ICAB critèrs d ruin pour poutr p. ICAB critèrs d ruin pour poutr (CM66 CB7) Ls règls utilisés sont ls CM66 (AFNOR P-70) t CB7 (AFNOR P-70). Extraits du manul d référnc ICAB Forc/CM corrspondant au calcul ds critèrs : Sc critèr d contraint axial (CM66, CB7) Tc contraint d cisaillmnt/(0.65 S0), (CM66) Mc critèr d Miss (ou Tsai-Wu) F_cm66 flambmnt simpl (CM66 ou CB7) D_cm66 flambmnt avc dévrsmnt (CM66) V_cm66 voil CM66 pour profil n I (CM66) Contraints Un fois ls fforts résultants connus, à savoir ffort d traction(nx>0)/comprssion (Nx<0), fforts tranchants (T, T), momnt d torsion (Mx) momnts fléchissants (M, M) sction par sction, il st nécssair d détrminr l champ d contraints sur chaqu sction, ou au moins ls contraints maximals sur chaqu sction. La contraint s xx st constant dans la sction si la poutr st soumis à un ffort d traction ou d comprssion pur. Dans c cas, ctt contraint st noté s Nx. La contraint s xx n'st plus constant si un momnt fléchissant simpl ou dévié xist. Nous notons s f la contraint s xx maximal présnt dans la sction lorsqu la poutr st soumis à un momnt fléchissant pur M. Ls cisaillmnts apparaissnt lorsqu la poutr st soumis à un momnt d torsion ou ds fforts tranchants. Un ffort tranchant T (rspctivmnt T) cré un distribution d contraint d cisaillmnt t x (rspctivmnt t x ). Un torsion, associé à un coupl Mx, cré ds contraints t x, t x. x Nx = N f A, = M I, f = M I v v 0 x, = T A, = T A τt = M τ τ J r () Ls paramètrs d l'ntité PROPERTY(TYPE=BEAM_LINEAR) rlatifs au calcul d cs contraints maximals sont AR=A, ARY=A, ARZ=A, IVY=(I/v), IVZ=(I/v), ITC=(J/r 0 ). Si ls sctions cisaillés A t A sont nulls, la sction total A st pris n compt pour ls calculs ds contraints d cisaillmnt τ t τ. Cas ds poutrs avc momnt d'inrti croisé I Λ Λ YY YZ = I - I - IYZ I ZZ - M. M f f = v.. v. Λ, v = I Λ I, v = I I v v ()
ICAB critèrs d ruin pour poutr p. Cs contraints caractéristiqus définissnt ds majorants pour ls contraints xx, τ x t τ x. M = M =0 = xx Nx N =0,M =0 x xx f N =0,M =0 x xx f T = T =0 τ + τ τ x x T (3) T =0,M =0 τ τ x x T =0,M x=0 τ x τ Pour un poutr d sction qulconqu, la contraint axial t l cisaillmnt sont majorés par: = + + xx Nx f f τ + τ = τ τ + τ x x τ = τ + max( τ, τ ) T τ = min( τ, τ ) Pour un poutr possédant un smétri d révolution autour d son ax xx, nous avons: = + + xx Nx f τ τ + τ + τ T f (4) (5) Traction/comprssion (Sc) La vérification d sécurité s traduit par: / < où st la contraint maximal d traction ou d comprssion (règl CM66,3). La contraint s st la somm Nx + f + f. Cisaillmnt (Tc) La vérification d sécurité s traduit par: τ/(0.65 ) < où τ st la contraint maximal d cisaillmnt (règl CM66,33). La contraint maximal d cisaillmnt st majoré par t, tll qu τ = τ +τ. Critèr d Von Miss (Mc) L critèr d Von Miss st utilisé pour détrminr si un matériau isotrop subit un plastification. Pour un tnsur d contraint smétriqu qulconqu, l critèr d non-plastification st:
ICAB critèrs d ruin pour poutr p.3 ( xx - ) +( xx - ) +( - ) +6( τ x+ τ x+ τ ) ( x ) xx + + - xx - - xx +3 τ x + τ + τ (6) Dans l cas d'un poutr, nous avons: xx +3( τ x + τ x ) +3τ (7) Pour un tub sous prssion, c st-à-dir avc un contraint d mmbran tt, l critèr d Miss st : xx+ tt xx tt+ 3τ,K avck xx= Nx± f avc : Nx contraint axial associé à l ffort d traction/comprssion contraint axial associé aux fforts d flxion f NB. L critèr d Miss calculé par ICAB corrspond à la racin carré d l'xprssion indiqué cidssus d manièr à rndr c critèr