Ojectifs de ce chpitre Mthémtiques ssistées pr ordinteur Chpitre 4 : Rcines des polynômes réels et complexes Michel Eisermnn Mt49, DLST LS4, Année 8-9 www-fourierujf-grenolefr/ eiserm/cours # mo Document mis à jour le 6 juillet 9 On sit résoudre les équtions polynomiles de degré, 3, 4 vec les qutre opértions +,,, / et les rcines et 3 En degré 5 ceci n est plus possile Le théorème de Guss d Alemert ssure u moins l existence des rcines dns le corps des nomres complexes Ce chpitre présente des méthodes pour effectivement locliser ces rcines : Les règles de Descrtes et de Budn Fourier L méthode de Sturm pour locliser les rcines réelles L méthode de Cuchy pour locliser les rcines complexes /8 /8 Sommire Équtions polynomiles et existence des rcines Équtions polynomiles : degré 4 vs degré 5 Rcines rtionnelles : recherche exhustive Loclistion grossière des rcines : l orne de Cuchy Loclistion effective des rcines réelles et complexes Les règles de Descrtes et de Budn Fourier Rcines réelles : indice de Cuchy et suites de Sturm Rcines complexes : loclistion dns le pln complexe Équtions polynomiles On veut résoudre une éqution polynomile réelle ou complexe x n + n x n + + x + = Degré : Pour l éqution x + = on trouve l solution x = Degré : Pour x + px + q = on trouve x + px + q = x + p p 4 + q = x + p p = 4 q x + p p = ± 4 q x = p p ± 4 q 3/8! Pour toujours ssurer l existence des rcines il fut psser ux nomres complexes Pr exemple, pour x + = on trouve x = ±i 4/8
L formule de Trtgli Crdno En degré 3 on cherche à résoudre x 3 + x + x + c = D ord on sustitue x = y /3 pour éliminer le terme qudrtique : y 3 + py + q = Après un petit clcul on trouve p = 3 et q = c + 3 9 7 Ensuite on remplce y = z p/3z et multiplie toute l éqution pr z 3 : z 6 + qz 3 p3 7 = C est une éqution qudrtique en z 3! On en déduit que z 3 = q q ± 4 + p3 7 Ceci permet de clculer z 3 puis z, puis y, et finlement x! Progrmmer cette méthode sur ordinteur est un défi non trivil : pour les diverses rcines il fut choisir / déterminer les ons signes! 5/8 Rcines rtionnelles d un polynôme rtionnel Considérons P = + X + + n Xn dns Q[X] n Quitte à multiplier pr ppcm,, n on peut supposer P Z[X] Proposition Considérons P = + X + + nx n dns Z[X] Si P p q = où pgcdp, q =, lors p et q n Si et n, il n existe qu un nomre fini de cndidts p q Démonstrtion Nous vons q n P p q = qn + q n p + + n q p n + np n Si P p q =, lors p qn et q np n Puisque pgcdp, q =, on p et q n Corollire En testnt tous les cndidts, ceci permet de trouver toutes les rcines rtionnelles d un polynôme rtionnel donné Exercice Déterminer les entiers n Z et Z pour lesquels n est rtionnel 7/8 Existence des rcines On veut résoudre une éqution polynomile réelle ou complexe x n + n x n + + x + = Degré : on trouve x = Degré : on trouve x = ± 4 Degré 3 : formule de Trtgli 53, puliée pr Crdno 545 Degré 4 : formule de Ferrri 54, un élève de Crdno Théorème Ruffini 799, Ael 84, Glois 83 En degré 5 ucune formule générle de ce type n existe, construite à prtir des opértions +,,, /, et des rdicux k On ne dispose donc ps de formule «mgique» en degré supérieur Peut-on nénmoins être sûr que des solutions existent? dns C? Théorème de Guss d Alemert Pour tout polynôme F = X n + n X n + + X + dns C[X] il existe r, r,, rn C tels que F = X rx r X rn 6/8 Loclistion grossière : l orne de Cuchy Définition orne de Cuchy Soit F = X n + cn X n + + cx + c dns C[X] On pose M := mx{ c,, cn } et ρf := + M Théorème loclistion grossière des rcines Pour tout z C tel que z ρf on F z Pr conséquent, toute rcine complexe de F est dns BρF = { z C z < ρf } Démonstrtion L énoncé est vri pour F = X n : ici M = et ρf = Supposons donc M > et ρf > Pour z ρf on trouve F z z n = c + + cn z n c + + cn z n M + M z + + M z n = M z n z z n Ainsi nous otenons z n = z n F z + F z z n F z + F z, d où F z z n F z z n z n z n = Ceci prouve que z ρf implique F z 3 8/8
