H 2012/04. Détection des disparités socio-économiques L apport de la statistique spatiale

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3 Ititut Natioal de la Statitique et de Étude Écoomique Série de documet de travail de la Directio de la Diffuio et de l Actio Régioale H /4 Détectio de diparité ocio-écoomique L apport de la tatitique patiale Jea-Michel Floch (Iee-DAR) A partir de travaux meé au ei de la Diviio de étude territoriale(*) Décembre (*)Voir l itroductio pour u aperçu rapide de ce travaux, et la lite de celle et ceux qui, autour de Jea-Luc Lipatz, alor chef de la DET y ot cotribué. Ce documet de travail e reflètet pa la poitio de l'insee et 'egaget que leur auteur. Workig paper de ot reflect the poitio of INSEE but oly their author' view. 3

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5 Table de matière RÉSUMÉ 7 INTRODUCTION 8 - GÉNÉRALITÉS 9 - GÉNÉRALITÉS 9 - «Aalye patiale» et «tatitique patiale» 9 - «Maup» : agrégatio et zoage 9-3 Modèle temporel et modèle patiaux -4 Hétérogééité et dépedace -5 - Le troi grade brache de la tatitique patiale, et leur maière de predre e compte l autocorrélatio - AUTOCORRÉLATION, POINTS CHAUDS ET FROIDS : LE CAS DES DONNÉES SURFACIQUES 4 - Règle de cotigüité 4 - Meure d aociatio globale 5 -- Idicateur de Mora 6 -- Idicateur de Geary Idicateur G de Geti et Ord 9-3 Idicateur locaux d aociatio patiale 9-3- Idicateur de Geti et Ord 9-3- Idicateur de Mora local -3-3 Idicateur de Geary local 3 - CONFIGURATIONS SPATIALES DE POINTS ET RATIOS DE DENSITÉ 3 3- Gééralité 3 3- Propriété du premier ordre Propriété du ecod ordre Deité de probabilité et iteité d u proceu L etimatio o-paramétrique de la deité De deité aux ratio de deité Du ratio théorique au ratio etimé Comparaio avec le réultat de Lia 38 5

6 4- EXTENSION DU CHAMP D APPLICATION Le pricipe 4 4- Applicatio à l aalye de doée U exemple de claificatio Utiliatio pour le calcul de idicateur de égrégatio patiale LA RÉGRESSION GÉOGRAPHIQUE PONDÉRÉE (RGP) Préetatio géérale Théorie élémetaire de la RGP Le bae La détermiatio de paramètre optimaux Retour ur l exemple Tet ur la o tatioarité Ue utiliatio de type «petit domaie» Lie avec l etimatio de deité DÉTECTION DE CLUSTERS D ACTIVITÉ OU D ÉQUIPEMENTS 5 6- Idicateur de Ripley et prologemet 5 6- Le M de Marco et Puech 5 BIBLIOGRAPHIE 54 6

7 Réumé Ce documet préete quelque méthode, iue de la tatitique patiale, permettat de détermier de zoe de cocetratio de difficulté ociale. Aprè ue préetatio géérale de problème lié à l utiliatio de doée patialiée (MAUP, problème de l échiquier), il préete le idicateur d autocorrélatio globaux (Mora, Geary) et locaux (Geti & Ord, LISA) relevat de méthode «urfacique». La partie la plu importate du documet traite de l etimatio de la deité de doée poctuelle, grâce à de méthode o paramétrique et de leur utiliatio pour la détermiatio de zoe de urrepréetatio grâce aux ratio de deité. D autre méthode relevat de proceu poctuel (Foctio K de Ripley et dérivée ou de la régreio (Régreio géographique podérée) ot égalemet préetée. Mot clef : tatitique patiale, autocorrélatio, etimatio o-paramétrique, régreio géographique, idicateur de égrégatio. Abtract Thi paper preet ome method, iued from patial tatitic, ued to detect area with cocetratio of ocial problem. It begi with a geeral preetatio of patial data (Modifiable areal uit problem, checkerboard problem) ad go o with global patial autocorrelatio meaure ( Mora, Geary) ad local ( Geti & Ord, LISA) iued from areal method. The mot importat part of thi paper i about deity etimatio of poit patter, with o parametric method. Ratio of etimated deitie are ued to detect cluter of ocial problem.. Other method (K Ripley fuctio, geographically weighted regreio) are alo preeted. <Keyword : patial tatitic,autocorrelatio,kerel deity etimatio, geographically weighted regreio 7

