Suites et séries de fonctions MP

Suites et séries de fonctions MP 17 jnvier 2013 Tble des mtières 1 Convergence simple et convergence uniforme 2 1.1 L convergence simple.............................. 2 1.2 L convergence uniforme............................. 2 1.3 Convergence uniforme sur tout compct.................... 5 1.4 Conseils prtiques, exercices........................... 5 2 Propriétés des limites uniformes 7 2.1 Continuité de l limite, interversion des limites ;................ 7 2.2 Intégrtion sur un segment, interversion des limites et de l intégrtion ;... 9 2.3 Lien vec les notions de convergence en moyenne et de convergence en moyenne qudrtique............................... 11 2.4 Dérivtion de l limite.............................. 12 2.5 Exercices..................................... 14 3 Séries de fonctions 16 3.1 Convergence simple, convergence uniforme des séries de fonctions...... 16 3.2 Convergence uniforme et convergence normle................. 17 3.3 Continuité de l limite, interversion des limites ;................ 19 3.4 Intégrtion sur un segment, interversion des limites et de l intégrtion ;... 22 3.5 Dérivtion terme à terme d une série...................... 22 3.6 Exercices..................................... 25 4 Questions brèves 30 5 Quelques corrigés 32 Document disponible sur univenligne.fr ou sur mpceznne.fr sous le nom SuitesFonctionsPrem.pdf 1

Commençons pr définir l notion de limite d une suite de fonctions selon divers modes de convergence. 1 Convergence simple et convergence uniforme 1.1 L convergence simple Dns ce qui suit, (E, N) désigne un espce normé de dimension finie. A est une prtie non vide de cet espce. Comme d hbitude K = R ou C. Définition 1 convergence simple On dit que l suite des fonctions (f n ) n définies sur A, à vleurs dns K converge simplement vers f si, pour tout x A, on lim f n(x) = f(x). n On dit que l série de fonctions de terme générl f n définies sur A, converge simplement vers S si l suite des sommes prtielles n S n = converge simplement vers S, c est à dire si pour tout x A, on n lim f k (x) = S(x). n k=1 Exercice 1 premiers exemples Etudier l convergence simple des suites de fonctions : 1. f n : x x n, sur l intervlle [0, 1]; 2. f n : x x n, sur l intervlle [0, 2]; 3. S n : x n xk, sur l intervlle [0, 1[; 4. S n : x n xk, sur l intervlle [0, 1]; 5. S n : x n 1.2 L convergence uniforme f n ( 1) k x 2k+1, sur l intervlle [0, 1]; (2k + 1)! Soit A un ensemble quelconque, on noter dns ce chpitre (et dns les suivnts) F(A, K) l espce vectoriel des fonctions à vleurs dns K et B K (A) l espce vectoriel des fonctions à vleurs dns K, bornées sur A. Rppelons que, l on définit une norme sur B K (A), en posnt On note ussi f = sup f(x). A x A f A = N A (f). On prendr grde, dns l définition qui suit, que f g A peut être définie sns que ni f ni g, mis seulement leur différence, ne soient bornées sur A. 2

Définition 2 Soit (f n ) n une suite de fonctions de F(A, K). On dit que (f n ) n converge uniformément sur A vers une fonction f ssi les fonctions f n f sont bornées à prtir d un certin rng et Ce qui signifie que lim n f n f A = 0. sup f n (x) f(x) = ε n x A est une suite de réels positifs de limite zéro. On dit que l série de fonctions de terme générl f n converge uniformément sur A vers une fonction S si n lim f k S = 0; n A Cel signifie que sup x A n f k (x) S(x) est une suite de réels positifs de limite zéro. Remrque : On dit que l norme, sur B K (A) est l norme de l convergence uniforme... mis ttention, ce n est ps une norme sur F(A, K)! Théorème 1 de l convergence uniforme à l convergence simple Soit (f n ) n, une suite de fonctions bornées sur A. Si l suite (f n ) n, converge uniformément vers f, lors elle converge simplement vers f. Démonstrtion : elle frise l évidence. Remrque : pour étudier l convergence uniforme d une suite de fonctions, on commencer pr rechercher s limite simple si elle existe. On pourr prfois étudier les vritions de l fonction différence pour déterminer ses extrem. Exercice 2 les deux modes de convergence 1. Étudier les deux modes de convergence pour l suite (x x n ) n sur les intervlles [0, ] vec 0 < < 1, [0, 1[, et [0, 1]. 2. Étudier de l même fçon les deux modes de convergence pour l série de fonctions de terme générl x x n sur l intervlle [0, ]. Que peut on dire sur [0, 1[, et [0, 1]? Exercice 3 phénomène de l bosse flottnte Etudier l convergence simple et l convergence uniforme de l suite des fonctions définies nx pr φ n (x) = sur l intervlle [0, 1], sur un intervlle [, 1] vec > 0. 1 + (nx) 2 3

0 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x Figure 1 le phénomène de l bosse flottnte Exercice 4 u kilomètre Etudier les différents modes de convergence des suites (f n ) n sur tout ou prtie de l intervlle I. 1. f n (x) = ln(1 + x ), x 0. n 2. f n (x) = xn 1 x n + 1, x 0. 3. f n (x) = 1 xn x 2n, x [0, 1]. + 1 1 4. f n (x) = 1 + (x + n) 2, x R. 5. g étnt une fonction définie sur R, et f n (x) = g(x) 2 g(x) 2 + 1 n Exercice 5 fonctions bornées Soit (f n ) n une suite de fonctions bornées sur A. 1. On suppose que (f n ) n converge uniformément vers une fonction f. Montrer que f est bornée, qu il existe M telle que pour tout n, f n M. 2. On suppose que (f n ) n converge simplement vers une fonction f. A-t-on les mêmes conclusions? 3. On suppose que (f n ) n converge simplement vers une fonction f et que, de plus, il existe M telle que pour tout n, f n M. f est elle bornée? Théorème 2 Soit (f n ) n une suite des fonctions définies sur A qui converge uniformément vers une fonction f. Si chcune des fonctions f n est bornée, lors f est bornée et il existe M telle que pour tout n, f n M. 4

