H 2012/04. Détection des disparités socio-économiques L apport de la statistique spatiale

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3 Ititut Natioal de la Statitique et de Étude Écoomique Série de documet de travail de la Directio de la Diffuio et de l Actio Régioale H /4 Détectio de diparité ocio-écoomique L apport de la tatitique patiale Jea-Michel Floch (Iee-DAR) A partir de travaux meé au ei de la Diviio de étude territoriale(*) Décembre (*)Voir l itroductio pour u aperçu rapide de ce travaux, et la lite de celle et ceux qui, autour de Jea-Luc Lipatz, alor chef de la DET y ot cotribué. Ce documet de travail e reflètet pa la poitio de l'insee et 'egaget que leur auteur. Workig paper de ot reflect the poitio of INSEE but oly their author' view. 3

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5 Table de matière RÉSUMÉ 7 INTRODUCTION 8 - GÉNÉRALITÉS 9 - GÉNÉRALITÉS 9 - «Aalye patiale» et «tatitique patiale» 9 - «Maup» : agrégatio et zoage 9-3 Modèle temporel et modèle patiaux -4 Hétérogééité et dépedace -5 - Le troi grade brache de la tatitique patiale, et leur maière de predre e compte l autocorrélatio - AUTOCORRÉLATION, POINTS CHAUDS ET FROIDS : LE CAS DES DONNÉES SURFACIQUES 4 - Règle de cotigüité 4 - Meure d aociatio globale 5 -- Idicateur de Mora 6 -- Idicateur de Geary Idicateur G de Geti et Ord 9-3 Idicateur locaux d aociatio patiale 9-3- Idicateur de Geti et Ord 9-3- Idicateur de Mora local -3-3 Idicateur de Geary local 3 - CONFIGURATIONS SPATIALES DE POINTS ET RATIOS DE DENSITÉ 3 3- Gééralité 3 3- Propriété du premier ordre Propriété du ecod ordre Deité de probabilité et iteité d u proceu L etimatio o-paramétrique de la deité De deité aux ratio de deité Du ratio théorique au ratio etimé Comparaio avec le réultat de Lia 38 5

6 4- EXTENSION DU CHAMP D APPLICATION Le pricipe 4 4- Applicatio à l aalye de doée U exemple de claificatio Utiliatio pour le calcul de idicateur de égrégatio patiale LA RÉGRESSION GÉOGRAPHIQUE PONDÉRÉE (RGP) Préetatio géérale Théorie élémetaire de la RGP Le bae La détermiatio de paramètre optimaux Retour ur l exemple Tet ur la o tatioarité Ue utiliatio de type «petit domaie» Lie avec l etimatio de deité DÉTECTION DE CLUSTERS D ACTIVITÉ OU D ÉQUIPEMENTS 5 6- Idicateur de Ripley et prologemet 5 6- Le M de Marco et Puech 5 BIBLIOGRAPHIE 54 6

7 Réumé Ce documet préete quelque méthode, iue de la tatitique patiale, permettat de détermier de zoe de cocetratio de difficulté ociale. Aprè ue préetatio géérale de problème lié à l utiliatio de doée patialiée (MAUP, problème de l échiquier), il préete le idicateur d autocorrélatio globaux (Mora, Geary) et locaux (Geti & Ord, LISA) relevat de méthode «urfacique». La partie la plu importate du documet traite de l etimatio de la deité de doée poctuelle, grâce à de méthode o paramétrique et de leur utiliatio pour la détermiatio de zoe de urrepréetatio grâce aux ratio de deité. D autre méthode relevat de proceu poctuel (Foctio K de Ripley et dérivée ou de la régreio (Régreio géographique podérée) ot égalemet préetée. Mot clef : tatitique patiale, autocorrélatio, etimatio o-paramétrique, régreio géographique, idicateur de égrégatio. Abtract Thi paper preet ome method, iued from patial tatitic, ued to detect area with cocetratio of ocial problem. It begi with a geeral preetatio of patial data (Modifiable areal uit problem, checkerboard problem) ad go o with global patial autocorrelatio meaure ( Mora, Geary) ad local ( Geti & Ord, LISA) iued from areal method. The mot importat part of thi paper i about deity etimatio of poit patter, with o parametric method. Ratio of etimated deitie are ued to detect cluter of ocial problem.. Other method (K Ripley fuctio, geographically weighted regreio) are alo preeted. <Keyword : patial tatitic,autocorrelatio,kerel deity etimatio, geographically weighted regreio 7

8 Itroductio Ce documet de travail préete quelque ue de méthode utiliée da le travaux meé au ei de la Diviio de étude territoriale (DET) de l Iee. Il et doc le produit d u travail collectif, iitié il y a u peu plu de a par Michel Haou et Jea-Luc Lipatz, alor chef de la diviio. Ce travail viait à produire, e rapprochat doée géolocaliée et techique de tatitique patiale, de outil utiliable par le directio régioale de l Iee pour l aalye urbaie. Repoable pluieur aée du PSAR- Aalye urbaie au ei de la DET, l auteur de la préete publicatio et da ue large meure le porte-plume, i l o peut ecore utilier ce terme de o jour, d ue aveture collective dot il a été u de protagoite. L utiliatio de méthode de tatitique o paramétrique, déjà précoiée par Philippe Chataigo a débouché ur l écriture par J.-L. Lipatz d u kit de macro SAS detié, da le cadre de la mie e place de Cotrat urbai de cohéio ociale (CUCS),à aider le décideur da la recherche de zoe e ituatio précaire. Ce kit a été erichi au cour de aée, et a été au cœur de l ivetiemet «Sythèe urbaie». Dipoible ur ftp\coultatio\ifracommual\kde, il et à l origie d ue boe partie de carte de ce documet. La DET et le PSAR ot égalemet exploré quelque autre méthode ( Régreio géographique podérée, foctio de Marco et Puech..). Pour aider le chargé d étude travaillat à partir de ce méthode, ue formatio à l aalye patiale a été orgaiée à partir de 4. Y ot iterveu, outre J-L Lipatz et l auteur de ce documet, Michel Haou, Jea- Luc Le Toqueux, Stéphaie Himpe, Stéphaie Ma, Cythia Gaborieau- Faivre, Marc Brachu et Beoît de Lapae. Ce documet doit beaucoup à leur cotributio repective, et il retrouverot a doute au fil de page de graphique iu de leur itervetio lor de formatio. Eviagé d abord comme u accompagemet à cette formatio, ce papier e développe davatage certai apect méthodologique et cherche à reituer le méthode utiliée da le vate domaie de la tatitique patiale. Certaie de iterprétatio ot peroelle, et elo la formule, le erreur qui apparaîtraiet e ot imputable qu à l auteur du documet. 8

9 - Gééralité Ce documet préete quelque otio de bae de tatitique patiale, mai e cotitue pa ue itroductio, da la meure où il privilégie u ombre limité de méthode, celle qui ot été utiliée pour la détectio de zoe de urrepréetatio de difficulté ociale lor de la mie e place de CUCS. De ombreux mauel ou documet e lige permettet aux itéreé d aller plu loi da le vate domaie de la tatitique patiale : Bailey et Gattrell (995), Loyd (6) pour ue première approche, Diggle (3), Gotway et Schabeberger (4) ou Creie (993) pour ue approche ytématique, par exemple. - «Aalye patiale» et «tatitique patiale» Il et quetio da ce documet de tatitique patiale. O accordera avec ce que dit le géographe Claude Gralad lorqu il ditigue l aalye patiale de la tatitique patiale. Pour lui, «l aalye patiale et ue brache de ciece ociale qui attache aux détermiat de la localiatio de homme et de activité, tadi que la tatitique patiale et ue brache de la tatitique qui étudie le particularité de ditributio de populatio da u epace bidimeioel» Selo Gralad, le cocept cetral e aalye patiale et celui d iteractio, tadi qu e tatitique patiale, c et l autocorrélatio qui et eetielle. Pour le «tatiticie patial», l itroductio de l epace correpod à u erichiemet, au prix de difficulté coceptuelle aez coidérable, de méthode élaborée da u cotexte «a-patial». Le modèle patiaux plu riche du tatiticie retet éamoi pour l aalyte de viio implifiée de la réalité. Ce différece d approche expoéee, il rete que ce deux mode etretieet de relatio étroite. L itroductio d ue forte doe de quatitativime da le étude géographique, l utiliatio de méthode tatitique et écoométrique e écoomie ou e géographie ot cotribué à de rapprochemet etre ce uiver. Le quetio poée de faço iitate par le géographe (comme celle du Modifiable areal uit problem) ot pa été a ifluece ur la tatitique patiale, pour la remie e caue d hypothèe difficilemet teable. Da la littérature, cette proximité e maifete particulièremet da la «tatitique patiale exploratoire», da le illage de méthode iitiée par J.Tukey. U livre comme celui de Bayley et Gattrell (995) e témoige. Ue techique comme la régreio géographique podérée, préetée da ce documet, et due à de géographe. Le travaux de Mora, publié da de revue de tatitique, alimetet le travaux de géographe. Ce documet expoe quelque méthode de tatitique patiale, mai il et detié à de utiliateur qui erot urtout ameé à faire de l aalye patiale. - «Maup» : agrégatio et zoage MAUP et l acroyme de «modifiable areal uit problem». Il a été itroduit ou ce terme par le géographe Steve Opehaw, qui a reformulé de quetio aciee, e aidat de poibilité offerte par l iformatique pour faire de imulatio. Quetio aciee, parce que l o ait de logue date qu e chageat de découpage, o obtiet de repréetatio cartographique différete. 9

10 Commet réumer ce terme de Maup? Sa doute e diat qu il agit d u problème d agrégatio et/ou de zoage. Figure. La géographe Léa Sader, à qui et emprutée la carte ci-deu e poite quelque coéquece : a- Le repréetatio cartographique et le aalye tatitique vot doer de réultat différet elo le etité patiale élémetaire choiie ; b- Selo le zoage choii, le évolutio patiale ot différete ; c- Le correpodace etre de limite admiitrative et de dicotiuité patiale ot poible, mai ot raremet la règle ; d- Avec différete défiitio d'etité patiale, le forme d'évolutio apparaiet différemmet ; e- Le relatio etre le phéomèe chaget e foctio de l'échelle d'obervatio ; f- Le relatio etre le phéomèe dépedet de l'étedue patiale de la régio étudiée. O peut remarquer que ce quetio e poet da de terme proche lorque l o publie de réultat da de omeclature à différet iveaux. C et le ca par exemple de travaux ur la cocetratio idutrielle, qui peuvet doer de réultat différet, voire cotradictoire, elo que la omeclature utiliée pour décrire le tiu idutriel et plu ou moi fie. Le repréetatio cartographique peuvet reforcer l effet du Maup, pour de raio d ordre viuel. Aii ue zoe de faible effectif, mai de grade uperficie, produit effet marqué riquat de doer ue image déformée (exemple du chômage à Geevillier, carte. et.).