8 Itroductio Ce documet de travail préete quelque ue de méthode utiliée da le travaux meé au ei de la Diviio de étude territoriale (DET) de l Iee. Il et doc le produit d u travail collectif, iitié il y a u peu plu de a par Michel Haou et Jea-Luc Lipatz, alor chef de la diviio. Ce travail viait à produire, e rapprochat doée géolocaliée et techique de tatitique patiale, de outil utiliable par le directio régioale de l Iee pour l aalye urbaie. Repoable pluieur aée du PSAR- Aalye urbaie au ei de la DET, l auteur de la préete publicatio et da ue large meure le porte-plume, i l o peut ecore utilier ce terme de o jour, d ue aveture collective dot il a été u de protagoite. L utiliatio de méthode de tatitique o paramétrique, déjà précoiée par Philippe Chataigo a débouché ur l écriture par J.-L. Lipatz d u kit de macro SAS detié, da le cadre de la mie e place de Cotrat urbai de cohéio ociale (CUCS),à aider le décideur da la recherche de zoe e ituatio précaire. Ce kit a été erichi au cour de aée, et a été au cœur de l ivetiemet «Sythèe urbaie». Dipoible ur ftp\coultatio\ifracommual\kde, il et à l origie d ue boe partie de carte de ce documet. La DET et le PSAR ot égalemet exploré quelque autre méthode ( Régreio géographique podérée, foctio de Marco et Puech..). Pour aider le chargé d étude travaillat à partir de ce méthode, ue formatio à l aalye patiale a été orgaiée à partir de 4. Y ot iterveu, outre J-L Lipatz et l auteur de ce documet, Michel Haou, Jea- Luc Le Toqueux, Stéphaie Himpe, Stéphaie Ma, Cythia Gaborieau- Faivre, Marc Brachu et Beoît de Lapae. Ce documet doit beaucoup à leur cotributio repective, et il retrouverot a doute au fil de page de graphique iu de leur itervetio lor de formatio. Eviagé d abord comme u accompagemet à cette formatio, ce papier e développe davatage certai apect méthodologique et cherche à reituer le méthode utiliée da le vate domaie de la tatitique patiale. Certaie de iterprétatio ot peroelle, et elo la formule, le erreur qui apparaîtraiet e ot imputable qu à l auteur du documet. 8

9 - Gééralité Ce documet préete quelque otio de bae de tatitique patiale, mai e cotitue pa ue itroductio, da la meure où il privilégie u ombre limité de méthode, celle qui ot été utiliée pour la détectio de zoe de urrepréetatio de difficulté ociale lor de la mie e place de CUCS. De ombreux mauel ou documet e lige permettet aux itéreé d aller plu loi da le vate domaie de la tatitique patiale : Bailey et Gattrell (995), Loyd (6) pour ue première approche, Diggle (3), Gotway et Schabeberger (4) ou Creie (993) pour ue approche ytématique, par exemple. - «Aalye patiale» et «tatitique patiale» Il et quetio da ce documet de tatitique patiale. O accordera avec ce que dit le géographe Claude Gralad lorqu il ditigue l aalye patiale de la tatitique patiale. Pour lui, «l aalye patiale et ue brache de ciece ociale qui attache aux détermiat de la localiatio de homme et de activité, tadi que la tatitique patiale et ue brache de la tatitique qui étudie le particularité de ditributio de populatio da u epace bidimeioel» Selo Gralad, le cocept cetral e aalye patiale et celui d iteractio, tadi qu e tatitique patiale, c et l autocorrélatio qui et eetielle. Pour le «tatiticie patial», l itroductio de l epace correpod à u erichiemet, au prix de difficulté coceptuelle aez coidérable, de méthode élaborée da u cotexte «a-patial». Le modèle patiaux plu riche du tatiticie retet éamoi pour l aalyte de viio implifiée de la réalité. Ce différece d approche expoéee, il rete que ce deux mode etretieet de relatio étroite. L itroductio d ue forte doe de quatitativime da le étude géographique, l utiliatio de méthode tatitique et écoométrique e écoomie ou e géographie ot cotribué à de rapprochemet etre ce uiver. Le quetio poée de faço iitate par le géographe (comme celle du Modifiable areal uit problem) ot pa été a ifluece ur la tatitique patiale, pour la remie e caue d hypothèe difficilemet teable. Da la littérature, cette proximité e maifete particulièremet da la «tatitique patiale exploratoire», da le illage de méthode iitiée par J.Tukey. U livre comme celui de Bayley et Gattrell (995) e témoige. Ue techique comme la régreio géographique podérée, préetée da ce documet, et due à de géographe. Le travaux de Mora, publié da de revue de tatitique, alimetet le travaux de géographe. Ce documet expoe quelque méthode de tatitique patiale, mai il et detié à de utiliateur qui erot urtout ameé à faire de l aalye patiale. - «Maup» : agrégatio et zoage MAUP et l acroyme de «modifiable areal uit problem». Il a été itroduit ou ce terme par le géographe Steve Opehaw, qui a reformulé de quetio aciee, e aidat de poibilité offerte par l iformatique pour faire de imulatio. Quetio aciee, parce que l o ait de logue date qu e chageat de découpage, o obtiet de repréetatio cartographique différete. 9