Démonstrtion vous l urez fite vec l exercice précédent. Théorème 3 critère de Cuchy pour l convergence uniforme (ps u progrmme?) Soit (f n ) n une suite de fonctions de B(A), qui vérifie le critère de Cuchy pour l norme de l convergence uniforme. Il existe lors une fonction φ B(A) telle que (f n ) n converge uniformément vers φ, soit : lim n f n φ = 0. Cel signifie en prticulier que (B(A), ) est un espce complet (ou un espce de Bnch). Démonstrtion En deux étpes : pour chque x A, l suite (f n (x)) n est une suite de Cuchy dns K. On note φ(x) s limite. Soit ε > 0, il existe N tel que si n N et n 0 N, f n f n0 ε. On remrque lors que pour tous n 0 et n supérieurs à N, et pour tout x I, φ(x) f n0 (x) φ(x) f n (x) + f n (x) f n0 (x) φ(x) f n (x) + f n f n0. On en déduit que φ(x) f n0 (x) φ(x) f n (x) + ε et, pr pssge à l limite lorsque n tend vers l infini, on prouve que pour tout ε > 0, il existe N tel que si n 0 N, sup φ(x) f n0 (x) ε. Cel prouve que φ est bornée sur I cr φ(x) f n0 + ε, et que (f n ) n converge uniformément vers φ. 1.3 Convergence uniforme sur tout compct Définition 3 Soit (f n ) n une suite de fonctions définies sur une prtie A de E, à vleurs dns K. On dit que (f n ) n converge uniformément sur tout compct de A, lorsque pour tout compct C de A, l suite des restrictions des fonctions f n à C, f n C est uniformément convergente. Exercice 6 1. Montrer que si (f n ) n converge uniformément sur tout compct de I, elle converge simplement sur I; 2. Donner un exemple de suite qui converge uniformément sur tout compct de I, mis qui ne converge ps uniformément sur I; 1.4 Conseils prtiques, exercices convergence simple : c est pr là que l on commence ; pour x fixé dns l ensemble de déprt, on étudie l limite de (f n (x)) n. convergence uniforme d une suite de fonctions : si lim f n (x) = f(x) (limite simple), étudier les vritions de f n f pour estimer f n f ; 5

si on n y prvient ps sur I on peut essyer sur des sous-intervlles (en prticulier sur des compcts) ; Exercice 7 Etudier convergences simples et uniformes pour les suites : 1. f n (x) = x 2 exp( sin(x/n)); 2. f n (x) = sin(nx)) n x. Exercice 8 Soit f une fonction de clsse de clsse C 2 sur R, dont l dérivée seconde est bornée. Étudier l convergence de l suite de fonctions (φ n ) n, où ( ( φ n (x) = n f x + 1 ) ) f(x). n Exercice 9 lemme de Dini 1. Soit (f n ) n une suite de fonctions continues sur un compct K, à vleurs dns R. On suppose que (f n ) n converge simplement vers une fonction f sur K ; l suite est monotone, ie : pour tout x K, (f n (x) n est monotone. Montrer que l convergence est uniforme. 2. Exemple : étudier l suite (f n ) n de fonctions définies sur ]0, + [ pr Corrigé en section 5. f 0 (x) = 1 e t 1, f n+1(t) = 3 4t + t3 4 f 4 n(t). 6

2 Propriétés des limites uniformes 2.1 Continuité de l limite, interversion des limites ; Théorème 4 Soit (f n ) n une suite de fonctions de B(A), on suppose que cette suite converge uniformément vers une fonction f B(A), lors : si, à prtir d un certin rng, les fonctions f n sont continues en A, l fonction f est continue en. si, à prtir d un certin rng, les fonctions f n sont continues sur A, l fonction f est continue sur A. Démonstrtion Soit ε > 0, il existe n 0 tel que f n0 f ε /3; Comme f n0 est continue en, il existe α > 0 tel que Alors x α f n0 (x) f n0 () ε /3. f(x) f() f(x) f n0 (x) + f n0 (x) f n0 () + f n0 () f() ε. Conséquence importnte en prtique, à connître et reconnître : Si une suite (f n ) n, de fonctions continues converge uniformément vers f sur tout intervlle compct [, b α] [, b], lors f est continue sur [, b[. Penser que cel n entrîne ni l convergence uniforme, ni l continuité sur [, b], ni même l convergence uniforme sur [, b[, comme le montre l exemple f n (x) = x n sur [0, 1[. Exercice 10 à propos de complétude* 1. Déduire du théorème qui précède que l espce vectoriel des fonctions continues sur [, b] segment de R, à vleurs complexes est complet pour l norme uniforme. 2. Montrer que l suite de fonctions définies sur [ 1, 1] pr f n (x) = uniformément convergente sur I, et que s limite n est ps une fonction C 1. (C 1 ([, b], C), ) est il complet? On générlise le théorème précédent de l fçon suivnte x 2 + 1 n est de clsse Théorème 5 interversion des limites Soient (f n ) n une suite de fonctions définies sur A E, evn, et un point dhérent à A, à vleur dns un evn F complet (pr exemple A =], b] R, vec réel ou, ou encore A = [b, [ vec réel ou +...) On suppose que : (f n ) n converge uniformément sur A vers une fonction f, pour chque n, f n dmet une limite en : lim f n(x) = l n K x 7

lors : l suite (l n ) n converge, l fonction f dmet une limite en, cette limite est l limite des l n : ce qui s exprime encore lim f(x) = lim l n x n C est pourquoi on prle d interversion des limites. lim lim f n(x) = lim lim f n(x) (2.1) x n n x Remrques : - On observe que si R, l existence des limites l n revient à ffirmer que les fonctions l n dmettent des ppc en. On se retrouve lors dns les hypothèses du théorème précédent à cel près que l convergence de (l n ) n et l existence de f() ne sont plus ssurées pr les hypothèses. - L démonstrtion qui suit suppose que l espce d rrivée est un evn complet. Le théorème devient fux si on remplce F pr un evn non complet. Démonstrtion : On commence pr montrer que l suite (l n ) n est une suite de Cuchy dns F. On se donne ε > 0 et un rng N ε à prtir duquel f n f A ε. Donnons nous p N ε et q N ε ; on lors pour tout x A, l p l q l p f p (x) + f p (x) f q (x) + f q (x) l q. Comme lim x f p (x) = l p et lim x f q (x) = l q, il existe un voisinge de tel que pour x V A, on à l fois l p f p (x) ε et f q (x) l q ε. Ainsi vons nous montré que pour tout ε > 0, il existe N ε tel que p > N ε et q > N ε l p l q 3ε. L suite (l n ) n est donc convergente dns K (ou F evn complet). Pour montrer que s limite l vérifie lim x f(x) = l, on reprend qusiment à l identique l démonstrtion du théorème précédent : soit ε > 0, il existe n 0 tel que f n0 f ε /3. Comme f n0 est continue en, il existe un voisinge V de tel que Alors x V A f n0 (x) f n0 () ε /3. x V A f(x) l f(x) f n0 (x) + f n0 (x) f n0 () + f n0 () l ε. l est bien limite de f en./fin 8

