3 octobre 2004 Exemple 2. O se doe a I et q C(I, K). L équatio différetielle liéaire : y (x) q(x) y(x) = 0 avec les coditios y(a) = α, y (a) = β SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS PC*2 3 octobre 2004 Admet ue uique solutio de classe C 2 sur l itervalle I. O peut costruire cette solutio comme limite, e u ses que l o précisera, de la suite de foctios (y ) défiie par : { y 0 (x) = α y + (x) = α + β (x a) + x a (x t) q(t) y (t) dt Préface Les suites et séries de foctios ot été ivetées pour costruire des foctios qui sot solutios de certais problèmes, par exemple d équatios différetielles ou foctioelles. O s est ispiré des méthodes umériques d approximatio qui permettet de prouver l existece de solutios d ue équatio umérique. Voici deux problèmes assez sigificatifs : Exemple. Il existe ue et ue seule foctio Ψ de ]0, + [ das R qui satisfait au propriétés suivates : Ψ est croissate sur ]0, + [ Ψ(x + ) Ψ(x) = /x pour tout x > 0 lim x + (Ψ(x) l(x)) = 0 Elle est doée, pour x > 0 par : Ψ(x) = lim l k=0 x + k Cette foctio, utilisée par Maple aisi que ses dérivées successives, servira à illustrer les résultats de ce cours. Page /23 Page 2/23
Table des matières Prélimiaires 5. Covergece simple des suites de foctios........... 5.2 Isuffisaces de la covergece simple.............. 5 2 Séries de foctios 7 2. Séries alterées de foctios................... 0 3 Iterversio de symboles 3. Itégratio terme à terme sur u segmet........... 3.2 Dérivatio terme à terme des séries de foctios C...... 2 3.3 Double limite........................... 5 4 Approximatio des foctios cotiues 7 4. Approximatio par des foctios e escalier.......... 7 4.2 Théorèmes de Weierstrass.................... 7 5 Travaux dirigés 9 3 Page 4/23
La limite simple d ue suite de foctios cotiues sur I est doc pas obligatoiremet cotiue sur I. Chapitre Prélimiaires Tous les itervalles sot o réduits à u poit. La lettre I désige u itervalle, J ou S u segmet. Les foctios cosidérées sot, sauf metio cotraire, défiies sur u itervalle I à valeurs das K = R ou C. O ote B(I, K) le K-espace vectoriel des foctios borées de I das K.. Covergece simple des suites de foctios Défiitio (Covergece simple). O dit qu ue suite (f ) de foctios de I das K coverge simplemet sur I vers ue foctio f si : x I, lim f (x) = f(x) O otera f S f. Comme la limite, si elle existe, d ue suite umérique, est uique, il e est de même de la limite simple, si elle existe, d ue suite de foctios. Exemple 4. Soit (f ) 2 la suite de foctios défiie sur le segmet I = [0, ] par : 2 x si 0 x / f (x) = 2 2 x si / < x < 2/ 0 si 2/ x La suite (f ) est ue suite de foctios cotiues sur I (pourquoi), o a : x I, lim f (x) = 0 Elle coverge doc simplemet sur I vers la foctio ulle. Soit I = 0 f (x) dx = La suite (I ) e coverge doc pas vers 0 comme o eut pu le peser à tort. Questio. Citez des propriétés stables par limite simple et des propriétés o stables. O va développer, uiquemet das le cadre des séries de foctios, ue otio de covergece mieux adaptée au passage à la limite de propriétés simples des foctios f. Les propriétés de la limite simple d ue suite de foctios s e déduirot via le lie habituel suite-série..2 Isuffisaces de la covergece simple Exemple 3. I = [0, π/2], f (x) = cos x. La suite (f ) coverge simplemet sur I vers la foctio f défiie sur [0, π/2] par : { 0 si 0 < x π/2 si x = 0 5 Page 6/23
