Loi Gmm, loi du t loi d Studt A. Foctio Gmm A.. Défiitio L foctio Gmm st défii pour ls réls positifs pr l itégrl : () t t dt pour A. Rltio d récurrc Cosidéros (+) : ( ) t t dt E itégrt pr prti ous otos : ( ) () pour Pour ctt riso l foctio Gmm st ussi pplé fctorill géérlisé. A.3 Argumt tir ou dmi-tir Clculos () : t t ( ) dt L rltio d récurrc ous prmt d clculr () pour tout tir : ( ) ( )! Clculos mitt (/) : t dt t Pr chgmt d vril (t = u ) ous otos : u du u du S. Tissrt Elémts d Proilités 9 4 -
L clcul d ctt itégrl s trouv ds l du chpitr sur l distriutio orml. C résultt ssocié à l formul d récurrc ous prmt d clculr l foctio pour tout dmi-tir. Nous vos : ()!! U résultt très similir églmt été démotré ds l du chpitr sur l distriutio orml (cf. clcul d I ). A.4. Cours L llur d l foctio Gmm st présté sur l figur suivt. L prmièr cour été trcé tr. t 6. L scod, trcé tr. t 4.5, motr u pu miu l vllé. Fig. 4- : Foctio Gmm sur [., 6] (à guch) t sur [., 4.5] (à droit) Etudios l vritio d l itégrd srvt à l défiitio d l foctio Gmm : Ell pour dérivé : f (t) dt f (t) t t d t t ( t) Cll-ci s ul pour t = -. Doc sur l domi d itégrtio ous vos : - Pour > : f() =, foctio croisst puis décroisst vc mimum t = - ; - Pour = : f() =, foctio toujours décroisst ; - Pour < : f() +, foctio toujours décroisst. S. Tissrt Elémts d Proilités 9 4 -
Il st fcil d clculr umériqumt l foctio Gmm pour. Pour < o put utilisr l rltio d récurrc vc : ( ) () B. Loi Gmm B.. Dsité d proilité L loi Gmm d prmètrs > t >, oté (, ), pour dsité d proilité : f () () pour L prmètr corrspod à u fctur d échll. L figur suivt illustr l dsité d proilité d u loi Gmm pour qulqus vlurs ds prmètrs. Fig. 4- : Dsité d proilité d (,) vrt : =.5 t =, roug : = t =, lu : =.5 t =. B. Momts Clculos l momt d ordr : E ( ) () d Effctuos u chgmt d vril : S. Tissrt Elémts d Proilités 9 4-3
u E( ) () u u du ( ) () Nous vos doc : ( ) E( ) () ( )( )...( ) E prticulir pour ls du prmirs momts t l vric ous vos : E() ( ) E( ) vr() B.3 Foctio crctéristiqu Détrmios l foctio crctéristiqu d u loi Gmm. Nous vos : X ( u) E( ju ) () ju d X ( u) () ( ju) d Effctuos u chgmt d vril : v ( ju) X (u) () v v ( ju) dv ju X (u) ( ju) () v v dv ( ju) Nous vos doc pour l foctio crctéristiqu d u loi Gmm d prmètrs t : X ( u) ju S. Tissrt Elémts d Proilités 9 4-4