11 Port fluvial de Geevillier Carte. ( ite de la DIV) Carte. ( carte DET) Pluieur olutio ot été propoée pour pallier à ce problème de Maup. Toujour e uivat L Sader, o peut citer : - l idetificatio du iveau pertiet ; - la recherche de partitio optimale; - le iveau idividuel ; - le carroyage et le liage ; - l aalye multi-calaire. Ce propoitio e ot pa atagoique, mai aucue e réout la quetio du Maup. O verra par la uite que le méthode o paramétrique, qui permettet de abtraire de découpage admiitratif, doet de réultat qui ot tributaire de la feêtre d etimatio, et qu il et difficile de défiir de olutio optimale. L aalye multi-échelle cotitue e tout état de caue ue voie itéreate, car elle a l avatage de predre e compte le obervatio qui peuvet être pertiete à chacu de iveaux d obervatio coidéré, et à le combier pour obteir ue aalye pertiete. -3 Modèle temporel et modèle patiaux Le modèle patiaux préetet de aalogie avec le modèle utilié e érie temporelle. Da ce derier, le temp, le t de X(t) et ue iformatio à part etière. Il permet d étudier la ucceio de obervatio, leur périodicité, et d e cotruire de modéliatio. Il e va de même pour le obervatio patiale. La ituatio da l epace et ue iformatio aui importate que la variable d itérêt, et le modèle patial X( et pa la même choe qu u modèle X, pécifié a teir compte de la poitio de obervatio. Sur le pla théorique, le modèle temporel, comme le modèle patiaux, repoet ur de proceu tochatique. O pourra trouver de aalogie etre de outil comme le variogramme utilié e géotatitique et le corrélogramme. Ceci dit, cette aalogie a aui de limite. E érie temporelle, o a ue directio, et de itervalle de temp permettat de faire de modéliatio empirique (moyee mobile ou probabilite (ARMA et dérivé. Le patial et plu complexe puique l o e itue da u pla, et e gééral da de tructure préetat de dicotiuité. Le loi

12 de probabilité qui ot au cetre de la modéliatio de phéomèe patiaux et temporel e ot pa le même. -4 Hétérogééité et dépedace Le doée patiale ot caractériée par de emboîtemet d échelle, le proceu pouvat être différet (homogèe à ue certaie échelle, hétérogèe à d autre. Le méthode tatitique da le domaie patial vot être ameée à traiter : - l hétérogééité. Il et bie cou pour le praticie de doée patialiée que le patial et le domaie de l hétérogééité, et que le traitio peuvet avoir lieu de faço aez abrupte. Le problème e poe alor de voir commet le méthode coçue da u cadre tadard, pour étudier de phéomèe homogèe vot pouvoir être adaptée à de ituatio où le proceu e ot pa tatioaire, et où o e trouve pa a priori de forme de régularité qui ervet à modélier le érie temporelle. - La dépedace. Elle et exprimée de faço imagée par Tobler, qui e a fait la première «loi de la géographie» «Everythig i related to everythig ele, but ear thig are more related tha far thig». Cette ituatio fait que le hypothèe claique de la tatitique mathématique qui jutifiet le modèle uuel e peuvet plu appliquer. Le tructure de dépedace patiale ot complexe. Elle e ot pa toujour facile à teter et éceitet de défiir u voiiage de faço pertiete Le troi grade brache de la tatitique patiale, et leur maière de predre e compte l autocorrélatio La tatitique patiale e et pa développée de faço rectilige et uifiée. De grade brache, comme la géotatitique e ot cotituée de faço aez idépedate. Ce et qu aez tardivemet que Creie (993) a propoé ue uificatio de différet champ de ce vate domaie, e repreat la otio de variable régioaliée itroduite par George Mathero, père tutélaire de la géotatitique à l Ecole de Mie de Fotaiebleau. O ditigue habituellemet troi grad type de doée da la tatitique patiale : - le doée poctuelle ; - le doée de urface ; - le doée géotatitique. L itroductio de ce méthode a été aez lete à l INSEE. Elle a été redue idipeable par la éceité de maipuler de groe bae de doée géolocaliée. Le problème lié à l autocorrélatio patiale, au MAUP ot fait petit à petit leur chemi. Il retait à réoudre la quetio de méthode pertiete à utilier pour traiter le doée. Le méthode géotatitique ot été tetée, avec peu de uccè. Le doée de urface qui ot e apparece le plu proche de ce qui et pratiqué à l INSEE ot fait l objet que de peu d ivetigatio. Ce ot le techique «poctuelle» qui e ot avérée le mieux à même de traiter le quetio qui e poaiet da le domaie de l aalye urbaie.

13 Ce méthode poctuelle ot utiliée depui u certai temp da pluieur domaie d étude. Nou avo urtout utilié de travaux relatif à : - l épidémiologie ; - la forêt. O et redu compte que le pécialite de ce domaie travaillaiet ur de problématique qui apparaiaiet trapoable da le domaie de étude urbaie. Le épidémiologite parlet fréquemmet de «rique relatif» da l étude de pathologie. Il eaiet de détermier le zoe où le rique et fort, et euite de modélier ce rique e itroduiat de variable explicative. Cela reemble fortemet à ce que l o recherche quad o itéree au chômage. Le foretier itéreet à la répartitio de epèce, à la faço dot le différete eece végétale aociet ou au cotraire e repouet. Le méthode poctuelle ot emblé fourir, da ue première étape, le outil le plu porteur pour commecer à traiter de faço atifaiate le doée géolocaliée dot dipoait la tatitique publique. O commecera par préeter ce qui fode ce méthode, avat de traiter de faço pécifique le traitemet de problème de rique relatif et de zoe de ur-repréetatio. Le techique tatitique préetée erot doc choiie e foctio de leur itérêt pour le aalye patiale qu elle permettrot d éclairer. La prie e compte de l autocorrélatio et u ejeu majeur pour la tatitique patiale, afi de pécifier correctemet le modèle. De techique pécifique de meure de l autocorrélatio ot été élaborée da chacue de grade brache de la tatitique patiale : - variogramme e géotatitique ; - idicateur d aociatio patiale pour le doée urfacique ; - foctio de Ripley et dérivée da le méthode poctuelle. Ce idicateur ot e commu de faire iterveir le ditace, ou le proximité etre le obervatio. Le poit commu etre le différete méthode e ot pa forcémet apparete. Il a emblé itéreat pour commecer d étudier l autocorrélatio da le doée urfacique. 3

14 4 - Autocorrélatio, poit chaud et froid : le ca de doée urfacique La meure de la corrélatio éceite la prie e compte de doée qui ot à proximité de zoe d obervatio. Cela implique de défiir de relatio de voiiage, que l o pourrait défiir pompeuemet comme topologique, ou comme métrique. - Règle de cotigüité Preo comme exemple, à la uite de Cliff et Ord troi type imple de cotigüité. Da le chéma ci-deou, chaque zoe «grie» et cotigüe à la zoe «jaue» elo le règle du jeu d échec. Tour Fou Reie Figure. Ce règle de cotiguité permettet de défiir de matrice, dite égalemet de cotiguité, qui vot permettre de calcul. La règle la plu imple et de predre ij w i le zoe i et j ot cotigue, wij da le ca cotraire; e coidérat qu ue zoe et pa cotigue à elle-même E repreat le troi exemple imple du déplacemet du fou, de la tour et de la reie ur u échiquier 3x3 le matrice ot le uivate : Tour Fou Reie Tableau. O cotate facilemet qu au vu de règle de voiiage qui ot défiie : - le matrice de cotigüité ot ymétrique ; - la matrice de déplacemet de la reie et la omme de celle de la tour et de celle du fou. Le exemple de règle de cotigüité ot ombreux et plu ou moi complexe. Cito parmi ceux-ci :

15 a) wij i le zoe i et j ot ue frotière commue, wij da le ca cotraire; cette matrice et ymétrique ; b) wij et le pourcetage du périmètre total de la zoe i qu elle partage e commu avec la zoe j; cette matrice et pa ymétrique ; c) w ij i la ditace etre le régio i et j et iférieure à ue ditace critique et w ij au delà. Le défiitio de cette ditace critique ot multiple : ditace etre le cetre géographique de zoe, etre le capitale admiitrative etc ; d) w ij et ue foctio décroiate de la ditace etre poit privilégié de zoe i et j Cliff et Ord (973) propoet ue a b ij b ij formulatio du type wij d, avec dij ditace etre le zoe i et j, b ij pourcetage du périmètre de la zoe i cotitué par la frotière avec la zoe j et a et b deux paramètre à etimer ; e) w ij et ue meure de l acceibilité etre le zoe i et j, ditace ou temp de traport par la route, rail, air, etc ; e) w ij peut efi traduire de proximité o géographique de type orgaiatioelle. Le règle de cotigüité ci-deu ot elo le ca topologique, métrique ou mêlet le deux. O remarquera que da certai ca, la matrice de cotiguité et ue foctio de la ditace, et exprime comme wij (d). Le matrice de cotiguité exprimet ouvet ou ue forme ormaliée e lige, c et à dire de telle faço que la omme e lige de podératio oit égale à. Cette ormaliatio de coefficiet permet de calculer de idicateur locaux et de comparer la valeur obervée de la variable d itérêt e i, et a valeur da le voiiage. - Meure d aociatio globale Ue meure d aociatio patiale et défiie de faço géérale comme la omme podérée ur le couple de poit poible d u idicateur de imilarité, oté imij oit : N N ij i i N N w i j w im ij ij Le idice utilié claiquemet, ceux de Mora et Geary exemple de cette formulatio géérale. ot de 5

16 -- Idicateur de Mora Il et défii e utiliat l idicateur de imilarité imij ( zi z)( z j z), z état la moyee arithmétique ur l eemble du champ d obervatio. Si déige la variace de obervatio, l idicateur de Mora, oté I pour la variable Z écrit de la faço uivate : I N N w ij i j N ( zi z)( z j z) N i j w ij L idicateur de Mora I et ue variable aléatoire, dot la ditributio et détermiée par celle de la variable d itérêt et de iteractio patiale. Le réultat aymptotique ot été calculé par Cliff et Ord (973). Ce auteur ot motré que ou hypothèe d idépedace : E ( I), et doc que l idicateur de Mora a ue valeur qui ted ver lorque le N ombre de zoe d obervatio accroit. O peut remarquer que l idicateur de Mora peut écrire égalemet ou la forme I ( zi wij N z ( zi z)( zj z) ) wij ( zj z) N ce qui doe à l idicateur de Mora ue allure proche (aux podératio patiale prè du claique coefficiet de corrélatio de Pearo. Pour divere boe raio expoée par exemple da Gotway et Waller(4), ce coefficiet e peut cepedat pa être iterprété comme u coefficiet de corrélatio. Il et pa iférieur ou égal à e valeur abolue comme le coefficiet de Pearo et e peut être coidéré comme u coiu d agle. Se bore peuvet être calculée. O peut trouver de réultat ur le limite de valeur de I da Cliff & Ord(973) ou Gotway et Waller(4). O a, auf ca particulier I <. Pour comparer la valeur obervée de l idicateur d aociatio patiale à l hypothèe ulle, il faut réalier de tet Da le ca où l o e réfère à de hypothèe (forte et peu I E( I) vraiemblable ) de ormalité, o va comparer à la ditributio d ue loi ormale V ( I) N(,). L expreio de la variace peut être calculée à l aide de la matrice de poid, et exprime de la faço uivate : N S NS + 3S V(I) ( )( ) ( ) où : N N+ S N S N N i j wij N N S w ( wij + ji) i j 6

