3//2 Université Hassan II Faculté des Sciences Juridiques et Économiques Aïn Sebaa Année Universitaire 2/2 MATHEMATIQUES (Semestre ) Professeur: M.REDOUABY
3//2 Partie 2 A. Fonctions à une variable réel 2. Domaine de définition D f IR x I = x IR\ x = x IR\ f(x) f IR f(x) admet une image la calculer» est définie «on peut 2
3//2 Exemples. Fonctions polynômiales : f (x) = a xn +... + a x+ a n fonction polynômiale (ou polynôme) de degré n D f =IR Fonctions polynômiales f(x) = 3x 2+ x 5 ; Exemples : f(x) = 7x 3 x2+ x + 5 ; f(x) = 7x 5 x4+ x2 24 ; Pour toutes ces fonctions : D f = IR= ] ; + [ 3
3//2 Exemples 2. Fonctions rationnelles : f (x) = P(x) Q(x) P(x) et Q(x) sont deux polynômes D f = x IR\ Q(x) Fonctions rationnelles Exemple : f(x) = 2x+ 2 2 (x )(x + ) Q (x) = (x2 )(x2 + ) = x2 = Car x2+, ainsi : Q(x) x2 = = x= ± = IR ± D f D f = ] ; [ ] ; [ ] ; + [ 4
3//2 Exemples 3. Fonctions racines (n èmes ) : f (x) = n u(x) ; n est un entier naturel non nul A retenir : n = 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ;. Si n est pair : D f Si n est impair : = x IR\ u(x) D f =D u Fonctions racines (n èmes ) «racine carrée» : On doit avoir : «racine cubique» : Exemples : f (x) = 2x+ 2x+ x /2 D f 3 2x f (x) = + u (x) = 2x+ D f = D u = IR= ] ; + [ = [ /2; + [ définie quelque soit x donc 5
3//2 4. Fonctions puissances : Exemples ; est un nombre rationnel m et n sont deux entiers naturels non nuls On écrit : f(x) = u(x)α f (x) = n α α=m/n f (x) = u(x)m /n = (u(x)m)/n m u(x) Fonctions puissances Exemples :. f (x) (2x+ ) 4/5 ici = α=4/ 5 On a : 5 4 f (x) = (2x+ ) ; racine impaire, on regarde alors le domaine de définition de ( 2x+ ) 4 : ( 2x+ ) 4 est une fonction polynômiale définie sur IR donc : D f =IR 6
3//2 2. On a : f(x) on doit avoir : Fonctions puissances = (2x+ ) f(x) = Exemples : 3/4 4 3 (2x+ ) ( 2x+ ) 3 et ; racine paire, ( 2x+ ) 3 ( 2x+ ) 3> 2x+ > x> /2 D f = ] /2; + [ Exemples 5. Fonctions logarithmiques : f (x) = ln(u(x)) ln Exemple : D f or D f ; désigne le logarithme népérien = x IR\ u(x) > f (x) = ln( x2) 2 = x IR\ x > x2 = ( x)(+ x) ;, tableau des signes 7
3//2 Fonctions logarithmiques Exemple : f (x) = ln( x2) x - -x + + - +x - + + -x 2 - + - Ainsi : D f = ] ; + [ Exemple 2 : f (x) = ln((2x + 7)(x 5)) D f x IR\ Tableau des signes : = (2x+ 7)(x 5) > x -7/2 5 2x+7 - + + Donc : x-5 - - + Produit + - + D f = ] ; 7/2[ ]5; + [ 8
3//2 Exemples 6. Fonctions exponentielles : f (x) = e u(x) ; alors «l exponentielle est toujours définie» Exemples : 2 f (x) = ex + x + 2 D = IR ; f f (x) = e x D = IR f = D = IR 2 f + ; f (x) e/(x 2) D f =D u A. Fonctions à une variable réel I IR x 3. Continuité I f IR f(x) f est une fonction définie sur un intervalle I de IR 9
3//2 3. Continuité a) Continuité en un point a : a gauche de a a a droite de a 3. Continuité a) Continuité en un point a : Définition : f est continue au point a lorsque : lim f(x) = f(x) f(a) x lim = x a + a limite à droite = limite à gauche = image de a
3//2 f(x) = Exemples. ; continuité en x;si x [; ] 2 x;si x ] ;2] On a : lim f(x) = lim 2 x = = x + x + x x lim f(x) = x lim = = f () = = et ; f est donc continue au point f(x) = 2. ; continuité en On a : x+ ;si x [; [ 2 x;si x ] ;2] f() = 3/2 lim f(x) = lim 2 x= 2 = x + x + x 2 x lim f(x) = x lim + = + = f () = 3/2 et ; f est donc discontinue au point
3//2 3. Continuité b) Continuité sur un intervalle : Définition : I =[a;b] f est continue sur l intervalle lorsque f est continue en tout point de l intervalle ouvert ]a;b[ ; continue à gauche de b et continue à droite de a. f est continue à gauche de b lorsque : f (x) f (b) x lim b = f est continue à droite de a lorsque : lim f (x) = f (a) x a + 2
3//2 Continuité sur un intervalle [a ; b] à droite de a à gauche de b a x b Exemples f(x) =. ; x;si x [; ] 2 x;si x ] ;2] f est continue sur l intervalle [ ; 2] car : f est continue en tout point de l intervalle ] ; 2[ (en particulier au point ), f est continue a droite de et à gauche de 2. 3