Défiitio 4 (Covergece ormale). Si N (u ) coverge ou ecore s il existe ue suite (a ) de réels positifs telle que la série a coverge et : Chapitre 2 Séries de foctios Défiitio 2 (Covergece simple d ue série de foctios). Elle est défiie comme la covergece simple de la suite (S p ) de ses sommes partielles. Si la série de foctios 0 u coverge simplemet sur I, sa somme, otée u est la foctio défiie sur I par : x u (x) Défiitio 3 (Norme ifiie). Pour f B(I, K), o pose : Que l o otera aussi N (f). f = sup f(x) x I Remarque. Si f est ue foctio de I das K, et a [0, + [, les deux propriétés suivates sot équivaletes : Propositio. i) x I, f(x) a. ii) f B(I, K) et N (f) a. est ue orme sur B(I, K). x I, N, u (x) a Propositio 2. Si la série 0 u coverge ormalemet sur I, alors pour tout x I, la série 0 u (x) coverge absolumet ; la série 0 u coverge doc simplemet sur I. Remarque 2. E pratique, pour prouver la covergece ormale d ue série de foctios, o essaie de calculer, ou, à défaut de majorer, N (u ) e étudiat les variatios de u sur I. Exercice. Exhiber ue série de foctios borées, absolumet covergete sur u itervalle I, mais qui e coverge pas ormalemet sur I. Théorème (Cotiuité de la somme d ue série ormalemet covergete de foctios cotiues). Soit 0 u ue série de foctios ormalemet covergete sur tout segmet d u itervalle I. Si, pour tout N, u est cotiue sur I alors u aussi. Exemple 5. La foctio Ψ défiie das le préambule est cotiue sur ]0, + [. Exemple 6. Étude, sur R, de la série de foctios u (x) avec : u (x) = x x 2 + 2 O étudiera les propriétés suivates : Covergece simple, cotiuité de la somme, équivalet de la somme e + et e 0. Exercice 2. Motrer que la série de foctios ( x ) si coverge simplemet sur R. Sa somme y est-elle cotiue? Exemple 7 (Exemple importat). Soit α > 0 u réel et u (x) défiie sur R + par : u (x) = 2 x α e x2 7 Page 8/23
3 octobre 2004. Covergece simple et ormale de la série u sur [0, + [. 2. Domaie de cotiuité de la somme U? 3. Étude de la somme au voisiage de 0. Démostratio. -. lim 2 u (x) = 0 doc la série 0 u coverge simplemet sur R +. Pour étudier sa covergece ormale, o examie les variatios de u et l o trouve : ( ) α ( α ) α/2 N (u ) = u = e α/2 2 α/2 2 2 La série 0 u coverge doc ormalemet sur [0, + [ pour α > 6. 2. Si δ > 0, 0 u coverge ormalemet sur [δ, + [ ; doc la série coverge ormalemet sur tout segmet de ]0, + [. Sa somme est doc cotiue sur ]0, + [. 3. Comportemet au voisiage de 0. Pour α > 6, u coverge ormalemet sur R + ; sa somme est doc cotiue sur R +. Pour 0 < α 6, o cherche u équivalet au voisiage de 0 de : 2 e x2 O utilise ue techique de comparaiso série, itégrale u peu plus compliquée que d habitude qui amèe : et doc f(x) + 0 t 2 e tx2 dt = 2x 6 U(x) 2x α 6 + Exercice 3. Soit (f ) ue suite de foctios cotiues et borées sur u itervalle I. O suppose qu existe ue foctio f borée sur I telle que : lim f f = 0. Motrer qu existe ue suite ( k ) strictemet croissate d etiers aturels telle que : k N, 2. Prouver que f est cotiue sur I. f k+ f k 2 k 2. Séries alterées de foctios Traitos u exemple stadard. Exemple 8. La série de foctios = ( ) e x coverge simplemet mais e coverge pas ormalemet sur [0, + [. Sa somme f(x) est cotiue sur cette itervalle. Démostratio. Soit α > 0, la série coverge ormalemet sur [α, + [ puisque, sur cet itervalle : ( ) e x e α Pour x = 0 c est ue série alterée. D où la covergece simple de la série sur [0, + [. Cepedat la covergece est pas ormale puisque : sup ( ) e x = x 0 et que la série de terme gééral diverge. Pour prouver la cotiuité de la somme sur [0, + [, o peut soit procéder à u regroupemet de deux termes cosécutifs, soit accélérer la covergece de la suite des sommes partielles. Exercice 4. Quel est le domaie de défiitio Ω de ( ) x +? Étudier la Cotiuité de f sur Ω, et e détermier u équivalet e 0 et e +. Page 9/23 Page 0/23