C. Loi du C.. Dsité d proilité t foctio d réprtitio L loi du à dgrés d lirté st u cs prticulir importt d l loi Gmm : Ell doc pour dsité d proilité : (), f () / / L figur suivt illustr ctt dsité pour qutr vlurs d. Pour, l dsité st miml pour = - qui costitu lors l vlur l plus prol. L figur 4-4 prést ls foctios d réprtitio corrspodts. Fig. 4-3 : Dsité d proilité d () pour = (ju), = (vrt), = 5 (roug) t = (lu). Nous déduisos ds résultts otus pour l loi Gmm ls du prmirs momts t l vric d u loi d : E() E( ) ( ) vr() D mêm l foctio crctéristiqu s écrit : S. Tissrt Elémts d Proilités 9 4-5
/ X (u) ( ju) Fig. 4-4 : Foctio d réprtitio d u loi d () pour = (ju), = (vrt), = 5 (roug) t = (lu). Pour =, ous vos pour l dsité d proilité t l foctio d réprtitio : f () / t F() rf Pour =, ous vos pour l dsité d proilité t l foctio d réprtitio : f () / t F() / Pour grd ( > ) l loi () put êtr pproimé pr l loi orml d moy t d vric : N (, ). C.. Itrvlls d cofic L distriutio d st souvt utilisé pour défiir ds itrvlls d cofic. Du typs d itrvlls puvt êtr défiis. L prmir itrvll, à u sul pivot, [, ] corrspodt à u ivu cofic, ou fctur d risqu, st tl qu : P ( ) Ctt défiitio st illustré pr l figur 4-5, costruit pour = t = 9 %. Pour u itrvll, sé sur du pivots, [, ] l défiitio : P ( ) S. Tissrt Elémts d Proilités 9 4-6
st ps suffist. Nous pouvos, pr mpl, choisir ls du ors d l itrvll prt u défiitio symétriqu : P( ) P( ) Ctt défiitio st illustré pr l figur 4-6, églmt costruit pour = t = 9 %. Fig. 4-5 : L surfc lu rprést l ivu d cofic, lors qu l ir vrt corrspod à. Fig. 4-6 : L surfc lu rprést l ivu d cofic, lors qu chqu ir vrt corrspod à. Ds tous ls cs l détrmitio d u or corrspod à l résolutio d u équtio du typ : S. Tissrt Elémts d Proilités 9 4-7
P( c) F(c) c F ( ) L solutio c st pplé qutil d ordr, prfois oté : c L tl 4-, fi d chpitr, rssml qulqus qutils pour divrss vlurs d t. () C.3. Simultio U mièr (ps l plus fficc) d simulr u vril psudo-létoir suivt u loi du chi à dgrés d lirté cosist à prdr l somm ds crrés d vrils psudolétoirs ormls ctrés idépdts : i i vc i N (,) t id. L figur suivt prést l distriutio otu d ctt fço pour =, compré vc l dsité d proilité théoriqu ormlisé u omr d évémts gdrés. Fig. 4-7 : Simultio d u loi d () pour =. D. Loi d Studt Cosidéros du vrils létoirs idépdts vril orml ctré réduit t z suivt u loi d à dgrés d lirté ( ). L vril létoir t défii pr : t z S. Tissrt Elémts d Proilités 9 4-8