Rcines réelles d un polynôme réel Ojectif : Comment déterminer/mjorer le nomre de rcines d un polynôme réel P R[X] dns un intervlle donné [, ]? Vrition de signes : définition V +, = V, + =, V +, + = V, = V, =, V +, = V, + = V, = V, = Si P P < il y en ou 3 ou 5 comptées vec multiplicité Si P P > il y en ou ou 4 comptées vec multiplicité Comment déterminer ce nomre plus précisément? L règles de Budn Fourier et l règle de Descrtes donnent des mjortions à l ide des dérivées P, P,, P n en et Ces règles sont fciles à ppliquer mis restent pproximtives L méthode de Sturm clcule le nomre exct à l ide de l lgorithme d Euclide divisions euclidiennes itérées C est un résultt élémentire, élégnt, et époustouflnt! 9/8 Les règles de Descrtes et de Budn Fourier Comment déterminer le nomre de rcines de P R[X] dns [, ]? L règle de Descrtes mjore le nomre des rcines positives : Théorème règle de Descrtes Pour tout polynôme P = c + cx + + cnx n dns R[X] on { } # x R> P x = ˆV c, c,, cn mult Pour les rcines négtives on psse de P X à P X Budn et Fourier étendirent cette mjortion à tout intervlle réel : Théorème règle de Budn Fourier Pour tout polynôme P = c + cx + + cnx n dns R[X] on { } # x ], ] P x = ˆV P, P,, P n mult On églité pour tout intervlle ], ] R ssi P n rcines dns R Avntge : Cette mjortion est fcile à clculer Inconvénient : Elle surestime souvent le nomre de rcines C étit l étt de l rt vnt l découverte de Sturm en 89 /8 Définition chngements de signes, zéros inclus Pour une suite s,, sn d éléments dns R nous posons V s,, sn := n k= V sk, sk = n k= signsk signsk Pour une suite S,, Sn de polynômes dns R[X] nous posons V S,, Sn := V S,, Sn Pour l différence en, R nous écrivons V := V V Définition chngements de signes, zéros exclus On forme d ord l suite réduite ŝ en supprimnt les éléments nuls, puis on définit ˆV s := V ŝ De même pour ˆV et ˆV = ˆV ˆV /8 Vrition de signes : dérivées d un polynôme On considère un polynôme de degré n et ses dérivées : P = P = nx n + + X + X + P = P = nnx n + + X + P = P = nn nx n + + P n = n!n Pour x R on note vx := ˆV P x, P x,, P n x l vrition des signes dns l suite P, P,, P n évluée en x Pour x + on trouve vx = cr sign P k x = sign dom P k = sign n Pour x on trouve vx = n cr sign P k x = n k sign dom P k = n k sign n Notre ojectif ser d étudier le comportement de vx u milieu /8
Vrition de signes : rcines de P Nous souhitons comprendre vx lors du pssge d une rcine r r r r Vrition de signes : rcines de P k P P P P Pour une rcine simple de P on trouve v v = : soit, +,, +, +, +,, soit +,,,,,, Pour une rcine doule de P on trouve v v = : soit +,, +,,, +, +, +, +,, soit, +,,,,,,,, Lors du pssge d une rcine de multiplicité m l suite P, P,, P n perd m vritions de signe : Oservtion pssge d une rcine de P de multiplicité m Si P r = P r = = P m r = sont les seules rcines de P, P,, P n sur ], ], lors v v = m 3/8 Lors du pssge d une rcine simple de P on v v = ou : soit +,, +, +,, +, +, +, +,, v v =, soit,, +,,, +,, +, +,, v v =, soit +, +,, +,,, +,,,, v v =, soit, +,,,,,,,,, v v = Pour une rcine doule de P on trouve v v = : soit, +,, +,,,, +,, +, +, +,, soit,, +,,,,,,,,,, Oservtion pssge d une rcine de P k pour k Supposons que k et que P k r = = P k+m r = sont les seules rcines de P, P,, P n sur ], ] Alors on trouve v v = m pour m pir, et v v = m ± pour m impir 4/8 L règle de Budn Fourier : démonstrtion Théorème Budn 87, Fourier 8 Soit P R[X] On note m, le nomre des rcines dns ], ], comptées vec multiplicités Alors on m, v v Plus précisément, on m, = v v u où u N On l églité m, = v v pour tout < dns R si et seulement