17 ( wi. w i) N S +. i Ce formule paraiet u peu lourde mai e ot pa trop difficile à implémater. Par cotre, elle repoet ur de hypothèe aez forte. C et pourquoi o préfère ouvet calculer l epérace et la variace de I e effectuat u grad ombre de permutatio aléatoire de obervatio. O trouvera ci-deou u exemple de calcul du coefficiet de Mora, réalié ur de doée imulée de taux de pauvreté au iveau de carreaux (carte.). La pauvreté et décroiate de couleur chaude ver le couleur froide. Carte. L idicateur de Mora et calculé ur cet exemple e utiliat la matrice de proximité la plu imple (cotiguité d ordre au e de la Reie). Comme o le fait ouvet da le calcul de ce idicateur, le podératio ot été ormaliée afi que la omme e lige oit égale à. Il y a da la carte 5 carreaux qui itervieet da le calcul. Le valeur obteue ot le uivate : Idicateur de Mora :.54 Epérace de l idicateur -.O7 Variace de l idicateur.96 Valeur à teter 6.69 P-value. Tableau. Ce réultat idiquet qu o e peut rejeter l autocorrélatio patiale. La valeur à teter et trè upérieure à. La probabilité pour qu avec la valeur obervée, o rejette à tort l hypothèe ulle (abece d autocorrélatio patiale) et trè faible. Ue autre faço de teter la valeur du coefficiet de Mora, par rapport à l hypothèe ulle d abece d autocorrélatio patiale, et de réalier u grad ombre de permutatio de réultat obervé, et d étudier la ditributio de réultat obteu. O pourra aii voir da quel pourcetage de ca le réultat que l o obtiet et dépaé par le permutatio réaliée. L idicateur de Mora peut préeter de limite. Le formule préetée ci-deu ot de variable quelcoque. Si o l applique à de doée de comptage, il faut l utilier avec prudece, comme le motret de ombreux exemple d épidémiologie. Si o itéree à la meure de l autocorrélatio de ca d ue pathologie, o peut avoir ue 7

18 autocorrélatio poitive de ca cotaté qui e fait que refléter la répartitio patiale de la populatio de référece. C et pourquoi de tatiticie travaillat da le domaie de la até ot propoé de forme alterative de l idice de Mora, qui exprimet de la faço uivate : I N Z N i wij i i CR N N i i ri w ri Z ij j rj rj Cette expreio fait apparaître l écart etre la gradeur obervée Z i (le comptage d ue pathologie, par exemple) à la valeur attedue r i, obteue e appliquat u rique cotat r à la populatio totale de la zoe, l expreio état ormée par la racie de r i. O peut l iterpréter comme le réultat de l applicatio d ue régreio poioiee de la variable explicative z i ur l effectif i de la zoe. Pour arriver à l expreio metioée, il faut faire l hypothèe qu e moyee, le réidu tudetié ot ul. O trouvera da Gotway & Waller (4) de exemple tiré d u même jeu de doée et qui coduiet à de réultat trè différet etre I et I CR. -- Idicateur de Geary Cet idicateur et baé ur ue autre formule de imilarité : imij ( zi zj) Il a la forme uivate : c ( Zi Z ) i i N N i N N N w ij i i ( Zi Zj) N w Cet idicateur pred de valeur comprie etre et, la valeur idiquat ue autocorrélatio patiale poitive, ue autocorrélatio patiale égative. Cet idicateur préete de aalogie de forme avec celui de Durbi et Wato. O trouve da l article d Aeli (995) de réultat théorique ur le momet de l idicateur de Geary : E( c) Var( c) ( N )( S + S ) 4S ( N + ) S avec le covetio d écriture adoptée pour le calcul de idice de Mora. O peut teter, avec le même hypothèe forte et le même limite, l autocorrélatio patiale au e de Geary e utiliat la ormalité aymptotique de I E( c) ij Var( c) Cliff et Ord (973) ot motré le lie qui exite etre l idicateur de Mora et celui de Geary, qui peut écrire : 8

19 N c S N i N w i. ( zi Z ) ( zi Z ) i N I N Le idicateur de Mora et de Geary ot été abodammet utilié, tout particulièremet le premier. Il e ot cepedat pa a icovéiet O peut revoyer aux limite que oulige d Aubigy da Droebeke et alii (5), et que l o peut réumer aii : - ce idice ot cotruit par aalogie avec de idicateur exitat (Pearo, Durbi & Wato) ; - la pricipale faiblee réide da le poid égaux attribué à chaque etité patiale, ce qui apparaît peu réalite ; - le bore de variatio e ot pa bie coue ; - o a deux idice cocurret, a lie exploitable. --3 Idicateur G de Geti et Ord Ue autre tatitique d aociatio patiale a été propoé par Geti et Ord (996), qui coite à défiir de poid w ij (d) défii pour ue ditace d détermiée. G peut écrire : G( d) N N i i N N wij( d) zizj i i zizj Cet idicateur global et doé ici pour mémoire, l idicateur de Geti et Ord état plutôt utilié comme u idicateur local, permettat de détecter de «poit chaud» -3 Idicateur locaux d aociatio patiale Ce idicateur ot cou da la littérature ou le om de LISA (Local idicator of patial aociatio). Il ot été itroduit par Luc Aeli 995) da u article du même om. Ce idicateur peuvet être défii da la zoe i comme ue foctio f ( zi, zj) mettat e relatio la valeur obervée da la zoe et celle qui et obervée da o voiiage. Il ot deux propriété : - il idiquet l importace de la propeio à former de grappe autour d ue zoe coidérée ; - leur omme et proportioelle à u idicateur global d aociatio patiale. O aura doc de Mora locaux et de Geary locaux. -3- Idicateur de Geti et Ord Geti et Ord (996) ot uggéré deux idicateur permettat de détermier de poit «chaud» et «froid». La différece etre le deux formulatio tiet à la prie e compte (ou o) da le calcul de l idicateur de la valeur au poit d obervatio. Ituitivemet, ce idicateur ot imple à compredre puiqu il mettet e rapport ue valeur calculée au voiiage du poit d obervatio, et ue valeur calculée ur l eemble du territoire coidéré, auquel o a elevé le poit d obervatio. 9

20 La première forme de l idicateur et la uivate : Gi( d) j, j i O peut calculer l epérace et la variace de ce idicateur, leur expreio état le uivate : Wi E( G ) et Wi( wi) i ( ) S i Var Gi ( ) ( )( x i) O cotruit comme pour le autre idicateur, u tet aymptotique, permettat de repérer le poit chaud et froid. Geti et Ord (996) uggèret (claiquemet) d utilier u tet baé ur la ormalité Gi E( Gi) (hypothétique) de : Z( Gi). Var( Gi) Da l exemple du taux de pauvreté préeté ci-deu, o obtiet le réultat uivat : Chaud w x j, j i ij j xj Froid Doée brute Carte. Carte.3 E faiat varier la ditace d, o obtiet le carte uivate : Poit chaud et froid (3 mètre Carte.4a Carte.4b Carte.4c Carte.4d -3- Idicateur de Mora local C et le plu utilié. Il a été propoé par Aeli (995), et e préete ou différete forme, dot la plu fréquete et la uivate : zi Ii wijzj où m déige le momet d ordre de la variable,oit m m zi j i

21 O vérifie facilemet que Ii m i i j I wijzizj I S L expreio i wijzj repréete la valeur moyee de la variable d itérêt da le voiiage de le zoe i (plu exactemet de l écart de la variable d itérêt à la valeur moyee ur le périmètre d étude). Le graphique de Mora (graphique.) et tout implemet la repréetatio de couple de poit : valeur da la zoe, valeur da le voiiage. Ce graphique de Mora permet de cotituer quatre ecteur, appelé habituellemet : - HH valeur élevée da u eviroemet élevé ; - HB valeur élevée da u eviroemet ba ; - BH valeur bae da u eviroemet élevé ; - BB valeur bae da u eviroemet ba. Le graphique ci-deou repréete le diagramme de Mora réalié à partir de l exemple ci-deu de la carte.. Si o effectue ue régreio de la valeur du voiiage ur la valeur de la zoe, o obtiet pour paramètre etimé,7334, ce qui, corrigé par S /N redoe l idicateur global de Mora. Graphique. Carte.5 Le calcul théorique permettet d arriver à de expreio de l epérace et de la variace de idicateur Avec le covetio d écriture utiliée habituellemet da la littérature, obtiet le expreio uivate : wij j E( Ii) Da cette expreio, le umérateur deviet lorque la omme e lige de podératio vaut. L expreio de la variace a pa cette belle implicité : wi() ( b) wi( kh) (b ) Var( Ii) + E( Ii) ( ) ( )( ) avec m4 b, achat que i r m z m r i

22 wi() wij w i( kh) j k h w ik w ih Geti et Ord uggèret ( claiquemet) d utilier u tet baé ur la ormalité (hypothétique) de : Ii E( Ii) Z( Ii). Var( Ii) Le tet permettet de faire apparaître le zoe qui e ditiguet de faço igificative de leur eviroemet. O trouvera ci-deou le zoe le plu igificative, aii que la carte faiat apparaître le poit «chaud» et «froid». Noir % Gri focé 5% Gri clair % Poit chaud et froid Carte.6 Carte Idicateur de Geary local Niveau de igificativité De LISA calculé da ue optique «Geary» ot été égalemet propoé par Aeli (995). Il ot défii de la faço uivate : ci wij( zi zj ) j zi i S O a doc : ci c. i L epérace et la variace peuvet être approché comme uit : wij j E( ci ) et Var( ci) ( wi. + wi() )(3 + b) E( ci) Da la littérature, o trouve de ombreux exemple d idicateur de Mora locaux, mai pratiquemet jamai d exemple d idicateur de Geary locaux. O e doera pa d illutratio umérique da ce documet.

