Cntrl PC I BIOPHYSIQUE E LA BACTERIE ESCHERICHIA COLI Prti I : Till critiqu d un bctéri érobi I.A) nsité prticulir n dioygèn u voising d l bctéri I.A.1) Loi d Fick : = grdn : nombr d prticuls pr unité d surfc t d tmps (m s 1 ) I.A.) r (S) n t = u r φ(r) = (s).ds n t, flu ntrnt d prticuls à trvrs (S). En régim sttionnir t n l bsnc d sourcs, φ(r) n dépnd ps d r (div = ). où : φ = (r) 4 Πr I.A.3) On : φ = φ(r = R ) = φ(r ) Avc l loi d Fick : t pr intégrtion d r = R à r : dn φ = 4 Πr dn = dr n n 1 dn = φ R 4 Π dr r φ 4 Π dr r n n 1 = φ 4 ΠR Pr illurs : n = N A C où : n 1 = N A C φ 4 ΠR I.B) Till critiqu d l bctéri I.B.1) Soit N(t) l nombr d moléculs d dioygèn dissous dns l sphèr d ryon R : Pg 1 Frnçois MORAN EduKlub S.A. Tous droits d l utur ds œuvrs résrvés. Suf utoristion, l rproduction insi qu tout utilistion ds œuvrs utr qu l consulttion individull t privé sont intrdits. Etrit grtuit d documnt, l documnt originl comport 5 pgs. 1
dn = mna A φ dt nombr d moléculs d dioygèn consommés pr unité d tmps (s 1 ) dn En régim prmnnt : = dt où : φ = mn A A = µ 3 4 ΠR 3 N A A I.B.) On n déduit : n 1 = N A C 3 1 µr N A A onc n 1 diminu si R ugmnt : lorsqu l bctéri grossit, ll consomm plus d dn dioygèn, donc φ ugmnt insi qu. dr I.B.3) Pour qu l bctéri n suffoqu ps, il fut : n 1 R R C = 1 3 C On m s molm qui s prim n 3 1 1 µa kgm molkg s l prssion ci-dssus. 3 C µa, soit n m, c qui ssur l homogénéité d A.N. : R C = µm > R = 1 µm, c qui ssur qu l bctéri E. Coli n suffoqu ps. I.B.4) L nombr d moléculs consommés pr unité d tmps pr l bctéri st : mn A A = φ Soit : φ = 3 4 ΠRC 3 µn A A A.N. : φ = 1 1 s 1 Pg Frnçois MORAN EduKlub S.A. Tous droits d l utur ds œuvrs résrvés. Suf utoristion, l rproduction insi qu tout utilistion ds œuvrs utr qu l consulttion individull t privé sont intrdits. Etrit grtuit d documnt, l documnt originl comport 5 pgs.
Prti II : Propriétés élctrosttiqus d l mmbrn d l bctéri II.A) Etud préliminir : longuur d by dns un élctrolyt II.A.1) E plqu Cl N Plqu σ L plqu cré un chmp uniform E = u sin d l élctrolyt ; c chmp déplc ε ls ctions N slon, t ls nions Cl slon. n () n () n * Au voising d l plqu : ρ() = (n () n ()) > * Loin d l plqu ( >> λ) : ρ() (élctronutrlité) II.A.) d(n ) = d( n ) = (loi d Fick) II.A.3) Ls vcturs dnsité d cournt d ctions t d nions sont donnés rspctivmnt pr : = n = n ( v = n µ E v ) = n µ E II.A.4) Equtions d Mwll d l élctrosttiqu : div E = ε ρ rot E = ψ tq E = grd ψ Pg 3 Frnçois MORAN EduKlub S.A. Tous droits d l utur ds œuvrs résrvés. Suf utoristion, l rproduction insi qu tout utilistion ds œuvrs utr qu l consulttion individull t privé sont intrdits. Etrit grtuit d documnt, l documnt originl comport 5 pgs. 3