proportionnl à la charg appliqué. L critèr d Von Miss n'st pas mntionné dans ls règls CM66. Toutfois, c critèr st calculé par ICAB dans la msur où il rnd compt d'un état d contraint qulconqu. Pour un cisaillmnt pur, la plastification apparaît lorsqu τ = / 3 = 0.58, alors qu ls règls CM66 prévoint un vérification d sécurité par τ < 0.65 (paragraph,33). L'application du critèr d Miss plac donc l concptur n sécurité. Exmpl: 0 = 35 MPa pour l'acir S35 (référnc EN005). Critèr d Tsai-Wu L critèr d Von Miss n put s'appliqur qu'à ds matériaux isotrops. Dans l cas d composits ou du bois, ls contraints admissibls dépndnt non sulmnt d la dirction d sollicitation mais égalmnt du sns d traction ou comprssion. L critèr d Tsai-Wu généralis l critèr d Von Miss à ds matériaux orthotrops dont ls contraints admissibls dans ls 3 axs d'orthotropi sont ls suivants: X t, X c traction t comprssion dans l sns Y t, Y c traction t comprssion dans l sns Z t, Z c traction t comprssion dans l sns 3 t, t 3, t 3 cisaillmnts xx xx X X + X - X + YY + Y - Y + ZZ + Z - Z -(+ f ) xx 3 x τ 3 x 3 X X Y Y -(+ f ) YYZZ -(+ f ) X X Z Z τ τ + + + τ τ τ 3 xx (8) NB. L critèr d TsaiWu calculé par ICAB corrspond à la racin carré d l'xprssion indiqué cidssus. Pour un matériau isotrop transvrs, l critèr d Tsai-Wu st idntiqu au critèr d Hill si: X=X t = X c ; Y=Y t =Y c =Z t = Z c f = f 3 = Y/X -; f 3 = - Y/X
ICAB critèrs d ruin pour poutr p.4 L critèr d Tsai-Wu st idntiqu au critèr d Von Miss si: X t = X c = Y t = Y c = Z t = Z c = s 0 t = t 3 = t 3 = t 0 = s 0 / 3 f = f 3 = f 3 = 0 3 Instabilités 3. Flambmnt généralisé L'instabilité élastiqu (flambmnt) d'un structur s produit lorsqu'un légr accroissmnt du chargmnt ntraîn ds déformations importants, provoquant l'ffondrmnt. L calcul du flambmnt s déroul n dux étaps: a) la structur st sollicité par un chargmnt qui produit un distribution d contraints (s). b) l chargmnt initial st multiplié par un factur l. L flambmnt apparaît lorsqu l'énrgi d déformation élastiqu st équivalnt au travail ds contraints initials (s). Dans c cas, un accroissmnt infim du chargmnt produit ds déplacmnts infinis. La rchrch ds flambmnts s ramèn au calcul ds vcturs proprs {u} t valurs proprs l qui sont rspctivmnt ls mods d flambmnt t ls cofficints d'amplification ds chargs: [K]{u} + λ[ K ( )]{u}=0 D [ K D ]= Volk ω ( )dv + -τ x -τ x k ω ( )= - τ x xx+ -τ -τ x - τ xx+ (9) [K] st la matric d rigidité élastiqu [K D (s)] st la matric d rigidité différntill associé au champ d contraints initials (s) obtnu par intégration sur la structur ds matrics élémntairs k w (s). La ruin apparaît pour la plus ptit valur propr l, c'st-à-dir l plus ptit cofficint d'amplification du chargmnt initial. L mod propr associé corrspond à la déformé d c cofficint d'amplification. Not bin qu l mod d flambmnt obtnu dépnd d l'nsmbl ds élémnts d la structur, d ss conditions d blocag t d son chargmnt initial. Cas d'un poutr comprimé articulé à ss xtrémités L'ffort d comprssion axial N modifi l comportmnt d flxion d la poutr. Pour un traction axial, ls fréquncs d vibration n flxion augmntnt (cas ds cords d'instrumnts d musiqu). En rvanch, ls fréquncs d vibration d la poutr n flxion diminunt au fur t à msur qu l'ffort d comprssion axial augmnt. La prmièr fréqunc propr dvint null pour un charg critiqu: EI N= π l L flambmnt put êtr intrprété comm un résonanc qui s produit à fréqunc null, autrmnt dit un mod d déformation qui apparaît pour un charg quasi-statiqu.
