Problèm : Stockag intr saisonnir d chalur. (Thèm : équation différntill du 1 r ordr, résolution xact t avc GoGbra) L résau d chalur d la vill d Marstal au Danmark utilis 33 000 m² d capturs solairs thrmiqus (fournissant 12 MW au maximum). Afin d stockr la chalur produit par cs capturs, un résrvoir d au d 75 000 m 3 a été construit à proximité. Cs capturs fournissnt 55 % d la chalur consommé par 6000 habitants, ls 45 % rstant provinnnt d un chauffri à biomass. www.solarmarstal.dk www.aroisland.com Problématiqu : Put-on gardr l au chaud dans c typ d résrvoir pndant plusiurs mois (jusqu au début d l hivr)? Qull baiss d tmpératur obsrv-t-on sur plusiurs mois sans solil? Quls sont ls paramètrs importants dans c problèm? On considèr l résrvoir suivant, d form parallélépipédiqu t contnant 75 000 m 3 d au. air p (t) T xt = 2 V = 75 000 m 3 h = 10 m l = 30 m T (t) n? L = 250 m T xt = 2 C résrvoir st ntouré sur tout sa surfac xtériur par un épaissur = 0,40 m d isolant thrmiqu, d cofficint d conductivité thrmiqu 0,04 W/(m.). On souhait modélisr l xpérinc suivant : - ls 75 000 m 3 d au sont portés à T(0) = 70, à la fin du mois d août (comm par l pparc solair ci-dssus), - aucun quantité d chalur n st apporté ni nlvé aux 75 000 m 3 d au jusqu à fin octobr, sol 1
- la tmpératur d l au rst uniform dans tout l résrvoir (comm si cll-ci était n prmannc mélangé), - la tmpératur xtériur (du sol comm d l air) rst constant t égal à 2 pndant tout la périod d obsrvation, n vu d répondr à la qustion suivant : n vu d un stockag intrsaisonnir d chalur solair, commnt va baissr la tmpératur T(t) ds 75 000 m 3 d au dans l résrvoir au cours du tmps t? La chalur massiqu d l au liquid st c au = 4180 J/(kg.). 1) Modélisation L cofficint d conductivité thrmiqu d l isolant st = 0,04 W/(m.). La résistanc thrmiqu d la paroi du résrvoir put êtr donné par : isolant r = (n m²./w) avc l épaissur d l isolant xprimé n m. isolant On néglig ls fuits d chalur au nivau ds jonctions résrvoir/tuyaux d arrivé t d sorti. a) Calculr r ainsi qu l cofficint d transmission surfaciqu U (n W/m².) d la paroi, donné par U = r 1. r =.. U = Chaqu m² d paroi laiss fuir U watt (ou joul/scond) d chalur si il y a 1 d écart ntr l intériur t l xtériur d ctt paroi. Chaqu m² d ctt paroi laiss fuir U T watt d chalur si il y a un écart d tmpératur T (n ) ntr l intériur t l xtériur d ctt paroi. On a donc l xprssion d la prt d chalur (n watt ou J/s) à travrs ls parois du résrvoir : p(t) = S U T = S U (T xt - T(t)) b) Calculr l air S d la surfac xtériur du résrvoir. S = En déduir l xprssion d p (t), n watt (ou J/s), n fonction d T = (T xt - T(t)) p (t) = (T xt - T(t)) =.. c) On raisonn sur un intrvall d tmps infinimnt court dt (n s). m c T = 75 000 000 4180 [T(t + dt) - T(t)] = quantité d chalur (< 0, n J) prdu pndant la duré dt par ls 75 000 000 kg d au du résrvoir, alors qu lur tmpératur pass d T(t) à T(t + dt) p dt = 2153 (T xt - T(t)) dt = quantité d chalur (< 0, n J) travrsant pndant la duré dt ls 21 530 m² d paroi du résrvoir Ainsi, 75 000 000 4180 [T(t + dt) - T(t)] = 2153 (T xt - T(t)) dt T ( t + dt) T ( t) 145 610 776 = T xt - T(t) dt 145 610 776.T (t) = T xt - T(t) avc T (t) la «vitss» (n /s) à laqull baiss la tmpératur d l au lorsqu dt tnd vrs 0 t n faisant l hypothès qu t T(t) st dérivabl sur [0, + [ : 145 610 776.T (t) + T(t) = 2 (E) (E) st un équation différntill du 1 r ordr, avc un scond mmbr qui st T xt = 2, d inconnu la tmpératur T(t), n, d l au du résrvoir n fonction du tmps t, n sconds. 2
