LIMITES DE FONCTIONS

T ale S LIMITES DE FONCTIONS Analyse - Chapitre 6 Table des matières I Limite d une fonction à l infini 2 I Limite finie à l infini........................................ 2 I a.......................................... 2 I b Fonctions de référence................................... 2 I c Asymptotes horizontales.................................. 3 I 2 Limite infinie à l infini....................................... 3 I 2 a.......................................... 3 I 2 b Fonctions de référence................................... 4 II Limite infinie en un réel 4 II.............................................. 4 II 2 Limite à gauche, ite à droite.................................. 5 II 3 Fonctions de référence....................................... 6 II 4 Asymptotes verticales....................................... 6 III Opérations sur les ites 6 III Somme, produit, quotient..................................... 6 III 2 Eemple général.......................................... 7 III 3 Quelques calculs de ites..................................... 7 III 4 Limite d une fonction composée.................................. 7 IV Limites et comparaison 8 IV Théorème de comparaison..................................... 8 IV 2 Théorème des gendarmes...................................... 8 V Limites de la fonction eponentielle 9 V Limites à l infini.......................................... 9 V 2 Des ites importantes...................................... 0 / 0

I Limite d une fonction à l infini I Limite finie à l infini Ia Soit l un réel et f une fonction définie sur intervalle I =]A ; + [, avec A un réel, ou I = R. On dit que f () tend vers l quand tend vers + si tout intervalle ouvert contenant l contient toutes les valeurs de f () pour assez grand. On note : f () = l. + Soit l un réel et f une fonction définie sur intervalle I =] ; A[, avec A un réel, ou I = R. On dit que f () tend vers l quand tend vers si tout intervalle ouvert contenant l contient toutes les valeurs de f () pour assez petit. On note : f () = l. Remarque : f () = l si et seulement si R, A R tq > A, f () ]l ; l + [. + f () = l si et seulement si R, A R tq < A, f () ]l ; l + [. Interprétation graphique : Quel que soit l intervalle ouvert contenant l, et aussi petit soit-il, il eiste un nombre A tel que la courbe Cf restreinte à l intervalle ]A; + [ soit située dans la partie colorée ci-dessous : Dans la suite du chapitre, on admettra que les fonctions utilisées dans les définitions et propriétés sont définies au moins sur un intervalle en adéquation avec la ite étudiée. Ib Fonctions de référence, 7 Les fonctions 7, 7 Les fonctions 7, 7 2, 7 2 (n N ), 7 n (n N ), 7 n, 7 ont pour ite 0 en +. ont pour ite 0 en. 2/ 0

Démonstration pour 7 : 2 Soit I un intervalle ouvert contenant 0. Posons alors I =]λ; µ[ avec λ < 0 et µ > 0. ]λ; µ[ λ < 2 < µ 2 0 < 2 < µ (car λ < 0) 2 > (car la fonction inverse est strictement décroissante sur R +.) µ < ou >. µ µ Donc pour assez grand mais aussi pour assez petit, I contient tous les 2, donc = 2 = 0. 2 + Ic Asymptotes horizontales Soit f une fonction et l un réel. Si f () = l, alors on dit que la droite d équation y = l est une asymptote horizontale à la + courbe de f en +. (Même définition en ) Remarque : Dans ce cas, la position de la courbe représentative de f par rapport à son asymptote est donnée par le signe de f () l. I2 Limite infinie à l infini I2a Soit f une fonction. On dit que f () tend vers + quand tend vers + si tout intervalle de la forme ]A ; + [ contient toutes les valeurs de f () pour assez grand. On note : f () = +. + On définit de même f () =, f () = +, f () =. + Remarque : f () = + si et seulement si A R, M R tel que > M, f () > A. + 3/ 0