ICAB critèrs d ruin pour poutr p.5 3.. Longuurs d flambmnt L'anals du flambmnt généralisé doit portr sur l'nsmbl d la structur pour la détrmination ds mods d flambmnt {u} t ds cofficints d'amplification ds chargs l. Toutfois, sans ordinatur, c calcul dvint vit hors d porté mêm pour un assmblag d qulqus poutrs. Pour pallir ctt difficulté, ls règls (CM66, CB7, Eurocods...) définissnt ds critèrs d flambmnts locaux qui sont applicabls poutr par poutr. Cs critèrs réduisnt l'étud d'un poutr pris dans un assmblag à ds poutrs équivalnts d longuur l K dont ls xtrémités sont articulés (xtrémités maintnus vis-à-vis du mouvmnt latéral, mais librs d tournr) pour l'étud du flambmnt ou bin à ds poutrs d longuur l D dont ls xtrémités sont maintnus latéralmnt (ncastrés contr l mouvmnt latéral, ncastrmnt contr la rotation suivant l'ax longitudinal, libr d tournr dans l plan) pour l'étud du dévrsmnt: l k l k l D l D longuur d flambmnt dans l plan (XoZ) ntraînant un momnt M longuur d flambmnt dans l plan (XoY) ntraînant un momnt M longuur d dévrsmnt dans l plan (XoZ) concrnant un momnt M longuur d dévrsmnt dans l plan (XoY) concrnant un momnt M ICAB calcul ls longuurs d flambmnt l k t l k n prnant n compt ls blocags t ls rigidités ds élémnts adjacnts à la poutr n cours d'étud. C calcul n'st pas xact si ls élémnts adjacnts sont ux-mêms assmblés à d'autrs élémnts t non pas à ds blocags; autrmnt dit, l'fft ds rigidités ds élémnts adjacnts st surstimé t par conséqunt ls longuurs d flambmnt l k, l k n général sous-stimés. Afin d prndr n compt ds longuurs d flambmnt plus longus, l'utilisatur put imposr ds longuurs minimals d flambmnt L KM t dévrsmnt L DM (propriétés LKY, LKZ, LDY, LDZ ds poutrs). Pour assurr la compatibilité ds calculs pour ls vrsions ICAB antériurs à la vrsion 3, si LKY=0 alors LKY=LKZ t si LDY=0, alors LDY=LDZ; la réciproqu n'st pas vrai. Par aillurs, ls longuurs d flambmnt pris n compt pour ls critèrs d ruin sont toujours au moins égals à la longuur d la poutr L (N,N). La longuur d dévrsmnt l D st égal à la plus longu ds longuurs L DY t L (N,N). 