II TP 2 : Guide d onde rectngulire. 15
II.1 Rppels sur l propgtion dns un guide d onde rectngulire Fig. 3 Section du guide d ondes. Le guide d ondes rectngulire est une structure de guidge à un conducteur en forme de tube creux de section rectngulire ( > b, = (22, 86 ± 0, 04) mm pour les guides en TP). Les ondes se propgent suivnt l xe Oz perpendiculire à l figure. y ir (µ, ǫ) O conducteur b x Modes électromgnétiques On rppelle que les chmps E et H, décrivnt le chmps électromgnétique, stisfont les équtions de Mxwell et les conditions ux limites sur l surfce du conducteur (supposé prfit, E est norml ux prois et H est tngent ux prois). On rppelle que dns un guide d onde (rectngulire) seuls certins types d ondes monochromtiques peuvent se propger : on les ppelle des modes. Les modes possibles sont dénommés (selon leurs orienttions pr rpport ux prois) : TE mn (trnsversl électrique), où m, n = 0, 1, 2,...sont des entiers positifs ou nuls, le cs m = n = 0 étnt exclu. TM mn (trnsversl mgnétique), où m, n = 1, 2, 3,...sont des entiers strictement positifs. L résolution des équtions de Mxwell (en tennt compte des conditions ux limites) boutit à l éqution suivnte, relint le vecteur d onde, l pulstion et les prmètres géométriques du guide : ( ) k 2 = ω2 mπ 2 ( ) nπ 2 c (3) 2 b où m et n sont des entiers reltifs u mode considéré. Pour qu il y it propgtion, le vecteur d onde k doit être réel et donc : k 2 0 (rppelons que si k 2 < 0, le vecteur d onde est imginire et on bsorption de l onde : c est une onde évnescente). Cette condition impose que l pulstion ω de l onde (ssociée à l fréquence ν) soit plus grnde que l pulstion de coupure ω c (ssociée à l fréquence de coupure ν c ) : (mπ ) 2 ( ) nπ 2 ω c + = ωc (4) b L éqution 3, qui peut se réécrire selon l première éqution suivnte, permet de définir l longueur d onde dns le guide : λ g = 2π : k k = k 2 0 ( ) mπ 2 ( nπ b ) 2 (5) λ g = λ 0 1 λ2 0 4 ( m 2 2 + n2 b 2 ) (6) 16
(en n oublint ps que le vecteur d onde dns le vide s exprime en fonction de l longueur d onde dns le vide : k 0 = ω = 2π c λ 0 ). On peut donc en déduire l vitesse de phse du mode considéré (reltion de dispersion du guide) : ( ) v ϕ = ω 2 ( ) 2 mπ k = c + nπ b 1 + (7) k 2 Cette vitesse de phse dépend du vecteur d onde : le milieu est dispersif (ce qui peut se voir ussi à l ide de l éqution 6). On se propose, dns ce TP, de déterminer expérimentlement les vritions de l vitesse de phse insi que l fréquence en fonction du vecteur d onde (reltion de dispersion). Dns le cs prticulier où = 2b = 22, 86 ±0, 04 mm, déterminer les expressions des fréquences de coupure et des longueurs d onde ssociées (dns le vide) en fonction de pour les modes suivnts (on donne le couple (m, n)) : 01; 10 et 11. A quelles conditions sur l longueur d onde (on donner églement ces conditions sur l fréquence) -t-on propgtion uniquement du mode 10? Schnt que l fréquence d émission de l diode Gunn vrie entre 8.5 et 11 GHz, conclure sur les conditions précédente (on fer bien ttention à donner les incertitudes). Les chmps du mode TE 10 se propgent vers les z croissnt peuvent se mettre sous l forme : E x = 0 E y = i ωµ π H 0 sin E z = 0 ( ) πx e iωt ikz H x = i k π H 0 sin H y = 0 H z = H 0 cos ( ) πx e iωt ikz ( ) πx e iωt ikz (8) L longueur d onde de ce mode dns le guide est crctérisée pr l éqution : 1 = 1 1 λ2 0 (9) λ g λ 0 4 2 Notion de coefficient de réflexion Le rpport Z 0 = E H = ωµ k des composntes trnsversles E y et H x du chmp est l impédnce crctéristique du guide (unité : ohm). L onde dns le guide est en générl l superposition d une onde incidente (E i, H i ) et d une onde réfléchie en bout de ligne 1 (E r, H r ). Le chmp totl peut se mettre sous l forme suivnte (en posnt α = i ωµ ( πx π sin ) e iωt ) : E y = αh 0 e ikz + αh }{{} 0 Γ 0 e ikz }{{} onde incidentee i onde réfléchiee r H x = αh 0 Z 0 ( e ikz Γ 0 e ikz). 1 suivnt le dispositif, l onde se réfléchit plus ou moins (10) 17
