Isométries affines et vectorielles

Chapitre 3 Isométries affines et vectorielles Objectifs de ce chapitre 1. Rappels sur les isométries vectorielles.. Groupe orthogonal en dimension et 3. Détermination d une isométrie vectorielle en dimension et 3. 3. Réduction d une isométrie vectorielle en dimension quelconque. 4. Angles. 5. Isométries affines euclidiennes. Théorème de structure, cas de la dimension et 3. 3.1 Isométries vectorielles Définition 3.1.0.1 (Isométries affines). Soit (X, E, +,(..)) un espace affine euclidien. On appelle isométrie affine de X toute application affine f : X X qui conserve la distance induite par le produit scalaire (A,B) X X, d( f (A), f (B)) = d(a,b). L application linéaire sous jacente est une isométrie vectorielle, faisons des rappels sur les isométries vectorielles. 3.1.1 Isométries vectorielles Proposition 3.1.1.1. Soit E un espace vectoriel euclidien. Soit f : E E une application. Si f vérifie ( u, v) E, ( f ( u) f ( v)) = ( u v). alors f est linéaire et bijective. Respecter les distances entraîne des propriétés structurelles fortes. Démonstration. Montrons que l application f est linéaire. Considérons pour cela deux vecteurs u et v et un réel λ. Montrons que les vecteurs f (λ u+ v) et λ f ( u)+ f ( v) sont égaux. Pour cela on montre que le carré de la norme de la différence est nul : f (λ u + v) λ f ( u) f ( v) = 0. Il suffit de développer cette norme et d appliquer l hypothèse pour obtenir f (λ u + v) λ f ( u) f ( v) = (λ u + v) λ u v = 0. Si u appartient au noyau de f alors f ( u) est nul donc sa norme au carré est nulle donc par hypothèse sur f celle de u est nulle. Ceci montre que ker f est réduit à 0, donc f est injective et l espace étant de dimension finie, elle est bijective, par application du théorème du rang. 1

CHAPITRE 3. ISOMÉTRIES AFFINES ET VECTORIELLES Définition 3.1.1. (Isométries vectorielles). Soit E un espace vectoriel euclidien. Une isométrie vectorielle est une application linéaire bijective qui respecte le produit scalaire : ( u, v) E, ( f ( u) f ( v)) = ( u v). Proposition 3.1.1.3 (Caractérisation). Soit E un espace euclidien. Une application linéaire f : E E est une isométrie si et seulement si f est bijective et f = f 1 où f est l adjoint de f. Une application linéaire f : E E est une isométrie si et seulement si elle envoie une base orthonormée sur une base orthonormée. Si c est le cas elle envoie toute base orthonormée sur une base orthonormée. La matrice d une isométrie dans une base orthonormée est une matrice orthogonale. Démonstration. En effet supposons que f soit une isométrie. Considérons u et v deux vecteurs de E. Par ce qui précède f est inversible. En écrivant v = f ( f 1 ( v)) et en appliquant la définition nous obtenons : ( f ( u) v) = ( f ( u) f ( f 1 ( v))) = ( u f 1 ( v)), ce qui par définition et unicité de l adjoint signifie que l adjoint de f est f 1. Réciproquement si f est inversible d adjoint f 1 alors pour tous vecteurs u et v nous avons directement par adjonction ( f ( u) f ( v)) = ( u v). Soit ( e i ) une base orthonormale de E. Si f est une isométrie alors pour tout i, j nous avons ( f ( e i ) f ( e j )) = ( e i e j ), ce qui prouve que ( f ( e i )) est une famille orthonormée. Cette famille est donc libre et est donc une base car son cardinal est égal à la dimension de l espace. Réciproquement fixons une base orthonormée ( e i ) et deux vecteurs u et v. Ces vecteurs se décomposent comme suit : et dim E u = i=1 dim E v = i=1 Si f linéaire envoie la base ( e i ) sur une base orthonormée alors dim E ( f ( u) f ( v)) = i, j=1 ( u e i ) e i ( v e i ) e i. dim E ( u e i )( v e j )( f ( e i ) f ( e j )) = i=1 ( u e i )( v e i ) = ( u v), donc f est une isométrie. Si f linéaire envoie une base orthonormée sur une base orthonormée alors f est une isométrie par ce qui précède et donc envoie toute base orthonormée sur une base orthonormée. La matrice d une isométrie dans une base orthonormée est une matrice orthogonale car les colonnes forment une base orthonormée puisque une isométrie envoie une base orthonormée sur une base orthonormée. Définition 3.1.1.4 (Groupe orthogonal - Groupe spécial orthogonal). Soit E un espace vectoriel euclidien. Une isométrie vectorielle est bijective. L ensemble des isométries forme un groupe pour la composition appelé groupe orthogonal et noté O( E). Les isométries vectorielles de déterminant 1 forment un sous groupe du groupe orthogonal appelé groupe spécial orthogonal et noté SO( E). On dira que ces isométries sont directes ou positives.