Exercice 11 Donner un contre exemple à l formule (2.1) dns le cs d une suite de fonctions convergent simplement. Exercice 12 On considère ici l fonction ζ(x) = 1 n x. 1. Ensemble de définition? 2. Continuité? 3. Limite en +? Exercice 13 On considère ici l fonction µ(x) = 1. Ensemble de définition? 2. Continuité? 3. Limite en +? Exercice 14 composées ( 1) n 1 n x. 1. On suppose que (f n ) n, suite de fonctions continues, converge uniformément vers f sur R. Que dire de l suite de terme générl f n f n? Converge-t-elle simplement, uniformément? 2. Même question en cs de convergence simple. 2.2 Intégrtion sur un segment, interversion des limites et de l intégrtion ; Théorème 6 intégrtion d une limite uniforme Soit (f n ) n une suite de fonctions définies sur I = [, b]. Si les fonctions f n sont continues et si (f n ) n converge uniformément vers une fonction f sur I, lors f est continue l suite des intégrles b f n(t) dt converge et de plus, b f(t) dt = lim n Démonstrtion fcile puisque, lorsque b, b f n (t) f(t) dt b b f n (t) dt f n (t) f(t) dt f n f(t) b. Remrque si les fonctions f n sont seulement supposées continues pr morceux, on n ps l grntie que l limite uniforme soit continue pr morceux et les conclusions peuvent ne ps voir de sens. Pr contre si on suppose à l fois que les fonctions f n sont continues pr morceux, l suite (f n ) n converge uniformément vers f, continue pr morceux, 9

lors, l même démonstrtion tient l route. Remrque nous reviendrons sur les suites d intégrles sur des intervlles quelconques sur lesquels l convergence uniforme ne permet ps de conclure (théorèmes de convergence dominée) Exercice 15 Etudier les suites de fonctions (f n ) n et leurs intégrles sur l intervlle [0, 1] lorsque f n (x) = n α x n (1 x) pour α = 1/2, α = 1 puis α = 2. correction en 5 Exercice 16 1. Donner un contre exemple u théorème d interversion limite et intégrle sur un intervlle compct (en remplçnt l hypothèse de convergence uniforme pr l hypothèse de convergence simple) ; 2. Donner un contre-exemple en considérnt un intervlle quelconque mis en conservnt l hypothèse de convergence uniforme ; 10

2.3 Lien vec les notions de convergence en moyenne et de convergence en moyenne qudrtique Rppelons que l on définit des normes sur C([, b], K), espce des fonctions continues sur [, b], à vleurs dns K, en posnt f 1 = b f(t) dt, ( b 1/2 f 2 = f(t) dt) 2, et que l norme 2 est ssociée u produit sclire défini sur C([, b], K) pr : (f g) = b f(t)g(t) dt. Définition 4 modes de convergences Soit (f n ) n une suite d éléments de C([, b], K), espce des fonctions continues sur [, b], à vleurs dns K. On dit que l suite (f n ) n converge en moyenne vers f C([, b], K) si n lim n f n (t) f(t) dt = 0 ce qui revient à dire que f n f 1 tend vers 0. On dit que l suite (f n ) n converge en moyenne qudrtique vers f C([, b], K) si ( n 1/2 lim f n (t) f(t) dt) 2 = 0 n ce qui revient à dire que f n f 2 tend vers 0. Remrque on peut ussi considérer des fonctions continues pr morceux, mis on éviter lors de prler de norme puisque f i = 0 n implique plus dns ce cs que f = 0. Théorème 7 On, pour toute fonction f C([, b], K), les reltions suivntes entre f 1, f 2 et f : f [,b] f 1 (b ) f f 2 (b ) f f 1 (b ) f 2 11

Théorème 8 Soit (f n ) n une suite de fonctions continues sur [, b]. L convergence uniforme de (f n ) n entrîne l convergence en moyenne qudrtique ; L convergence en moyenne qudrtique entrîne l convergence en moyenne. Convergences en moyenne, en moyenne qudrtique sur un intervlle quelconque : nous reviendrons sur ces notions de convergence en moyenne, en moyenne qudrtique, pour des fonctions intégrbles et continue pr morceux sur des intervlles quelconques... 2.4 Dérivtion de l limite Exercice 17 L limite de l suite (f n ) n où f n est définie sur [ 1, 1] pr f n (x) = x 2 + 1/n est elle dérivble? Cette suite est elle uniformément convergente? Théorème 9 dérivtion Soit (f n ) n une suite de fonctions telle que chque f n est une fonction de clsse C 1, il existe I tel que (f n ()) n converge (on note α s limite), (Df n ) n converge uniformément sur tout segment de I vers une fonction g. Alors, (f n ) n converge uniformément sur tout segment de I vers l primitive de g définie pr En d utres termes : f(x) = α + x g(t) dt lim Df n = g = D( lim f n) n n l convergence étnt uniforme sur tout intervlle compct contenu dns I. Démonstrtion sns une bonne compréhension de cette démonstrtion on urit du ml à retenir le théorème, donc... Comme (Df n ) n converge uniformément sur tout compct s limite g est bien continue sur tout compct de I donc en tout point de l intervlle I. L nottion de l énoncé f(x) = α + x g(t) dt bien un sens. Le théorème fondmentl de l nlyse nous pprend que chque fonction f n vérifie f n (x) = f n () + x f n (t) dt On considère un segment [α, β] I, on observe que le segment J = [α, β ] = [min(α, ), mx(β, )] est lui ussi contenu dns I. Pour x J, nous pouvons mjorer x f(x) f n (x) = α f n() + (g(t) f n(t)) dt f(x) f n (x) α f n () + 12 x g(t) f n(t) dt

Nous obtenons lors une mjortion indépendnte de x [α, β ] f(x) f n (x) α f n () + g f n [α,β ] dont nous déduisons que l norme uniforme sur le segment [α, β] vérifie f n f [α,β] f n f [α,β ] α f n() + g f n [α,β ] Ainsi, (f n ) n converge uniformément vers f sur tout compct de I. S limite f (primitive de g continue) est de clsse C 1 et f = g ce qui s exprime Exercice 18 mise en œuvre simple D(lim f n ) = lim Df n. 1. Pourquoi s embrrsse-t-on de l intervlle [α, β ] dns l démonstrtion? En quoi est-ce utile? 2. Existence, continuité et dérivbilité de n n cos(nx) lorsque n est bsolument convergente. 13

