Uivrité d Savoi DEUG Scic t Tchologi r mtr Elctroiqu t Itrumtatio CAPITRE 6 : REPRESENTATION DES FONCTIONS DE TRANSFERT - DIAGRAMMES DE BODE INTRODUCTION 44 DIAGRAMMES DE BODE - INTERET DE L ECELLE LOGARITMIQUE 44 LE DECIBEL 44 REPRESENTATION EN ECELLE LINEAIRE 44 3 REPRESENTATION EN ECELLES LOGARITMIQUES 45 3 Echll logarithmiqu 45 3 Rprétatio du modul 45 33 Rprétatio d la pha 47 3 INTERET DES DIAGRAMMES DE BODE POUR LES SYSTEMES EN CASCADE 47 Chp-6 Aaly fréqutill d igaux t ytèm pag 43 Rprétatio d foctio d trafrt - Diagramm d Bod
Uivrité d Savoi DEUG Scic t Tchologi r mtr Elctroiqu t Itrumtatio Itroductio La foctio d trafrt ( j ) d u ytèm qulcoqu t u ombr complx Troi olutio ot utilié pratiqu pour rprétr c ombr complx graphiqumt Parti imagiair foctio d la parti réll avc paramétrag fréquc : pla d Nyquit Modul foctio d la pha avc paramétrag fréquc : pla d Black Modul décibl foctio d la fréquc t pha foctio d la fréquc ur u échll d fréquc logarithmiqu : diagramm d Bod Da c chapitr, ou décrivo la rprétatio par l diagramm d Bod L autr rprétatio rot abordé cod aé da l modul M6 Pour la uit, o otra, db t ϕ l modul liéair, l modul décibl t la pha d la foctio d trafrt rpctivmt Diagramm d Bod - Itérêt d l échll logarithmiqu L décibl L décibl (db) t u échll logarithmiqu défii à partir d puiac d la faço uivat : P Log P db = où : P t u puiac xprimé Watt ur u échll liéair Pour l tio, l factur dvat l Log t du fait qu la puiac t proportioll au carré d la tio L modul d la foctio d trafrt xprim comm l rapport du modul d la tio d orti ur l modul d la tio d tré du ytèm coidéré E db, o aura doc : db = Log( ) = Log ( ) Pour la uit, o utilira Log pour igifir l logarithm ba Rprétatio échll liéair Pro l xmpl du circuit RC d la figur 6 R C Figur 6 Circuit RC O a : = = = + jτ + j où τ = RC t = RC Soit pour l modul : = + Chp-6 Aaly fréqutill d igaux t ytèm pag 44 Rprétatio d foctio d trafrt - Diagramm d Bod
Uivrité d Savoi DEUG Scic t Tchologi r mtr Elctroiqu t Itrumtatio E poat x =, o obtit : = + x Si l o rprét ur u échll d fréquc liéair, o obtit u courb prétat pa d aymptot lorqu x << ou x >> L tracé d écit doc l calcul d u grad ombr d poit C raiomt put êtr gééralié à tout l foctio d trafrt prétat ou u form polyomial : ( ) ( ) ( ) ( ) a jx a jx a jx = + + + + + b jx + b jx + + b jx Da tou l ca l tracé échll liéair t log t fatidiux O vrra égalmt qu il prmt pa d dégagr d iformatio d faço rapid ur l ytèm (Fréquc d coupur, Bad Paat, ) 3 Rprétatio échll logarithmiqu 3 Echll logarithmiqu L échll d fréquc t logarithmiqu O fait corrpodr x à Log(x) O put idifférmmt utilir l Log ba (log épéri) ou ba Troi poit importat ot à rtir lorqu l o utili u échll logarithmiqu : U multiplicatio d la fréquc par u factur cotat traduit par u décalag géométriqu cotat ur l ax d fréquc Log = L échll put pa démarrr du poit (fréquc ull) du fait qu ( ) U octav t u décad corrpodt rpctivmt à u multiplicatio par u factur t d la fréquc 3 Rprétatio du modul 3 Tracé aymptotiqu L modul t rprété db ur l échll logarithmiqu E rprat l xmpl du circuit RC, o a : = Log( ) = db Log = Log( + x ) + x Lorqu x >>, o a : lim = Log( x ) = Log( x) db qui rprét u droit d pt - x>> db/décad ur u échll logarithmiqu (ou cor -6dB/octav) E fft, pour x =, o a db = ; pour x =, o a = db db, oit u dimiutio du modul d db pour u décad Lorqu x <<, o a : lim db Log( ) m m = = qui rprét u droit d pt ull x<< E échll logarithmiqu, l modul db prét doc dux aymptot, pour x >> t x <<, oit pour l «haut» fréquc t l «ba» fréquc (figur 6) C t évidmmt l ca pour tout l foctio d trafrt prétat ou u form polyomial L itérêt d l échll logarithmiqu t doc éorm pour l tracé t l aaly du modul d u foctio d trafrt Chp-6 Aaly fréqutill d igaux t ytèm pag 45 Rprétatio d foctio d trafrt - Diagramm d Bod