10 Commet réumer ce terme de Maup? Sa doute e diat qu il agit d u problème d agrégatio et/ou de zoage. Figure. La géographe Léa Sader, à qui et emprutée la carte ci-deu e poite quelque coéquece : a- Le repréetatio cartographique et le aalye tatitique vot doer de réultat différet elo le etité patiale élémetaire choiie ; b- Selo le zoage choii, le évolutio patiale ot différete ; c- Le correpodace etre de limite admiitrative et de dicotiuité patiale ot poible, mai ot raremet la règle ; d- Avec différete défiitio d'etité patiale, le forme d'évolutio apparaiet différemmet ; e- Le relatio etre le phéomèe chaget e foctio de l'échelle d'obervatio ; f- Le relatio etre le phéomèe dépedet de l'étedue patiale de la régio étudiée. O peut remarquer que ce quetio e poet da de terme proche lorque l o publie de réultat da de omeclature à différet iveaux. C et le ca par exemple de travaux ur la cocetratio idutrielle, qui peuvet doer de réultat différet, voire cotradictoire, elo que la omeclature utiliée pour décrire le tiu idutriel et plu ou moi fie. Le repréetatio cartographique peuvet reforcer l effet du Maup, pour de raio d ordre viuel. Aii ue zoe de faible effectif, mai de grade uperficie, produit effet marqué riquat de doer ue image déformée (exemple du chômage à Geevillier, carte. et.).

11 Port fluvial de Geevillier Carte. ( ite de la DIV) Carte. ( carte DET) Pluieur olutio ot été propoée pour pallier à ce problème de Maup. Toujour e uivat L Sader, o peut citer : - l idetificatio du iveau pertiet ; - la recherche de partitio optimale; - le iveau idividuel ; - le carroyage et le liage ; - l aalye multi-calaire. Ce propoitio e ot pa atagoique, mai aucue e réout la quetio du Maup. O verra par la uite que le méthode o paramétrique, qui permettet de abtraire de découpage admiitratif, doet de réultat qui ot tributaire de la feêtre d etimatio, et qu il et difficile de défiir de olutio optimale. L aalye multi-échelle cotitue e tout état de caue ue voie itéreate, car elle a l avatage de predre e compte le obervatio qui peuvet être pertiete à chacu de iveaux d obervatio coidéré, et à le combier pour obteir ue aalye pertiete. -3 Modèle temporel et modèle patiaux Le modèle patiaux préetet de aalogie avec le modèle utilié e érie temporelle. Da ce derier, le temp, le t de X(t) et ue iformatio à part etière. Il permet d étudier la ucceio de obervatio, leur périodicité, et d e cotruire de modéliatio. Il e va de même pour le obervatio patiale. La ituatio da l epace et ue iformatio aui importate que la variable d itérêt, et le modèle patial X( et pa la même choe qu u modèle X, pécifié a teir compte de la poitio de obervatio. Sur le pla théorique, le modèle temporel, comme le modèle patiaux, repoet ur de proceu tochatique. O pourra trouver de aalogie etre de outil comme le variogramme utilié e géotatitique et le corrélogramme. Ceci dit, cette aalogie a aui de limite. E érie temporelle, o a ue directio, et de itervalle de temp permettat de faire de modéliatio empirique (moyee mobile ou probabilite (ARMA et dérivé. Le patial et plu complexe puique l o e itue da u pla, et e gééral da de tructure préetat de dicotiuité. Le loi