2.5 Exercices Exercice 19 de brèves et pertinentes questions Vri ou fux? Justifier ou contre-exempler : 1. une limite simple de fonctions pires (ou impires, ou périodiques, ou croissntes, ou continues) est une fonction pire (ou impire, ou périodique, ou croissnte, ou continue)? 2. une limite uniforme de fonctions continues (ou de clsse C 1 ) est une fonction continue (ou de clsse C 1 )? 3. lorsque les deux membres ont un sens, l formule suivnte est vrie : lim lim f n(x) = lim lim f n + x x n(x)... n + 4. lorsque les deux membres ont un sens, l formule suivnte est vrie : ( 1 ) 1 ( ) lim f n (x)dx = lim f n(x) dx... n + n + Exercice 20 convergence uniforme et polynômes 0 1. Expliquer pourquoi, dns un espce normé, un sev de dimension finie est fermé. 2. Soit (P n ) n une suite de polynômes de degrés d o P d, qui converge uniformément sur I = [, b] vers une fonction f B(I). Montrer que l limite f est l restriction d une fonction polynôme (P n ) n converge uniformément sur tout compct de R. Exercice 21 convergence uniforme et polynômes Soit f : I = [, b] K, et (P n ) n, une suite de polynômes qui converge simplement vers f sur I. On suppose que < b et que l suite des degrés des polynômes P n est mjorée, ie : d N, d o P n d. 1. Prouver que l convergence est uniforme et que l limite est un polynôme f de degré d. 2. Prouver que (P n ) n, converge uniformément vers f sur tout intervlle compct. 3. Qu en est-il de ces questions lorsqu on remplce l intervlle I pr un compct de C? 1 indiction : introduire une norme N(P ) = mx P ( i ) pour une fmille de points ( i ) i bien choisie. Exercice 22 les polynômes d interpoltion convergent ils? Soit f une fonction de clsse C 3 sur un intervlle [, b] de R. On se propose de mjorer l écrt entre f et son polynôme d interpoltion en x 1, x 2, x 3 en fonction de M 3 (f) = sup x [,b] f (3) (x). 1. Soit g une fonction de clsse C 3 sur [, b]. On suppose que g est nulle en 4 points distincts de [, b]. Montrer qu il existe t ], b[ tel que g (3) (t) = 0. 1. êtes vous sûrs des petits détils? 0 14

2. Soit P f le polynôme de R 2 [X] tel que P f (x i ) = f(x i ), i = 1, 2, 3. On pose : (1) K(x) = f(x) P f (x) (x x 1 )(x x 2 )(x x 3 ) (2) W x (t) = f(t) P f (t) (t x 1 )(t x 2 )(t x 3 )K(x) () On choisit x distinct des x i. Montrer que W x (t) est définie sur [, b] et qu elle dmet 4 zéros dns cet intervlle. (b) Montrer qu il existe un point c de ], b[ en lequel W (4) x (c) = 0. (c) En déduire une mjortion de l écrt f(x) P f (x) sur [, b]. 3. Générliser à n + 1 points 4. Y -t-il toujours convergence de l suite des polynômes d interpoltion? Exercice 23 un exemple simple d unité pprochée On considère l suite h n des fonctions définies sur R pr : h n (x) = 0, si x 1/n h n (x) = n 2 (x + 1/n), si 1/n x 0 h n (x) = n 2 ( x + 1/n), si 0 x 1/n h n (x) = 0, si x 1/n. On pose lors f h n (x) = 1 1. Écrire f h n (x) f(x) comme une intégrle. 1 h n (t)f(x t) dt. 2. On suppose quef est lipschitzienne sur R, mjorer f h n (x) f(x). En déduire que (f h n ) n converge uniformément vers f sur R. 3. On suppose que f est continue sur R, montrer que (f h n ) n converge simplement vers f sur R. 4. On suppose que f est uniformément continue sur R, montrer que (f h n ) n converge uniformément vers f sur R. 15

3 Séries de fonctions L étude des séries de fonctions est un cs prticulier de l étude des suites mis, comme pour les séries numériques, elle permet de mettre en œuvre des moyens spécifiques. Les séries de fonctions interviennent dns l études de nombreux problèmes et des fonctions remrqubles sont définies pr des séries : fonctions périodiques comme sommes de séries de Fourier, séries entières, solutions d équtions différentielles... Adptons donc les résultts qui précèdent ux cs des séries. 3.1 Convergence simple, convergence uniforme des séries de fonctions Définition 5 convergence simple On dit que l série de fonctions de terme générl f n définies sur A E, converge simplement vers S si l suite des sommes prtielles S n = converge simplement vers S, c est à dire si pour tout x A, on lim n n k=1 f n n f k (x) = S(x). On dit que l série de fonctions f n est bsolument convergente ssi l série des fonctions n f n est simplement convergente ; dns ce cs l série f n est ussi simplement convergente. Lorsque l série de fonctions f n converge simplement sur I, les restes sont les fonctions définies pr R n (x) = f n (x); k=n+1 Définition 6 Soit (f n ) n une suite de fonctions de F(A, K). On dit que l série de fonctions de terme générl f n converge uniformément sur A vers une fonction S si n lim f k S = 0; n A 16

Théorème 10 restes, convergence simple et convergence uniforme Lorsque l série de fonctions f n converge simplement sur A, l suite des restes est une suite de fonctions qui converge simplement vers 0. l série de fonctions f n est uniformément convergente sur A ssi elle converge simplement sur A, l suite des restes converge uniformément vers 0 ie : R n (x) = sup x A n f k (x) S(x) Remrque : comme pour étudier l convergence uniforme d une suite, on commencer pr rechercher l limite simple d une série si elle existe. On étudie ensuite le type de convergence de l suite des restes (dont l cv simple est ssurée). Exercice fonctions : 24 1. S n : x n xk ; 2. T n : x n 3. U n : x n Exercice Étudier l convergence simple et l convergence uniforme des séries de x k k! ; ( 1) k x k, sur l intervlle [0, 1]; k 25 l convergence uniforme et le critère des séries lternées... 1. Étudier l convergence de l série de fonctions sur un domine que l on préciser. n=2 ( 1) n x + n, 2. Étudier de l même fçon l série ( 1)n n x. 3.2 Convergence uniforme et convergence normle Définition 7 convergence normle On dit qu une série de fonctions f n converge normlement sur A, si chcune des fonctions est bornée sur A, l série numérique f n converge Théorème 11 Soit f n une série de fonctions définies sur A, à vleurs dns K, qui converge normlement sur A. 17