23 3 - Cofiguratio patiale de poit et ratio de deité Ce paragraphe vie à doer ue petite «teiture» ur le cofiguratio de poit, et itroduire quelque otio utile pour la compréheio de ce qui va uivre. 3- Gééralité U proceu patial et défii de faço géérale comme : { Z( ; D } R D déige le domaie d étude qui et ue portio du pla. Z(.) déige ue variable aléatoire, le proceu d eemble état la réaliatio de chacue de ce variable aléatoire e u certai ombre de poit. Si le proceu et u proceu de ature géotatitique, comme la température, ue réaliatio du proceu pourra être l eemble de température meurée e,,. De faço tadard, déige e tatitique patiale le couple (x,y) de coordoée. U chagemet du dipoitif expérimetal produirait ue autre réaliatio du proceu. Le doée géotatitique pourraiet être meurée e tout poit du domaie. Da le ca de doée «de urface», la gradeur meurée et aociée à ue régio défiie d u domaie d étude ( la commue da la régio par exemple). Da le ca de proceu poctuel, la variable Z et e quelque orte «dégéérée», puiqu elle e traduit que la localiatio de l uité tatitique au poit. La réaliatio d u proceu poctuel coite e u ombre fii de localiatio (localiatio de arbre da ue forêt, par exemple). Cette réaliatio peut être appelée emi de poit. Figure 3. Source : GOREAUD(998) Ce emi de poit peuvet être de ature divere. Il et fréquet (et pédagogiquemet pertiet) de ditiguer troi forme typique de emi de poit : 3

24 Régulier Aléatoire Ama Figure 3. Source : GOREAUD (998)) La répartitio «aléatoire» de poit oppoe à la répartitio régulière (ca de platatio e forêt ) où la préece d u poit a u effet «répulif», et aux ama de poit. La préece de ce ama peut être elle-même iduite par u autre proceu (préece de champigo autour de certai arbre pour reter da le domaie foretier). Ce proceu patiaux ot caractérié par leur propriété du premier et ecod ordre, cocept que l o va eayer d itroduire par rapport à la tatitique iféretielle claique, ou aux proceu temporel, mieux cou à l INSEE. E tatitique claique, o privilégie da l étude de ditributio ue propriété du premier ordre (moyee) et ue propriété du ecod ordre (variace). Ce idicateur caractériet le comportemet moye (préciémet) et la variatio autour de ce comportemet moye. O e rapproche de ce qu o fait e tatitique patiale lorqu o étudie de proceu temporel. Là ecore, o étudie le comportemet «moye» (E(X(t)), et la corrélatio temporelle (quelle relatio etre ce qui e pae au temp t et au temp t+τ). O défiit aii de proceu tatioaire au ecod ordre. Le proceu patiaux ot u air de famille avec ce proceu temporel, mai vot e ditiguer par ue complexité plu grade (o e itue da R et o da R). De ce fait la référece pour la tatioarité du proceu e era plu le bruit blac, mai ue ditributio patiale particulière, appelée ditributio de Poio homogèe. 3- Propriété du premier ordre La caractéritique patiale du premier ordre et appelée iteité du proceu, et caractérie u comportemet moye. Elle e défiit de la faço uivate : lim E( N( d λ( d d Cette expreio iterprète facilemet. O e place da u dique de rayo d, itué autour d u poit du pla. N(d déige le ombre de poit qui e trouvet da ce dique. Comme o e place da le cadre d u proceu aléatoire, o va itéreer au ombre de poit attedu E((N(d). E faiat tedre d ver, o obtiet la valeur locale de l iteité du proceu. L iteité λ( a doc la dimeio d u effectif par uité de urface. Elle traduit la plu ou moi grade propeio du phéomèe à e réalier au poit. 4

25 Lorque le proceu et homogèe, la valeur de l iteité et cotate ur tout l epace étudié. O a, pour tout, λ(λ. U proceu homogèe particulier, appelé proceu homogèe de Poio va caractérier le proceu tatioaire da l epace. P( N( S) ) e λs ( λs)! Da cette expreio N(S) déige le ombre de poit da le domaie S, λs le produit da l iteité par la urface qui correpod au ombre «moye» de poit. Da tou le proceu ocio-démographique, l homogééité era l exceptio et le proceu erot mieux décrit par de proceu de Poio ihomogèe, ou de dérivé de ce proceu : P( N( S) ) e ν ( S ) ν ( S)! Da cette formule, ν (S) déige le ombre attedu de réaliatio ur la zoe S. Cette expreio peut écrire, i o e réfère à ce qu o a dit précédemmet ur l iteité de proceu comme l itégrale de l iteité du proceu ur la zoe S : ν ( S ) λ( d S U proceu de ce type peut tedre à réalier de ama (cluter da la littérature aglo-axoe). O e étedra pa plu ur la théorie de proceu patiaux. O e retiedra l itérêt de propriété du premier ordre, de l iteité du proceu qui va permettre da le paragraphe uivat de faire le pot avec le méthode o-paramétrique d etimatio de la deité. 3-3 Propriété du ecod ordre Elle ot défiie de faço géérale de la faço uivate : lim E( N( di) N( dj) λ ( i, j)) di, dj didj Cette défiitio et a doute moi immédiatemet liible que la propriété du premier ordre. O peut mieux le compredre i o e ramèe à l autocorrélatio patiale. Si au poit i et au poit j, le valeur ot imultaémet forte, la valeur era élevée. O peut itéreer à ce qui e pae à ue ditace d de i. O dit que le proceu et tatioaire lorque la valeur du coefficiet λ et telle que λ ( i, j ) λ ( i - j ). La relatio etre le réaliatio e deux poit de l epace e déped que de leur ditace. O va pouvoir itéreer de cette faço à de problème proche de ceux que l o étudie e érie temporelle, ou da d autre brache de la tatitique patiale. La formule qui et préetée ci-deu et pa maiable, et l outillage de bae pour le propriété du ecod ordre et fouri par la foctio K, itroduite par Ripley (977)et e ombreux dérivé. Le bo ouvrage, Diggle(3), Gotway et Schabebberger(5) doet le jutificatio du paage de la foctio λ à la foctio K. Cette foctio K et défiie de la faço uivate : 5

26 λ K(d) E(ombre de voii à ue ditace d de Ai),où λ déige l iteité du proceu. Cette foctio peut-être etimée ur u emi de poit par : Kˆ ( d) ij où ˆ ij vaut i ditace(i,j) d, io λ i j i Elle meure, pour ue ditace d, le ombre de couple de poit éparé par ue ditace iférieure à d. S il y a de ama, par exemple, le ombre de couple era trè importat à petite ditace. Da le ca du proceu de Poio homogèe, qui joue le rôle d hypothèe ulle da le ca de proceu patiaux, l epérace du ombre de voii à ue ditace d écrit implemet λπd ( proportioalité à la urface) et K(d) πd.. Le graphique 3. permet d illutrer ceci. Il revoie aux troi exemple claique de proceu patiaux préeté da le graphique du.. Graphique 3. Source GOREAUD(998)) Lorqu il y a tedace à former de ama, la valeur de la foctio K et élevée aux petite ditace. Da u emi régulier, il y a au cotraire de tedace répulive, et la valeur de K et faible aux petite ditace. U dérivé de la foctio K de Ripley, la foctio L de Beag fourit ue lecture plu facile. Cette foctio écrit implemet : L( d) K( d) d π Le repréetatio de troi proceu précédet ot le uivate : Graphique 3.(Source GOREAUD (998) 6

27 L avatage de cette repréetatio et d avoir ue droite pour le «bruit blac patial» et d avoir ue lecture plu imple : au deu de pour le cluter, e deou pour le proceu régulier. Cette approche a été trè fécode. Elle e prologe aux proceu bivarié et doe lieu à de idicateur «itertype» qui permettet d étudier l aociatio patiale etre deux proceu (exemple : deux eece d arbre da ue fôret). De utiliatio pour de phéomèe écoomique ot été propoée par Durato et Overma 4), aii que par Marco et Puech 4). Cette derière era préetée rapidemet da le chapitre Deité de probabilité et iteité d u proceu Le programme développé au ei de la Diviio «étude territoriale» de l Iee fot avat tout référece aux méthode de tatitique o paramétrique. Da ce paragraphe elle ot itroduite de faço «aturelle» da le cadre de proceu poctuel, e préetat le lie etre l iteité d u proceu et la foctio de deité de probabilité d ue ditributio patiale bivariée. Le pécialite de la tatitique patiale ot motré l équivalece etre etimatio de la deité et etimatio de l iteité (voir par exemple Diggle et Marro (989). «Kerel moothig i a attractive method for the oparametric etimatio of either a probability deity foctio or the iteity fuctio of a otatioary Poio proce(..).aother beefit i that thi duality betwee probleme make it clear how to apply the well-developped aymptotic method for udertadig deity etimatio i the iteity ettig. O reviedra plu avat ur le méthode o paramétrique da le paragraphe 3.5, e e préetat ici que quelque jutificatio ituitive du lie etre iteité et deité. Il uffit de reteir ceci : e pratique, l etimateur de l iteité patiale et obteue par la méthode de l etimatio de deité Pour voir la pareté de méthode, o coidérera que l o peut voir le proceu patial comme réaliatio d u proceu aléatoire ayat ue ditributio de probabilité f. L etimateur o paramétrique et le uivat, où f déige la deité de la ditributio de probabilité aociée au proceu : f ( h i i K h Si o reviet à la défiitio de propriété du premier ordre : par : lim E( N( d λ( d d O exprime le ombre attedu de réaliatio de la ditributio f da la urface A 7

28 E ( N( A)) E( i( A) ( i A) f ( d f ( d i i D A où i (A) et ue idicatrice d apparteace à A O e déduit, d ue faço a doute hâtive du poit de vue mathématique, que : λ( f(. O retrouve bie le fait que l iteité revoie bie à u ombre de réaliatio. La différece etre le etimateur tiet au facteur / qui apparaît da l etimatio de la deité et o da celle de l iteité Deité f ( h i i K h et iteité i λ( K h i h L etimatio o-paramétrique de la deité Il exite ombre de bo ouvrage comme Härdle(998), Delecroix (997), Silverma(986), pour e ommer que quelque u, qui permettet d approfodir ce méthode, e particulier pour tout ce qui cocere le problème de préciio de etimateur. Rathelot et Sillard () e préetet le grade lige de faço rigoureue mai plu cocie. Ue préetatio rapide et plu ituitive de ce méthode, peut être faite e partat du ca uidimeioel et du «liage de l hitogramme», uivat aii Härdle(998). Graphique 3.3 De ombreue repréetatio ot poible, certaie état «meilleure» que d autre. O cherche à obteir, au lieu de l hitogramme, ue repréetatio cotiue, plu lie de la ditributio utiliée : 8

29 Graphique 3.4 Härdle (998), doe ue cotructio aez ituitive de etimateur à oyaux. Il commece par doer ue formule de l hitogramme, correpodat à ue repréetatio e ecalier. L hitogramme peut écrire, achat que le domaie d étude a été divié de la faço uivate, e coidérat ue origie x,,comme la uite de B j, chacu de itervalle état de taille fixe, de la forme : [ x + j ) h; x jh] Bj ( + j état u etier relatif. Ce découpage e itervalle permet ue écriture formelle de l hitogramme comme : fˆ h( x) ( Xi Bj)( x Bj) h i j Le déiget de variable idicatrice Le Xi déiget le obervatio, le poit x le poit auquel effectue l etimatio. O peut aii commecer à itroduire l etimateur à oyau : L hitogramme permet d etimer f(x) comme : Card h { obervatio qui tombet da u petit itervalle coteat x} Card{.} déige la taille de l eemble C et ce qui e pae avec l hitogramme de feêtre fixe h. O a u meilleur etimateur i o e plaçait e x et i l o etimait f(x) comme Card { obervatio qui tombet da u petit itervalle autour de x} h L itervalle et cette foi-ci de taille h, et o peut écrire u ouvel etimateur : { Xi [ x h x h] } fh ( x) Card ; + O a, a le dire, itroduit ue foctio «oyau», (de l allemad kerel), ce qui jutifiera la otatio K pour ce foctio d ue maière géérale, o pourra écrire ucceivemet : x Xi f h( x) ( ) h i h oit x Xi f h( x) ( ) h h i 9