3. Flambmnt par comprssion Un poutr n comprssion dvint brutalmnt instabl bin avant qu la limit d'élasticité n soit attint, c'st à dir avoir < t assistr un grand déformation d la poutr ntraînant sa ruin. Il s'agit du phénomèn d flambmnt étudié par Eulr. Ds étuds plus complèts ont été conduits par Duthil t ont été adoptés par ls règls CM66 pour ds chargmnts complxs combinant comprssion t flxion. La longuur d flambmnt l k st détrminé par ICAB Forc comm la plus grand ds longuurs l k, L KY indiqué par l paramètr LKY ds propriétés phsiqus d la poutr t L(N,N) qui st la distanc ntr l'origin t l'xtrémité d la poutr. Un calcul analogu st mné pour l k. Ls paramètrs LKY, LKZ n sont utilisés qu pour l calcul ds critèrs d ruin; ils n modifint n aucun manièr l calcul ds déplacmnts, ds fforts résultants t ds contraints. Ls élancmnts l sont calculés comm ci-après: λ = l i k λ = l i k, i = I A, l = max (LKY, L, L ) k (N,N) k, i = I A, l = max (LKZ, L, L ) k (N,N) k λ v = l i kv v v vv, i = I A, l = max (l, L ) kv k k ()
ICAB critèrs d ruin pour poutr p.6 3.. Flambmnt par comprssion simpl CM66 La vérification d la règl CM66 3,4 conduit à (cofficint ICAB Forc "Flambmnt CM66"): k Nx / < avc: k = (0.5+ 0.65 )+ 0.5+ 0.65 - k π E k =, λ = max ( λ, λ ) () λ ( I 0 λ = λ v) k k 3.. Flambmnt par comprssion simpl CB7 La vérification d la règl CB7 4,93 conduit à vérifir: CB KCB7 XC Nx < m K 7= -0.8 λ 00 m K 7= 0.55 75, λ >75 CB λm λ = max( λ, λ ) m, λ _ 75 m (3) Ctt vérification st similair à la règl CM66 pour la comprssion simpl avc un cofficint d'amplification K CB7, la contraint admissibl n comprssion X-. L cofficint λ st l'élancmnt, la contraint admissibl n comprssion st XC. 3..3 Comprssion t flxion dans l plan d flambmnt CM66 (F_cm66) Pour un poutr soumis à un comprssion t un flxion ntraînant un rotation autour d l'ax, ls règls CM66 (3,5) précisnt qu pour ls poutrs à âm plin, la condition d non-flambmnt st: k Nx+ k f f+ k f f (4) L cofficint k corrspond au cofficint d flambmnt pour vérification xcptionnll (règl CM66 3,4).
ICAB critèrs d ruin pour poutr p.7 - k = -.3, = k ( I 0 λ = λv) Nx π E k =, λ = max ( λ, λ ) λ (5) L cofficint k f d'amplification ds contraints d flxion st pris pour l cas l plus défavorabl qui corrspond à un momnt constant ou variant linéairmnt (règl CM66 3,53): +0.5 k k f = -.3, = Nx π E l (6) k k =, λ = λ I A Ds rlations analogus sont établis pour un comprssion t un momnt d flxion M. 3..4 Comprssion t flxion CB7 Pour un poutr soumis à un comprssion t un flxion ntraînant un rotation autour d l'ax, ls règls CB7 (4,953) précisnt qu la condition d non-flambmnt st: KCB7 Nx f + f Nx <0 + XC XF Nx f + f Nx 0 + XT XF (7) slon qu la poutr st comprimé ou tndu.
