Suites 6 AU CŒUR DE LA TOILE Objectif Notios utilisées Traduire, à l aide d ue suite, u processus géométrique itératif et redre compte de so évolutio. Mettre e place les premiers pricipes d étude d ue suite itérée : eploitatio de la foctio umérique sous-jacete, majoratio par ue suite géométrique. Suites géométriques ; limites des suites géométriques ; variatios d ue foctio umérique. Deu problèmes tout à fait comparables de covergece de suites de ombres ratioels où il s agit de formaliser le problème, d étudier la suite et de recostituer les étapes de la démarche. Cette activité est etraite de la brochure «Espace modules Première S» publiée par le CRDP d Aquitaie (996 ISBN -8667--8). Problème. Format radical O se propose d approcher à l aide d ue suite de ombres ratioels défiis par l algorithme géométrique décrit ci-cotre. Partat du rectagle OA 0 B 0 C 0 (oté R 0 ) tel que OA 0 = et OC 0 =, o costruit «etérieuremet» le carré B 0 C 0 A I, puis le carré A 0 I B C pour obteir le rectagle OA B C (oté R ). C B De même, à partir du rectagle OA B C, o costruit «etérieuremet» le carré B C A I, puis le carré A I B C, pour obteir le rectagle OA B C (oté R ). Et aisi de suite... Pour tout etier aturel, o ote respectivemet L et l la logueur et la largeur du rectagle R. O appelle format de R, et o ote q, L le quotiet. l A I C 0 O B 0 A 0 C B I A
A. Relatio de récurrece. Calculer les si premiers formats et e doer ue valeur approchée à 0 près. Classer ces ombres das l ordre croissat et les comparer à.. Eprimer les dimesios du rectagle R + e foctio des dimesios du rectagle R. E déduire le format q + de R + e foctio du format q de R. B. Comportemet de la suite ( q) IN O cosidère la foctio f défiie sur l itervalle [ ; ] par f( ) = +, sa courbe représetative + C et la droite d équatio y = das le pla rapporté à u repère orthoormal.. a. Étudier les variatios de la foctio f sur l itervalle [ ; ] et tracer la courbe C (uité graphique : 9 cm). Démotrer que, pour tout ombre réel de l itervalle [ ; ], o a : f (). b. E déduire que, pour tout etier aturel, o a : q. À l aide de la courbe C et de la droite, représeter sur l ae des abscisses les premiers termes de la suite.. a. Détermier le poit d itersectio de la courbe C et de la droite. Démotrer que, pour tout ombre réel de l itervalle [ ; ], distict de, o a : f( ) f( ) < 0. b. E déduire que, pour tout etier aturel, o a : q + < 0. q Situer alors les différets termes de la suite par rapport à.. a. Vérifier que, pour tout ombre réel de l itervalle [ ; ], o a l égalité : f( ) f( ) =. ( + )(+ ) Démotrer que f( ). b. E déduire que, pour tout etier aturel, o a : q+ q ; q q0 ; et efi q.. Démotrer que la suite ( q) IN coverge vers.
C. Récréatio. Découpage Das l imprimerie, les stadards usuels du papier, désigés par A0, A, A,..., ot été défiis de telle sorte qu ue feuille et ue demi feuille aiet le même format. Quel est ce format? feuille demi feuille Sachat que l aire d ue feuille de papier A0 est de m, calculer ses dimesios. Quelles sot les dimesios d ue feuille de papier de type A? C Sur ue feuille de papier de type A, tracer les deu carrés C et C idiqués par le schéma. Quel est le format du rectagle restat? C D. Récréatio. Algorithme de Babyloe Début Choisir u ombre positif quelcoque, de préférece «simple» et pas trop éloigé de. Calculer le ombre y = 5 Tat que y > 0 + y Predre pour ouvelle valeur de le ombre Début Y Predre pour ouvelle valeur de y le ombre Fi de boucle Fi. Table des valeurs eactes de et y (à compléter) : y iit. boucle 7 7 boucle boucle Dresser la table correspodate des valeurs approchées à 0 5 près. Démotrer que est compris etre et y. Doer ue valeur approchée de à 0 5 près. Y oui +Y Y > 0 5 Afficher Afficher Fi o
Problème. À la poursuite du ombre d or O se propose d approcher le «ombre d or», ( 5 ) +, que l o otera ϕ, à l aide d ue suite de ombres ratioels défiis par l algorithme géométrique décrit ci-cotre. C B B Partat du rectagle OA 0 B 0 C 0 (oté R 0 ) tel que OA 0 = et OC 0 =, o costruit «etérieuremet» le carré A 0 B 0 B A pour obteir le rectagle OA B C 0 (oté R ). De même, à partir du rectagle OA B C 0, o costruit «etérieuremet» le carré C 0 B B C pour obteir le rectagle OA B C (oté R ). Et aisi de suite... C 0 O B 0 A 0 B A A Pour tout etier aturel, o ote respectivemet L et l la logueur et la largeur du rectagle R. O appelle format de R, et o ote q, le quotiet L l. A. Relatio de récurrece. Calculer les si premiers formats et e doer ue valeur approchée à 0 près. Classer ces ombres das l ordre croissat et les comparer à ϕ.. Eprimer les dimesios du rectagle R + e foctio des dimesios du rectagle R. E déduire le format q + de R + e foctio du format q de R. B. Comportemet de la suite ( q ) IN O cosidère la foctio f défiie sur l itervalle [ ; ] par f( ) = +, sa courbe représetative C et la droite d équatio y = das le pla rapporté à u repère orthoormal.. a. Étudier les variatios de la foctio f sur l itervalle [ ; ] et tracer la courbe C (uité graphique : 9 cm). Démotrer que, pour tout ombre réel de l itervalle [ ; ], o a : f (). b. E déduire que, pour tout etier aturel, o a : q. À l aide de la courbe C et de la droite, représeter, sur l ae des abscisses, les premiers termes de la suite.. a. Détermier le poit d itersectio de la courbe C et de la droite. Démotrer que, pour tout ombre réel de l itervalle [ ; ], distict de ϕ, o a : b. E déduire que, pour tout etier aturel, o a : q+ ϕ < 0. q ϕ Situer alors les différets termes de la suite par rapport à ϕ. f( ) f( ϕ ) < 0. ϕ
ϕ. a. Vérifier que, pour tout ombre réel de l itervalle [ ; ], o a : f( ) f( ϕ ) =. ϕ Démotrer que f( ) ϕ ϕ. b. E déduire que, pour tout etier aturel, o a : q+ ϕ q ϕ ; q ϕ q0 ; ϕ et efi q ϕ.. Démotrer que la suite ( q ) IN coverge vers ϕ. C. Récréatio. Modulor Das u «rectagle d or», la logueur est la moyee géométrique etre la largeur et la somme de la logueur et de la largeur. Quel est le format d u rectagle d or? Justifier cette costructio d u rectagle d or dot la largeur est doée. 5