l série de fonction f n est uniformément convergente sur A; l série de fonction f n est uniformément convergente sur A; N ( n n 0 f n ) n n 0 N (f n ). Démonstrtion elle fit comprendre cette notion ; notons pour fixer les idées : α k = f k, terme générl d une série numérique convergente, ρ n = k=n+1 α k, reste d une série numérique convergente. une série normlement convergente des sommes prtielles bornées : n f k (x) n f k (x) f k = M l série n f k(x) converge simplement, série à termes positifs mjorée (pr une constnte). n f k(x) est bsolument convergente, donc convergente (puisque l espce d rrivée est complet) ; on peut donc prler de l série des restes et montrer qu elle converge uniformément vers 0 ; en effet, R n (x) = f k (x) α k = ρ k k=n+1 k=n+1 qui pour limite 0 lorsque n, puisque c est le reste d une série numérique convergente. Remrque : on peut ussi remrquer qu une série normlement convergente stisfit u critère de Cuchy uniforme dns B K (A). En effet, n+p k=n f k(x) k=n α k, et comme (B K (A), ) est complet, l série converge pour l norme. Théorème 12 reltions entre les différents modes de convergence Le schém suivnt résume les reltions entre les différents mode de convergence : f n conv. bsolt. fn conv. normlt. fn conv. simplt. f n conv. unift. Démonstrtion Exercice 26 On étudier les différents modes de convergence pour les séries de fonctions suivntes : 1. sin nx f n vec f n (x) = ; clculer s somme. n! 2. f n vec f n (x) = nx 2 e n x ; 3. 1 f n vec f n (x) = n + n 3 x 2 4. ( ) f n vec f n (x) = ( 1) n 1 ln 1 + n(1 + x) 18

5. f n vec f n (x) = ( 1)n x + n Conseils prtiques pour l étude d une série de fonctions convergence normle : Le plus fcile, lorsque c est possible, est d étblir l convergence normle, on mjore u n sur I ou sur des sous-intervlles de I pour prouver que u n converge ; convergence simple et convergence uniforme : Si l on ne peut étblir l convergence normle, on commencer pr étblir l convergence simple. Une fois cel étbli, on peut définir sur l ensemble de convergence simple S(x) = u k (x) l convergence simple étblit l existence du reste, que l on chercher ensuite à mjorer sur I ou des sous-intervlles de I pour étblir une mjortion de s norme uniforme R n ; on sit que u n converge uniformément sur I ssi (R n ) n converge uniformément vers 0 sur I. cs prticulier des séries lternées : lorsque l série u n (x) est lternée et stisfit u critère spécil, on dispose de l mjortion : R n (x) u n+1 (x)... elle permet souvent d étblir l convergence uniforme ; 3.3 Continuité de l limite, interversion des limites ; Théorème 13 Soit f n une série de fonctions qui converge uniformément vers une fonction S définie sur A; lors : si toutes les fonctions f n sont continues en A, l fonction S est continue en. si toutes les fonctions f n sont continues sur A, l fonction S est continue sur A. Théorème 14 interversion des limites, cs des séries Soit (f n ) n une suite de fonctions définies sur I = [, b[. On suppose que l série f k converge uniformément vers une fonction S, 19

pour chque n, f n dmet une limite en b : lors : l fonction S dmet une limite en b, cette limite est l somme b k : ce qui s exprime encore lim lim f n(x) = b n K x b lim S(x) = lim x b n x b f n (x) = n b k lim f n(x) (3.1) x b Démonstrtion c est le théorème 5, l suite des sommes prtielles remplçnt les (f n ) n Exercice 27 l fonction ζ de Riemnn On considère l fonction ζ de Riemnn, définie sur ζ(x) = 1 n x. 1. Quel est son ensemble de définition dns R? 2. Montrer que l série converge uniformément sur [, + [ pour tout > 1. 3. Montrer que ζ est continue. 4. Déterminer s limite en +. 5. Justifier que ζ décroît sur ]1, + [. 6. Quelle est s limite en 1? Exercice 28 Soit un réel tel que 0 < < 1, et n S(x) = 1 x n. 1. Justifier l convergence de l série sur [0, 1[. 2. Montrer que S est continue sur [0, 1[. 3. Donner un équivlent de S(x) u voisinge de 1 (fctoriser et penser u théorème d interversion des limites). Exercice 29 On se propose dns cet exercice de déterminer l limite de n ( ) k n U n =. n k=1 On introduit pour cel les fonctions f p définies pr { ( f p (x) = 1 x) p x si x p f p (x) = 0 si 0 x p. 20

1. Montrer que l série de fonctions f p converge normlement sur R +. 2. Montrer que U n = En déduire l limite de (U n ) n. correction en 5 f p (n). p=1 21

3.4 Intégrtion sur un segment, interversion des limites et de l intégrtion ; Théorème 15 Soit (f n ) n une suite de fonctions continues sur I = [, b]. Si l série de fonctions f n converge uniformément sur I vers une fonction S, lors S est continue l série des intégrles b f n(t) dt converge et de plus, b ( b ) b S(t) dt = f k (t) dt = f k (t) dt Remrque nous reviendrons sur les intégrles de suites et de séries sur des intervlles quelconques pour lesquels l convergence uniforme n est ps une hypothèse suffisnte (théorèmes de convergence monotone, d intégrtion terme à terme...) Exercice 30 1. Montrer que 1 0 1 1 + t 2 dt = n 0 ( 1) n 2 n (n + 1). 2. On veut mintennt exprimer 1 () Montrer que pour tout x [0, 1[, x 0 1 0 1 1 + t dt. 1 + t dt = n 0 ( 1) n x n+1. n + 1 (b) Montrer que l série de fonctions n V n ou V n (x) = ( 1)n x n+1 uniformément sur [0, 1] et que s somme est continue. (c) En déduire une expression de n + 1 converge 1 0 1 1 + t dt. 3.5 Dérivtion terme à terme d une série Théorème 16 Soit (f n ) n une suite de fonctions définies sur I, telle que chque f n est une fonction de clsse C 1, il existe I tel que f n () converge ; l série de terme générl Df n converge uniformément sur tout segment de I vers une fonction s; 22

Alors, f n converge uniformément sur tout segment de I, s somme est de clsse C 1, s = Df n = D ( f n) = DS Corollire 17 le même pour l clsse C p Soit (f n ) n une suite de fonctions telle que chque f n est une fonction de clsse C p, les séries de fonctions f k, f k,..., f (n 1) k, convergent en un même point, l série de terme générl D (n) f k = f (n) k converge uniformément sur tout segment de I vers une fonction s n, Alors, f n converge uniformément sur tout segment de I, s somme, S, est de clsse C p, pour i = 1,..., n, f n (i) converge uniformément sur tout segment de I, vers l dérivée iìme de S : D (i) S = D (i) f n = s i. Exercice 31 Existence, continuité et dérivbilité de n n cos(nx) lorsque n est bsolument convergente. Exercice 32 Soit f définie sur R pr f(x) = 1. Justifier l convergence de l série ; 1 n cosn x sin nx. 2. Montrer que f est de clsse C 1 sur R privé de πz et clculer f ; 3. Donner une expression de f. Exercice 33 1. Résoudre l éqution différentielle y (t) + y(t) = cos(nt); 2. Soit n, une série bsolument convergente. () Pour N N, on considère l éqution différentielle y (t) + y(t) = N n cos(nt). Donner une solution prticulière de cette éqution, en déduire les utres. 23 n=0