où Γ 0 = Γ 0 e iθ est le coefficient de réflexion en z = 0 (on prend l référence en bout de ligne). Ondes sttionnires, mesure de λ g et Γ L mplitude du chmp électrique E y (éqution 10), pour z vrible, est mximle ux points où les ondes incidentes et réfléchies sont en phse (sns oublier l phse θ du coefficient de réflexion). Cel lieu pour θ + 2kz 0 mod 2π ou encore pour : θ 4πz θ mod 2π soit z p = λ g λ g 4π + pλ g (position des ventres), 2 (11) où p est un entier. L mplitude vut lors E ymx = αh 0 (1 + Γ 0 ). L mplitude de E y est minimle ux points où les ondes incidentes et réfléchies sont en opposition de phse. Cel lieu pour θ π 4πz θ mod 2π soit z q = λ g λ g 4π +λ g 4 +qλ g (position des nœuds), 2 (12) où q est un entier. L mplitude vut lors E ymin = αh 0 (1 Γ 0 ). On supposé que Γ 1, ce qui est le cs lorsque on n utilise que des chrges pssives comme en TP. Remrque : Un isolteur plcé près l émetteur bsorbe l onde réfléchie. Sns lui, l position des nœuds et des ventres serit de plus fixée pr l réflexion sur l émetteur et l onde dns le guide ne serit notble que pour certines fréquences (phénomène de résonnce). Les équtions 11 et 12 permettent de déduire l écrt λ séprnt deux noeuds ou deux ventres : λ = λg. En repérnt l position des noeuds et des ventres, on peut 2 donc en déduire l longueur d onde dns le guide. En outre, l vrition de l mplitude du chmp nous permet d en déduire le module du coefficient de réflexion. Remrques : L mesure des positions des nœuds et des ventres donne λ g, qui bien sûr ne dépend ps de l chrge mis seulement de l fréquence d émission. Le tux d ondes sttionnires est le rpport des mplitudes mximum et minimum τ = E ymx = 1 + Γ. En TP, on fit l hypothèse que le cristl détecteur E ymin 1 Γ fonctionne en régime qudrtique (l tension lue à l oscillo est proportionnelle Vmx u crré du chmp). On obtient lors τ = en mesurnt les tensions ux V min bornes du cristl en un ventre V mx et en un nœud V min. On en déduit ensuite Exemple de chrges Γ = τ 1 τ + 1. (13) Court-circuit Lorsque l chrge est une plque de métl, le chmp E y totl est nul en z = 0 (le chmp est nul dns un métl) et Γ 0 = 1 ( Γ = 1, θ π mod 2π). On dit que l plque joue le rôle d un court-circuit. 18
Chrge dptée Soit une chrge qui bsorbe tout le ryonnement incident. Il n y donc ps de chmp réfléchi : Γ 0 = 0. De telles chrges sont rélisée à l ide d isolnts. II.2 Description du mtériel limenttion de l diode Gunn et du modulteur Fig. 4 Le montge (b) oscilloscope plongeur courtcircuit court-circuit vis diode Gunn isolteur tténuteur vrible modulteur ondemètre ligne de mesure petit morceu chrge chrge dptée L prtie émettrice, l tténuteur vrible et l ondemètre Ligne à fente Prtie émettrice Ligne de mesure Sonde Lignes du chmp électrique On se réfèrer à l pge 8 pour comprendre le fonctionnement des éléments de l chine de montge. L ligne de mesure L ligne de mesure est un système détecteur d ondes sttionnires. Le problème consiste à connître une grndeur proportionnelle u chmp électrique régnnt dns le guide. Prtiquenent, dns le cs du guide d onde, on rélise dns l proi extérieure de l ligne une fente étroite et pr cette fente est introduite une très fine et courte ntenne. Cette dernière, ppelée sonde recueille une très fible prtie de l énergie, proportionnelle en grndeur u crré du chmp électrique qui règne à l endroit où elle se trouve. 19
