UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire 04 05 L Économie Cours de M. Desgraupes Corrigé des exercices de mise à niveau en Mathématiques Séance 0 : Fonctions usuelles Corrigé ex. : Domaine de définition La fonction y = log( x) est définie à condition que x 0 (à cause de la racine carrée) et que x < (à cause du logarithme). On trouve finalement le domaine de définition suivant : D f = [0, 4[ Corrigé ex. : Dérivée On considère la fonction f(x) = log ( (x + )(x ) ). On applique la formule de dérivation du logarithme log(u) = u u. On a ici u(x) = (x + )(x ) = x 3 x + x, d où f (x) = 3x x + et finalement f (x) = 3x x + (x + )(x ) Corrigé ex. 3 : Limite ( Pour calculer la ite exp ), on doit distinguer selon que x tend vers 0 x 0 x par la gauche ou par la droite. Lorsque x 0 +, alors x tend vers + et la ite est celle de e x en +, c est-à-dire 0 +. Lorsque x 0, alors x tend vers et la ite est celle de e x en, c est-à-dire +. Corrigé ex. 4 : Dérivée d une fonction puissance Par définition, la fonction s écrit : On en déduit la dérivée : f(x) = x = e x log() f (x) = log() e x log() = log() x
Corrigé ex. 5 : Limites indéterminées 5-) On procède par équivalents : x + x log(x4 + x + ) = car le monôme x l emporte sur le logarithme. x + x log(x4 ) = 4log(x) = 0 x + x 5-) x 0 x log(x) On a ici une forme indéterminée de la forme 0, mais le monôme x l emporte sur le logarithme et la ite est finalement 0. 5-3) Par équivalents, on a : x + x log(x + x) = x + x log(x ) = x log() = log() x + x 5-4) Encore par équivalents : log(x + ) log(x ) = x + log x x + log x = log(x) x + log x = Corrigé ex. 6 : Composée de fonctions homographiques Monter que la composée de deux fonctions homographiques est homographique. On considère deux fonctions homographiques f(x) = ax + b cx + d Calculons la composée f g : et (f g)(x) = f ( g(x) ) g(x) = px + q rx + s = a g(x) + b c g(x) + d a px + q = rx + s + b c px + q rx + s + d a(px + q) + b(rx + s) = c(px + q) + d(rx + s) (ap + br)x + aq + bs = (cp + dr)x + cq + ds Cette dernière expression est bien de la forme Ax + B Cx + D homographiques. qui caractérise les fonctions
Corrigé ex. 7 : Points fixes 7-) On considère la fonction homographique f(x) = 3x 8 x 3. Sa dérivée est f (x) = (x 3). Représentation graphique : f(x) = 3x 8 x 3 0 7-) Pour trouver les points fixes, il faut résoudre l équation f(x) = x. On en déduit 3x 8 x 3 = x 3x 8 = x(x 3) x 6x + 8 = 0 Ce dernier polynôme se factorise en x 6x + 8 = (x )(x 4) Il y a donc deux racines qui sont x = et x = 4 (les points sont représentés en noir sur le graphique). Corrigé ex. 8 : Théorème des gendarmes 8-) On considère la fonction f(x) = tan(x). Sa dérivée est f (x) = cos qui est toujours positive (pour les x qui n annulent (x) pas le cosinus). La dérivée en 0 vaut f (0) =. En l origine, la fonction tan(x) est tangente à la première bissectrice (de pente ) et, pour les valeurs positives de x, se situe au-dessus d elle comme on peut le voir sur le graphique suivant : 3
0.0 0.5.0.5.0 y = tan(x) y = x 0.0 0.5.0.5 On en déduit donc la relation 0 x tan(x) pour tout x [0, π [. 8-) De la même manière que précédemment, on montre que la courbe du sinus sur l intervalle [0, π [ se trouve sous la première bissectrice. On a donc : 0 sin(x) x 8-3) Sur l intervalle [0, π [, le sinus et le cosinus sont positifs. En utilisant les encadrements trouvés aux deux questions précédentes et la définition tan(x) = sin(x) cos(x), on obtient : cos(x) sin(x) x 8-4) On applique le théorème des gendarmes à l encadrement précédent en faisant tendre x vers 0 +. Le cosinus tend vers et la fonction sin(x)/x est donc prise en sandwich entre le cosinus qui tend vers et la borne supérieure. On en déduit que sin(x) = x 0 + x La fonction sinus étant impaire, le résultat reste vrai si x 0. On énonce ce résultat en disant que la fonction sinus est équivalente à x au voisinage de 0. 4
Corrigé ex. 9 : Périodes On dit qu une fonction f a pour période T si f(x + T ) = f(x) pour tout x. La période est le plus petit T non nul qui vérifie cette relation. Le sinus et le cosinus étant de période π, on voit facilement que la fonction f(x) = cos(x) a pour période π et la fonction f(x) = sin(3x) a pour période π 3. Par exemple : f(x + π) = cos ( (x + π) ) = cos(x + π) = cos(x) = f(x) C est la plus petite valeur possible. La tangente étant de période π, on voit de même que la fonction f(x) = tan(4x) a pour période π 4. Corrigé ex. 0 : Les formules de l angle double { cos(x) sin(x) = cos (x) sin (x) = sin(x) cos(x) peuvent s écrire (en remplaçant x par x/) sous la forme : { cos(x) = cos (x/) sin (x/) sin(x) = sin(x/) cos(x/) On pose t = tan(x/) = sin(x/) cos(x/). Calculons t et + t : t = sin (x/) cos (x/) = cos (x/) sin (x/) cos = cos(x) (x/) cos (x/) + t = + sin (x/) cos (x/) = cos (x/) + sin (x/) cos = (x/) cos (x/) En faisant les quotients membre à membre, on obtient : Calculons maintenant le quotient : t + t = sin(x/) cos(x/) cos (x/) t + t = cos(x) = sin(x/) cos(x/) = sin(x) En faisant le quotient des deux formules obtenues, on trouve : tan(x) = sin(x) cos(x) = t + t t + t = t t 5
Finalement, on a obtenu les formules dites de l angle moitié : cos(x) = t + t sin(x) = t + t tan(x) = t t Corrigé ex. : Arc tangente de l inverse On pose, pour x R + : f(x) = arctan ( ) + arctan(x) x On va dériver cette fonction. Sachant que la dérivée de la fonction arctan(x) est x, la formule de dérivation des fonctions composées donne : + ( ) arctan(u) = u + u On obtient donc : f (x) = ( x ) + ( x ) + x + = 0 Puisque f (x) = 0, on en déduit que f(x) = C. Pour trouver la constante C, il suffit de prendre la valeur de f(x) en n importe quel point. Par exemple en x =, on a arctan() = π et on trouve : 4 C = f() = arctan() + arctan() = π 4 + π 4 = π On a donc démontré la formule (pour x R +) : arctan ( ) + arctan x = π x 6