30 et avec la otatio que l o gééraliera euite K( u) ( u ) x Xi fh( x) K( ) h i h O a ecore u etimateur acccordat le même poid pour l etimatio à toute le obervatio qui e ituet etre x-h et x+h (oyau uiforme). Il et aez «aturel» de rechercher de oyaux qui vot accorder u poid différet aux obervatio elo qu elle e ituet plu ou moi loi du poit d etimatio. La foctio oyau peut être vue comme ue foctio géérat localemet de poid. Le foctio oyau doivet vérifier : K( u) du. Da le ca du oyau uiforme, le poid ot cotat. Le plu courammet utiliée ot : Noyau Forme foctioelle Uiforme ( u ) u ( u Triagle ( ) ) Epaechikov 3 ( ) ( u ) u 4 5 u ( u 6 exp u π Biweight ( ) ) Gauie Tableau 3. Quelque repréetatio graphique R Noyau uiforme Noyau triagulaire Noyau d Epaechikov Graphique 3.5 Extrait de Härdle(998) Noyau biweight Ce oyaux ot tou ymétrique et ot à valeur ur u itervalle [- ;+] à la otable exceptio (etre autre parce qu il et utilié par SAS) du oyau gauie. 3

31 Repréetatio comme ue omme de boe Figure 3.3 Ue faço de coidérer le choe et qui revoie à la figure ci-deu, déigée da la littérature comme «um of bump», et de voir le oyau comme u opérateur qui étale la meure poctuelle ur u itervalle cetré autour du poit d obervatio. Elle remplace u pic par ue boe, la foctio de deité etimée état la omme de ce boe. O peut voir, à partir de x Xi fh( x) K( ) que l etimatio produite à partir de h i h poit d obervatio dépedait de deux choe, le X i et le ombre d obervatio état fixé : - la ature de oyau ; - la taille de la feêtre. Le ifluece repective de ce deux paramètre ot trè différete. Il exite u large coeu da le mode de la tatitique o paramétrique pour coidérer que la forme foctioelle, à partir du momet où elle a ue allure raioable, a pa ue grade ifluece ur le réultat produit. Le graphique 3.6 motre le réultat obteu repectivemet à l aide d u oyau aez ommaire (oyau triagulaire) et par u oyau plu élaboré (oyau biweight) : o et ici da l épaieur du trait. Triagulaire Graphique 3.6 Biweight Il e va pa de même pour l ifluece de la feêtre, qui cotitue le problème e matière d etimatio o-paramétrique. 3

32 Liage par défaut da SAS Graphique 3.7 Bade paate deux foi upérieure à la précédete La littérature ur la feêtre optimale de liage et ue de plu abodate de la tatitique o paramétrique, mai avec au fial de réultat limité. E gééral, le critère d optimalité e peuvet être produit que i l o uppoe aux doée utiliée de boe propriété, ce qui et raremet le ca da le exemple réel. De ce fait, o e et réduit à l utiliatio cojoite de quelque réultat théorique de portée retreite, par le caractère cotraigat de hypothèe itroduite, et d ue boe doe d empirime. Le lecteur itéreé pourra trouver da le ouvrage cité e référece le réultat relatif aux propriété tatitique de etimateur à oyau de la deité (biai, mea quared error (MSE), mea itegrated quared error (MISE) ). Le calcul ot aez lourd (développemet de Taylor, itervetio da le formule de dérivée première et ecode de la foctio de deité et doc éceité d approcher ce derière ). Il e ot pa utilié da tout ce qui uit. Ce ot ce calcul qui permettet da u cadre gauie de calculer da le cadre uidimeioel la taille optimale de la feêtre, la «rule-of-thumb» de Silverma(986) et qui coduit à h. 6 σ 5. Da cette formule σˆ déige l écart-type de la ditributio de X i. Le doée uidimeioelle permettet d expoer le réultat de faço aez liible et pédagogique. L etimatio de deité éted aux doée bivariée. Cette trapoitio à deux dimeio e va pa a poer quelque problème théorique ouveaux, qui e erot qu effleuré ici. Le pedat bivarié de l hitogramme et appelé téréogramme Graphique 3.8 Au lieu d etimer ue courbe, comme da le ca de l hitogramme o etime ue urface. Cette urface peut être repréetée par ue image à troi dimeio, 3

33 par de repréetatio ou forme de courbe de iveau, ou par de dégradé de couleur, ce qui era e gééral la règle da le productio de l Iee. Graphique 3.9 La mie e œuvre effective de calcul préeté da ce documet et effectuée à l aide du logiciel SAS, l outil cetral état la procédure KDE, qui offre ue puiace de calcul aez impreioate aociée à ue ytaxe de plu imple. La procédure KDE utilie u oyau gauie, qui pred doc e compte toute le obervatio, la podératio deveat rapidemet ifiitéimale. πh h x y exp( x h x + y h y Il e agit ici que d ue peudo-feêtre, puique toute le valeur ot prie e compte. Avec tout ue batterie de boe hypothèe, le peudo-feêtre optimale ot le uivate : hx ˆ σ x 6. (repectivemet h y ). Le caractère plu ou moi lie de l etimateur et géré par u paramètre appelé multiplicateur de bade paate (BWM e aglai et e SAS) ) Bade paate tadard diviée par Bade paate tadard multipliée par Graphique 3. Le upport carroyé permet d avoir ue repréetatio implifiée de la répartitio patiale de la populatio étudiée. Le programme du kit %KDE, coçu à la DET de l Iee, et relatif à l etimatio imple de deité aociet à la procédure SAS la getio de fod de carte et de carroyage. O e référera à Lipatz (9). 33

34 Il et apparu aez rapidemet, e examiat le ortie cartographique ur de ville bie coue, que le paramètre par défaut de SAS (BWM) e coveait pa. Empiriquemet, o peut dire que la valeur propoée par SAS maque le hiérarchie itere e cherchat ue ditributio à u eul mode. Ue bade paate de.5 et mieux adaptée à ue cofiguratio patiale qui a l allure (trè implifiée) uivate : elle fait apparaître ue autoimilarité da le tructure, modéliée par u tapi de Sierpiki (figure fractale utiliée e modéliatio urbaie).o peut e trouver ue préetatio rapide da Taier et Pumai (5). Quartier Pâté de maio Immeuble BWM.7 Graphique 3. BWM. Le commue fraçaie ot pluieur mode : la dimeio fractale et voiie de,6 correpodat à ue hiérarchie marquée de type alterace de zoe peuplée et ioccupée. Da le kit de programme de l Iee, c et la macro %kde qui réalie tout ceci. Elle permet de paramétrer u certai ombre de gradeur, et urtout de gérer le bae de doée cartographique (IRIS, ZUS ) pour pouvoir fourir de faço rapide de repréetatio cartographique De deité aux ratio de deité Le méthode préetée ci-deu permettet de implifier la repréetatio d ue populatio da l epace. Cela préete ue utilité propre, mai ce et pa uffiat pour détermier de zoe de urrepréetatio. E effet tou le phéomèe que l o étudie ot lié à la populatio et, de ce fait, la comparaio de deité etimée fait apparaître ue reemblace globale, et quelque différece peu liible. La répartitio de ba reveu e fourit u exemple. Le ba reveu ot importat - c et trivial - là où la populatio et importate. Ce qu o cherche à avoir, ce ot le lieux où ll ot relativemet plu importat. 34

35 Ba reveu Carte 3. Populatio Pour traiter cette quetio e retat da le cadre défii précédemmet, l idée qui viet et de faire le ratio de deité. C et cette opératio qu il agit de jutifier. E effet, ce et pa parce que l opératio emble aller de oi qu elle et mathématiquemet jutifiée. Cette quetio et pa ouvelle et il y a déjà ombre d aée que le tatiticie patiaux travaillat da le domaie de l épidémiologie y ot cofroté. Le épidémiologite rapprochet le populatio préetat ue pathologie de populatio à rique, ceci da le but de faire apparaître de différece patiale da la propeio à la développer. Cette approche peut être de l ordre d u imple cotat (o développe plu la maladie da telle zoe géographique) ou faire l objet d ue modéliatio plu pouée (explicatio faiat iterveir de facteur explicatif comme l émiio de polluat. Le épidémiologite parlet de «relative rik», et il utiliet la modéliatio uivate : λ ( ϑ( * λ ( où λ et λ o déiget le iteité de pathologie et de populatio à rique, tadi que θ déige le rique relatif. Cette modéliatio fait apparaître de faço aturelle le rapport de iteité : λ( θ ( λ ( Ce rapport et u ombre a dimeio, cotrairemet au umérateur et au déomiateur. Cette modéliatio coduit à itéreer aux rapport de deité, puiqu o a vu e 3.4 le lie etre iteité et deité. Et-il fodé d utilier le ratio de deux deité?(ce qui et différet du rapport de deux variable aléatoire. Que cherche-t-o e effet? Si o repred l exemple précédet, o cherche le zoe da lequelle le méage à ba reveu ot plu repréeté que la populatio totale. S il y avait aucue variatio patiale, la deité de méage à ba reveu erait partout la même que celle de méage, tou iveaux de reveu cofodu. Ou pour le dire d ue autre faço, relativemet, coditioellemet à la répartitio de méage, celle de méage à ba reveu erait uiforme. Da le problème que l o traite, la ou-populatio et iclue da la populatio de référece, ce qui facilite le traitemet tatitique. Da ce cadre, o peut propoer le traitemet probabilite préeté ci-deou. 35

36 U peu plu de probabilité Si o formalie u peu autremet, o défiit da u epace D R le meure m A et m B, dot le deité par rapport à la meure de Lebegue da le pla ot f A et f B, où A et B déiget populatio et ou-populatio Pour u ou-eemble F de D, o aura : F m A( F) fa( dµ ( F m B F) fb( d ( ( µ Si actif et chômeur e répartiaiet de la même faço, o aurait f A f B, et pour tout F, m A (F) m B (F). La deité de chômeur et calculée par rapport à la meure de Lebegue. O pourrait eayer de l exprimer par rapport à la meure de actif m A, et eayer d obteir ue expreio de la forme : F m B( F) g( dma( Da le ca de la répartitio uiforme, celle ou g(, o a m ( F) dm ( m ( F) B A A/ F Sou de boe coditio, et e particulier que m A (F) m B (F), le théorème de Rado-Nikodym permet de jutifier l exitece de la deité g, par rapport à la meure m A Comme o a dm A (f A (dµ(: fb( dµ ( A g( dm ( m B( F) g( fa( dµ ( F et doc fb ( fa( g( et F F g( g(, rapport de deux deité et aui ue deité, mai par rapport à ue meure différete. fb( fa( O peut aui propoer ue formaliatio baée ur le coditioemet. Cette démarche et plu ituitive, mai elle et difficile à expliciter e terme de deité. O l approchera par l epérace coditioelle. A le otatio précédete, o calcule le ombre d idividu de la populatio B attedu da la zoe F. Si o appelle A la taille de la populatio totale et B celle de la ou-populatio, F l idicatrice d apparteace à la régio F, B l idicatrice d apparteace d u idividu de la populatio A à la populatio B. Le ombre attedu d idividu de la populatio B (PopB) da la zoe F peut être écrit de deux faço : - à partir de la loi f B B F ( ) B F B ( f ( d E B( PopB( F)) E( B fb( d R F - à partir de la loi de f A B B( A EA( PopB( F)) E( F( B ( ) A F ( B ( fa( d A B( fa( d B fa ( d B R F F E idetifiat le deux expreio du ombre d idividu attedu da la zoe F, o voit que le rapport de deité fb A B( traduit bie la préece relative de la fa B populatio B coditioellemet à a poitio. 36

