Lcée JNSON DE SILLY 5 septembre 06 DÉRIVTION, ÉTUDE DE FONCTIONS T le STID I TNGENTE À UNE COURBE Soit f une fonction définie sur un intervalle I, dérivable en a où a est un réel de I, et C f sa courbe représentative dans un repère du plan. La droite passant par le point (a; f(a)) de la courbe C f et de coefficient directeur f (a) est appelée la tangente à la courbe C f au point d abscisse a. f(a) j 0 i a x Soit f une fonction définie sur un intervalle I, dérivable en a où a est un réel de I, et C f représentative dans un repère du plan. L équation réduite de la tangente à la courbe C f au point d abscisse a est : sa courbe = f (a) (x a)+ f(a) II DÉRIVÉES DES FONCTIONS DE RÉFÉRENCE f définie sur... f (x) f dérivable sur... Ê k 0 Ê Ê ax+b a Ê Ê x n nx n Ê pour n entier n Ê x Ê x n [0; + [ x n x n+ x x Ê Ê pour n entier n ]0; + [ Ê cosx sinx Ê Ê sinx cosx Ê III DÉRIVÉES ET OPÉRTIONS u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I : (u+v) = u + v (ku) = k u (uv) = u v+uv ( u ) = uu Si n est un entier non nul, (u n ) = nu n u Si la fonction v ne s annule pas sur l intervalle I (si v(x) 0 sur I) ( ) = v ( u ) u v uv v v = v v Page sur 5
Lcée JNSON DE SILLY 5 septembre 06 DÉRIVTION, ÉTUDE DE FONCTIONS T le STID IV DÉRIVÉE ET VRITIONS D UNE FONCTION THÉORÈME Soit f une fonction dérivable et monotone sur un intervalle I de Ê. Si f est constante sur I, alors pour tout réel x appartenant à I, f (x)= 0. Si f est croissante sur I, alors pour tout réel x appartenant à I, f (x) 0. Si f est décroissante sur I, alors pour tout réel x appartenant à I, f (x) 0. Le théorème suivant, permet de déterminer les variations d une fonction sur un intervalle suivant le signe de sa dérivée. THÉORÈME Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I de Ê et f la dérivée de f sur I. Si f est nulle sur I, alors f est constante sur I. Si f est strictement positive sur I, sauf éventuellement en un nombre fini de points où elle s annule, alors f est strictement croissante sur I. Si f est strictement négative sur I, sauf éventuellement en un nombre fini de points où elle s annule, alors f est strictement décroissante sur I. THÉORÈME Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I de Ê et x 0 un réel appartenant à I.. Si f admet un extremum local en x 0, alors f (x 0 )=0.. Si la dérivée f s annule en x 0 en changeant de signe, alors f admet un extremum local en x 0. x a x 0 b f (x) 0 + minimum x a x 0 b f (x) + 0 maximum REMRQUES. Dans la proposition. du théorème l hpothèse en changeant de signe est importante. Considérons la fonction cube définie sur Ê par =x qui a pour dérivée la fonction f définie sur Ê par f (x)=x. f (0)=0 et pour tout réel x non nul, f (x)>0. La fonction cube est strictement croissante sur Ê et n admet pas d extremum en 0. 0 x. Une fonction peut admettre un extremum local en x 0 sans être nécessairement dérivable. Considérons la fonction valeur absolue { f définie sur Ê par = x. x si x 0 f est définie sur Ê par : = x si x<0. f admet un minimum f(0) = 0 or f n est pas dérivable en 0. 0 x Page sur 5
Lcée JNSON DE SILLY 5 septembre 06 DÉRIVTION, ÉTUDE DE FONCTIONS T le STID EXEMPLE : ÉTUDE D UNE FONCTION Soit f la fonction définie sur Ê par = 4x x +.. Étude des limites. Par conséquent, 4x lim lim x + = lim =. De même, lim 4x x = lim =. x + 4 x = 0 d où lim 4x x + =. Calcul de la dérivée f (x). Sur Ê la fonction f est dérivable comme somme et quotient de deux fonctions dérivables. f = u v d où f = u v uv v. vec pour tout réel x, Soit pour tout réel x, u(x)=4x d où u (x)=4 v(x)=x + d où v (x)=x f (x)= 4(x + ) x(4x ) (x + ) = 4x + 4 8x + 6x (x + ) = 4x 6x 4 (x + ) insi, f est la fonction définie sur Ê par f (x)= 4x 6x 4 (x + ). Étude des variations de la fonction f Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée. Étudions le signe de f (x)= 4x 6x 4 (x + ) : Pour tout réel x, (x + ) > 0. Par conséquent, f (x) est du même signe que le polnôme du second degré 4x 6x 4 avec a=4, b= 6 et c= 4. Le discriminant du trinôme est =b 4ac Soit Comme >0, le trinôme admet deux racines : =( 6) 4 4 ( 4)=00 x = b a Soit x = 6 0 8 = et x = b+ Soit x = 6+0 = a 8 Un polnôme du second degré est du signe de a sauf pour les valeurs comprises entre les racines. Nous pouvons déduire le tableau du signe de f (x) suivant les valeurs du réel x ainsi que les variations de la fonction f : x + f (x) + 0 0 + 5 0 Page sur 5
Lcée JNSON DE SILLY 5 septembre 06 DÉRIVTION, ÉTUDE DE FONCTIONS T le STID EXERCICE Soit f la fonction définie sur l intervalle ] [ ;+ par = 8x x 9 x+. On note C f sa courbe représentative dans le plan muni d un repère orthogonal.. a) Déterminer lim, qu en déduit-on pour la courbe C f? x + b) Déterminer lim x +.. On note f la dérivée de la fonction f. Montrer que f (x)= 8x( 8x + x+5 ). Étudier les variations de la fonction f. (x+). EXERCICE La courbe C f ci-dessous représente une fonction f définie et dérivable sur Ê. On note f la fonction dérivée de la fonction f. On sait que : la courbe coupe l axe des abscisses au point et la tangente à la courbe au point passe par le point de coordonnées (0; ); la courbe admet au point B d abscisse une tangente parallèle à l axe des abscisses; la courbe admet pour asmptote l axe des abscisses. C f - - - 0 4 5 6 7 8 9 x - - B. À partir du graphique et des renseignements fournis : a) Déterminer lim x +. b) Déterminer f ( ) et f ().. Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction f. Déterminer laquelle. - - - 0 4 x - - - -4-5 - - - 0 4 x - - - -4-5 -4 - - - 0 x - - courbe C courbe C courbe C Page 4 sur 5
Lcée JNSON DE SILLY 5 septembre 06 DÉRIVTION, ÉTUDE DE FONCTIONS T le STID EXERCICE Soit f la fonction définie sur Ê par : = x x+4 x +. On note C f sa courbe représentative dans le plan muni d un repère.. a) Déterminer lim et lim. x + b) La courbe représentative de la fonction f admet-elle des asmptotes?. Calculer la dérivée de la fonction f.. Étudier les variations de f. 4. Donner une équation de la tangente T à la courbe C f au point d abscisse. EXERCICE 4 La courbe C f ci-dessous représente une fonction f strictement positive et dérivable sur Ê. 4 d B C f d -7-6 -5-4 - - - 0 4 5 6 7 x On sait que : la courbe admet pour asmptote l axe des abscisses en et en +. Les droites d et d sont tangentes à la courbe aux points et B d abscisses respectives et ; La tangente T à la courbe au point d abscisse a pour équation = x +. On note f la dérivée de la fonction f.. Tracer la droite T puis, déterminer f( ) et f ( ).. À partir du graphique et des renseignements fournis, déterminer f () et f ().. Soit g la fonction définie sur Ê par g(x)=. a) Déterminer lim g(x) et lim g(x). x + b) Donner le tableau des variations de la fonction g. c) Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction g au point d abscisse. EXERCICE 5 Soit f la fonction définie ] [ ;+ par = x x x. On note f sa dérivée. x+. Étudier les limites de la fonction f aux bornes de son intervalle de définition. Que peut-on en déduire pour la courbe C f?. Calculer f (x).. Donner le tableau des variations de la fonction f. 4. Déterminer le nombre de solutions de l équation = 0. À l aide de la calculatrice, donner la valeur arrondie à 0 près, des solutions de l équation =0. Page 5 sur 5