(b) Montrer toutes les solutions de l éqution différentielle y (t) + y(t) = n cos(nt) n=0 sont des fonctions de clsse C 2. Exprimer ces solutions. Exercice 34 éqution de l chleur On suppose que l série de terme générl ( n ) n est bsolument convergente. Justifier que l somme de l série ( nπ ) π 2 n sin L x e n2 L 2 t, n=0 est solution de l éqution ux dérivées prtielles 2 u(x, t) u(x, t) = 0. t x2 C est dns le cours sur les séries de Fourier que nous borderons plus en détils cette éqution... 24

3.6 Exercices Exercice 35 à propos de ln(1+x)... 1. Étudier l convergence de l série de fonctions ( 1) n x n ; 2. En déduire que, sur ] 1, 1[, ln(1 + x) = ( 1) n 1 xn 3. Montrer que cette série converge uniformément sur tout compct de ] 1, 1]. En déduire que ( 1) n 1 ln(2) =. n n. Exercice 36 On se propose d étudier l série de fonctions x n n 2. 1. Étudier l convergence simple de cette série ; on noter Li(x) s somme, là où elle est définie ; 2. Montrer que Li est continue sur son ensemble de définition ; 3. On rppelle que l série de fonctions ( 1) n 1 n 1 xn converge uniformément vers ln(1 + x) sur tout intervlle compct de ] 1, 1] (voir l exercice 35). () En déduire que n x ln(1 t) Li(x) = 0 t sur l intervlle ] 1, 1[. on pourr considérer qu il s git de l intégrle du ppc pr exemple (b) Montrer que, pour tout x [0, 1[, Li(x) + Li(1 x) = Li(1) ln(1 x) ln x dt (c) Montrer que Voir corrigé en 5 1 2 n n 2 = π2 12 1 2 ln2 2; 25

Exercice 37 Soit S(x) = 1. Justifier l convergence de l série x n 1 x n. 2. Montrer que S est continue sur ] 1, 1[; étudier s dérivbilité. Exercice 38 Montrer que 1 0 x x dx = ( 1) n+1 n n. Exercice 39 séries lternées On se propose d étudier sur [0, + [ l somme de l série de fonctions ( ( 1) n ln 1 + x ) n 1. Préciser les ensembles de convergence, l continuité de l limite ; 2. L somme de cette série est elle dérivble? Exercice 40 Soit S(x) l somme de l série ( 1)n n + x 1. Étudier l convergence de l série sur ]0, [ et l continuité de S; 2. Trouver des équivlents de S(x) u voisinge de 0, u voisinge de + ; 3. Montrer que Exercice S(x) = 41 fonctions ζ et µ de Riemnn 1 0 t x 1 1 + t dt. Pour x réel, on considère les séries de fonctions 1 ( 1)n+1 et nx n x. 1. Étudier les différents modes de convergence de ces deux séries. 2. On poser ζ(x) = 1 n x et µ(x) = ( 1) n+1 n x. Préciser les ensembles de définition, l continuité de ces deux fonctions. 3. Étudier leur dérivbilité. 4. Limites : () Clculer l limite en 0 de µ(x) (b) Clculer les limites en + de ζ(x) et de µ(x) (c) Donner un équivlent de ζ(x) lorsque x 1 +. 26

5. Montrer que µ(x) = (1 2 1 x )ζ(x). Exercice 42 On se propose d étudier l série de fonctions u n (x) = 1 cosh(nx). 1. Étudier l convergence simple de cette série sur ]0, + [, puis sur R ; on noter F (x) s somme lorsqu elle converge. 2. Étudier l convergence normle de l série de fonctions u n (x) sur [, + [, lorsque > 0. En déduire que F est continue. 3. Étudier l convergence normle de l série des dérivées u n(x) sur un intervlle [, b] vec 0 < < b. Montrer que F est de clsse C 1 sur R. 4. On souhite déterminer un équivlent de F (x) u voisinge de +. On écrit pour cel 1 F (x) = cosh(x) + 1 cosh(nx). Exercice n=2 Donner une mjortion de l somme R 1 (x), et conclure. 43 équivlent d une somme (premier terme) 1. Donner un équivlent en + de 2. Donner un équivlent en + de 1 shnx. 1 n(ln n) x. On pourr ussi s intéresser ux propriétés des fonctions. Exercice 44 On se propose d étudier l série de fonctions de terme générl f n (x) = e x n. 1. Montrer que, pour tout > 0 et tout α 0, 2. () e n = o n + ( ) 1 n α. Étudier l convergence simple de cette série de fonctions ; (b) Montrer que l série f n converge normlement sur tout intervlle [, + [ lorsque > 0; 3. On note dorénvnt S(x) = n 0 f n(x) pour x > 0. () Montrer que S est une fonction de clsse C 1 et exprimer s dérivée. (b) Démontrer que S est une fonction de clsse C (on procéder pr récurrence sur k pour étblir que S est une fonction de clsse C k ) et exprimer ses dérivées successives. 27

4. () Clculer l limite de S(x) en +. (b) Pour un entier nturel fixé N, donner un équivlent de l fonction R N (x) lorsque x tend vers +. indiction : mjorer le reste R N+1 en comprnt f n (x) à une intégrle de l fonction g(t) = e xt sur un intervlle bien choisi... 5. Montrer que S(x) pour limite + en 0. Exercice 45 Soit S : x nxe nx2. 1. Quel est le domine de définition de l fonction S? 2. On pose u n (x) = nxe nx2. () Déterminer u n,r. (b) L série de fonctions u n est elle normlement convergente sur R? Est-elle uniformément convergente? (c) Montrer que cette série de fonctions converge uniformément sur un intervlle [, + [ lorsque > 0. S est elle continue sur R? (d) Étudier églement s dérivbilité. 3. En considérnt l série v n où v n (x) est une primitive bien choisie de u n, donner une expression de S à l ide de fonctions usuelles. Donner un équivlent de S en 0 ; S est elle continue sur R? continue pr morceux? corrigé en 5 Exercice 46 On considère l suite des fonctions f n (x) = ( 1)n n + 1 e nx. 1. Étudier les différents modes de convergence de l série de fonctions f n ; 2. On note S l somme de cette série, est-elle continue sur son intervlle de définition? Clculer S(0), si tnt est que cel soit défini. 3. Étudier l dérivbilité de S et clculer s dérivée là où elle est définie ; indiction : penser EDO Exercice 47 1. Clculer, pour x réel : 2. Clculer, pour > 0 et b > 0, n=0 1 n! 1 0 x 0 t n e t dt. x 1 1 + x b dx. Exercice 48 trnsformtion d Abel On considère une suite décroissnte de fonctions positives (f n ) n et une série g n de fonctions à vleurs dns C toutes définies sur I R. 28