Uivrité d Savoi DEUG Scic t Tchologi r mtr Elctroiqu t Itrumtatio db db -db/décad x (Log) Figur 6 Diagramm d Bod Tracé aymptotiqu du modul d la foctio d trafrt du circuit RC Qulqu poit ( à 3) uffit à rprétr l modul d la foctio d trafrt à partir du tracé aymptotiqu 3 Bad paat - Fréquc d coupur E obrvat l tracé aymptotiqu d la figur 6, o rmarqu qu l circuit RC lai par, a trop l attéur, l igaux d «ba» fréquc t attéu fortmt l igaux d «haut» fréquc O dit qu il agit d u filtr «Pa-ba» D faço arbitrair, o a l habitud d défiir u limit tr l «ba» t l «haut» fréquc Ctt limit aboutit aux otio d Bad Paat t d fréquc d coupur Coidéro u ytèm auqul o appliqu u igal d tré d puiac P t qui délivr orti u igal d puiac P Lorqu l igal d tré t pa attéué par l filtr, l rapport P P imum C rapport dvit trè faibl i l igal t fortmt attéué par l filtr Si valur imum du rapport P P P P t upériur ou égal à P P P P t t la, o covit d faço arbitrair qu l igal «pa» tat qu l rapport t «pa pa» da l ca cotrair La Bad Paat (BP) t l itrvall d fréquc f pour lqul : L fréquc pour lqull P P P P P P P P P = P ot l fréquc d coupur du ytèm coidéré L plu ouvt, o itér à l amplitud d igaux plutôt qu à lur puiac Or proportiol à S E La rlatio défiiat la bad paat dvit doc : P P t Chp-6 Aaly fréqutill d igaux t ytèm pag 46 Rprétatio d foctio d trafrt - Diagramm d Bod
Uivrité d Savoi Du fait qu =, o put écrir : DEUG Scic t Tchologi r mtr Elctroiqu t Itrumtatio L fréquc d coupur du ytèm ot doc l fréquc pour lqull o a : = cla dvit : Log( ) = Log db 3dB = O parlra da c ca d fréquc d coupur à -3dB 33 Rprétatio d la pha E db, La pha t rprété dgré ou radia ur l échll logarithmiqu E rprat l xmpl du circuit RC, o a : ϕ = ArcTa( x ) π Lorqu x >>, o a : lim ϕ= qui rprét u droit d pt ull x>> Lorqu x <<, o a : lim ϕ = qui rprét u droit d pt ull x>> E échll logarithmiqu, la pha prét doc dux aymptot, pour x >> t x <<, oit pour l «haut» fréquc t l «ba» fréquc (figur 63) C t évidmmt l ca pour tout l foctio d trafrt prétat ou u form polyomial ϕ π x (Log) Figur 63 Diagramm d Bod Tracé aymptotiqu d la pha d la foctio d trafrt du circuit RC Qulqu poit ( à 3) uffit à rprétr la pha d la foctio d trafrt àpartir du tracé aymptotiqu 3 Itérêt d diagramm d Bod pour l ytèm cacad O coidèr ytèm d foctio d trafrt,,, moté cacad (figur 64) E i S Figur 64 Cacad d ytèm La foctio d trafrt global écrit : S = = = i E L modul t la pha d écrivt alor : Chp-6 Aaly fréqutill d igaux t ytèm pag 47 Rprétatio d foctio d trafrt - Diagramm d Bod i= i i= i= = t ϕ = ϕ i
Uivrité d Savoi L modul db écrit : db = Log i db i = i= i= DEUG Scic t Tchologi r mtr Elctroiqu t Itrumtatio Doc l modul db t la pha d la foctio d trafrt global obtit additioat l modul db t l pha d i Il t alor aié d tracr l diagramm aymptotiqu d à partir d diagramm aymptotiqu d i additioat implmt l aymptot Exmpl : cacad d dux ytèm du prmir ordr O coidèr dux ytèm du prmir ordr défii par lur foctio d trafrt rpctiv t : = + j t = + j Sur la figur 65, o a rprété l diagramm d Bod d t ( coidérat cux d = > ), pui modul pha ϕ -db/décad ϕ (Log) π (Log) -db/décad ϕ -4dB/décad π (Log) π (Log) Figur 65 Diagramm d Bod d, t = Pour l modul d, o a u aymptot db = pour <<, u «palir» d pt db/décad tr t t u aymptot d pt -4dB/décad pour >> π Pour la pha d, o a u aymptot ϕ = pour <<, u palir ϕ = tr t t u aymptot ϕ = π pour >> L allur d courb réll déduit uit trè implmt à partir d tracé aymptotiqu Chp-6 Aaly fréqutill d igaux t ytèm pag 48 Rprétatio d foctio d trafrt - Diagramm d Bod