ICAB critèrs d ruin pour poutr p.8 3.3 Dévrsmnt t flambmnt L dévrsmnt ds piècs fléchis st un phénomèn d'instabilité élastiqu qui présnt ds analogis avc l flambmnt. L dévrsmnt s produit lorsqu'un poutr fléchi présnt un faibl inrti à la flxion transvrsal t à la torsion. La parti supériur d la poutr, comprimé, flamb latéralmnt t il xist un valur critiqu du momnt d flxion (slon l plan d plus grand raidur), comm il xist un ffort normal critiqu provoquant l flambmnt pour un barr comprimé, pour lqul la poutr fléchit dans l plan d sa plus faibl raidur t ntr n torsion. L critèr calculé par ICAB Forc utilis un formul nvlopp qui prmt d combinr ls fft d'un comprssion t d'un flxion dévié. 3.3. Dévrsmnt réglmntair CM66 Ls règls CM66 (3,6) précisnt qu pour ls poutrs à âm plin, la condition d non-dévrsmnt st: k d f / La contraint f st provoqué par un flxion autour d l'ax () corrspondant à la plus grand inrti (I > I ). L cofficint k d st défini comm suit: k d =, d k0 k d =, d < d + (k0 -) d = 0 0 π E I 5. I D k 0 k 0 k 0 D h l (D - )BC k 0 = 0.5 + 0.65 + 0.5+ 0.65 - π E l k 0 =, λ = λ h 4 BC I I D - (8) Ls cofficints B, C, D sont utilisés pour tnir compt du nivau d'application ds chargs, d la répartition longitudinal ds chargs t ds dimnsions d la pièc. C= D= + 4 GJ π E I 3 l h + M M + M M -0.5 - M M w w k w B= + h a 8βC π D - h a 8βC π D (9) L calcul d C n'st rigourux qu pour ds poutr soumiss à dux momnts au droit ds appuis avc ds smlls librs d tournr par rapport à l'ax (); M w t M sont cs dux momnts, M w étant l plus élvé. L cofficint B rtnu st la plus ptit ds valurs d B calculés pour a =0, h/. L cofficint
ICAB critèrs d ruin pour poutr p.9 β=3 corrspond à un charg uniformémnt réparti sur un poutr libr d tournr aux xtrémités autour ds axs () (cf règl CM66 3,643). Nivau d application ds chargs Za L paramètr Za ds propriétés d poutr prmt d indiqur la position ds panns sur un arbalétrir. Si l paramètr Za st nul, l cofficint B st calculé d la manièr la plus défavorabl t pour ls momnts positifs t négatifs. En rvanch, lorsqu l paramètr Za st non nul, l cofficint B st calculé n fonction d Za. Pour indiqur qu ls chargs sont appliqués sur la fibr nutr, il suffit d indiqur un valur Za non null mais infim. Par aillurs, lorsqu Za attint la moitié d la hautur d l âm Za=h/, la vérification du dévrsmnt soumis à un momnt M n st vérifié qu pour ls momnts M positifs, c st-à-dir pour ls soulèvmnts (Si Za = -h/, l dévrsmnt st négligé pour M négatif). 3.3. Formul nvlopp réglmntair CM66 (D_cm66) Lorsqu'un poutr st soumis simultanémnt à un comprssion t un flxion dévié, la formul nvlopp d la règls CM66 (3,73) à vérifir st (cofficint ICAB Forc "Dévrsmnt CM66"): Nx k+ f k f k d+ f k f kd (0) La contraint Nx n'st pris n compt qu si la poutr st n comprssion. 3.4 Voilmnt (V_cm66) L voilmnt d'un plaqu rctangulair apparaît lorsqu ctt plaqu st soumis à un comprssion uniform sur dux côtés opposés, parallèlmnt à son plan mon; la plaqu s déform transvrsalmnt. L phénomèn d voilmnt s manifst par ds ondulations, qui n sont pas sans rapplr l phénomèn d flambmnt pour ds piècs à un dimnsion, à la différnc près qu l voilmnt s dévlopp plus progrssivmnt, ls grands déformations n'apparaissant pas brutalmnt t n conduisant généralmnt pas à la ruin d la pièc. Un ffort d cisaillmnt put aussi provoqur l voilmnt. Pour ds poutrs composés à âms plins (CM66 5,), la vérification d sécurité s traduit par (cofficint ICAB Forc "Voil CM66"): 0.05 + τ 7 E 000 4 000 a h () a st l'épaissur d l'âm. L rapport E/000 srt uniqumnt à convrtir ls contraints dans ls unités choisis par l'utilisatur à partir d dan/mm. Ctt formul n'st donc valabl qu pour ls poutrlls n acir E=000 dan/mm =.x0 Pa.