37 L importat, aprè ce coidératio mathématique u peu logue et de avoir que le ratio de deité a u e et qu il traduit la ur-repréetatio locale de la oupopulatio étudiée. Remarque : l idicateur de divergece de Kullback-Leibler fait aui iterveir u rapport de deité, plu exactemet le logarithme de ce ratio de deité : KL( f, g) D f ( f ( Log d g( Lorque le deux variable ot ditribuée de la même faço, le rapport f/g et égal à et la divergece et ulle. Cet idicateur meure ue ditace etre le ditributio, comme le chi- ou la ditace de Helliger Du ratio théorique au ratio etimé O retrouve bie etedu tou le problème d etimatio qui ot été recotré da l utiliatio de etimateur à oyaux, avec quelque complicatio upplémetaire. Le choix du oyau et pa déciif. Par cotre, le choix de la feêtre et toujour déciif. La feêtre optimale et pa la même au umérateur et au déomiateur, puiqu il y a pa le même ombre d obervatio qui retret e jeu et que le variace e ot pa le même. Bailey et Gattrell (998), par exemple, précoiet l utiliatio de la même feêtre pour le etimatio du umérateur et du déomiateur. C et ce qui a été fait da le procédure SAS de la DET (Lipatz (9)). De problème umérique ot recotré au cour de etimatio, le rapport de etimatio pouvat coduire à de valeur extrême. Le problème a été réolu e élimiat le poit d etimatio pour lequelle le valeur ot trop faible. O trouvera ci-deou ue illutratio de ce réultat, ur la commue de Niort. Le réultat et pa ue valeur liée du taux de chômage, mai ue repréetatio de l écart à ue ituatio uiforme (répartitio de chômeur emblable à celle de actif Carte 3. cf Lipatz(9) 37

38 Cette carte cotitue ue repréetatio implifiée de la ville, avec ue ituatio «équilibrée» da le cetre-ville, u chômage plu faible da le quartier de peuplemet proche de la ville-cetre et ue ur-repréetatio de chômeur eetiellemet da le ZUS (cotour bleu. Le programme mi au poit à l Iee permettet de fourir trè rapidemet de carte d étude de ce type, le temp de traitemet tatitique état trè iférieur au temp de cotitutio de fichier de doée. Le programme ot été utilié ur le réultat du receemet de 999, mai il ot utiliable ur tout fichier de doée géoréférecée. Ce ot le macro %kde et %kdef (elo que le doée ot idividuelle ou déjà agrégée qui permettet de réalier ce carte. La macro %apic pécialemet coçue pour la préparatio de la répoe aux quetio ur le dipoitif CUCS fourit ue carte de ythèe. Elle fait apparaître de faço liée le zoe de ur-repréetatio, ou la forme de patatoïde rouge, et la deité de la populatio, ou la forme de dégradé de gri ( exemple de La Rochelle e carte 3.3). le decriptif de cette macro e trouve da Lipatz (9). Carte Comparaio avec le réultat de Lia O repred ici l exemple préeté e., qui a été utilié pour la détectio de poit chaud et froid à partir de idicateur de Geti et Ord et de Lia de Mora. Sourepréetatio Chaud Surrepréetatio Froid Etimatio de deité (KDE) Lia Geti et Ord Carte

39 La carte iue de l etimatio par le méthode à oyaux idetifie bie le poit chaud et froid, mai da le ca préet avec ue tedace à étaler le zoe de ur ou ourepréetatio. La méthode de ratio de deité a de gro avatage e terme de mie e œuvre, puiqu elle e éceite que la coaiace de coordoée de poit et qu il y a pa à gérer de voiiage comme da le ca de idicateur urfacique. O et ici da lu ca d école où le méthode urfacique foctioet particulièremet bie (répartitio plutôt régulière de la populatio a «trou», régularité de la maille de référece). A l ivere l etimatio de deité et faite à partir de doée déjà agrégée. La comparaio a aui été itroduite pour motrer ue de limite de méthode o paramétrique, à avoir la difficulté à mettre e évidece de euil et à le jutifier par de tet. L idicateur urfacique permettet la cotructio de tet (formulatio aalytique ou replicatio d échatillo tadi que le ratio de deité ot calculé à partir d iformatio déjà agrégée. Pour motrer la difficulté, o rappellera que le etimateur de la deité préet de biai. O peut e calculer la variace. Celle-ci exprime de faço aez complexe O e trouve de réultat détaillé da Hardle (998). Da le ca le plu imple, o a var( f ˆ( ) K f ( avec : K K ( d Le fait de pouvoir calculer de etimateur de la variace de la deité au umérateur et au déomiateur e doe pa la variace du ratio et ecore moi u tet. Le travaux théorique ur la comparaio de ditributio da u epace à deux dimeio (aalogue de tet de type Cramer-Vo Mie ou Kolmogorov) ot embryoaire. Quad il doeraiet ue iformatio ur ue différece igificative etre le foctio de deité, il faudrait ecore qu il puiet iformer ur le régio qui cotribuet à cette différece. Kelall et Diggle(995) uggèret u tet, baé ur de replicatio aléatoire da le ca uidimeioel. O pourrait cocevoir de tet coçu de la faço uivate : i P et la proportio globale de otre populatio à rique, o imule ( foi par exemple) u échatillo ou l o coerve la populatio totale Pop(, mai ou la populatio à rique R( et la réaliatio d ue loi biomiale (Pop(,P). A partir de ce imilatio, o peut cotruire u itervalle de cofiace, et voir da quelle partie du pla la urrepréetatio et igificativemet différete de. Cette méthode rete complètemet empirique, et a pa de fodemet mathématique. De plu, il faudrait pouvoir teter de euil de ur-repréetatio différet de. 39

40 4- Exteio du champ d applicatio 4- - Le pricipe La facilité de traitemet permie par le méthode o-paramétrique a coduit a utilier l etimatio de deité da le cadre d ue partitio de la populatio, e ipirat d u article de Diggle, Zheg et Durr (5). Si la populatio P et partitioée e K ou-populatio P,,P K, o peut calculer e tout poit autat de ratio de deité (ou d iteité) qu il y a de ou-populatio. O effectue doc K+ etimatio de deité, ue pour chacue de oupopulatio, fk( et ue pour la populatio d eemble f (. O peut e déduire de ratio de ur-repréetatio, aii que de part locale. Le effectif etimé pour chacue de ou-populatio ot ˆ k k * fk(, où k et la populatio de la k ème ou-populatio ur l eemble du périmètre d étude. Cette part exprime de la faço uivate : ˆ k k fk( k pk( * k(. ˆ f ( 4- Applicatio à l aalye de doée La prie e compte de proximité et ue quetio que L. Lebart avait déjà abordé e 978 da le cadre de la Claificatio acedate hiérarchique (CAH). O e référe urtout ici aux travaux de Brigitte Ecofier (99), qui a abordé ce quetio da pluieur article. Elle y itroduiait le otio d aalye liée et d aalye de différece locale, le problème état traité da le cadre gééral de aalye e compoate multiple (ACM). O e limitera ici à l aalye d u tableau de cotigece particulier, croiat e lige ue zoe géographique (Iri, carreau) et e coloe ue variable qualitative (PCS, trache de reveu). Au lieu d aalyer le tableau brut, o aalye le tableau de doée etimée par le méthode o paramétrique. O remplace ik par ˆ ik, i déigat le territoire et k la ou-populatio. Da l etimatio de la i ème lige itervieet tou e voii. Lorqu o utilie le etimateur o-paramétrique à oyaux, le ombre de voii et variable. Le tableau de cotigece de valeur liée a quelque caractéritique : - le omme e coloe retet idetique, puique l o répartit autremet ue oupopulatio etre le territoire ; - le omme e lige ot modifiée, et doc le poid qu aura da l aalye factorielle de correpodace (AFC) chacu de territoire. Si o veut privilégier le poid de idividu, e coervat le poid iitial de l idividu, o fait ue imple règle de troi, qui e modifie pa le profil. Par cotre, o perd da ce ca l égalité de poid de coloe. O peut comparer le réultat obteu par ue AFC ur le reveu ficaux localié, ur doée brute d abord pui ur doée etimée. Le carreaux de m de côté ot e lige, le quitile de reveu (calculé au iveau atioal) e coloe, le champ de l aalye état la ville de Ree da l exemple ci-deou. Da l aalye 4

41 liée, la quai-totalité de l iertie et coervée ur le premier pla factoriel, alor qu elle et de eulemet 85% da l aalye brute. Quid de commetaire ur le troiième axe? Iertia ad Chi-Square Decompoitio Pricipal Chi- Cumulative Sigular Value Iertia Square Percet Percet ************************* ******** *** ** Total Degree of Freedom 739 Iertia ad Chi-Square Decompoitio Sigular Pricipal Chi- Cumulative Value Iertia Square Percet Percet ************************** E ****** * * Total E7 Tableau 4. Le projectio de variable ur le deux premier axe de l aalye ot le uivat : Variable Quitile Quitile 5 Q Q3 Q4 E bleu le réultat brut, e rouge le réultat lié Q Q5 Graphique 4. Projectio de carreaux le mieux repréeté da l aalye de doée liée et différece avec le projectio de doée brute. Da l aalye, le doée brute ot e obervatio upplémetaire. La repréetatio graphique permet de motrer le poit où le obervatio etimée diffèret le plu de obervatio brute. Graphique 4. 4

42 4-3 U exemple de claificatio Le profil etimé permettet de cotruire ue typologie de carreaux, au iveau atioal, à partir de effectif vetilé par quitile de reveu. Da cette aalye, le méthode factorielle ot été utiliée à titre exploratoire pour repérer quelque u de profil le plu fréquet, et détermier u ombre idicatif de clae. A partir de ce iformatio, o a cotitué de profil-type, plu iterprétable que ceux qui ortet directemet de la claificatio acedate hiérarchique (CAH). La typologie adoptée et la uivate : Ségrégé riche R Domiate du 5 quitile R Domiate de 4 et 5 quitile Ségrégé P Domiate du quitile pauvre P Domiate de et quitile Mixte MR Proche de l équilibre, domiate riche MP Proche de l équilibre, domiate pauvre ME Equilibré MM Domiate de quitile,3 et 4 MA Atypique : domiate de deux extrême Tableau 4. La carte 4. préete le rultat de l aalye ur l uité urbaie de Ree. Elle motret le gai e liibilité obteu par l aalye «liée». Aalye «brute» Aalye «liée» Carte Utiliatio pour le calcul de idicateur de égrégatio patiale Le idicateur de égrégatio patiale ot claiquemet utilié da le étude urbaie, e particulier par le ociologue et le écoomite. Ce idicateur ot trè ombreux, et ue préetatio ytématique e a été faite da Maey & Deto (998). Le problème de l utiliatio de ce idice viet de ce qu il ot «apatiaux», et qu il ot eible au problème de l échiquier et à celui du MAUP. Preo u exemple trè imple, expoé da Feitoa (4) et qui décrit u territoire formé de 44 carreaux, regroupé e 4 grad eemble, et peuplé de quatre ou-populatio de même taille. 4