3//2 Exemples f(x) = 2. ; x+ ;si x [; [ 2 x;si x ] ;2] f() = 3/2 f n est pas continue sur l intervalle [ ; 2] car elle discontinue au point Propriétés des fonctions continues Si f et g sont deux fonctions continues sur un intervalle I alors : f +g est continue sur I αf est continue sur I ( ) f g est continue sur I f /g α IR g est continue sur I ( sur I ) 4
3//2 Conséquences Les fonctions polynômiales sont continues sur IR Les fonctions rationnelles ; racines n èmes ; puissances ; logarithmiques et exponentielles sont continues sur leurs domaines de définition bijection et bijection réciproque I f f - J f est une fonction bijective de I vers J. Si f est continue sur l intervalle I alors sa fonction réciproque f - est continue sur l intervalle J (car les courbes de f et f - sont symétriques par rapport à la droite d équation y = x) 5
3//2 Remarque f est continue sur l intervalle I sa courbe C f est continue «ne présente aucune coupure» Théorème des Valeurs Intermédiaires «T.V.I» T.V.I : Si f est continue sur l intervalle [a; b] f (a) f (b) < et alors f s annule sur ]a ; b[ ; c ]a;b[ f (c) = C est-à-dire : tel que : 6
3//2 Interprétation géométrique f(b) > a I f(a) < c b I Ou f(a) > a I c b I f(b) < 7
3//2 Exemple Montrer que la fonction s annule (au moins une fois) sur [ ; 2] La fonction f est une fonction polynomiale donc définie et continue sur IR, en particulier sur l intervalle [ ; 2]. De plus : Donc d après le T.V.I : tel que f (x) = x3 + x 3 f () = 3< et f (2) = 7 > c ];2[ f (c) = A. Fonctions à une variable réel I IR x 4. Dérivabilité I f IR f(x) f est une fonction définie sur un intervalle I I a I x I b 8
3//2 a) Dérivabilité en un point x Définition On dit que la fonction f est dérivable en x si : x lim x f(x) f(x x x existe. Cette limite «quand elle existe» est appelée : dérivée de f au point x et on la note f (x ) ) f'(x Ainsi ) = x lim x f(x) f(x x x A retenir : toutes les formules de dérivation qu on utilise sont une conséquence directe de cette définition. ) 9
3//2 Exemples. Pourquoi la dérivée d une constante est égale à? On pose : f (x) = C, soit x IR I x IR f '(x ) = lim x x = lim x x x IR, f (x) f (x x x C C x x = Ainsi : f '(x ) = Ou encore (en notant x au lieu de x ) : x IR, f '(x) = ) 2
3//2 Exemples 2. Pourquoi : ( ax2 + bx+ c)' = 2ax+ b On pose : f (x) 2 + = ax + bx c, soit x IR f '(x ) = I x lim x x f (x) f (x x x ) = = = lim x x lim x x lim x x (ax a(x = 2ax b + 2 2 a(x + x Donc : + bx + c) (ax x 2 x x x x 2 ) + b(x x ) + b = a(x + bx ) + x ) + b + c) 2
3//2 x IR, Ainsi : f '(x ) = 2ax + b Ou encore (en notant x au lieu de x ) : x IR, finalement : f '(x) = 2ax + b f(x) = ax2 + bx+ c f'(x) = 2ax + b 3. Pourquoi : On pose : f '(x Exemples x ' = x x 2 f (x) =, soit * ) = lim x x f (x) f (x x x x IR ) 22
3//2 f '(x ) = = lim x x lim x x = x 2 x Donc : x x x = lim x x x xx x x x (x x ) = lim xx (x x ) x x f '(x ) = x 2 xx x IR*, finalement : f '(x ) = 2 x Ou encore (en notant x au lieu de x ) : x IR*, f '(x) = x Les formules qui suivront sont aussi conséquence directe de la définition précédente : 2 23
3//2 b) Mémento du petit dériveur fonction ax+b fonction dérivée a xα ( α Q ) αxα x /2 x lnx /x fonction ex Sin x fonction dérivée ex Cos x Cos x -Sin x tanx + tan2x 24
3//2 Plus général : (u désigne une fonction) fonction au+b fonction dérivée au uα ( α Q ) αu' uα u u'/2 u lnu u'/u fonction eu Sin u Cos u tanu fonction dérivée u' eu u' Cos u - u' Sin u (+ tan2 u) u' 25
3//2 Sans oublier, lorsque la fonction se présente sous forme de «blocs», qu on a: fonction u+v u v fonction dérivée u'+v' u'v+uv' u/v (u'v uv')/v2 uοv (u' οv) v' Exercice Calculer les dérivées des fonctions suivantes :. f(x) = x 2 2. f(x) = ln( x 2 + x 3) 3. f(x) = 4. f(x) = xe Sinx 5 3 ( x + ) 5. f(x) = ( x + 2 ) 2/5 26