1. On suppose que g n est uniformément convergente et qu il existe M > 0 tel que, pour tout n N, f n,i M. Montrer que f n g n est uniformément convergente sur I. 2. On suppose que les sommes prtielles de l série g n sont bornées pr une même constnte et que (f n ) n converge uniformément vers 0. Montrer que f n g n est uniformément convergente sur I. 3. Exemples : α nx n 1 + x n, α nx n 1 + x 2n, vec α n convergente, einx n... 29

4 Questions brèves 1. Quels sont les énoncés vris, fux. Pour ces derniers rechercher des contre-exemples ; fites votre mrché vec les suites (x x n ) n, (x x 2 + 1/n) n... () si une suite de fonctions pires (f n ) n, converge simplement sur I vers f, lors f est pire sur I ; (b) si une suite de fonctions croissntes (f n ) n, converge simplement sur I vers f, lors f est croissnte sur I ; (c) si une suite de fonctions strictement croissntes (f n ) n, converge simplement sur I vers f, lors f est strictement croissnte sur I ; (d) si une suite de fonctions strictement périodiques (f n ) n, converge simplement sur I vers f, lors f est périodique sur I ; (e) si une suite de fonctions continues (f n ) n, converge simplement sur I vers f, lors f est continue sur I ; (f) si une suite de fonctions continues (f n ) n, converge uniformément vers f sur I, lors f est continue sur I ; (g) si une suite de fonctions de clsse C 1 (f n ) n, converge uniformément vers f sur I, lors f est de clsse C 1 ; 2. Énoncer un théorème permettnt d écrire une reltion de l forme : lim lim f n(x) = lim lim f n(x); n + x b x b n + 3. Donner un exemple de suite de fonctions pour lquelle cette églité est fusse ou n ps de sens. 4. Enoncer un théorème permettnt d écrire : b ( ) ( b ) lim f n(x) dx = lim f n (x) dx ; n + n + 5. Peut on ffirmer que si (f n ) converge simplement vers f sur I = [, b] toutes les fonctions étnt cpm, lors lim b f n (t) dt = b lim f n (t) dt = b f(t) dt? Penser à des fonctions en escliers et u phénomène de l bosse flottnte... 6. Énoncer un théorème permettnt d écrire : ( lim Df n(x) = D n + lim n + f n ) (x); 7. Donner un exemple de suite de fonctions pour lquelle cette églité est fusse ou n ps de sens. 30

Index Abel trnsformtion, 27 borne uniforme, 4 bosse flottnte, 3 convergence normle, 16 simple, 2, 15 uniforme, 3, 15 sur tout compct, 5, 7 critère de Cuchy (convergence uniforme), 5 espce complet, 5 des fonctions bornées, 3, 15 normé, 3, 15 fonctions ζ et µ de Riemnn, 25 limite uniforme de fonctions continues, 7 phénomène de l bosse flottnte, 3 suite de Cuchy (norme uniforme), 5 théorème continuité d une limite uniforme, 7 dérivtion terme à terme (série uniformément convergente), 21, 22 interversion limite uniforme et intégrtion, 9 interversion des limites, 7 (cs des séries), 18 31

5 Quelques corrigés Corrigé de l exercice 9 1. On supposer que (f n ) n converge simplement vers 0 et que pour chque x K, (f n (x)) n décroît. On risonne pr l bsurde : on suppose que f n ) n ne converge ps vers 0. Il existe donc > 0 et une suite extrite telle que f np >. Comme chque fonction est continue sur le compct K, cel revient à dire qu il existe une suite (x p ) d éléments de K telle que f np (x p ) >. Cette suite dmet elle même une sous-suite convergente que l on noter (x pq ) q = (y q ). On note ussi pr commodité g q = f npq... Ainsi : (g q ) q converge simplement vers 0 ; (g q (x)) q décroît pour tout x K ; (y q ) q converge vers y K; g q (y q ) > pour tout q N. Considérons lors r < q, on g r (x q ) g q (x q ) >. Lorsque q tend vers +, on retient : g r (y), cel contredit le fit que g r (y) converge vers 0. 2. L suite (f n ) n de fonctions définies sur ]0, + [ pr Corrigé de l exercice 15. f 0 (x) = 1 e t 1, f n+1(t) = 3 4t + t3 4 f 4 n(t). Pour les deux premières questions, on peut étudier l fonction f n (x) = n α x n (1 x). Son mximum est tteint pour x = n et vut : n + 1 ( ) n n n+α f n = n + 1 (n + 1) n+1. L convergence simple de (f n ) n vers 0 est ssurée. On regrde séprément x = 0 et x ]0, 1]. Lorsque α = 1, 2 l convergence n est ps uniforme (le mximum clculé ci-dessus ne tend ps vers 0). 1. Le clcul de l intégrle montre que, toutefois que, si α = 1, 2....et que si α = 2, lim lim 1 0 1 0 f n = 0, f n = 1. 32

Correction de l exercice 29 1. On écrir, sur ]p, + [, f p (x) = e x ln(1 p/x) = e ϕp(x). Sur cet intervlle, les vritions de f p et ϕ p sont les mêmes. Or 2. ( ϕ (t) = ln 1 p ) ( + px 1 1 p ) ( 1, ϕp (t) = p 2 x 3 1 p ) 2 < 0. x x x ϕ p est donc décroissnte, positive (s limite en + est 0), et ϕ p croit. Comme lim ϕ p = e p, on ϕ p = e p et l série converge normlement sur R +. U n = n k=1 ( ) k n = n n 1 ( ) n p n n 1 = n p=0 p=0 ( 1 p n Rssemblons nos hypothèses : l série f p converge normlement sur ]0, [; chque fonction f p dmet une limite en + : e p Alors, f p (x) dmet une limite en + : e p = e e 1. ) n = f p (n). p=0 33