43 Figure 4. Si l o calcule le claique idicateur d etropie de Theil pour chacue de quatre cofiguratio, o trouve la même valeur (Log4), malgré le évidete différece morphologique. La cofiguratio A motre ue forte égrégatio à grade comme à petite échelle. La C, l abece complète de égrégatio. La B et itermédiaire puiqu il y a égrégatio à petite échelle, celle-ci e e maifetat pa à l échelle de l eemble du territoire. Mai le idice d etropie calculé au iveau du carreau, et qui preet la valeur e permettet pa de ditiguer le ituatio A et B. O recotre d autre difficulté liée à l ivariace de réultat par permutatio de groupe, traduiat le fait qu u idice élevé iforme pa ur la ituatio qualitative, mai o laiera ce ujet de côté. Pour pallier à ce difficulté, de olutio ot été propoée, e particulier da l article émial de Reardo et O Sulliva (4). O e trouve ue préetatio da Le Toqueux (4) ou Rathelot et Sillard (). Reardo et O Sulliva(4) défiiet la deité ~ τ p au voiiage d u poit et la deité ~ τ pm e la ou-poulatio m au voiiage de ce poit, pui ue valeur etimée de la pm proportio otée : ~ ~ τ π pm ~ ( otatio de Reardo et Sulliva). τ p O retrouve o proportio etimée, qui peuvet ervir à calculer de etimateur locaux de l etropie, de la forme : E( réidetielle. K i pk( * log( pk( ), et à cotruire de cartographie de la égrégatio O peut aui calculer u idice global, da la perpective propoée par Reardo et O Sulliva, e calculat : T H τ j * E( j), T état le ombre de poit d etimatio, τj la part de la TE j populatio totale au poit d etimatio j, E l etropie ur la totalité du territoire. Il faut cepedat rappeler toute le limite d u idice global de ce type, ue même valeur de l idice global pouvat revoyer à de morphologie trè différete de la égrégatio patiale. Ce proportio etimée peuvet ervir pour tou le idicateur faiat iterveir de proportio, et meurer le différete dimeio de la égrégatio patiale défiie par Maey et Deto. 43

44 O trouve ci-deou ue illutratio ur le ca de Ree (populatio partagée e quitile de reveu), l uité d obervatio état u carreau de m. Etropie locale : doée brute H, Carte 4. Etropie locale : doée etimée H (Optique Reardo O Sulliva),6 44

45 5 - La régreio géographique podérée (RGP) Il agit de la fraciatio de la «Geographically weighted regreio» itroduite par Brudo, Charlto et Fotherigham. Elle et expoée da l article iitial de ce troi auteur, et da u livre du même om qui e doe plu de développemet. O va e doer ici ue préetatio rapide. Cette méthode a été utiliée da diver travaux de l Iiee (zoe mixte, Sythèe urbaie). 5-- Préetatio géérale Cette méthode a été propoée par de géographe pour réoudre de problème lié à la o-tatioarité de proceu (e milieu urbai e particulier). L exemple doé da l ouvrage de référece de Brudo, Charlto et Fotherigham () et celui du prix de logemet. Quad même de facteur explicatif peuvet être idetifié, la faço dot il jouet peut varier da l epace. L idée fialemet aez imple de la régreio géographique podérée et de faire varier le coefficiet. Au lieu d avoir de coefficiet globaux, valide e tout poit de référece, o a u eemble de coefficiet variat da l epace et traduiat la o tatioarité du phéomèe que l o étudie. C et e ce e que la régreio et géographique. Elle et etimée localemet, à partir de variable obervée da le voiiage du poit d etimatio. La podératio que l o doe et d autat plu importate que le obervatio ot proche du poit d etimatio. Appliquée à de phéomèe patiaux, la régreio liéaire claique uppoe de hypothèe particulièremet forte de tatioarité (que le même timuli provoquet le même répoe e tou le poit de l epace) ; e gro, il y a le même ombre d actif, il y aura le même ombre de chômeur, quelle que oit la localiatio. La régreio globale et ue méthode apatiale. Preo u exemple particulièremet imple. Le ombre d habitat et lié au ombre de logemet. Ue régreio du ombre d habitat ur le ombre de logemet traduira e moyee le ombre d habitat par logemet ur le territoire coidéré. U petit exemple ou ervira à illutrer ceci. O part toujour de doée meurée ur u carroyage. Le lie etre le ombre de logemet et la populatio et liéaire, comme le motre le uage de poit du graphique 5.. Si o cartographie le réidu (carte 5.), o peut voir que ce réidu ot ue tructure patiale marquée, avec de eemble de carreaux cotigu ur lequel o a de fort réidu poitif ou égatif. Nuage de poit Graphique 5. Carte 5. Cartographie de réidu 45

46 Ce réultat viuel et cofirmé par ue valeur trè élévée de l idicateur d autocorrélatio de Mora (,5). Le hypothèe de moidre carré ordiaire (MCO), qui embleraiet pouvoir être acceptée au vu du uage de poit e ot pa atifaite. 5- Théorie élémetaire de la RGP 5-- Le bae Au lieu du modèle de régreio claique (apatial) : p yi x β + βk ik + εi k o écrira implemet, pour chaque poit d etimatio i, de coordoée géographique i (réumé de coordoée x i et y i, et permettat de e pa itoduire de cofuio da la otatio) : p yi β ( i) + βk( i) xik + εi k La foctio β( certai ombre de poit. Elle va traduire la variablité locale de coefficiet. et ue foctio cotiue ur l epace, qui va être calculée e u Da le ca de moidre carré ordiaire, l etimateur et cotat ur l epace et β ( X ' X X ' y écrit, avec le otatio matricielle habituelle ( ) Da ce ca, l etimateur de la variable d itérêt écrit : T T yˆ X ( X X ) X y S y L opérateur S et ouvet appelé «matrice chapeau» da la meure où il traforme y e ŷ. Il e déped pa de valeur de y. Qu e et-il da la régreio géographique podérée? Au lieu d etimer ue eule valeur du vecteur de paramètre, o va e etimer. Chacue de etimatio et effectuée à l aide de la méthode de moidre carré ordiaire, podéré cette foi e attribuat à chaque obervatio u poid qui décroit avec la ditace au poit d obervatio. L etimatio au poit i écrit de la faço uivate : [ X T T W( X] X W( i Y β( ) ) i ) i où W( i ) déige la matrice de podératio au poit i. Il y a doc autat de matrice de podératio qu il y a de poit d etimatio. Comme pour le «etimateur à oyaux», o peut utilier différete méthode pour le calcul de poid. La matrice écrit de la faço uivate : wi W ( i) w i.. wi Le podératio le plu imple ot de type «plu proche voii» : 46

47 w ij i d < d w da le autre ca ij ij Le forme le plu courammet utiliée ot de expoetielle, utiliée da le article iitiaux de Brudo (4), w ij exp dij ou la foctio bicarrée de Tukey w ( d ) w ij ij ij i dij < d dale autre ca Chaque etimateur ŷ i de y i peut être etimé de la faço uivate [ X T T W( X] X W( i Y yˆ i Xi ) ) i O peut défiir pour la RGP ue forme particulière de matrice chapeau S, telle que l o ait : Y ˆ SY, chaque lige (otée r ) de la matrice chapeau r exprimat comme : i i r Xi i T [ X T W( ) X] X W ( i) i Comme da le ca de MCO, o peut défiir u vecteur de réidu, par différece etre valeur obervée et valeur prédite : ˆ ε Y Yˆ ( I S) Y. O calcule u etimateur de la variace de réidu, faiat iterveir la omme de carré de réidu et u paramètre que Brudo et alii qualifiet de «ombre effectif de degré de liberté» de réidu. RSS GWR T T Y ( I S) ( I S)Y T T O e déduit : Y ( I S) ( I S) ˆ σ Tr( S ) + Tr( S T Y. S) O peut égalemet etimer la variace de paramètre. 5-- La détermiatio de paramètre optimaux La valeur de paramètre etimé déped de la forme foctioelle choiie pour le calcul de podératio. Mai comme pour le etimateur à oyaux utilié e etimatio oparamétrique de la deité, c et la feêtre utiliée pour l etimatio qui va cotituer l ejeu de la modéliatio. Ue de méthode préetée par Brudo et celle de la validatio croiée Le critère e et le uivat : CV [ yi y i( h) ] où y i (h) déige la valeur etimée lorqu o a elevé la i i obervatio, h état la bade paate. Le critère le plu ouvet précoié et le critère d Akaiké, oté AIC, qui écrit de la faço uivate : + Tr( S) AIC Log( ˆ) σ + Log(π ) +, Tr déigat la trace Tr( S) de la matrice. 47

48 Comme le paramètre dépedet du ytème de poid utilié, la valeur de l idicateur d Akaiké varie e foctio de la ditace. L exame de l idicateur d Akaiké permet de détermier ue valeur optimale pour la régreio géographique podérée Retour ur l exemple L utiliatio de la régreio géographique podérée va permettre de faire apparaître la variabilité patiale du ombre de peroe par logemet. Elle et effectuée à l aide d ue macro SAS, %rgp. O commece par détermier la valeur optimale du paramètre, à l aide du critère d Akaiké, ce qui uppoe bie ûr de faire tourer pluieur foi le modèle, e faiat varier ombre de voii. Voii(ombre) Akaiké Le calcul effectué e utiliat 6 voii, correpodat ici au miimum du critère d Akaiké, permet d avoir ue viio de la o-tatioarité (variatio patiale de valeur du paramètre de régreio) et de voir commet e comportet le réidu. No tatioarité ( variatio locale du Réidu paramètre) Carte 5. La comparaio avec a carte 5. permet de voir que la tructure patiale de réidu et plu aui marquée. L idicateur d autocorrélatio patiale, le I de Mora a ue valeur de,7, à comparer avec le.5 de la régreio par le MCO. Compte teu du grad ombre d obervatio, le tet coclut cepedat au rejet de H (o corrélatio de reidu. Da l etimatio à partir d u voiiage de 4 carreaux o obtiet u I de Mora de., et o e rejette pa H, bie que la valeur de l idicateur d Akaiké oit plu élevée Tet ur la o tatioarité Da u article de 999, Brudo propoe de teter l hypothèe MCO veru RGP, e cotruiat u tet de type Fiher. Si o repred le otatio du paragraphe précédet, où S et S déiget repectivemet le matrice-chapeau da le ca de MCO et de la RGP, o défiit R et R comme : T R ( I S ) ( I S ) ( rep S et R ) Le tet propoé par le auteur et le uivat : t t y Ry y Ry F υ t y Ry [ ] δ 48