3//2 Exercice «Corrigé» Calculer les dérivées des fonctions suivantes :. f(x) = 2 2 f '(x) = 2(x + ) 2 2 2 x x (x ) 2. f(x) = ln(x 2 + x 3) f 'x) = 2x + 2 x + x 3 3. f(x) = xesinx f '(x) = esinx + xcosxe Sinx 2 x Exercice «Corrigé» 4. f(x) = ( x + ) = (x + f '(x) = 3 5 (x + ) 5. f(x) = 5 3 ) 3/5 ( x + 2 ) 2/5 f '(x) = 5 5 2 5 2 3 (x 4x + ) 27
3//2 c) Dérivabilité sur un intervalle Définition Une fonction f est dérivable sur l intervalle [a ; b] si elle est dérivable en tout point de [a ; b] Exemples f (x) = x. définie et continue sur [ ; + [ 2 x f '(x) = définie pour x ]; + [ Donc la fonction f n est pas dérivable sur [ ; + [ car f n est pas dérivable en, mais dérivable seulement sur l intervalle ] ; + [ 28
3//2 Exemples 2. f(x) = 3 x définie et continue IR Question : f est-elle dérivable sur l intervalle [ ; 2]? f(x) = 3 x = (x ) /3 f'(x) = (x ) 2/3 3 C est-à-dire : f'(x) = 3 3 2 (x ) f'(x) = 3 (x ) 3 2 donc f n est pas dérivable en x =, et par conséquent f n est pas dérivable sur l intervalle [ ; 2] 29
3//2 Remarques. f est dérivable en x f est continue en x 2. f est dérivable sur [a ; b] f est continue sur [a ; b] Donc «contraposée» 3. f est discontinue en x f n est pas dérivable en x 4. f est discontinue sur [a ; b] f n est pas dérivable sur [a ; b] Contraposée : p q non q non p 3
3//2 la fonction f n est pas dérivable en x car elle est discontinue en x x Théorème de Rolle Théorème : Si f est une fonction continue sur l intervalle [a ; b] ; dérivable sur l intervalle ouvert ]a ; b[ et : alors : f (a) = f (b) c ]a;b[ tel que f '(c) = 3
3//2 Interprétation géométrique f (c) = f(a) = f(b) a I c b Il y a au moins un point de la courbe où la tangente est horizontale Remarque Les hypothèses du Théorème de Rolle : a) f est continue sur [a ; b] b) f est dérivable sur ]a ; b[ c) f(a) = f(b) sont nécessaires. 32
3//2 Théorème des accroissements finis «T.A.F» Théorème : Si f est une fonction : a) continue sur [a ; b] b) dérivable sur ]a ; b[ alors : c ]a;b[ tel que : f (b) f (a) = (b a)f '(c) 2 ème version «T.A.F» Théorème : Si f est une fonction : alors : a) continue sur [a ; b] b) dérivable sur ]a ; b[ c ]a;b[ tel que : f (b) f (a) = f '(c) b a 33
3//2 3 ème version «T.A.F» premier développement limité Théorème : Si f est une fonction : a) continue sur [a ; b] b) dérivable sur ]a ; b[ alors : c ]a;b[ tel que : f (b) = f (a) + (b a)f '(c) Remarque : Pourquoi on dit : accroissements finis? Comme f (b) f (a) = (b a)f '(c) «ère version» Si la dérivée première «f» est une fonction bornée : f '(x) M sur l intervalle considéré, alors on a : f (b) f (a) M(b a) 34
3//2 Ainsi, si l ordre de grandeur de f est fixé, les accroissements de la fonction f «f(b)- f(a)» sont bornés «finis» Interprétation géométrique c ]a;b[ f (b) f (a) tel que = f '(c) b a Veut dire : Il y a au moins un point de la courbe où la tangente est parallèle au segment AB 35
3//2 Interprétation géométrique B A a c b Il y a au moins un point de la courbe où la tangente est parallèle au segment AB Conséquences f est une fonction continue et dérivable sur l intervalle [a ; b] : Si f (x)= ( x [a;b] ) alors f est constante Si f (x) ( x [a;b] ) alors f est croissante Si f (x) ( x [a;b] ) alors f est décroissante sur l intervalle [a ; b] 36
3//2 Preuve a I x I c I y I I b Soient x et y deux nombres quelconques de l intervalle [a ; b] tels que : x y Si f (x)= ( x [a;b] ), dans ce cas ; T.A.F : f (y) f (x) = (y x)f '(c) = (y x) = f (y) = f (x) : f est donc constante sur l intervalle [a ; b] Preuve Si f (x) ( x [a;b] ), dans ce cas ; T.A.F : f (y) f (x) = (y x)f '(c) y xcar : f '(c) et f (y) f (x) f est donc croissante sur l intervalle [a ; b] 37
3//2 Preuve Si f (x) ( x [a;b] ), dans ce cas ; T.A.F : f (y) f (x) = (y x)f '(c) y xcar : f '(c) et f (y) f (x) f est donc décroissante sur l intervalle [a ; b] 38