12 de probabilité qui ot au cetre de la modéliatio de phéomèe patiaux et temporel e ot pa le même. -4 Hétérogééité et dépedace Le doée patiale ot caractériée par de emboîtemet d échelle, le proceu pouvat être différet (homogèe à ue certaie échelle, hétérogèe à d autre. Le méthode tatitique da le domaie patial vot être ameée à traiter : - l hétérogééité. Il et bie cou pour le praticie de doée patialiée que le patial et le domaie de l hétérogééité, et que le traitio peuvet avoir lieu de faço aez abrupte. Le problème e poe alor de voir commet le méthode coçue da u cadre tadard, pour étudier de phéomèe homogèe vot pouvoir être adaptée à de ituatio où le proceu e ot pa tatioaire, et où o e trouve pa a priori de forme de régularité qui ervet à modélier le érie temporelle. - La dépedace. Elle et exprimée de faço imagée par Tobler, qui e a fait la première «loi de la géographie» «Everythig i related to everythig ele, but ear thig are more related tha far thig». Cette ituatio fait que le hypothèe claique de la tatitique mathématique qui jutifiet le modèle uuel e peuvet plu appliquer. Le tructure de dépedace patiale ot complexe. Elle e ot pa toujour facile à teter et éceitet de défiir u voiiage de faço pertiete Le troi grade brache de la tatitique patiale, et leur maière de predre e compte l autocorrélatio La tatitique patiale e et pa développée de faço rectilige et uifiée. De grade brache, comme la géotatitique e ot cotituée de faço aez idépedate. Ce et qu aez tardivemet que Creie (993) a propoé ue uificatio de différet champ de ce vate domaie, e repreat la otio de variable régioaliée itroduite par George Mathero, père tutélaire de la géotatitique à l Ecole de Mie de Fotaiebleau. O ditigue habituellemet troi grad type de doée da la tatitique patiale : - le doée poctuelle ; - le doée de urface ; - le doée géotatitique. L itroductio de ce méthode a été aez lete à l INSEE. Elle a été redue idipeable par la éceité de maipuler de groe bae de doée géolocaliée. Le problème lié à l autocorrélatio patiale, au MAUP ot fait petit à petit leur chemi. Il retait à réoudre la quetio de méthode pertiete à utilier pour traiter le doée. Le méthode géotatitique ot été tetée, avec peu de uccè. Le doée de urface qui ot e apparece le plu proche de ce qui et pratiqué à l INSEE ot fait l objet que de peu d ivetigatio. Ce ot le techique «poctuelle» qui e ot avérée le mieux à même de traiter le quetio qui e poaiet da le domaie de l aalye urbaie.

13 Ce méthode poctuelle ot utiliée depui u certai temp da pluieur domaie d étude. Nou avo urtout utilié de travaux relatif à : - l épidémiologie ; - la forêt. O et redu compte que le pécialite de ce domaie travaillaiet ur de problématique qui apparaiaiet trapoable da le domaie de étude urbaie. Le épidémiologite parlet fréquemmet de «rique relatif» da l étude de pathologie. Il eaiet de détermier le zoe où le rique et fort, et euite de modélier ce rique e itroduiat de variable explicative. Cela reemble fortemet à ce que l o recherche quad o itéree au chômage. Le foretier itéreet à la répartitio de epèce, à la faço dot le différete eece végétale aociet ou au cotraire e repouet. Le méthode poctuelle ot emblé fourir, da ue première étape, le outil le plu porteur pour commecer à traiter de faço atifaiate le doée géolocaliée dot dipoait la tatitique publique. O commecera par préeter ce qui fode ce méthode, avat de traiter de faço pécifique le traitemet de problème de rique relatif et de zoe de ur-repréetatio. Le techique tatitique préetée erot doc choiie e foctio de leur itérêt pour le aalye patiale qu elle permettrot d éclairer. La prie e compte de l autocorrélatio et u ejeu majeur pour la tatitique patiale, afi de pécifier correctemet le modèle. De techique pécifique de meure de l autocorrélatio ot été élaborée da chacue de grade brache de la tatitique patiale : - variogramme e géotatitique ; - idicateur d aociatio patiale pour le doée urfacique ; - foctio de Ripley et dérivée da le méthode poctuelle. Ce idicateur ot e commu de faire iterveir le ditace, ou le proximité etre le obervatio. Le poit commu etre le différete méthode e ot pa forcémet apparete. Il a emblé itéreat pour commecer d étudier l autocorrélatio da le doée urfacique. 3