3.1. ISOMÉTRIES VECTORIELLES 3 Exemple 3.1.1.5 (Symétries orthogonales). Soit E un espace euclidien et F un sous espace de E. On appelle symétrie orthogonale l application linéaire s F : { s F F = id F s F F = id F. La symétrie orthogonale s F est une isométrie vectorielle, en particulier dans une base B formée d une base orthonormale de F et d une base orthonormale de F, la matrice de s F est mat B s F = ( Ir 0 0 I n r où r est la dimension de F. La symétrie s F est directe si et seulement si son déterminant vaut 1 c est à dire la codimension de F est paire. Une symétrie orthogonale f vérifie f f = id E, on dit que f est une involution. Toute involution de O( E) est une symétrie orthogonale. En effet si une isométrie est une involution alors par définition elle est annulée par le polynôme X 1, elle est donc diagonalisable sur R (car X 1 est scindé à racines simples sur R) et ses valeurs propres appartiennent à { 1,1}. De plus les espaces propres sont orthogonaux : si u ker( f id E ) et v ker( f + id E ) alors on a par définition des vecteurs propres et d une isométrie : ) ( u v) = ( f ( u) f ( v)) = ( u v). Ce qui mène à ( u v) = 0. Nous pouvons alors conclure qu une isométrie involutive f est la symétrie orthogonale par rapport à ker( f id E ). Une symétrie orthogonale par rapport à un hyperplan est appelée réflexion ou symétrie hyperplane. Si la codimension de F est, alors la symétrie s F est appelée retournement. Si la dimension de E est 3, alors un retournement est la symétrie par rapport à une droite.

4 CHAPITRE 3. ISOMÉTRIES AFFINES ET VECTORIELLES 3.1. Groupe orthogonal en dimension Proposition 3.1..1. Soit U le groupe des complexes de module 1 : L application U = {z C z = 1}. Φ : U ( SO(,R) ) a b e iθ = a + ib b a est un isomorphisme de groupes. En particulier le groupe SO(,R) est commutatif. Démonstration. Notons tout d abord que les éléments du groupe orthogonal sont de la forme ( ) ( ) a b a b ou. b a b a avec a + b = 1. En effet les colonnes doivent être orthogonales et de norme 1. Les matrices du premier type sont de déterminant 1 et sont donc les éléments du groupe spécial orthogonal. L application Φ est donc bien définie, surjective et clairement injective. C est donc une bijection. Enfin il est immédiat de vérifier que Φ est un morphisme de groupes. Proposition 3.1... Soit E un espace euclidien de dimension. L ensemble O( E) \ SO( E) est l ensemble des isométries de déterminant -1. Ce sont les symétries orthogonales par rapport aux droites vectorielles de E. Démonstration. En effet considérons une isométrie du plan E qui ne soit pas directe, son déterminant vaut 1 et par la preuve précédente sa matrice dans une base orthonormée est de la forme ( ) a b A =. b a Le carré de cette matrice vaut l identité, par conséquent cette matrice est une involution, donc f est une involution et par ce qui précède c est une symétrie orthogonale. Proposition 3.1..3. Soit E un espace euclidien de dimension orienté. Soit f SO( E). La matrice de f est la même dans toute base orthonormée B de E, compatible avec l orientation. En particulier, il existe θ appelé angle de la rotation et défini à kπ près tel que ( cos(θ) sin(θ) mat B f = sin(θ) cos(θ) Les isométries de E sont des rotations dont l angle est fixé (modulo π) dès que E est orienté. Démonstration. En effet la matrice de passage entre deux bases orthonormées de même orientation B et B est une matrice P du groupe spécial orthogonal, par conséquent par commutativité de SO(,R) on a ). ( mat B f = t cos(θ) sin(θ) P mat B f P = mat B f = sin(θ) cos(θ) Si on change d orientation θ est changé en θ. En effet si on considère une base orthonormale d orientation opposée, la matrice de passage sera alors une matrice orthogonale Q de déterminant 1 et l on a ( )( )( ) ( ) t c d cos(θ) sin(θ) c d cos( θ) sin( θ) Q mat B f Q = = d c sin(θ) cos(θ) d c sin( θ) cos( θ) Par conséquent nous observons que l isométrie f n a dans des bases orthonormées que deux matrices suivant qu elles soient bien orienté ou non. Ainsi, fixer une orientation du plan permet de mesurer l angle. ).