2. O défiit ue suite (y ) de foctios sur [0, a] par : Chapitre 3 Iterversio de symboles 3. Itégratio terme à terme sur u segmet Théorème 2 (Itégratio terme à terme sur u segmet). Soit (u ) ue suite de foctios cotiues sur [a, b] telle que la série de foctios de terme gééral u coverge ormalemet sur [a, b]. O sait qu alors la somme u est cotiue par sur [a, b]. La série 0 b a u (x) dx coverge et : b a b u (x) dx = a u (x) dx Exercice 5. Exprimer comme somme d ue série l itégrale : Exercice 6. Prouver l égalité : 0 π/2 π/2 x x dx = e si x dx Exemple 9. (Preuve de l existece d ue solutio d équatio différetielle). Prouver l existece d u plus grad réel a > 0 tel qu il existe M > 0 vérifiat : e Ma = M 2 = y 0 = 0, y + (x) = x 0 e ty(t) dt Prouver que 0 y M et que la suite (y ) coverge simplemet vers ue foctio y sur [0, a]. 3. Motrer qu il existe ue costate C > 0 telle que, pour tout et pour tout x [0, a] : y + (x) y (x) C 4. Prouver que y C ([0, a], R) et : x 0 y (t) y (t) dt y(0) = 0 et x [0, a], y (x) = e xy(x) 3.2 Dérivatio terme à terme des séries de foctios C Théorème 3 (Dérivatio terme à terme des séries de foctios). Soit (u ) ue suite de foctios de classe C sur u itervalle I. O suppose : i) La série de foctios de terme gééral u coverge ormalemet sur tout segmet de I. ii) La série 0 u coverge simplemet sur I. Alors la foctio u est de classe C sur I et : d dx u = u (dérivatio terme à terme) Théorème 4 (Cas des foctios de classe C k ). Soit (u ) ue suite de foctios de classe C k ( k < ) sur u itervalle I. O suppose : i) La série de foctios de terme gééral u coverge simplemet sur I. ii) Pour tout etier aturel i [, k ], la série 0 u(i) coverge ormalemet sur tout segmet de I. Page 2/23
3 octobre 2004 Alors la foctio x u (x) est de classe C k sur I et : d k dx k u = u (k) (dérivatio k fois terme à terme) Exemple 0. La foctio Ψ est de classe C sur ]0, + [. Expliquer le calcul Maple suivat : N+ + (3 + )(2 + ) = 2 = ( 4 Ψ, N + 3 ) ( 2Ψ N + 3 ) ( +2Ψ N + 4 ) π2 4 l 2+ 2 2 3 8 3π +3 l 3 3 Avec Ψ(, x) = Ψ () (x). E déduire : + (3 + )(2 + ) = /8 2 π2 4 l(2) + /3 π 3 + 3 l(3) = Exemple (Foctio Gamma d Euler). La suite (g ) de foctios défiies sur I =]0, + [ par : g (x) = x! x(x + ) (x + ) coverge simplemet sur I vers ue foctio cotiue, strictemet positive, otée Γ. Prouver que Γ est de classe C sur I et calculer sa dérivée logarithmique. Démostratio. g (x) > 0 pour x I et, comme elle est défiie par u produit, o étudie d abord la suite de foctios (f ) avec, f (x) = l (g (x)). O cosidère la série de foctios 2 u avec : ( ) g (x) x I, u (x) = f (x) f (x) = l g (x) soit : ( u (x) = x l ) ( l + x ) i) Covergece simple de la série 2 u : O fixe x > 0, u développemet de u (x) à l ordre 2 e /, lorsque doe : ( ) x( + x) x( + x) u (x) = + o > 0 2 2 2 2 2 Le terme de droite est le terme gééral d ue série positive, covergete, doc la série 2 u (x) coverge et le suite (f ) coverge simplemet sur I vers ue foctio f. La suite (g ) coverge alors simplemet sur I vers exp(f) > 0 otée Γ. ii) Covergece ormale de la série 2 u sur tout segmet de I : le plus simple est