14 4 - Autocorrélatio, poit chaud et froid : le ca de doée urfacique La meure de la corrélatio éceite la prie e compte de doée qui ot à proximité de zoe d obervatio. Cela implique de défiir de relatio de voiiage, que l o pourrait défiir pompeuemet comme topologique, ou comme métrique. - Règle de cotigüité Preo comme exemple, à la uite de Cliff et Ord troi type imple de cotigüité. Da le chéma ci-deou, chaque zoe «grie» et cotigüe à la zoe «jaue» elo le règle du jeu d échec. Tour Fou Reie Figure. Ce règle de cotiguité permettet de défiir de matrice, dite égalemet de cotiguité, qui vot permettre de calcul. La règle la plu imple et de predre ij w i le zoe i et j ot cotigue, wij da le ca cotraire; e coidérat qu ue zoe et pa cotigue à elle-même E repreat le troi exemple imple du déplacemet du fou, de la tour et de la reie ur u échiquier 3x3 le matrice ot le uivate : Tour Fou Reie Tableau. O cotate facilemet qu au vu de règle de voiiage qui ot défiie : - le matrice de cotigüité ot ymétrique ; - la matrice de déplacemet de la reie et la omme de celle de la tour et de celle du fou. Le exemple de règle de cotigüité ot ombreux et plu ou moi complexe. Cito parmi ceux-ci :

15 a) wij i le zoe i et j ot ue frotière commue, wij da le ca cotraire; cette matrice et ymétrique ; b) wij et le pourcetage du périmètre total de la zoe i qu elle partage e commu avec la zoe j; cette matrice et pa ymétrique ; c) w ij i la ditace etre le régio i et j et iférieure à ue ditace critique et w ij au delà. Le défiitio de cette ditace critique ot multiple : ditace etre le cetre géographique de zoe, etre le capitale admiitrative etc ; d) w ij et ue foctio décroiate de la ditace etre poit privilégié de zoe i et j Cliff et Ord (973) propoet ue a b ij b ij formulatio du type wij d, avec dij ditace etre le zoe i et j, b ij pourcetage du périmètre de la zoe i cotitué par la frotière avec la zoe j et a et b deux paramètre à etimer ; e) w ij et ue meure de l acceibilité etre le zoe i et j, ditace ou temp de traport par la route, rail, air, etc ; e) w ij peut efi traduire de proximité o géographique de type orgaiatioelle. Le règle de cotigüité ci-deu ot elo le ca topologique, métrique ou mêlet le deux. O remarquera que da certai ca, la matrice de cotiguité et ue foctio de la ditace, et exprime comme wij (d). Le matrice de cotiguité exprimet ouvet ou ue forme ormaliée e lige, c et à dire de telle faço que la omme e lige de podératio oit égale à. Cette ormaliatio de coefficiet permet de calculer de idicateur locaux et de comparer la valeur obervée de la variable d itérêt e i, et a valeur da le voiiage. - Meure d aociatio globale Ue meure d aociatio patiale et défiie de faço géérale comme la omme podérée ur le couple de poit poible d u idicateur de imilarité, oté imij oit : N N ij i i N N w i j w im ij ij Le idice utilié claiquemet, ceux de Mora et Geary exemple de cette formulatio géérale. ot de 5