3.1. ISOMÉTRIES VECTORIELLES 5 3.1.3 Groupe orthogonal en dimension 3 Proposition 3.1.3.1. Soit E un espace vectoriel euclidien de dimension 3 et f O( E). Il existe une base B orthonormée de E telle que ±1 0 0 mat B f = 0 cos(θ) sin(θ) 0 sin(θ) cos(θ) Par conséquent une isométrie de E est : une rotation, si son déterminant vaut 1, la composé d une rotation avec la symétrie orthogonale par rapport au plan orthogonal à l axe de rotation, si le déterminant de l isométrie vaut 1. Pour fixer / mesurer l angle de la rotation, il faut fixer une orientation du plan orthogonal à l axe. Si l espace E est orienté dès le départ, le plan est orienté dès que l axe est orienté, c est à dire dès qu un vecteur directeur de l axe est choisi. Si le vecteur directeur choisi sur l axe de rotation est changé en son opposé alors la mesure de l angle de la rotation sera changée en son opposée car l orientation du plan orthogonal à l axe aura été changée en son opposée. Démonstration. Soit f une isométrie de E. L espace E étant de dimension 3, le polynôme caractéristique de f qui est à coefficients réels admet une racine. Ainsi f admet une valeur propre réelle que l on note λ. Montrons que λ vaut 1 ou 1. Soit u un vecteur propre. Par définition nous avons f ( u) = λ u. De plus comme f est une isométrie nous avons f ( u) = u. Par conséquent λ = 1. Considérons le supplémentaire orthogonal de la droite Vect( u). Ce supplémentaire est stable sous f. En effet soit v un élément du supplémentaire. Par adjonction nous obtenons ( f ( v) u) = ( v f 1 ( u)) = λ 1 ( v u) = 0, ce qui montre que f ( v) est dans l orthogonal de la droite Vect( u). Ainsi, si l on considère une base orthonormée B de E formée du vecteur u (que l on peut supposer normé) et d une base de Vect( u) on a ±1 0 0 ±1 0 0 mat B f = 0 a b ou 0 c d. 0 b a 0 d c Le premier cas est le résultat du théorème. Dans le deuxième cas la matrice de la restriction de f au sous espace Vect(u) : ( ) c d d est une matrice de symétrie orthogonale par rapport à une droite Vect( v). Soit w un vecteur orthogonal à cette droite dans le plan Vect( u). La matrice de f dans la base ( u, v, w) (qui est orthogonale et que nous prenons orthonormée) est donc de la forme ±1 0 0 mat ( u, v, w) f = 0 1 0 0 0 1 qui a permutation des vecteurs de base près est du type voulu. Proposition 3.1.3.. Soit E un espace euclidien de dimension 3 orienté. Soit f une rotation d axe Vect( u) ( u normé) et d angle θ. Alors f se décompose comme suit : c f = cos(θ)id E + (1 cos(θ))( u.) u + sin(θ)( u.). En effet, considérons une base orthonormée directe ( u, v, w) avec w = u v. Nous avons alors : 1 0 0 1 0 0 1 0 0 mat u, v, w ( f ) = 0 cos(θ) sin(θ) = cosθ 0 1 0 + (1 cosθ) 0 0 0 + sinθ 0 sin(θ) cos(θ) 0 0 1 0 0 0 et donc nous obtenons l égalité suivante qui permet de conclure : mat u, v, w f = cos(θ).mat u, v, w id E + (1 cos(θ)).mat u, v, w (( u.) u) + sin(θ).mat u, v, w ( u.). 0 0 0 0 0 1 0 1 0.