d étudier les variatios de u sur u segmet [a, b] I. O trouve que (u ) croît sur [a, b] à partir d u certai rag N qui e déped que de a et de b), doc, pour x [a, b] et N : 0 u (x) u (b) ie sup u (x) u (b) [a,b] Le théorème permet alors de coclure à la cotiuité de f, doc de Γ sur I. iii) Dérivée logarithmique de Γ : O prouve que la série 2 u coverge ormalemet sur tout segmet de I par la mème méthode que das ii). Le théorème 3 assure alors que f C (I, R) et que, pour x I : f (x) = lim f (x) = lim l k=0 x + k O e déduit que Γ = e f est de classe C sur I et que : Γ (x) Γ(x) = f (x) = x γ + x ( + x) = (Foctio, otée Ψ par Maple qui e fait u usage itesif.) Exercice 7. Motrer que : Γ() = et Γ(x + ) = x Γ(x) Motrer que l Γ est covexe et que Γ est la seule foctio dot le logarithme est covexe et qui vérifie les coditios ci-dessus. Page 3/23 Page 4/23
3 octobre 2004 Exercice 8. Développemet asymptotique de Ψ à deux termes au voisiage de 0. e x Exercice 9. Soit. Motrer que f est défiie et cotiue + 2 sur [0, + [. Prouver que f est de classe C sur ]0, + [. Que dire de f au voisiage de 0? Exercice 0. Étudier la dérivabilité de la série de foctios de l exemple 7. 3.3 Double limite Théorème 5 (Théorème de covergece domiée pour les séries). Il s agit d u corollaire, relativemet plus précis, du théorème précédet. Soit (u ) ue suite de foctios de I = [a, + [ (a R) qui possède les propriétés suivates : i) Il existe ue suite (a ) de réels positifs telle que la série a coverge et : x I, N, u (x) a De sorte que la série de foctios u coverge ormalemet sur I vers ue foctio f. ii) Pour chaque etier, la foctio u (x) admet ue limite l C lorsque x +. Alors : N, l a. De sorte que la série l coverge absolumet. lim x + l. Résultat aalogue pour. Exercice. Étudier par deux méthodes, (Théorème précédet et majoratio directe) la limite, quad x +, de la foctio ζ défiie, pour x > par : Exercice 3. Étude de ( ) e x = Limite e +, équivalet e 0 et +. Exercice 4. Soit z C. E utilisat la série d applicatios de N das C de terme gééral u k avec : { C k u k () = z k k si k 0 si k ( Prouver que lim + z ) = e z. Exercice 5 (Covergece domiée des produits ifiis). Soit (u ) ue suite de foctios cotiues de I das C avec u (x) a pour tout N et x I, la série a état supposée covergete. Motrer que la suite (P ) de terme gééral : P (x) = ( + u k (x)) k= coverge simplemet sur I vers ue foctio cotiue sur I. Exercice 6. Prouver, par deux autres méthodes, le résultat de l exercice 4 : ( lim + z ) = e z A l aide du module et de l argumet. A l aide d ue iégalité du type e z z A z 2 sur u domaie à préciser. Factoriser le polyôme ( ) + i X ( ) i X das C[X]. E déduire ue expressio de si x comme produit ifii. ζ(x) = Doer u développemet asymptotique à deux termes de ζ(x) quad x + et quad x +. Exercice 2. Étudier la série. Equivalet de la somme S(x) e 0 x+ 2 et +. = x Page 5/23 Page 6/23
Théorème 8 (Weierstrass trigoométrique). cf cours sur les séries de Fourier. Chapitre 4 Approximatio des foctios cotiues 4. Approximatio par des foctios e escalier Théorème 6. Toute foctio cotiue sur u segmet S à valeurs das K peut être approchée uiformémet par des foctios e escalier. Exercice 7. Approximatio d ue foctio cotiue sur u segmet par des foctios cotiues et affies par morceaux. Applicatio : Covergece des sommes de Riema d ue applicatio cotiue sur u segmet vers l itégrale. 4.2 Théorèmes de Weierstrass Théorème 7 (Weierstrass). Toute foctio cotiue sur u segmet S à valeurs das K peut être approchée uiformémet par des foctios polyomiales. Exercice 8. Soit f C([a, b], C) telle que, pour tout etier aturel : Motrer que f = 0. b a f(t) t dt = 0 7 Page 8/23