16 -- Idicateur de Mora Il et défii e utiliat l idicateur de imilarité imij ( zi z)( z j z), z état la moyee arithmétique ur l eemble du champ d obervatio. Si déige la variace de obervatio, l idicateur de Mora, oté I pour la variable Z écrit de la faço uivate : I N N w ij i j N ( zi z)( z j z) N i j w ij L idicateur de Mora I et ue variable aléatoire, dot la ditributio et détermiée par celle de la variable d itérêt et de iteractio patiale. Le réultat aymptotique ot été calculé par Cliff et Ord (973). Ce auteur ot motré que ou hypothèe d idépedace : E ( I), et doc que l idicateur de Mora a ue valeur qui ted ver lorque le N ombre de zoe d obervatio accroit. O peut remarquer que l idicateur de Mora peut écrire égalemet ou la forme I ( zi wij N z ( zi z)( zj z) ) wij ( zj z) N ce qui doe à l idicateur de Mora ue allure proche (aux podératio patiale prè du claique coefficiet de corrélatio de Pearo. Pour divere boe raio expoée par exemple da Gotway et Waller(4), ce coefficiet e peut cepedat pa être iterprété comme u coefficiet de corrélatio. Il et pa iférieur ou égal à e valeur abolue comme le coefficiet de Pearo et e peut être coidéré comme u coiu d agle. Se bore peuvet être calculée. O peut trouver de réultat ur le limite de valeur de I da Cliff & Ord(973) ou Gotway et Waller(4). O a, auf ca particulier I <. Pour comparer la valeur obervée de l idicateur d aociatio patiale à l hypothèe ulle, il faut réalier de tet Da le ca où l o e réfère à de hypothèe (forte et peu I E( I) vraiemblable ) de ormalité, o va comparer à la ditributio d ue loi ormale V ( I) N(,). L expreio de la variace peut être calculée à l aide de la matrice de poid, et exprime de la faço uivate : N S NS + 3S V(I) ( )( ) ( ) où : N N+ S N S N N i j wij N N S w ( wij + ji) i j 6

17 ( wi. w i) N S +. i Ce formule paraiet u peu lourde mai e ot pa trop difficile à implémater. Par cotre, elle repoet ur de hypothèe aez forte. C et pourquoi o préfère ouvet calculer l epérace et la variace de I e effectuat u grad ombre de permutatio aléatoire de obervatio. O trouvera ci-deou u exemple de calcul du coefficiet de Mora, réalié ur de doée imulée de taux de pauvreté au iveau de carreaux (carte.). La pauvreté et décroiate de couleur chaude ver le couleur froide. Carte. L idicateur de Mora et calculé ur cet exemple e utiliat la matrice de proximité la plu imple (cotiguité d ordre au e de la Reie). Comme o le fait ouvet da le calcul de ce idicateur, le podératio ot été ormaliée afi que la omme e lige oit égale à. Il y a da la carte 5 carreaux qui itervieet da le calcul. Le valeur obteue ot le uivate : Idicateur de Mora :.54 Epérace de l idicateur -.O7 Variace de l idicateur.96 Valeur à teter 6.69 P-value. Tableau. Ce réultat idiquet qu o e peut rejeter l autocorrélatio patiale. La valeur à teter et trè upérieure à. La probabilité pour qu avec la valeur obervée, o rejette à tort l hypothèe ulle (abece d autocorrélatio patiale) et trè faible. Ue autre faço de teter la valeur du coefficiet de Mora, par rapport à l hypothèe ulle d abece d autocorrélatio patiale, et de réalier u grad ombre de permutatio de réultat obervé, et d étudier la ditributio de réultat obteu. O pourra aii voir da quel pourcetage de ca le réultat que l o obtiet et dépaé par le permutatio réaliée. L idicateur de Mora peut préeter de limite. Le formule préetée ci-deu ot de variable quelcoque. Si o l applique à de doée de comptage, il faut l utilier avec prudece, comme le motret de ombreux exemple d épidémiologie. Si o itéree à la meure de l autocorrélatio de ca d ue pathologie, o peut avoir ue 7

18 autocorrélatio poitive de ca cotaté qui e fait que refléter la répartitio patiale de la populatio de référece. C et pourquoi de tatiticie travaillat da le domaie de la até ot propoé de forme alterative de l idice de Mora, qui exprimet de la faço uivate : I N Z N i wij i i CR N N i i ri w ri Z ij j rj rj Cette expreio fait apparaître l écart etre la gradeur obervée Z i (le comptage d ue pathologie, par exemple) à la valeur attedue r i, obteue e appliquat u rique cotat r à la populatio totale de la zoe, l expreio état ormée par la racie de r i. O peut l iterpréter comme le réultat de l applicatio d ue régreio poioiee de la variable explicative z i ur l effectif i de la zoe. Pour arriver à l expreio metioée, il faut faire l hypothèe qu e moyee, le réidu tudetié ot ul. O trouvera da Gotway & Waller (4) de exemple tiré d u même jeu de doée et qui coduiet à de réultat trè différet etre I et I CR. -- Idicateur de Geary Cet idicateur et baé ur ue autre formule de imilarité : imij ( zi zj) Il a la forme uivate : c ( Zi Z ) i i N N i N N N w ij i i ( Zi Zj) N w Cet idicateur pred de valeur comprie etre et, la valeur idiquat ue autocorrélatio patiale poitive, ue autocorrélatio patiale égative. Cet idicateur préete de aalogie de forme avec celui de Durbi et Wato. O trouve da l article d Aeli (995) de réultat théorique ur le momet de l idicateur de Geary : E( c) Var( c) ( N )( S + S ) 4S ( N + ) S avec le covetio d écriture adoptée pour le calcul de idice de Mora. O peut teter, avec le même hypothèe forte et le même limite, l autocorrélatio patiale au e de Geary e utiliat la ormalité aymptotique de I E( c) ij Var( c) Cliff et Ord (973) ot motré le lie qui exite etre l idicateur de Mora et celui de Geary, qui peut écrire : 8