6 CHAPITRE 3. ISOMÉTRIES AFFINES ET VECTORIELLES Méthode pour identifier un élément de O(3) 1. On commence par vérifier que la matrice est orthogonale en montrant que les vecteurs colonnes de la matrice forment bien une famille orthonormée.. Nous savons que le déterminant est soit 1 soit 1. Par conséquent pour déterminer lequel des deux on peut choisir l un des trois procédés suivants. (a) Calculer le déterminant. (b) Calculer le produit vectoriel des deux premiers vecteurs. Si on obtient le troisième vecteur colonne alors le déterminant vaut 1 car les colonnes de la matrice forment alors une base orthonormée directe. Si on obtient l oppposé du troisième vecteur colonne alors le déterminant vaut 1. (c) Utiliser la formule A 1 = 1 t Com(A) = t A. deta La dernière égalité n étant vraie que dans le cas d une matrice orthogonale. 3. Si le déterminant vaut 1, la matrice A est une matrice de rotation. Afin de déterminer l axe et l angle de la rotation on utilise la proposition 4.1.3.. (a) Déterminons l axe et sinθ. On considère la composante anti-symétrique de la matrice A t A qui est de la forme A t 0 r q 0 0 0 A = r 0 p 0 0 sinθ. q p 0 0 sin θ 0 Le vecteur a de R 3 dont les coordonnées dans la base canonique de R 3 sont de l axe de rotation, nous le choisissons pour orienter l axe. Le sinus de l angle de la rotation sera sinθ = a. Nous avons et A t A = 0 r q r 0 p q p 0 mat u, v, w ( a.) = = mat C ( a.) 0 0 0 0 0 sinθ 0 sin θ 0 où C désigne la base canonique de R 3 et ( u, v, w) est une base orthonormale directe. (b) On détermine l angle θ (modulo π) grâce à la formule tr(a) = 1 + cosθ. p q r est un vecteur directeur 4. Si le déterminant vaut 1 alors A est de déterminant 1 et est donc une matrice de rotation. On se ramène donc au cas précédent en composant avec id.

3.1. ISOMÉTRIES VECTORIELLES 7 Groupe orthogonal en dimension quelconque La preuve du théorème de struture des éléments de O(3) met en évidence les deux propositions générales suivantes : Proposition 3.1.3.3. Soit E un espace euclidien et f une isométrie. Si un sous espace vectoriel F de E est stable par f alors F est stable sous f. Démonstration. Soit f une isométrie d un espace euclidien E et F un sous espace stable par f. L isométrie f étant un isomorphisme de E, sa restriction à F est un isomorphisme de F. Ceci montre en particulier que F est stable par f 1. Considérons un vecteur v F et u F. Les vecteurs f ( v) et u sont orthogonaux par adjonction et par la remarque précédente : car F étant stable par f 1 donc f 1 ( u) appartient à F. ( f ( v) u) = ( v f 1 ( u)) = 0, Proposition 3.1.3.4. Soit E un espace euclidien et f une isométrie. Les valeurs propres complexes de f sont de module 1. Démonstration. Soit λ une valeur propre de f et u un vecteur propre associé. Nous avons alors les égalités : qui permettent de conclure. u = f ( u) = λ u, Proposition 3.1.3.5. Soit E un espace euclidien de dimension n et f O( E). Il existe une base orthonormée de E dans laquelle la matrice de f à la forme suivante I p I q A 1... où p + q + r = n et les A i sont des matrices de rotation : ( cos(θi ) sin(θ A i = i ) sin(θ i ) cos(θ i ) Démonstration. La preuve se fait par récurrence sur la dimension. Initialisation, dim E {1,,3}. Nous avons déjà prouvé le théorème en dimension et 3. Le cas de la dimension 1 est immédiat. Hypothèse de récurrence (forte). Fixons un entier n 4 et supposons que le théorème soit vrai dans le cas d un espace euclidien de dimension inférieure ou égale à n. Considérons un espace E de dimension n+1 et f une isométrie. Montrons un lemme général : Lemme 3.1.3.6. Soit E un espace vectoriel sur R de dimension finie et g un endomorphisme. L endomorphisme g admet une droite stable ou un plan stable. Démonstration. En effet considérons un polynôme annulateur de g 1, noté P = P 1...P l où les P i sont irréductibles sur R. Comme P( g) est le morphisme nul égal à la composée P 1 ( g)...p l ( g) l un des P i ( g) est non injectif. Par exemple, supposons que P 1 ( g) ne soit pas injectif. Ce polynôme est de degré 1 ou de degré avec un discriminant négatif. 1. Celui-ci existe car l espace vectoriel des endomorphismes L(E) est de dimension (dime). Par conséquent la famille (id E, g,..., g (dime) ) est liée ce qui donne l existence d un polynôme annulateur. A r ).