si P est de degré n et dmet n rcines réelles Démonstrtion On déjà oservé que v v = m, + u On donc m, = v v u v v Choisissons ], ] contennt les rcines réelles de P, P,, P n Alors v = n pour tout et v = pour tout Si m, < v v sur un intervlle ], ], lors m, = m, + m, + m, < v v + v v + v + v = n Pr contrposé, si m, = n, lors m, = v v L règle de Descrtes : démonstrtion Corollire règle de Descrtes, 637 Soit P = c + cx + cx + + cnx n un polynôme réel Alors P dmet u plus V c, c, c,, cn rcines positives, et u plus V +c, c, +c,, n cn rcines négtives S il y en moins, le défut est un nomre pir Démonstrtion On pplique le théorème de Budn Fourier : Pour = on v = V c, c,, cn Pour > ssez grnd on v = Ainsi m, v v = V c, c,, cn Pour les rcines négtives on considère P X Exemple P X = X + X + X 3 dmet exctement une rcine positive P X = + X X X 3 dmet ou rcines positives Effectivement, on trouve l fctoristion P = X X + 5/8 6/8
Le théorème de Sturm : énoncé Théorème Sturm 89 Pour tout polynôme réel P R[X] et tout intervlle [, ] nous vons # { x [, ] P x = } = V S, S,, Sn D éventuelles rcines sur le ord {, } comptent pour un demi Ici l suite S, S,, Sn est construite de S = P et S = P pr division euclidienne Sk+ = Sk rem Sk jusqu à ce que Sn+ = Ainsi Sn pgcdp, P comme dns l lgorithme d Euclide ici signé Si Sn n est ps constnt, il fut encore diviser S, S,, Sn pr Sn Corollire Ce théorème permet de compter puis de locliser toutes les rcines réelles : On commence pr l orne de Cuchy puis on sudivise 5 3 Le théorème de Sturm : exemples Algorithme de Sturm : S := P, S := P, Sk+ = Sk rem Sk x 3 3 X 3 X + = S 44 5 + + + 3X 4X = S +39 + +7 +4 +5 8 9 S 3 5 9 7 9 9 + 7 9 + 5 3 45 = S3 64 45 + 64 V 3 3 3 3 Dns cet exemple les rcines sont et + 5 6 et 5 6 x 3 3 X 3 X + = S 43 4 + + + + 3X 4X = S +39 + +7 +4 +5 8 9 S 4 3 34 9 6 9 9 9 + 3 99 = S3 6 99 6 99 6 99 6 99 6 99 6 99 6 99 6 V 7/8 Dns cet exemple il n existe qu une seule rcine réelle, r 84 8/8 Pôles d une fonction rtionnelle Soit f = Q P RX une frction rtionnelle où pgcdq, P = On compte les pôles de f selon l convention suivnte : L indice de Cuchy : définition +/ +/ +/ +/ +/ +/ +/ +/ / / / / / / / / Ind=+ Ind= Définition indice de Cuchy en un point Pour f RX et R on pose Ind= Indf := Ind + f Ind f où + Ind ε si lim ε f = +, f := si lim ε f =, sinon Ind= Pr exemple, on Ind x = et Ind x = et ± Ind x = 9/8 Ind=+ Ind= Ind= Définition indice de Cuchy sur un intervlle Pour < dns R nous posons Ind f := Indxf + Ind + f Ind f x ],[ Pour < on pose Ind f := Ind f, et finlement Ind f := Remrque L indice de Cuchy jouit des propriétés semlles à l intégrle : Ind f + Ind c f = Ind c f pour tout,, c R Ind= Ind f τ = Ind τ τf pour toute fonction ffine τx = px + q /8
L indice de Cuchy compte les rcines réelles Proposition dérivée logrithmique + si est une rcine de f, Pour f RX on Indf /f = si est un pôle de f, sinon L formule d inversion de Cuchy Formule d inversion Cuchy 837 Si P, Q R[X] n ont ps de rcine commune en ni en, lors Q P Ind + Ind = V P Q P, Q Démonstrtion On fctorise f = X m g tel que g R f On otient f = m X + g g Ainsi f Ind f = signm Corollire rcines réelles de polynômes réels L indice Ind P /P compte les rcines de P R[X] dns [, ] : # { x [, ] } P x = = Ind P /P D éventuelles rcines sur le ord {, } comptent pour un demi Prolème : Comment clculer l indice sns connître les pôles? Solution : L suite de Sturm permet de clculer Ind Q P /8 Suites de Sturm Définition suite de Sturm Une suite S,, Sn dns R[X] est de Sturm sur [, ] R si Skx = pour < k < n et x [, ] entrîne Sk xsk+x < Exemple Pour R S où pgcdr, S = l lgorithme d Euclide signé produit une suite de Sturm commençnt pr S = S et S = R puis Sk+ = SkQk Sk jusqu à Sn = const Exemple On peut ssouplir l hypothèse : il suffit que ksk+ = SkQk ksk vec des constntes réelles k, k > Exemple Plus générlement encore, il suffit que AkSk+ = SkQk BkSk vec des polynômes réels Ak, Bk vérifint Akx > et Bkx >, puis Snx pour tout x dns l intervlle [, ] en question 3/8 Démonstrtion On peut supposer que pgcdp, Q = Si [, ] ne contient ps de rcine de P ni de Q, lors les indices Ind Q P et Ind P Q sont nuls, puis le TVI ssure que V P, Q = L formule est dditive pr rpport à isection de l intervlle Si [, ] contient de rcines, on peut donc supposer que c est ou Pr symétrie nous pouvons supposer que P = et Q Sur ], ] les polynômes P, Q sont non nuls, donc de signe constnt Q Ind = + VP, Q =, VP, Q = P Q Ind = VP, Q =, VP, Q = P Dns les deux cs nous otenons l églité énoncée /8 Le théorème de Sturm Corollire de l formule d inversion Si S, S,, Sn est une suite de Sturm sur [, ] R, lors Ind S + Ind Sn = V S, S,, Sn, Sn S Sn Démonstrtion L formule d inversion est télescopique : Ind S + Ind S + Ind S + Ind S = V S, S, S S S S S Les termes u milieu s nnulent : si Sx =, lors SxSx < Théorème frction continue selon l lgorithme d Euclide Pour R/S où pgcdr, S = l lgorithme d Euclide signé produit une suite de Sturm S = S, S = R,, Sn =, Sn+ = Ainsi Ind R/S = V S, S,, Sn Cette formule permet de clculer l indice de Cuchy Ind R/S 4/8
L indice de Cuchy compte le nomre de tours Soient R, S R[X] deux polynômes réels et F = R + is L ppliction [, ] C, t F t, décrit un chemin dns le pln complexe, llnt de F vers F, à coordonnées Rt + ist Oservtion / +/ Im +/ Re / t= t= L indice R Ind S compte le nomre de tours utour de : trverser l xe réel compte ± selon le sens guche / droite On suppose ici que le chemin Qt ne psse ps pr Autrement dit, R et S n ont ps de rcine commune 3 5/8 Indice de Cuchy d un polynôme complexe Soit P C[X] un polynôme complexe Comment locliser ses rcines? Ojectif : étlir une méthode effective nlogue u théorème de Sturm réel Au lieu d un intervlle [, ] R on considère un rectngle Γ C Im d Clcul d indice : On considère le chemin rectiligne de vers Pr chngement de vrile on pose F = P + X Les prties R = Re F et S = Im F sont des polynômes réels L ppliction [, ] C, t F t décrit un chemin llnt de F = P vers F = P, à coordonnées Rt + ist Définition On pose ind P := Ind R S Pour le rectngle Γ on pose ind ΓP := ind P + ind c P + ind d cp + ind dp ind ΓP se clcule ussi efficcement que dns le cs réel : Euclide pour l suite de Sturm de R S, puis évlution en et 3 6/8 Γ c Re L indice de Cuchy compte les rcines complexes Proposition exercice si r est à l intérieur de Γ, Pour P = X r on ind ΓP = si r est sur un coté de Γ, 4 si r est un sommet de Γ, si r est à l extérieur de Γ Loclistion des rcines complexes Pr dichotomie, l indice de Cuchy permet de locliser toutes les rcines complexes d un polynôme complexe donné P C[X] 8 4 3 Théorème dmis Si P, Q C[X] n ont ps de rcines sur les sommets de Γ R, lors ind ΓP Q = ind ΓP + ind ΓQ M Eisermnn, The Fundmentl Theorem of Alger mde effective : n elementry rel-lgeric proof vi Sturm chins Corollire Si P C[X] n dmet ps de rcine sur les sommets de Γ R, lors ind ΓP compte le nomre des rcines de P dns Γ 3 7/8 On commence pr le crré [ ρ, +ρ] où ρ est l orne de Cuchy Chque crré contennt des rcines est sudivisé en qutre On ne retient que ceux d indice >, contennt des rcines On peut ssurer que les rcines de P sont simples, quitte à diviser pr pgcdp, P Dès qu on ien sépré les rcines, on psse à l méthode de Newton, qui converge plus rpidement Conclusion Cette méthode le mérite d être élémentire et fcile à implémenter Elle est suffismment rpide pour des polynômes de degré moyen Pour des polynômes de grnd degré il existe des lgorithmes plus économes, mis plus compliqués Schönhge 98, Smle 986 3 8/8