2) Résolution d l équation différntill (E) : 145 610 776.T (t) + T(t) = 2 a) 1 èr étap : Détrminr la solution général T 1 d l équation différntill sans scond mmbr (E ) : 145 610 776.T (t) + T(t) = 0 b) 2 èm étap : Détrminr un fonction constant T 2 solution d l équation différntill avc scond mmbr (E). c) 3 èm étap : Détrminr la solution général T d l équation différntill avc scond mmbr (E). d) 4 èm étap : Détrminr la solution particulièr T(t) d (E) vérifiant la condition initial T(0) = 70 (la tmpératur d l au à l instant où l on début l xpérinc st la sul connu : ll vaut 70.) ) Complétr l tablau suivant : Tmps t (n s) 0 86 400 s (soit 1 jour) Tmpératur T(t) (n ) = 70 604 800 s (soit 7 jours) 2 592.10 3 s (soit 1 5 184.10 3 s (soit 2 7 776.10 3 s (soit 3 15 552.10 3 s (soit 6 Ls prts d chalur à travrs ls parois du résrvoir vous paraissnt-lls importants? Un stockag intrsaisonnir paraît-il possibl? f) Tracr la courb rprésntativ d la fonction T à l aid du logicil GoGbra pour t [0 ; 15 552.10 3 s]. 3) Généralisation : Influnc ds différnts paramètrs L, l, h,,, T(0), T xt On put généralisr la démarch afin d pouvoir étudir l importanc d paramètrs comm la tmpératur xtériur, l épaissur d isolant, l volum d au stocké, la form du résrvoir r = U = p(t) = 2 [(h + 2) (l + 2) + (L + 2) (h + 2) + (L + 2) (l + 2)] (Txt - T(t)) L équation différntill (E) qui modélis l rfroidissmnt d l au vint alors d : 4 180 000 L.l.h.[T(t + dt) - T(t)] = 2.[(h + 2).(l + 2) + (L + 2).(h + 2) + (L + 2).(l + 2)]..(Txt - T(t)).dt 4 180 000 L.l.h.T (t) = 2.[(h + 2).(l + 2) + (L + 2).(h + 2) + (L + 2).(l + 2)]..(Txt - T(t)) T (t) = 2.[(h + 2).(l + 2) + (L + 2).(h + 2) + (L + 2).(l + 2)].. a) Sur un fichir GoGbra, crér : 1 4180000. L. l. h (T xt - T(t)) - un cursur L allant d 0 à 500 m avc un incrémnt d 10 m - un cursur l allant d 0 à 50 m avc un incrémnt d 2 - un cursur h allant d 0 à 50 m avc un incrémnt d 2 - un cursur Txt, rprésntant la tmpératur xtériur, allant d -30 à +20 avc un incrémnt d 2 - un cursur, rprésntant l épaissur d isolant, allant d 0 à 1 m avc un incrémnt d 0,05 m - un cursur, rprésntant l cofficint d conductivité thrmiqu d l isolant (n W/(m.), allant d 0,03 (polyuréthan) à 0,1 (argil xpansé) avc un incrémnt d 0,01 3
- un cursur T0, rprésntant la tmpératur intériur initial T(0), allant d + 60 à + 80 avc un incrémnt d 5 b) Dans l logicil GoGbra, RésolEquaDiff[f(x,y), x initial, y initial, x final, pas] prmt d tracr la rprésntation graphiqu d la solution d l équation différntill : y (x) = f(x, y). Tracr la rprésntation graphiqu d la fonction T sur l intrvall [0 ; 7 776.10 3 s] (soit 3 ] avc un pas d calcul d 60 s n ntrant dans la barr d saisi : RésolEquaDiff[2*((h + 2*)*(l + 2*) + (L + 2*)*(h + 2*) + (L + 2*)*(l + 2*))*/*1/(4180000*L*l*h)*(Txt - y),0,t0,7776000,60] c) Modifiz chacun ds cursurs afin d évalur l influnc d chacun ds paramètrs. Lsquls smblnt avoir l plus d importanc? 4
1) Modélisation Corrigé : a) Calculr r ainsi qu l cofficint d transmission surfaciqu U d la paroi, donné par U = r 1. r = 0,4/0,04 = 10 m²./w U = 1/10 = 0,1 W/m². b) Calculr l air S d la surfac xtériur du résrvoir. S = 2 [(h + 2) (l + 2) + (L + 2) (h + 2) + (L + 2) (l + 2)] = 2 [10,8 30,8 + 250,8 10,8 + 250,8 30,8] 21 530 m² ( étant l épaissur d isolant = 0,4 m) p(t) = S U T = 2153 (T xt - T(t)) V = 75 000 m 3 L = 250 m h = 10 m l = 30 m 2) Résolution d l équation différntill (E) : 145 610 776.T (t) + T(t) = 2 a) 1 èr étap : T 1(t) = k st la solution général d (E ) : 145 610 776.T (t) + T(t) = 0 b) 2 èm étap : 145 610 776 0 + c = 2 donc c = 2 = T 2(t) st solution particulièr d (E). c) 3 èm étap : T(t) = k + 2 st la solution général T d (E). d) 4 èm étap : T(0) = k 0 + 2 = k + 2 = 70 donc k = 68 t T(t) = 68 chrché. + 2 st la solution particulièr ) Tmps t (n s) 0 86 400 s (soit 1 jour) Tmpératur T(t) (n ). t = 68 9 + 2 70 69,96 604 800 s (soit 7 jours) 69,72 2 592.10 3 s (soit 1 68,8 5 184.10 3 s (soit 2 67,62 7 776.10 3 s (soit 3 66,46 15 552.10 3 s (soit 6 63,11 Ls prts d chalur à travrs ls parois du résrvoir sont très faibls (sulmnt 3,5 n 3 mois!). Un stockag intrsaisonnir paraît donc possibl. 3) Généralisation : Influnc ds différnts paramètrs L, l, h,,, T(0), T xt Dans GoGbra : RésolEquaDiff[f(x,y), x initial, y initial, x final, pas] prmt d tracr la rprésntation graphiqu d la solution d l équation différntill : y (x) = f(x, y). 1 RésolEquaDiff[2.[(h + 2).(l + 2) + (L + 2).(h + 2) + (L + 2).(l + 2)]...(Txt - 4180000. L. l. h y),0,t0,7776000,60] 5