8 CHAPITRE 3. ISOMÉTRIES AFFINES ET VECTORIELLES Si le degré vaut 1, alors P 1 (X) = X a et g admet a comme valeur propre et donc tout vecteur propre associé engendre une droite stable. Si le degré vaut, alors P 1 (X) = X ax b avec a,b R. Soit u kerp 1 ( g), u 0. Le plan Vect( u, g( u)) est stable par g car g ( u) = a g( u) + b u. Par le lemme précédent, l isométrie f admet une droite ou un plan stable noté F. L orthogonal de F noté F est stable par f par la proposition 4.1.3.3. Par définition d une isométrie, les restrictions de f à F et F sont des isométries. En appliquant l hypothèse de récurrence à f F et f F nous obtenons alors une base orthonormée convenable pour F et une base orthonormée convenable pour F. On obtient alors la base voulue par permutation. Conclusion. Le théorème est démontré par le principe de récurrence. Proposition 3.1.3.7. Soit E un espace euclidien. Les symétries hyperplanes engendrent le groupe orthogonal O( E). Plus précisément tout élément de O( E) est la composée d au plus dim E symétries hyperplanes. Remarque 3.1.3.8. Le déterminant d une symétrie hyperplane étant égal à 1, une isométrie est directe si et seulement si elle est engendrée par un nombre pair de symétries hyperplanes. Remarque 3.1.3.9. Ce théorème est à comparer avec l énoncé de théorie des groupes : Le groupe symétrique est engendré par les transpositions. Démonstration. On fait une preuve par récurence sur la dimension de l espace. Si la dimension de l espace vaut 1, il n y a qu une seule symétrie hyperplane u u. L isométrie f est l identité (composée de 0 symétrie) ou f = id qui est une symétrie hyperplane. Soit n 1 un entier. Supposons que le théorème soit démontré pour tout espace de dimension inférieure à n. Supposons que f ne soit pas l identité. Il existe un vecteur u tel que u f ( u). Considérons alors l hyperplan H de normale Vect( u f ( u)). La symétrie hyperplane sh échange u et f ( u). En effet les vecteurs u et f ( u) ayant la même norme car f est une isométrie, les vecteurs u+ f ( u) et u f ( u) sont orthogonaux. Cela montre donc que u+ f ( u) appartient à H. Ecrivant u sous la forme u+ f ( u) + u f ( u) et appliquant sh nous obtenons s H ( u) = u + f ( u) u f ( u) = f ( u). Considérons alors la composée s H f, elle admet u comme point fixe. On considère alors ker(s H f id) l ensemble des points fixes de s H f. L orthogonal de ce sous espace ker(s H f id) est stable par s H f. Considérons l endomorphisme induit (s H f ) ker(s H f id). Cet endomorphisme est encore une isométrie. On applique l hypothèse de récurence : il existe un entier l vérifiant l dimker(s H f id) dim E 1 et l sous espaces vectoriels H 1,..., H l de ker(s H f id) tels que : (s H f ) ker(s H f id) = s H 1 sh l. Considérons alors pour tout i {1,...,l}, H i = H i ker(s H f id). Par conséquent nous avons s H f = s H 1 s H l, car ces applications valent l identité sur ker(s H f id) et sont égales sur ker(s H f id). Donc On déduit le théorème par le principe de récurence. f = s H s H1 s H l.

3.. ANGLES 9 3. Angles 3..1 Angles orientés d un plan euclidien Soit E un plan euclidien. Proposition 3..1.1. Si u et v sont deux vecteurs unitaires de E, il existe une unique rotation R u, v qui envoie u sur v Démonstration. Notons u un vecteur de norme 1 orthogonal à u. Notons v le vecteur de norme 1 orthogonal à v, tel que les bases ( u, u ) et ( v, v ) aient la même orientation. Par conséquent l application qui envoie ( u, u ) sur ( v, v ) est une isométrie positive, c est une rotation qui envoie u sur v. Il y a unicité car une application linéaire est totalement définie par l image d une base et toute rotation envoyant u sur v envoie u sur v. Définition 3..1. (Angles orientés). On considère sur l ensemble des couples de vecteurs unitaires de E la relation R : ( u, v)r ( u, v ) il existe une rotation r O + ( E) telle que r( u) = u et r( v) = v. La relation R est une relation d équivalence. Les classes d équivalences sont appelées angles orientés de E. Notation 3..1.3. Si u et v sont deux vecteurs de E on note alors ( u, v) l angle orienté du couple ( u, v). Proposition 3..1.4. Si u et v sont deux vecteurs unitaires de E alors ( u, v) = ( u, v ) R u, v = R u, v. ( ) Par conséquent pour tout couple de vecteurs unitaires d un plan euclidien E, la rotation R u, v ne dépend que de ( u, v) et pas du choix de u et v. Démonstration. Si les angles ( u, v) et ( u, v ) sont égaux alors il existe une rotation R avec R( u) = u et R( v) = v. On montre que R u, v ( u ) = v en utilisant le fait que le groupe des isométries positives est commutatif : R u, v ( u ) = R u, v (R u) = R(R u, v ( u)) = R( v) = v. Réciproquement si les rotations R u, v et R u, v sont égales, alors on considère la rotation R définie en envoyant u sur u. On montre alors comme ci-dessus que R( v) = v : R( v) = R(R u, v ( u)) = R u, v (R( u)) = R u, v ( u ) = R u, v ( u ) = v. ( ) On peut alors définir une application de l ensemble des angles orientés de E noté A Or vers le groupe des rotations de E par la formule A Or O + ( E) ( u, v) R u, v. Par ce qui précède cette application est une bijection et il existe une unique loi de groupe sur l ensemble des angles orientés de E, loi que l on notera +, telle que cette bijection soit un isomorphisme de groupes. Propriétés de la loi + sur A Or. 1. Son élément neutre est l angle ( u, u) pour tout vecteur unitaire u de E. Cet angle est appellé angle nul.. Si u, v, w sont trois vecteurs unitaires de E alors En effet R u, v R v, w = R u, w. 3. Si u et v est un couple de vecteurs unitaires de E alors ( u, v) + ( v, w) = ( u, w). ( u, v) = ( v, u). 4. Si u est un vecteur unitaire alors ( u, u) ne dépend pas de u et est appelé angle plat. De plus ( u, u) + ( u, u) = ( u, u) + ( u, u) = ( u, u).