Interprétation graphique La courbe Cf restreinte à l intervalle ]M ; + [ est dans la partie colorée ci-dessous : Eemple : Démontrer à l aide de la définition que 2 2 =. (Intervalle ouvert ] ; A[, 2 2 < A 2 2 A < 0, et 2 2 A est un polynôme soit négatif sur R (si 6 0), soit négatif à gauche de sa plus petite racine, et donc bien pour «assez petit», d où le résultat). I2b Fonctions de référence Les fonctions 7, 7 2, 7 n (n N ), 7, 7 ont pour ite + en +. Les fonctions 7, 7 3, 7 n (n N, n impair) ont pour ite en. Les fonctions 7 2, 7 n (n N, n pair), 7 ont pour ite + en +. Démonstration pour 7 2 en : Soit I =]A ; + [ avec A un réel strictement positif. 2 > A > A (car la fonction 7 est strictement croissante sur R+ ) > A ou < A. Donc pour < A, 2 I : I contient tous les 2 pour assez petit, donc 2 = +. II Limite infinie en un réel II Soient f une fonction et a un réel. On dit que f () tend vers + quand tend vers a si tout intervalle de la forme ]A ; + [ contient toutes les valeurs de f () pour assez proche de a. On note f () = +. a On définit de même f () =. a 4/ 0

T ale S Remarque si f est restreinte à l intervalle ]l ; + [ : f() = + si et seulement si ɛ R, M R tq ]l; l + ɛ[, f() > M. a Interprétation graphique : La courbe C f restreinte à l intervalle ]l ; l + ɛ[ est dans la partie colorée ci-dessous : II 2 Limite à gauche, ite à droite Étudions la fonction f définie sur R par f() = 0. lorsque prend des valeurs de plus en plus proches de On remarque qu on ne peut pas conclure directement sur la ite de f() quand tend vers 0 sans distinguer deu cas : positif ou négatif. Cas où > 0 : Quel que soit le nombre A > 0, > A < A R + ). (car la fonction inverse est strictement décroissante sur Autrement dit, quel que soit A > 0, si <, l intervalle ]A ; + [ contient les nombres f(). A On dit que la ite à droite en 0 de la fonction f est + et on le note f() = +. Cas où < 0 : On prouve de manière analogue que lorsque tend vers 0 en prenant des valeurs strictement inférieures à 0, alors tend vers. On dit que la ite à gauche en 0 de la fonction f est et on le note f() =. 0 >0 0 <0 5/ 0

II 3 Fonctions de référence, 7, 7 ont pour ite + en 0. 2 Les fonctions 7 et 7 3 ont pour ite quand tend vers 0 par valeurs inférieures («à gauche») et + quand tend vers 0 par valeurs supérieures («à droite») Les fonctions 7 Faire écrire ces résultats avec la notation. Démonstration pour 7 en 0 : 2 Soit I =]A; + [ avec A un réel. Si A 6 0, alors le résultat est immédiat car pour tout réel non nul, 2 > 0. Supposons maintenant que A est strictement positif. I 2 >A 2 2 < (la fonction inverse étant strictement décroissante sur R +.) A < (la fonction racine carrée étant strictement croissante sur R +. A < < A A Donc pour assez proche de 0, 2 I donc 2 = 0. 0 II 4 Asymptotes verticales Soient f une fonction et a un réel. Si f () = ou f () = +, on dit que la droite d équation = a est asymptote verticale a a à la courbe de f. Remarque : Ce résultat reste valable si a f () = + et a f () =, ou si a f () = et a f () = +. <a >a III Opérations sur les ites III Somme, produit, quotient <a >a Tableau des règles opératoires Les tableau du chapitre «Limites de suites» sont à reprendre, en remplaçant les suites u et v par les fonctions f et g définies au voisinage d un réel a ou de + ou. 6/ 0

III 2 Eemple général Eemple : 5 et Cf sa courbe représentative. +2. Déterminer l ensemble de définition de f. Soit f la fonction définie par f () = 2. Déterminer les ites de f au bornes de son ensemble de définition. Préciser les asymptotes éventuelles à Cf. 3. Étudier les variations de f puis dresser son tableau de variations. 4. Tracer dans un repère orthonormé la courbe de la fonction f ainsi que ses asymptotes. III 3 Quelques calculs de ites Déterminer les ites suivantes et en donner une interprétation graphique :. + 2 (2 )? 0 <0 +? +2 22 3. 2? 4? 4. + + 2. 2 III 4 Limite d une fonction composée Soient f une fonction définie sur un intervalle I et g une fonction définie sur un intervalle J telle que, pour tout J, g() I. On appelle fonction composée f g la fonction définie sur J telle que pour tout de J, on a : (f g)() = f (g()) Théorème On reprend les notations de la définition précédente. Si f () = b et g(x) = L, alors g(f ()) = L a X b a Eemple : Déterminer les ites suivantes :. cos? 2. 2 3? + 7/ 0