II.A.5) ) A l équilibr : = = Soit : dn dψ n µ = dn dψ n µ = Ou ncor : dn dψ = µ dn dψ = µ n n b) On put intégrr ls rltions ci-dssus : dn n dn n vc ψ( ) = n( ) = n, on obtint : µ = dψ µ = dψ n () = n p µ n µ () = n p ψ() ψ(y) µ c) Avc = k T B µ = k BT On rtrouv un distribution d ions obéissnt à l loi sttistiqu d Mwll Boltzmnn : ξ() n () = n p k T B _ ξ() n () = n p k T B, ξ = ψ, ξ = ψ Pg 4 Frnçois MORAN EduKlub S.A. Tous droits d l utur ds œuvrs résrvés. Suf utoristion, l rproduction insi qu tout utilistion ds œuvrs utr qu l consulttion individull t privé sont intrdits. Etrit grtuit d documnt, l documnt originl comport 5 pgs. 4
II.A.6) ) ρ() = [n () n ()] ψ() Soit : ρ() = n sh k BT Et : ρ() n k T B ψ() si ψ () << k B T b) div E = ε ρ E = grd ψ Δψ = ε ρ (éqution d Poisson) d ψ c) On n déduit : = n ε k T B ψ() En posnt : λ ε k BT = n d ψ 1, on obtint : λ ψ = d) L solution st : ψ() = ψ 1 /λ ψ /λ ψ : ψ = dψ = = σ ff ε /λ = λ 1 ψ1 Ainsi : ψ() = λσ ff ε /λ σ ff st l chrg surfciqu ds ions u voising d l plqu, où sont ccumulés ls ctions N : σ. ff > σ ff d ψ ) On lors : ρ() = ε = λ λ s intrprèt donc comm un distnc crctéristiqu d écrntg ds ffts élctrosttiqus d l plqu sur l élctrolyt : pour >> λ, ρ(). /λ II.B) Réprtition ds chrgs d prt t d utr d l mmbrn d l bctéri II.B.1) On obtint l llur d ψ() à prtir d : dψ E() = Pg 5 Frnçois MORAN EduKlub S.A. Tous droits d l utur ds œuvrs résrvés. Suf utoristion, l rproduction insi qu tout utilistion ds œuvrs utr qu l consulttion individull t privé sont intrdits. Etrit grtuit d documnt, l documnt originl comport 5 pgs. 5
d ρ() ψ() 1 3 4 5 6 E() d C de II.B.) On obtint ρ() pr : ρ() = ε (ρ null si E = cst, ρ miml n t 5, points d inflion d E()). II.B.3) ) A l tériur comm à l intériur, l potntil élctrosttiqu ψ() s stbilis à un distnc d l mmbrn d l ordr d l longuur d by λ ; c st dns ctt région qu ds chrgs volumiqus pprissnt : εk BT d C λ n b) On : n = (n n ) N (M A N C NCl M Cl ) N A C NCl = 5 gl 1 A.N. : d C = 1,5 nm = 6 4 = 3 1 Comm d C << d, on put considérr qu ψ = cst u voising d l mmbrn : l potntil d mmbrn st donc l différnc d potntil ntr l miliu tériur t l crytoplsm (cf. II.C)). II.C) Potntil d rpos d l mmbrn II.C.1) int ρ K int t ρ K int Mmbrn E Comm ρ > K int ρ : E = E(), E() > K t ( E orinté ds zons ls plus chrgés vrs ls zons ls moins chrgés). II.C.) ) On intègr l rltion fourni pr l énoncé : dψ = k B T dn Δψ = ψint ψ t = n k B T n ln t n int Pg 6 Frnçois MORAN EduKlub S.A. Tous droits d l utur ds œuvrs résrvés. Suf utoristion, l rproduction insi qu tout utilistion ds œuvrs utr qu l consulttion individull t privé sont intrdits. Etrit grtuit d documnt, l documnt originl comport 5 pgs. 6
b) A.N. : dψ =,1 V (bon ordr d grndur d un potntil d mmbrn). Prti III : Propulsion d un micro-orgnism pr flgll III.A) Chut d un bâtonnt dns un fluid visquu III.A.1) * Bâtonnt vrticl : g d v // m = P η λ // v // v // = dt n régim prmnnt P ηλ // z v // u * Bâtonnt horizontl : d v m = P η λ v dt u g onc d mêm, n régim prmnnt : v = P ηλ z v Comm v // = v : τ = λ = λ // III.A.) On sit qu l forc d viscosité dns un écoulmnt lminir d chmp d vitsss v = v(y) st donné pr : dv df = η ds dy onc : [λv] = III.A.3) Cs générl : dv S, soit : [λ] = [L] t α = 1 dy λ // = KL λ = KL g F = η [λ v λ // v // ] = KLη [ v v // ] vc : v // = ( v. u ) u z v u v = v v // Ainsi : F = KLη [ v v // ] Pg 7 Frnçois MORAN EduKlub S.A. Tous droits d l utur ds œuvrs résrvés. Suf utoristion, l rproduction insi qu tout utilistion ds œuvrs utr qu l consulttion individull t privé sont intrdits. Etrit grtuit d documnt, l documnt originl comport 5 pgs. 7