10 CHAPITRE 3. ISOMÉTRIES AFFINES ET VECTORIELLES 3.. Mesure d un angle orienté Définition 3...1. Soit E un plan euclidien que l on suppose orienté. Soit u et v deux vecteurs unitaires de E. On définit la mesure de l angle ( u, v), notée Mes( ( u, v)) comme la mesure de l angle de la rotation R u, v. On définit l application mesure comme Mes : A Or Z/πZ ( u, v) Mes( ( u, v)) L application Mes est un isomorphisme de groupes. L applicatio Mes est donc additive. La mesure de l angle plat vaut π, la mesure de l angle nul vaut 0. 3..3 Angles orientés de droites On considère un plan euclidien E. Définition 3..3.1 (Angles orientés de droites). On considère la relation R Dr sur l ensemble des couples de droites vectorielles de E définie comme suit (D, )R Dr (D, ) il existe une rotation r telle que r(d) = D et r( ) =. La relation R Dr est une relation d équivalence et ses classes sont appelées angles orientés de droites. Notation 3..3.. Quelques notations : Si (D, ) est un couple de droites de E, l angle orientés de droites correspondant sera noté (D, ). On note A Dr,Or l ensemble des angles orientés de droites. Le double de l angle plat étant l angle nul, on note H le sous groupe de A Or d ordre engendré par l angle plat. Proposition 3..3.3. L ensemble des angles orientés de droites A Dr,Or est en bijection avec le quotient A Or /H. On peut alors munir l ensemble des angles orientés de droites d une structure de groupe additif pour laquelle on a : Pour trois droites D, D et D de E 1. (D,D) est l élément neutre, noté 0 car indépendant de D,. (D,D ) + (D,D ) = (D,D ), 3. (D,D ) + (D,D) = 0. Démonstration. Soient D,, D, quatre droites de E, dirigées respectivement par quatre vecteurs u, v, u, v. Les angles (D, ) et (D, ) sont égaux si et seulement si ( u, v) = ( u, v ) ou ( u, v) = ( u, v ). Ceci montre que l application est bien définie et injective. Elle est clairement surjective. A Or /H A Dr,Or ( u, v) mod H (Vect( u), Vect( v)) 3..4 Mesure d angles orientés de droites Supposons que E soit orienté. La mesure d un angle plat étant égale à π, on peut alors définir la mesure d un angle orienté de droites de E ; c est un réel qui est bien déterminé modulo π et la mesure des angles orientés de droites est une application additive bijective : A Dr,Or A Or /H Z/πZ (Vect( u),vect( v)) ( u, v) mod H mes ( u, v) mod π.