L fente doit être longitudinle et ne doit ps couper les lignes de cournt pour ne ps trop perturber l onde; cel impose, pour le guide propgent le mode TE 10, que l fente soit rigoureusement dns l xe du grnd côté (Fig. Ligne à fente). En toute rigueur, il y des lignes de cournt coupées et génértion de modes spéciux (Fig. Lignes du chmp électrique). Le cristl détecteur, relié à l ntenne, est constitué d un petit morceu de semiconducteur (silicium mis ussi germnium) sur lequel est posé un fil fin de tungstène ppelé moustche de cht. L tension ux bornes du cristl détecteur est, dns notre cs, proportionnelle à l puissnce moyenne et donc u crré de l mplitude du chmp électrique E. L lecture de l tension délivrée se fit sur un oscilloscope. Vernier (mesure de l position de l sonde). Un chriot porte l sonde et une règle mobile divisée en 10 intervlles de longueur u = 0, 9 mm. L longueur des intervlles de l règle fixe est u = 1 mm. Pour mesurer l bscisse s du point 0 du chriot, on cherche u 0 n le trit n de l règle mobile ligné vec un trit de l règle fixe (n = 7 sur l figure). L bscisse de ce 5 u 6 7 8 trit est s = + nu = s + nu où est l bscisse du trit de l règle fixe juste à guche de s. On en déduit s s s = + n(u u ) = + n 0, 1 mm (s = 60, 7 mm pour l figure). L extremité et les chrges L extrémité du guide ser lissé ouverte ou fermée pr une chrge (une plque métllique, une plque en plexigls ou en bkélite, un fil de soudure, une chrge dptée et un cornet émetteur). L chrge dptée Cette chrge porte ussi les noms d itértive ou crctéristique. Pr définition, elle ne produit ps d onde réfléchie. On lors Γ = 0. On dit qu il y dpttion d impédnce. Observer l intérieur : une lme dont le profil ressemble à celui de l tténuteur vrible y est montée. Cette pièce est tillée en forme de coin et bsorbe progressivement l énergie incidente. Le mtériu qui l constitue peut être n importe quel muvis isolnt : bois, mélnge de poudre de fer vec un lint tel que l prffine ou l rldite. II.3 Mnipultions à effectuer Avertissements On rppelle que tous les résultts numériques doivent être ccompgnés de leurs incertitudes. L demnde Donner incertitude est donc toujours sousentendue. 20
Avnt de mettre sous tension l limenttion de l diode Gunn, plcer le potentiomètre de réglge à 0. Cel permet de porter progressivement l tension de l diode de 0 à 8 V (ou 6 V) en évitnt des surtensions néfstes pour l diode. On veiller à régler l puissnce émise (gir sur l tténuteur réglble) de fçon à ne ps dépsser 40 mv sur l oscilloscope pendnt toutes les mnipultions (pour éviter l sturtion et l détériortion du cristl détecteur). Mesure de l longueur d onde λ 0 Plcer en bout de ligne une plque métllique. Pour plusieurs fréquences (à déterminer à chque fois vec précision à l ide de l ondemètre) déterminer l longueur d onde dns le guide (en déplçnt le cristl détecteur), le vecteur d onde et l pulstion. En déduire l vitesse de phse. Représenter sur un grphique l évolution de l vitesse de phse et de l fréquence en fonction du vecteur d onde. Commenter. Etude du coefficient de réflexion A l ide de l première prtie, on déterminer pour une fréquence donnée (à préciser) le module du coefficient de réflexion pour les chrges suivntes : 1. Plque métllique (court-circuit). 2. Chrge dptée. 3. Extrémité libre (bsence d obstcle). 4. Cornet émetteur. 5. Plque en bkélite ou en plexigls. 6. Extrémité prtiellement obturée (plcer l plque portnt le fil à l extrémité de l ligne, le fil étnt verticl et prllèle u chmp.) On commenter les résultts trouvés, en les comprnt à ceux ttendus. 21