Eemple 2 : r 4 5 Soit f : 7.. Déterminer l ensemble de définition de f. 2. Déterminer les ites de f au bornes de son ensemble de définition. IV Limites et comparaison IV Théorème de comparaison Théorème de comparaison Soient f et g deu fonctions définies sur I =]A ; + [ (ou I = R) avec A un réel. Si pour tout de I, f () > g() et g() = +, alors f () = +. + + Si pour tout de I, f () 6 g() et g() =, alors f () =. + + Remarques : Ce théorème reste valable en ou en un réel a. Ce théorème reste valable également si l inégalité n est vérifié qu au voisinage de + (respectivement de ou de a). Démonstration : g() = + donc tout intervalle de la forme ]A ; + [ (M R) contient toutes les valeurs de + g() pour assez grand dans I. Or pour tout I, f () > g(). Ainsi, l intervalle ]A ; + [ contient aussi toutes les valeurs de f () pour assez grand dans I. C est-à-dire f () =. + Le deuième point se démontre de manière analogue. Eemple : Déterminer les ites en et en + de 7 cos. IV 2 Théorème des gendarmes Théorème des gendarmes (admis) Soient f, g et h trois fonctions définies sur I =]A ; + [ (ou I = R), avec A un réel. Soit l un réel. Si pour tout de I, g() 6 f () 6 h(), et si g et h ont la même ite l en +, alors f () = l. + Remarques : Ce théorème reste valable en ou en un réel a. Ce théorème reste valable également si l encadrement n est vérifié qu au voisinage de + (respectivement de ou de a). 8/ 0

Eemple : sin.. Montrer que f a une ite en + et interpréter graphiquement cette ite. (Attention, division par > 0) Soit f la fonction définie sur R par f () = 2. Déterminer de même la ite de f en. (Attention, division par < 0) 3. Déterminer la ite de f en 0. (Utiliser le tau de variation de la fonction sin en 0, ou résultat direct du cours) V Limites de la fonction eponentielle V Limites à l infini e = + + Démonstration (eigible BAC!) : Soit f la fonction définie sur R par f () = e. f est dérivable sur R et pour tout réel, f 0 () = e. Donc f 0 () > 0 e > e > e0 > 0. f est donc strictement décroissante sur ] ; 0] et strictement croissante [0; + [ : + 0 f 0 () 0 + f () f admet sur R le nombre comme minimum : R, f () > 0 soit e >. Or = + donc d après le théorème de comparaison, e = +. + + e = 0 Démonstration (eigible BAC!) : Posons X =. Ainsi, e = e X. Or X = + et + e = 0. e X = X + = 0. Donc par ite de fonction composée, X + ex 9/ 0

V2 Des ites importantes e = 0 Démonstration : e e+0 e0 =. 0 0 0 On reconnait la ite, quand tend vers 0, du tau de variation de la fonction eponentielle entre e = ep0 (0) =. 0 et 0 + ; or la fonction ep est dérivable en 0, donc 0 e = + + Démonstration : 2. 2 La fonction f est dérivable sur R et pour tout réel, f 0 () = e. Or, pour tout réel, e > (vu au-dessus), donc f 0 () > 0. La fonction f est donc strictement croissante sur R et f (0) =. 2 e Ainsi, pour tout réel strictement positif, f () > > 0, d où e >, soit > (car > 0). 2 2 e Or = + donc d après le théorème de comparaison, = +. + 2 + Soit f la fonction définie sur R par f () = e e = 0 Démonstration : Posons X =. Ainsi, e = Xe X = X. ex ex = +, d où, par passage à l inverse, X + X X Ainsi, X = + et X = 0. + e Donc par ite de fonction composée, e = 0. On a vu précédemment que X + X = 0. ex 0/ 0