III.B) Propulsion d un bctéri pr flgll ; spct cinémtiqu III.B.1) ) Pour un tour complt d l hélic, l bctéri s déplc du ps Πh d l hélic : d = Πh. d Ωd Ainsi : v = = = Ωh τ Π A.N. : v = 7 µms 1 b) R = µv 1 5 << 1 η III.B.) ) L point M décrit un crcl d ryon à l vitss ngulir Ω : v = Ω θ b) d OM dr = ; u = dθ dom ds = 1 h ( r, θ, z ) hdθ h Puis : v. u = v h = Ω h Ω Alors : v // = ( v. u ) u = [ θ h z ] h III.C) Eistnc d un forc propulsiv III.C.1) ) Avc dl = h dθ : df 1 = 4 Πη Ω h Ω θ ( θ h z ) dθ h Soit : d F 1 = 4 Πη ( r, h Ωdθ θ, h h z ) h Pg Frnçois MORAN EduKlub S.A. Tous droits d l utur ds œuvrs résrvés. Suf utoristion, l rproduction insi qu tout utilistion ds œuvrs utr qu l consulttion individull t privé sont intrdits. Etrit grtuit d documnt, l documnt originl comport 5 pgs.
( Π θ dθ = ). p b) L intégrtion sur un nombr ntir d tours donn un forc résultnt slon z Alors : F 1 = 4 Πη h h h Ω Πp z Soit : F 1 = 4 Πη h h LΩ z onc, si Ω >, l forc rcé pr l fluid sur l flgll st propulsiv slon z. III.C.) Pr linérité : F = F 1 F, soit : F = 4 ΠηL h h hω v z III.C.3) ) T F = 3 R h L( h ) A.N. : T F =,4 << 1 s écrit : b) En néglignt l forc d trîné sur l sphèr, l éqution d son mouvmnt d v m dt = F Π A P Comm µ bctéri µ u : Π A P = En régim prmnnt : d v dt =, donc F =, c qui donn : h h v P = Ω z A.N. : v 1 P = 31µms (mêm ordr d grndur qu l résultt grossir Ωh d l qustion III.B.1)), l forc d trîné étnt cpndnt moins fficc qu un simpl vissg pour fir vncr l bctéri. III.) Aspct énrgétiqu III..1) dm = OM (d F 1 df ) Pg 9 Frnçois MORAN EduKlub S.A. Tous droits d l utur ds œuvrs résrvés. Suf utoristion, l rproduction insi qu tout utilistion ds œuvrs utr qu l consulttion individull t privé sont intrdits. Etrit grtuit d documnt, l documnt originl comport 5 pgs. 9
III..) émontrons l résultt donné pr l énoncé. Pour c fir, on plicit d F : df = 4 Πη vh v P z u dl h Ainsi : dm. z = df 1θ df θ hθ df 1z df z 1 = (df 1θ df θ ) vc : F 1θ = 4 Πη h dθ h Ω h F θ = 4 Πηv P h h dθ = 4 Πη 3 h Ωdθ h ( h ) Après simplifictions, on obtint bin l résultt fourni pr l énoncé (M z = ΠP dm. z ). A.N. : M z = 4,4 1-1 Nm III..3) P m = M z Ω = 3,1 1 15 W Prti IV : Motur rottif biologiqu IV.A) Sourc d énrgi du motur IV.A.1) Pour un trnsformtion monobr monothrm : ΔG = ΔU pδv TΔS Avc : ΔU = ( pδv W') Q Q ΔS T W' : trvil «rçu» utr qu clui ds forcs d prssions où : ΔG W' (ou ΔG W' = W) Il y églité dns l cs d un trnsformtion révrsibl. IV.A.) L pssg ds protons st révrsibl : δw = dg Pg 1 Frnçois MORAN EduKlub S.A. Tous droits d l utur ds œuvrs résrvés. Suf utoristion, l rproduction insi qu tout utilistion ds œuvrs utr qu l consulttion individull t privé sont intrdits. Etrit grtuit d documnt, l documnt originl comport 5 pgs. 1