Correction de l exercice 36 On se propose d étudier l série de fonctions xn n 2. 1. Convergence simple : si x 1, xn est bsolument convergente cr n 2 x n n 2 1 t.g. d une série n2 convergente. si x > 1, xn est grossièrement divergente cr lim x n n2 n 2 = +. l série de fonctions u n (où u n (x) = xn ) converge simplement sur [ 1, 1]. S n2 somme est définie sur [ 1, 1]. On note Li(x) = 2. Pour montrer que Li est continue sur son ensemble de définition, il suffit de montrer que u n converge uniformément sur [ 1, 1]. Or, l série u n vérifie u n 1. Elle est donc normlement convergente [ 1,1] n2 sur [ 1, 1] donc uniformément convergente. Comme les fonctions u n sont continues, l somme de l série est continue (une limite uniforme de fonctions continues est continue). 3. On dmet que l série de fonctions ( 1) n 1 n 1 xn n x n n 2. ln(1 + x) sur ] 1, 1] et que l convergence est uniforme sur tout intervlle compct de ] 1, 1]. () première fçon de voir, intégrtion terme à terme. Exprimons l intégrle comme somme d une série : notons provisoirement f(x) = x 0 ln(1 t) t dt. ln(1 t) Comme l fonction t dmet un ppc à [ 1, 1[, f est une fonction t de clsse C 1 et f ln(1 x) (x) = sur [ 1, 1[. x Observons que l on peut écrire f comme somme d une série : f (t) = ln(1 t) t = 1 t n 1 ( t)n ( 1) = n t n 1 n. Cette série converge simplement sur [ 1, 1[ et coïncide vec f sur cet intervlle. Retrouvons nous f en l intégrnt terme à terme? Pour cel notons v n (t) = tn 1 n. 34

L série de fonctions v n converge normlement sur tout segment [, ] tel que 1 < < < 1 puisque, v n n 1 [,] n. IL NE S AGIT PAS DE LA SÉRIE ENVISAGÉE EN 1!! L étude n rien de superflu. Si x < 1, l série v n converge normlement sur [ x, x ] et l on : x x v n (t) dt = v n (t) dt, ce qui donne : f(x) f(0) = x 0 0 f (t) dt = Soit f(x) = Li(x) sur ] 1, 1[. x 0 0 v n (t) dt = x t n 1 0 n dt = x n n 2. Autre fçon de voir : dérivtion d une limite Li = u n est elle dérivble sur [ 1, 1[? Si oui, s dérivée en x est elle f (x)? Les fonctions u n sont de clsse C 1 sur R; u n converge simplement sur [ 1, 1]; Pour tout n N, u n(x) = xn 1 n. L série u n converge normlement sur tout segment [, ], ]0, 1[. D près le théorème de dérivtion d une limite Li est de clsse C 1 sur ] 1, 1[ et Li (x) = x n 1 n. On reconnît là l fonction 1 x n ln(1 x) = qui est continue sur ] 1, 1[. x n x On lors x ln(1 t) Li(x) = Li(0) + dt 0 t sur l intervlle ] 1, 1[. Prolongements de l églité à [ 1, 1] : Nous vons donc prouvé que f(x) = Li(x) sur ] 1, 1[. Comme d près l question précédente Li est continue sur [ 1, 1] et comme f est de clsse C 1 sur [ 1, 1[, on Li( 1) = lim Li(x) = lim f(x) = f( 1). x 1 x 1 ln(1 t) Mis u point 1, comme l fonction t est intégrble on encore t x ln(1 t) 1 ln(1 t) Li(1) = lim Li(x) = lim dt = dt. x 1 x 1 0 t 0 t 35

(b) Pour montrer que, pour tout x [0, 1[, Li(x) + Li(1 x) = Li(1) ln(1 x) ln x, on pourr dériver les deux membres en considérnt l expression intégrle de Li. Les dérivées sont les mêmes donc Li(x) + Li(1 x) = Cste ln(1 x) ln x. On détermine l constnte pr pssge à l limite. (c) L reltion 1 2 n n 2 = π2 12 1 2 ln2 2 n est utre que l églité précédente en x = 1/2 schnt que Li(1) = 1 n 2 = π2 6. Correction de l exercice 45 Soit S : x nxe nx2. 1. (Le domine de définition de S est le domine de convergence simple de l série. Notons u n (x) = nxe nx2 ). - Lorsque x = 0 l série converge ; - Si x 0, lim n 2 u n (x) = lim n 3 xe nx2 = 0 donc u n (x) = o bsolument convergente ; Conséquence : D f = R. ( ) 1 n 2 et l série est 2. () Pour déterminer u n,r, étudions les vritions de notre fonction : -u n(x) = n(1 2nx 2 )e nx2 ; -une étude rpide et on voit que le mximum est u n (±1/ 2n) donc que n u n R, = 2e. (b) Il n y donc ps de cv normle sur R. cr l série des normes diverge grossièrement). Elle n est ps bon plus uniformément convergente sur R cr u n ne tend ps vers 0, ce qui est une condition nécessire. En effet, si (S n ) converge pour l norme uniforme, S n S n 1 = u n 0). (c) Montrons qu il y pourtnt convergence normle sur [, + [ pour tout > 0. 1 Lorsque <, l fonction u n sur [, + [ et 2n u n I, = ne n2. 36

C est là le terme générl d une série convergente (on l vu en étudint l convergence simple) donc l série des normes converge et u n converge normlement sur [, + [. Elle converge ussi uniformément et s somme est continue sur [, + [ pour tout > 0, donc sur ]0, + [ puis sur R (fonction impire). (d) Pour étudier l dérivbilité, pensons u théorème bien connu 2 de dérivtion d une limite : - si les fonctions (u n ) n sont de clsse C 1 sur I ; - si l série u n () converge en un point I u moins ; - si l série des dérivées converge uniformément sur tout compct de I, Alors u n converge uniformément ( sur tout compct elle ussi, s somme est de clsse C 1 sur I elle ussi, de plus u n (x)) = u n(x)... k=1 Comme 2 des 3 hypothèses sont clires, vérifions l troisième. On u n(x) = n(1 2nx 2 )e nx2 Dns l espoir de prouver une convergence normle sur [0, + ( étudions les vritions de u n. u n(x) = n(1 2nx 2 )e nx2 = n(1 2z)e z = φ(z) 3 et u chnge de signe en ±. L étude ressemble lors à l précédente... Il y 2n cv normle de l série des dérivée sur tout [, + [ ( > 0) et S est de clsse C 1 sur R... 3. Expression de S à l ide de fonctions ( usuelles ) 1 On observe que u n (x) = nxe nx2 ) = 2 e nx2 + K n. Fixons x 0 > 0 et posons U n (x) = x x 0 u n (t) dt. Comme u n converge uniformément sur [x 0, x] pour tout x > 0 on (lire de droite à guche pour justifier) : U n (x) = k=1 k=1 x x 0 u n (t) dt = x x 0 k=1 k=1 u n (t) dt = x x 0 S(t) dt. Comme U n est géométrique, vous svez finir et S est l dérivée de sur R (toujours pr imprité). e x2 2(1 e x2 ) 2. n est-ce ps? 37