49 Da cette expreio υ Trace ( R R) et δ + Trace( R) Si l o uit le auteur, cette tatitique uivrait ou de boe hypothèe de ormalité ue ditributio de Ficher de paramètre ( υ δ, ), avec υ δ υ Trace ( R R) et δ + Trace( R) Si o l applique à l exemple précedet, cette tatitique pred ue valeur de 45 la valeur de paramètre état de 4 et 85. La lecture de table motre que cette valeur et trè upérieure à la valeur euil (), et o rejette le tet d équivalece etre le MCO et la RGP. 5-3 Ue utiliatio de type «petit domaie» Parmi le méthode relevat de petit domaie, préetée da Ardilly (6), e trouve l etimatio par la prédictio. L utiliatio e a été faite pour calculer de etimateur mixte, utiliat de doée de receemet et de ource admiitrative. Sur de petit territoire, la variace de etimateur iu de equête de receemet et trè élevée, et l utiliatio de ource admiitrative comme doée auxiliaire peut cotribuer à e améliorer la préciio. Aii, le ource ficale permettet de fourir de doée proche de l exhautivité, etâchée de certai biai (populatio étudiate, par exemple). Da le ca du RP, o aura deux type d adree : - le adree equêtée pour lquelle o a l eemble de l iformatio, oit le variable iue du receemet, le variable iue de la ource ficale, et le ombre de logemet ; - le adree o equêtée, pour lequelle o e dipoera que de iformatio iue de la ource ficale et du ombre de logemet. A partir de adree pour lequelle o dipoe de l eemble de l eemble de l iformatio, o peut cotruire u modèle expliquat la populatio du RP par le ombre de logemet, et la populatio iue de la ource admiitrative. Si a déige le domaie etimé, et a l échatillo ur le domaie, o cotruit u etimateur qui e pred pa e compte le poid de odage, de la forme uivate ; ~ Ya Y i Xiβˆ Da cette expreio, le Y ~ i ot e gééral etimé à partir d u modèle. C et là qu il et itéreat d utilier la RGP, pour teir compte de la o tatioarité de phéomèe et produire de coefficiet qui variet patialemet. 5-4 Lie avec l etimatio de deité i a Yi + Yˆ i i a, i a Si o applique ce réultat gééraux da u ca trè imple, celui d ue régreio imple, a terme cotat, ur de couple de variable (x(,y() qui e preet comme valeur que (,) ou (,) elo que la peroe et employée ou au chômage. O a doc u modèle particulièremet imple y θx, et u uage de poit particulièremet imple : 49

50 5,5,5,,4,6,8, Graphique 5. La droite d ajutemet va paer par u poit qui correpodra à la moyee podérée locale de x et de y, le podératio état obteue par de etimateur à oyaux. Le coefficiet θ et égal à la moyee podérée de y, la moyee podérée de x état da ce ca égale à. O a i i i Y Y w m ) ( ) (, le podératio wi( état de podératio locale qui exprimet de la faço uivate : ) ( ˆ ) ( f h K h h K h h K h h K h K wi A i k k i k k i O retrouve e effet au déomiateur l etimatio de la deité e à partir de l eemble de poit d obervatio k k h K h, h déigait la feêtre et le ombre de poit d obervatio. La ature particulière de valeur de Y, ou elo que la peroe et ou o au chômage, permet de reformuler m Y( de la faço uivate : k k c A c k k i A i Y h K h f yi h K h f Yi w m * ) ( * * * ) ( ) ( ) ( où c déige le ombre de chômeur. O retrouve alor au déomiateur l etimatio de la deité de chômeur, et o aboutit au réultat uivat ) ( ) ( * ) ( f f m A C C y. A u coefficiet prè, qui correpod à la part de chômeur ur le périmètre d etimatio, o retrouve le ratio de deité etimée. O retrouve doc le réultat préeté e 3 par de méthode de régreio o paramétrique.

51 6 - Détectio de cluter d activité ou d équipemet Le foctio de Ripley, préetée rapidemet e 3-3, ot fait l objet, depui leur itroductio, de ombreux développemet. La littérature ur la cocetratio idutrielle et le cluter et abodate, et elle a été profodémet reouvelée par l itroductio de méthode patiale. 6- Idicateur de Ripley et prologemet Le idicateur de cocetratio idutrielle comme ceux de Gii ou d Herfidahl- Hirchma ot fodametalemet apatiaux. Le travaux écoomique récet ot utilié le réultat propoé par Ellio et Glaeer, mai ce idice e preet pa e compte le ditace, i le localiatio de zoe le ue par rapport aux autre. Durato et Overma (5) ot profodémet modifié l approche e utiliat de etimateur à oyaux. Da le même temp, e veat d autre diciplie, Marco et Puech ot propoé de exteio de foctio K de Ripley. O trouvera da u article récet de Marco et Puech () ue typologie de idicateur de cocetratio patiale baé ur le ditace. Le travaux partet e gééral de idicateur de Ripley et Beag, qui permettet de mettre e évidece de grappe d équipemet. Mai ce idicateur e permettet pa de avoir, ou pa directemet, i cette cocetratio et pa due à u autre proceu ou-jacet. 6- Le M de Marco et Puech Le idicateur propoé par Marco et Puech (4) permettet d aller plu loi e ce e et de meurer cette cocetratio par rapport à u eemble d équipemet, ou par rapport à la populatio. U équipemet directemet lié à la populatio peut embler cocetré patialemet parce que la populatio qu il deert et elle-même cocetrée. Ue ur-repréetatio, ou ur-cocetratio a lieu lorque le équipemet erot relativemet plu ombreux que à la populatio de référece. Illutro ceci par la répartitio de médeci et l eemble de équipemet (Amie: Carte 6. 5

52 L idée de Marco et Puech (5), avec leur idicateur M, et de comparer la tedace de la ou-populatio à e cocetrer à celle de la populatio d eemble, que l o peut chématier de la faço uivate : r Figure 6. La formule de l idicateur M et la uivate M Sk ( r) N NSk c N Sk Sk j, j i N Sk i j, j i NSk N ( i, j, r) c( i, j, r) Da cette formule, r déige le rayo autour duquel o effectue le obervatio, N le ombre total d équipemet, N Sk le ombre d équipemet de type k ( i, j, r) et ue idicatrice qui vaut lorqu u équipemet de type k e trouve à ue ditace iférieure à r de l équipemet de type k à partir duquel et effectué le comptage, tadi que c( i, j, r) vaut i c et u équipemet quelcoque qui et itué da le cercle de rayo r. Par cotructio, ce rapport et iférieur ou égal à Lorqu o le orme par N l expreio Sk, o a ue idée de la cocetratio locale de l équipemet Lorque N N Sk c Sk j, j i N j, j i ( i, j, r) c( i, j, r) > N Sk, l équipemet étudié era localemet plu repréeté que N N Sk c Sk j, j i N j, j i ( i, j, r) c( i, j, r) l eemble, le rapport état alor upérieur à. O a ue expreio qui et NSk N pa a rapport avec le «Lia». L idicateur local idique u poit chaud da la répartitio patiale de phéomèe, tadi que l idicateur global, qui et ue agrégatio de idicateur locaux, meure la tedace globale à la cocetratio. Da le ca de la répartitio de médeci, o obtiet le réultat uivat : c Sk 5

53 Par de méthode de type Mote-Carlo, o peut calculer de itervalle de cofiace permettat de dire, i, et juquà quelle ditace, il y a cocetratio patiale de l équipemet étudié, relativemet à l eemble de équipemet Da le ca de médeci, la localiatio de médeci diffère eiblemet de celle de autre équipemet Graphique 6 Le poit rouge repréetet le équipemet pour lequel le rapport local et upérieur à Carte 6. Le idicateur de Marco et Puech, comme le idicateur de Ripley permettet de comparaio O a choi de préeter le réultat pour troi type d équipemet : médeci (Graphique 6.), boulagerie (Graphique 6.) et coiffeur (Graphique 6.3) Boulagerie Salo de coiffure Graphique 6. Graphique 6.3 Da le ca de boulagerie, la courbe de itue à l itérieur de l itervalle de cofiace.lla localiatio e e ditigue doc pa de celle de l eemble de équipemet. Da le ca de alo de coiffure, il y a ue tedace à la urrepréetatio locale, mai celle ci et pa trè marquée. 53

54 Bibliographie Aeli,L(995) Local idicator of patial aociatio:lisa, Geographical aalyi 7(),93-6 Ardilly,P.(6) Paorama de méthode d etimatio ur petit domaie, Iee, documet de travail de l UMS, N M6 Bailey,T.C, Gattrell,AC, (995)- Iteractive patial data aalyi - Pretice & Hall Brudo,C., Fotherigham,A.S., Charlto,M., Geographically weighted regreio -The tatiticia(998),47,part 3, Cliff, A.D, Ord,J.K, (973) Spatial autocorrelatio,pio Creie, N,(993) Statitic for patial data, Wileyl Delecroix,M. - Etimatio o paramétrique de deité et de régreio (997) da INSEE-Méthode Diggle,P,J (3)- Statitic aalyi of patial poit patter (3)- HArold Diggle,P.J., Zheg,P., Durr,P.(5)- Noparametric etimatio of patial egregatio i a multivariate poit proce - Applied tatitic,54,part3, pp Diggle,P,J, et Marro,J,S - Equivalece of moothig parameter elector i deity ad iteity etimatio - JASA-Sept 988- Vol83 N 43 Droebeke,J.J, Lejeue,M.,Saporta,G. Aalye tatitique de doée patiale(5), Techip Durato & Overma (5), Tetig for localiatio uig microgeographi data,review of ecoomic tudie,7(4),77-6 Ecofier,B., Beali,H.,Bachar,K,(99), Commet itroduire de la cotiguïté e aalye de doée, Statitique et aalye de doée, Vol5,N 3 Feitoa, F.F., G. Camara, A.M.V. Moteiro, T. Kochitzki,ad M.P.S. Silva. (4). Spatial meauremet of Reidetial Segregatio, i Proceedig of GeoIfo 4, pp Geeve: IFIP Fotherigham,A.S., Brudo,C., Charlto,M., () Gegraphically weighted regreio,j.wiley Geti,A, Ord,JK,(996), The aalyi of patial aociatio by ditace tatitic, Geographical aalyi, 4(3) 89-7 Goreaud,F (998)"Apport de l'aalye de la tructure patiale e forêt tempérée à l'étude et la modéliatio de peuplemet complexe" Cemagref ( Thèe de doctorat) Gotway,CA - Schabeberger,O.(5) - Statitical method for patial data aalyi - Chapma & Hall Gotway,C,A,Waller,LA,(4) Applied tatitic for public health data;wiley Hardle,W,(99) - Applied oparametric regreio, Cambridge uiverity pre Hardle,W(998) - A coure o o ad emi parametric modellig - Polycopié ENSAE Kelall,J, Diggle,PJ,(995),Kerel etimatio of relative rik,beroulli,vol.,n -, p3-6 Le Toqueux(4) - Le idice de égrégatio patiale de Reardo et O Sulliva - Note méthodologique Iee Lipatz,J.L. (9),Mode d emploi de la boite à outil d aalye patiale, ftp-coultatio.itraet.iee.fr\ifracommual\kde Lloyd,C(6), Local model for patial aalyi, CRC Pre Marco,E, Puech,F,(4) Geeralizig Ripley K fuctio to ihomogeeu populatio, Marco,E, Puech,F,A () A Typology of Ditace-Baed Meaure of Spatial cocetratio, Marco_Puech-A_Typology_of_Ditace-Baed_Meaure_of_Spatpdf Maey, DS,Deto,N,A,(988) The dimeio of reidetial egregatio, Social force,vol67,n 54

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