3.3. ISOMÉTRIES AFFINES EUCLIDIENNES. 11 3..5 Angles non orientés d un plan euclidien Définition 3..5.1 (Angles non orientés de vecteur d un plan euclidien). Soit E un plan euclidien et S la relation définie sur l ensemble des couples de vecteurs unitaires de E par la condition suivante : ( u, v)s( u, v ) il existe une isométrie s de E telle que s( u) = u et s( v) = v. La relation S est une relation d équivalence dont les classes sont appelées angles non orientés de vecteurs de E. Proposition 3..5.. Soit ( u, v) et ( u, v ) deux couples de vecteurs unitaires d un plan euclidien E. On a équivalence entre : 1. Les angles non orientés de vecteurs ( u, v) et ( u, v ) coïncident,. Les angles coïncident : ( u, v) = ( u, v ) ou ( u, v) = ( v, u ) = ( u, v ). Définition 3..5.3 (Mesure d un angle non orienté). Si le plan E est orienté alors la mesure de l angle non orienté de vecteurs ( u, v) est l unique mesure de l angle orienté ( u, v) ou ( u, v ) appartenant [0,π]. 3.3 Isométries affines euclidiennes. 3.3.1 Isométries affines euclidiennes. Définition 3.3.1.1. Soit (X, E,+,(..)) un espace affine euclidien. On appelle isométrie affine euclidienne toute application f : X X qui respecte les distances : A X, B X, d( f (A), f (B)) = d(a,b). Remarque 3.3.1.. Dans la suite nous dirons isométrie affine pour isométrie affine euclidienne. Proposition 3.3.1.3. Soit (X, E,+,(..)) un espace affine euclidien. Pour qu une application f : X X soit une isométrie il faut et il suffit que f soit affine avec sa partie linéaire f appartenant à O( E). Démonstration. Si f est affine avec sa partie linéaire f appartenant à O( E) alors on a d( f (A), f (B)) = f (A) f (B) = f ( AB) = AB = d(a,b). Si f conserve les distances alors fixons une origine A de X et montrons que f est affine. Pour cela montrons que l application f : E E v f (A) f (A + v) est une application linéaire. Pour prouver cela nous montrerons que l application f ainsi définie respecte le produit scalaire, comme nous l avons vu précédemment cela montrera que f est linéaire et donc orthogonale. Par construction nous avons f (0) = 0 et de plus par la relation de Chasles nous avons f ( v) f ( w) = f (A + v) f (A + w). On en déduit que puis que f ( v) f ( w) = d( f (A + v), f (A + w)) = v w, ( f ( v), f ( w)) = ( v, w). Proposition 3.3.1.4. Soit (X, E, +,(..)) un espace affine euclidien. L ensemble des isométries forment un groupe pour la composition noté Isom(X). Une isométrie est dite positive si sa partie linéaire est une isométrie positive. Les isométries positives forment un sous groupe de Isom(X) noté Isom + (X).

1 CHAPITRE 3. ISOMÉTRIES AFFINES ET VECTORIELLES 3.3. Isométries et repères affines Proposition 3.3..1. Soit (X, E,+,(..)) un espace affine euclidien. Pour tout couple de repères affines orthonormés R et R, il existe une unique isométrie affine envoyant R sur R. Si de plus les repères affines ont la même orientation alors cette isométrie est directe. 3.3.3 Structure des isométries Lemme 3.3.3.1. Soit E un espace euclidien et f une isométrie vectorielle. Nous avons alors ker( f id E ) = im( f id E ) et E = ker( f id E ) im( f id E ). Démonstration. En effet, soit x ker( f id E ), on a f ( x) = x donc f 1 ( x) = x et réciproquement. Par conséquent Soit y ker( f id E ) et x E. On a alors par adjonction car f 1 ( y) = y par la remarque précédente. ker( f id E ) = ker( f 1 id E ). ( y f ( x) x) = ( f 1 ( y) y x) = 0 Théorème 3.3.3.. Soit (X, E,+,(..)) un espace affine euclidien. Toute isométrie f s écrit de manière unique sous la forme f = t v g avec 1. f ( v) = g( v) = v ce qui équivant à t v g = g t v.. g est une isométrie qui a un point fixe. Démonstration. Unicité. Si l on dispose de deux décompositions de f : t v1 g 1 = t v g = f avec g 1 (A 1 ) = A 1 et g (A ) = A, montrons alors que v 1 = v. Par la première hypothèse nous déduisons que v 1 v ker( f id E ). De plus par la deuxième hypothèse nous avons Ainsi par la relation de Chasles nous obtenons f (A 1 ) = A 1 + v 1 et f (A ) = A + v. v v 1 = A f (A ) A 1 f (A 1 ) = f ( A 1 A ) A 1 A donc v v 1 appartient à im( f id E ) or par le lemme précédent nous avons im( f id E ) ker( f id E ) = {0} donc v 1 = v. Existence. Fixons A X. L isométrie f s écrit comme la composée f = t A f (A) ĝ avec ĝ défini par : ĝ(a + u) := A + f ( u). Par le lemme précédent nous avons E = ker( f id E ) im( f id E ) on peut alors décomposer le vecteur u sous la forme A f (A) = v + w avec v ker( f id E ) et w im( f id E ). En particulier il existe un vecteur z telque w = f ( z) z. La décomposition cherchée est f = t A f (A) ĝ = (t v t w ) ĝ = t v g avec g := t w ĝ. Il suffit de constater que g a pour point fixe A z : g(a z) = t w ĝ(a z) = A f ( z) + w = A z.