Chapitre 5 Travaux dirigés. (Mies 98) Domaie de défiitio, cotiuité, dérivabilité de : ( ( ) l + x ) 2. (TPE 98) Soit a > 0, o pose I(a) = a ex l(x)dx. Écrire I(a) comme somme d ue série et calculer I(2) à 0 près. 3. Pour x > 0, o pose : u (x) = + 2 x. (a) Covergece de la série de foctio 0 u? Soit S sa somme. (b) Cotiuité, variatios? (c) Equivalet de la somme e +? (d) Calculer S(/p) 4. (Cetrale 99) Pour x < et o pose : x u (x) = ( x 2 ) (a) Covergece simple et uiforme de u sur ], [? (b) Dérivabilité de u? (c) Dérivabilité e 0? 5. (Cetrale 2004) O cosidère f défii par : 3 si(3 x) (a) Motrer que f est ue foctio cotiue sur R. (b) Motrer que f est périodique et trouver sa période. (c) E trouvat ue relatio etre f(x) et f(3 x), détermier si f a ue limite e 0. 6. (Ce 2000) O se place sur I =], + [. Étude de la cotiuité de la somme de : + x 7. (Mies 2000) Équivalet de = x au voisiage de +. 8. O pose, pour x > 0 : sh x 0 = Cotiuité et comportemet de f au voisiage de 0 +. 9. (Mies 2002) Motrer que la foctio f défiie sur R par : si (2 x) 2 est cotiue sur R mais o dérivable e 0. 0. (Cetrale 200) (a) Défiitio et cotiuité? (b) f est-elle C sur R? (c) Limite de f e +?. (CCP 2000) Étudier : 2. (CCP 2000) Étudier : 0 0 = si(x 2 ) ch x th(x) 2 ( x ) 2 th 2 9 Page 20/23
3 octobre 2004 3. Covergece simple, cotiuité de la somme, limites aux bores de la série de foctios défiie sur ]0, + [ par : ( ) + x 0 4. (Ce 98) Domaie de défiitio D de : l( + x 2 ) 0 Cotiuité de la somme sur D? Équivalets aux bores de D? x 5. Pour x 0, o pose u (x) = ( + 2 x). Existece de 0 u, cotiuité et dérivabilité de la somme sur [0, + [? 6. Pour x 0, o pose u (x) = ( + x). Existece de u, équivalet e +. 7. (CCP 97 98 et Ce 2000 200 2002) Défiitio, cotiuité, calcul de la somme de : ( ) e x 8. (Cetrale 99) Soit α > 0 et, pour x > 0 et : ( f (x) = l + α ) 2 x 2 Covergece de f? Cotiuité de la somme? Équivalet de la somme e 0? 9. (Mies 97, Ce 2003) Décomposer e élémets simples la fractio : X(X + )... (X + ) Prouver l existece d ue suite (a ) de réels telle que : x > 0, + x(x + )... (x + ) = a (x + ) 20. (X 200) (a) Prouver l existece, pour z C de : φ(z) = ( z ) 2 (b) Cotiuité de φ sur R? sur C? (c) Relatio etre φ(z) et φ ( z 2)? 2. (Mies 99) Détermier la ature de la série de terme gééral : u = (Mies 97) : Calculer sa somme. k=2 k 2 22. (Mies) Covergece et limite évetuelle de : α > 0 2 + k α k= 23. α >. Pour x 0, o pose : Équivalet de f au voisiage de 0? 24. (Cetrale 200) Pour N, o pose : a = k=+ l( + x) α ( ) k k 2 (a) Défiitio de a et covergece de 0 a? (b) E cosidérat 0 tk l t dt, évaluer a. 25. (X 200) Trouver u équivalet quad t de : = t t Page 2/23 Page 22/23
26. (Cetrale 98) Soit f ue foctio cotiue de R das R, telle que : (a) Que dire si M = 0. x, y R, f(x + y) f(x) f(y) M (b) Si M 0, motrer que la suite de foctios de terme gééral x 2 f(2 x) coverge simplemet vers ue applicatio liéaire g qui est l uique applicatio liéaire telle que f g soit borée. 27. (Cetrale 97) Trouver les foctios f cotiues sur ], + [ et vérifiat : ( x ) x f + 2 (x + )(x + 2) 28. (X 2004) Soit g ue suite de réels telle que g 0 = et : g = (a) Motrer que 0 < g <. ( ) 2 l (b) Motrer que g = O. (c) Motrer que g C 2. k=0 g k k Page 23/23