suit u loi d Studt à dgrés d lirté, yt pour dsité d proilité : f (t;) ( ) ( ) () / t L figur 4-8 prést l llur d ctt dsité d proilité pour trois vlurs d. Lorsqu td vrs l ifii ll td vrs l distriutio orml ctré réduit ( oir sur l figur). Compré à cll-ci u distriutio d Studt prést ds quus plus importts pour ptit. L figur 4-9 prést l llur d l foctio d réprtitio pour ls mêms vlurs d. Fig. 4-8 : Dsité d proilité d u loi d Studt pour = (vrt), = (roug) t = 5 (lu), compré à u loi orml ctré réduit (oir). Fig. 4-9 : Foctio d réprtitio d u loi d Studt pour = (vrt), = (roug) t = 5 (lu). S. Tissrt Elémts d Proilités 9 4-9
Pour = il s git d u distriutio d Cuchy ou Brit-Wigr. L spérc mthémtiqu st défii qu pour > t l vric pour > : E(t) vr(t) pour pour L distriutio d Studt st souvt utilisé pour défiir ds itrvlls d cofic. Pr défiitio u itrvll symétriqu [-, ] corrspodt à u ivu cofic, ou fctur d risqu, st tl qu : P ( t ) Fig. 4- : L surfc lu rprést l ivu d cofic, lors qu chqu ir vrt corrspod à. Ctt défiitio corrspod à l surfc lu d l figur 4-. L distriutio d Studt étt symétriqu, ls du zos vrts sur ctt figur ot l mêm ir : P (t ) P(t ) D mièr évidt ous vos : t L or s otit pr mpl ivrst l foctio d réprtitio : F (;) S. Tissrt Elémts d Proilités 9 4 -
L qutité st pplé qutil d ordr - d l loi d Studt à dgrés d lirté. Nous l otos : t Rmrquos qu : Nous vos doc : P(t ) F( ;) t t t L résultt st tulé ds l tl 4- pour divrss vlurs d t du ivu d cofic. S. Tissrt Elémts d Proilités 9 4 -
\.5..5.5..5.9.95.975.99.995......45.7 3.84 5. 6.63 7.88...5...39 4.6 5.99 7.38 9..6 3.7...35.58.37 6.5 7.8 9.35.35.84 4..3.48.7.6 3.36 7.78 9.49.4 3.8 4.86 5.4.55.83.5.6 4.35 9.4.7.83 5.9 6.75 6.68.87.4.64. 5.35.64.59 4.45 6.8 8.55 7.99.4.69.7.83 6.35. 4.7 6. 8.48.8 8.34.65.8.73 3.49 7.34 3.36 5.5 7.53.9.95 9.73.9.7 3.33 4.7 8.34 4.68 6.9 9..67 3.59.6.56 3.5 3.94 4.87 9.34 5.99 8.3.48 3. 5.9.6 3.5 3.8 4.57 5.58.34 7.8 9.68.9 4.7 6.76 3.7 3.57 4.4 5.3 6.3.34 8.55.3 3.34 6. 8.3 3 3.57 4. 5. 5.89 7.4.34 9.8.36 4.74 7.69 9.8 4 4.7 4.66 5.63 6.57 7.79 3.34.6 3.68 6. 9.4 3.3 5 4.6 5.3 6.6 7.6 8.55 4.34.3 5. 7.49 3.58 3.8 6 5.4 5.8 6.9 7.96 9.3 5.34 3.54 6.3 8.85 3. 34.7 7 5.7 6.4 7.56 8.67.9 6.34 4.77 7.59 3.9 33.4 35.7 8 6.6 7. 8.3 9.39.86 7.34 5.99 8.87 3.53 34.8 37.6 9 6.84 7.63 8.9..65 8.34 7. 3.4 3.85 36.9 38.58 7.43 8.6 9.59.85.44 9.34 8.4 3.4 34.7 37.57 4. 8.3 8.9.8.59 3.4.34 9.6 3.67 35.48 38.93 4.4 8.64 9.54.98.34 4.4.34 3.8 33.9 36.78 4.9 4.8 3 9.6..69 3.9 4.85.34 3. 35.7 38.8 4.64 44.8 4 9.89.86.4 3.85 5.66 3.34 33. 36.4 39.36 4.98 45.56 5.5.5 3. 4.6 6.47 4.34 34.38 37.65 4.65 44.3 46.93 6.6. 3.84 5.38 7.9 5.34 35.56 38.89 4.9 45.64 48.9 7.8.88 4.57 6.5 8. 6.34 36.74 4. 