3.3. ISOMÉTRIES AFFINES EUCLIDIENNES. 13 3.3.4 Exemples d isométries et générateurs du groupe des isométries Soit (X, E,+,(..)) un espace affine euclidien. Les translations sont des isométries, car leur partie linéaire est l identité. Définition 3.3.4.1 (Symétrie orthogonale). Soit (X, E, +,(..)) un espace affine euclidien et Y un sous espace affine. On appelle symétrie orthogonale par rapport à Y l application s Y (A) = A + AP Y (A) où P Y (A) est le projeté orthogonal de A sur Y. La partie linéaire de s Y est la symétrie orthogonale s Y. Définition 3.3.4. (Retournement). On appelle retournement toute symétrie orthogonale s Y par rapport à un espace de codimension. Définition 3.3.4.3 (Réflexion, symétrie hyperplane). Une symétrie orthogonale s Y par rapport à un hyperplan affine est appellée réflexion ou symétrie hyperplane. Théorème 3.3.4.4. Soit (X, E,+(..)) un espace affine. Le groupe des isométries affines est engendré par les réflexions. Démonstration. Il y a deux cas à considérer. 1. Par le résultat précédent si une isométrie f a un point fixe on vectorialise en ce point fixe et f apparaît comme composée de réflexions par rapport à des hyperplans passant par ce point fixe.. Si une isométrie f n a pas de point fixe alors on décompose f = t v g où l on fixe O un point de X, v = O f (O) et g : M O + f ( OM) admet O comme point fixe. Par le premier point on peut décomposer g en produits de réflexions. Reste à montrer qu une translation est un produit de deux réflexions. En effet soit H le sous espace Vect( v). Soit H et H deux hyperplans affines de direction H avec H = H + 1 v. On a alors t v = σ H σ H. où σ H et σ H sont les réflexions par rapport à H et H. En effet pour tout x X, soit la droite passant par x et orthogonale à H et H. Notons alors x = σ H (x) et x = σ H (x ). Notons aussi a le projeté de x sur H et b le projeté de x sur H. On a alors xx = xx + x x = ax + x b = AB = v. 3.3.5 Classification des isométries en dimension Soit (X, E,+,(..)) un espace affine euclidien de dimension. 1. Si f est une isométrie directe de X alors f SO( E). Si f = id E alors f est une translation. Si f id E alors f SO( E) \ {id E } donc ker( f id E ) = {0} et f admet un unique point fixe noté A. L isométrie f est une rotation centrée en A.. Si f est une isométrie négative alors f est la symétrie orthogonale par rapport à F = ker( f id E ). Par le théorème de structure f = t v g avec v F et g a un point fixe A. On note D la droite D = A + F. Si v = 0 alors f est la symétrie orthogonale par rapport à D. Si v 0 alors f est une symétrie glissée ou symétrie translation, comme composée de t v avec la symétrie orthogonale par rapport à D.. Y est de codimension dans X signifie dim X dim Y =

14 CHAPITRE 3. ISOMÉTRIES AFFINES ET VECTORIELLES 3.3.6 Classification des isométries en dimension 3 Soit (X, E,+,(..)) un espace affine euclidien de dimension 3. 1. Si f est une isométrie directe de X alors f SO( E) et est donc une rotation d axe = ker( f id E ). Si f a un point fixe A alors f est une rotation d axe A +. Si f n a pas de point fixe alors par le théorème de structure f = t v g où g a un point fixe noté A. Si g = id X alors f est une translation. Si g id X alors g est une rotation centrée en A et d axe A + avec = ker( f id E ). L isométrie f est appelée vissage.. Si f est une isométrie négative alors f O ( E). Si f a un point fixe A alors f est soit la symétrie orthogonale par rapport à un plan affine passant par A ou la composée d une rotation d axe par la symétrie par rapport au plan perpendiculaire à en A. Si f n a pas de point fixe alors par le théorème de structure f = t v g où g a un point fixe. Remarquons que v est non nul sinon f aurait un point fixe. Par conséquent ker( g id E ) {0} car contient v. Or g O ( E) donc dimker( g id E ) =, donc g est la symétrie par rapport à un hyperplan vectoriel. Ainsi f est une symétrie glissée.