xs y, alors xry. Et deux cas sont possibles : ou bien on n a pas yrx dans ce cas ẋ et différent de ẏ et par définition xs y. ou bien on a aussi yrx. Alors ẋ est égal à ẏ. Comme la relation Rẋ est totale, ou bien xrẋy, et alors xs y, ou bien yrẋx, et alors ys x, donc ys x. Comme xs y, par anti-symétrie on en déduit x = y donc xs y. Il en résulte bien que S = S. Les relations d équivalences Une relation d équivalence peut être définie de plusieurs manières. 1) Par la donnée d un partition P de A : xry X P, x X et y X. 2) Par la donnée d une application f de A dans un ensemble B : xry f(x) = f(y).

BJ 10 3) Par la donnée d une application g de A A dans l ensemble U = {z C u = 1} vérifiant la condition : (x,y,z) A 3, g(x,y)g(y,z) = g(x,z), en posant xry g(x,y) = 1. Remarque : une telle application vérifie en particulier x A, g(x,x) = 1 et (x,y) A 2, g(x,y) = g(y,x). Si R est une relation d équivalence sur A, notons π l application qui à x associe sa classe d équivalence ẋ. On a alors xry π(x) = π(y). Etudions les trois cas précédents. 1) Lorsque R est définie par une partition, l application π n est autre que l application qui à x associe l élément de P qui le contient, car cet élément n est autre que ẋ. 2) Lorsque R est définie par une application f, on a le résultat suivant : Théorème 4 Soit R une relation d équivalence définie par une application f. Il existe une bijection β de f(a) sur l ensemble P des classes d équivalence telle que le diagramme suivant soit commutatif : π A β 1 P f f(a) β On a en effet f(x) = f(y) xry π(x) = π(y). Si Y est un élément de f(a), il existe x tel que Y = f(x), et l on pose β(y ) = π(x).

BJ 11 Cette définition ne dépend pas du choix de l antécédent x de Y. On définit une application β de f(a) dans P qui vérifie de manière évidente β f = π. En inversant les rôles, on peut définir une application β de P dans f(a) en posant et l on a Alors ce qui montre que β est bijective, et que β (ẋ) = f(x), β π = f. β β (ẋ) = β β π(x) = β f(x) = π(x) = ẋ β β(y ) = β β f(x) = β π(x) = f(x) = Y, β = β 1. 3) Lorsque R est définie par une application g à valeurs dans U, fixons x 0 et posons On a alors f(x) = g(x,x 0 ). g(x,x 0 ) = g(y,x 0 ) g(x,x 0 )g(y,x 0 ) = 1 g(x,x 0 )g(x 0,y) = 1 g(x,y) = 1 xry, et on se ramène à la deuxième situation. Il existe des applications β x0 de g(a,x 0 ) sur P, bijectives rendant le diagramme commutatif. Soit u, x 0 et y 0 dans A, on a alors Alors, l égalité équivaut à ce qui se traduit par x 0 Ry 0, et, dans ce cas, β x0 ( u) = g(u,x 0 ) et β y0 ( u) = g(u,y 0 ). β 1 x 0 = β 1 y 0, u A, g(u,x 0 ) = g(u,y 0 ), g(a,x 0 ) = g(a,y 0 ). On peut remarquer que g(x,y) ne dépend que des classes de x et de y. En effet, si on a g(x,x ) = g(y,y ) = 1, g(x,y) = g(x,x )g(x,y )g(y,y) = g(x,y ). Cela permet de définir une application surjective ġ de P P dans g(a 2 ), telle que le diagramme suivant soit commutatif :

BJ 12 A A g(a 2 ) ġ P P π π Il suffit de poser, pour tout couple (x,y) de A 2, ġ(ẋ,ẏ) = g(x,y). Cas particulier : si l on suppose que g(a 2 ) se réduit à { 1,1}, alors, quel que soit x 0, on a, g(a 2 ) = g(a,x 0 ) = { 1,1}, et le nombre de classes vaut 2. En effet, il existe x et y tels que g(x,y) = 1, donc, pour un tel couple, on n a pas xry, et il en résulte que g(a,y) = { 1,1}. Comme dans ce cas β y est une bijection, on a alors card P = 2. Relation d équivalence n ayant qu un nombre fini de classes g Théorème 5 Soit A un ensemble non vide, P et Q deux partitions finies de A telles que card P = card Q tout élément de P est inclus dans un élément de Q. Alors les deux partitions sont égales. Soit P dans P. Il existe Q dans Q contenant P, et cet élément Q est unique puisque deux éléments distincts de Q ont une intersection vide. On définit ainsi une application Φ de P dans Q en posant si P est inclus dans Q. Φ(P) = Q,

BJ 13 Cette application est surjective. En effet soit Q dans Q, et q un élément de Q. Il appartient nécessairement à un élément P de P. Alors P est inclus dans un élément Q de Q. Mais Q Q contient q. Donc Q et Q sont confondus, et l on a Φ(P) = Q. Comme P et Q ont même cardinal, l application Φ est bijective. Soit alors x dans Φ(P). Il existe P dans P contenant x. Donc x est aussi dans Φ(P ). Comme Φ(P) Φ(P ) n est pas vide, on a Φ(P) = Φ(P ), et comme Φ est injective, on en déduit que P = P. Il en résulte que x est dans P, et donc que Φ(P) est inclus dans P. Comme l inclusion inverse a lieu, on a égalité. D où P = Q. Corollaire Soit deux relations d équivalence sur un ensemble A. Si elles ont le même nombre fini de classes et si l une implique l autre, elles sont égales. Il suffit d appliquer le théorème aux partitions formées par les classes d équivalence. Remarque : les résultats précédents peuvent être pris en défaut si card P est infini, comme le montre l exemple suivant. Soit A l ensemble des fonctions à valeurs réelles définies sur un ensemble contenant au moins deux éléments a et b distincts. Soit R la relation d équivalence définie par δ a, la mesure de Dirac en a, et S celle définie par (δ a,δ b ). L ensemble des classes d équivalences de R est isomorphe à δ a (A) = R, et l ensemble des classes d équivalence de S est isomorphe à (δ a,δ b )(A) = R 2. Comme R et R 2 ont le même cardinal, on a bien le même nombre de classes. De plus S implique R, et pourtant S et R sont différentes.