43.9 46.96 49.64 8.46 3.56 5.3 6.93 8.94 7.34 37.9 4.34 44.46 48.8 5.99 9 3. 4.6 6.5 7.7 9.77 8.34 39.9 4.56 45.7 49.59 5.34 3 3.79 4.95 6.79 8.49.6 9.34 4.6 43.77 46.98 5.89 53.67 4.7.6 4.43 6.5 9.5 39.34 5.8 55.76 59.34 63.69 66.77 5 7.99 9.7 3.36 34.76 37.69 49.33 63.7 67.5 7.4 76.5 79.49 6 35.53 37.48 4.48 43.9 46.46 59.33 74.4 79.8 83.3 88.38 9.95 7 43.8 45.44 48.76 5.74 55.33 69.33 85.53 9.53 95..43 4. 8 5.7 53.54 57.5 6.39 64.8 79.33 96.58.88 6.63.33 6.3 9 59. 6.75 65.65 69.3 73.9 89.33 7.57 3.5 8.4 4. 8.3 67.33 7.6 74. 77.93 8.36 99.33 8.5 4.34 9.56 35.8 4.7 Tl 4- : Qutils pour u loi du à dgrés d lirté. Chqu cs, idtifié pr t, do c tl qu P( < c) =. S. Tissrt Elémts d Proilités 9 4 -
.5.6.7.8.9.95.98.99.995.998.999 -.75.8.85.9.95.975.99.995.9975.999.9995..376.963 3.78 6.34.7 3.8 63.66 7.3 38.3 636.6.86.6.386.886.9 4.33 6.965 9.95 4.9.33 3.6 3.765.978.5.638.353 3.8 4.54 5.84 7.453..9 4.74.94.9.533.3.776 3.747 4.64 5.598 7.73 8.6 5.77.9.56.476.5.57 3.365 4.3 4.773 5.893 6.869 6.78.96.34.44.943.447 3.43 3.77 4.37 5.8 5.959 7.7.896.9.45.895.365.998 3.499 4.9 4.785 5.48 8.76.889.8.397.86.36.896 3.355 3.833 4.5 5.4 9.73.883..383.833.6.8 3.5 3.69 4.97 4.78.7.879.93.37.8.8.764 3.69 3.58 4.44 4.587.697.876.88.363.796..78 3.6 3.497 4.5 4.437.695.873.83.356.78.79.68 3.55 3.48 3.93 4.38 3.694.87.79.35.77.6.65 3. 3.37 3.85 4. 4.69.868.76.345.76.45.64.977 3.36 3.787 4.4 5.69.866.74.34.753.3.6.947 3.86 3.733 4.73 6.69.865.7.337.746..583.9 3.5 3.686 4.5 7.689.863.69.333.74..567.898 3. 3.646 3.965 8.688.86.67.33.734..55.878 3.97 3.6 3.9 9.688.86.66.38.79.93.539.86 3.74 3.579 3.883.687.86.64.35.75.86.58.845 3.53 3.55 3.85.686.859.63.33.7.8.58.83 3.35 3.57 3.89.686.858.6.3.77.74.58.89 3.9 3.55 3.79 3.685.858.6.39.74.69.5.87 3.4 3.485 3.768 4.685.857.59.38.7.64.49.797 3.9 3.467 3.745 5.684.856.58.36.78.6.485.787 3.78 3.45 3.75 6.684.856.58.35.76.56.479.779 3.67 3.435 3.77 7.684.855.57.34.73.5.473.77 3.57 3.4 3.69 8.683.855.56.33.7.48.467.763 3.47 3.48 3.674 9.683.854.55.3.699.45.46.756 3.38 3.396 3.659 3.683.854.55.3.697.4.457.75 3.3 3.385 3.646 4.68.85.5.33.684..43.74.97 3.37 3.55 5.679.849.47.99.676.9.43.678.937 3.6 3.496 6.679.848.45.96.67..39.66.95 3.3 3.46 7.678.847.44.94.667.994.38.648.899 3. 3.435 8.678.846.43.9.664.99.374.639.887 3.95 3.46 9.677.846.4.9.66.987.368.63.878 3.83 3.4.677.845.4.9.66.984.364.66.87 3.74 3.39 Tl 4- : Qutils pour u loi d Studt à dgrés d lirté. Chqu cs, idtifié pr t ou t -, do c tl qu P( < c) = ou P( > c) =. S. Tissrt Elémts d Proilités 9 4-3