19 N c S N i N w i. ( zi Z ) ( zi Z ) i N I N Le idicateur de Mora et de Geary ot été abodammet utilié, tout particulièremet le premier. Il e ot cepedat pa a icovéiet O peut revoyer aux limite que oulige d Aubigy da Droebeke et alii (5), et que l o peut réumer aii : - ce idice ot cotruit par aalogie avec de idicateur exitat (Pearo, Durbi & Wato) ; - la pricipale faiblee réide da le poid égaux attribué à chaque etité patiale, ce qui apparaît peu réalite ; - le bore de variatio e ot pa bie coue ; - o a deux idice cocurret, a lie exploitable. --3 Idicateur G de Geti et Ord Ue autre tatitique d aociatio patiale a été propoé par Geti et Ord (996), qui coite à défiir de poid w ij (d) défii pour ue ditace d détermiée. G peut écrire : G( d) N N i i N N wij( d) zizj i i zizj Cet idicateur global et doé ici pour mémoire, l idicateur de Geti et Ord état plutôt utilié comme u idicateur local, permettat de détecter de «poit chaud» -3 Idicateur locaux d aociatio patiale Ce idicateur ot cou da la littérature ou le om de LISA (Local idicator of patial aociatio). Il ot été itroduit par Luc Aeli 995) da u article du même om. Ce idicateur peuvet être défii da la zoe i comme ue foctio f ( zi, zj) mettat e relatio la valeur obervée da la zoe et celle qui et obervée da o voiiage. Il ot deux propriété : - il idiquet l importace de la propeio à former de grappe autour d ue zoe coidérée ; - leur omme et proportioelle à u idicateur global d aociatio patiale. O aura doc de Mora locaux et de Geary locaux. -3- Idicateur de Geti et Ord Geti et Ord (996) ot uggéré deux idicateur permettat de détermier de poit «chaud» et «froid». La différece etre le deux formulatio tiet à la prie e compte (ou o) da le calcul de l idicateur de la valeur au poit d obervatio. Ituitivemet, ce idicateur ot imple à compredre puiqu il mettet e rapport ue valeur calculée au voiiage du poit d obervatio, et ue valeur calculée ur l eemble du territoire coidéré, auquel o a elevé le poit d obervatio. 9

20 La première forme de l idicateur et la uivate : Gi( d) j, j i O peut calculer l epérace et la variace de ce idicateur, leur expreio état le uivate : Wi E( G ) et Wi( wi) i ( ) S i Var Gi ( ) ( )( x i) O cotruit comme pour le autre idicateur, u tet aymptotique, permettat de repérer le poit chaud et froid. Geti et Ord (996) uggèret (claiquemet) d utilier u tet baé ur la ormalité Gi E( Gi) (hypothétique) de : Z( Gi). Var( Gi) Da l exemple du taux de pauvreté préeté ci-deu, o obtiet le réultat uivat : Chaud w x j, j i ij j xj Froid Doée brute Carte. Carte.3 E faiat varier la ditace d, o obtiet le carte uivate : Poit chaud et froid (3 mètre Carte.4a Carte.4b Carte.4c Carte.4d -3- Idicateur de Mora local C et le plu utilié. Il a été propoé par Aeli (995), et e préete ou différete forme, dot la plu fréquete et la uivate : zi Ii wijzj où m déige le momet d ordre de la variable,oit m m zi j i

21 O vérifie facilemet que Ii m i i j I wijzizj I S L expreio i wijzj repréete la valeur moyee de la variable d itérêt da le voiiage de le zoe i (plu exactemet de l écart de la variable d itérêt à la valeur moyee ur le périmètre d étude). Le graphique de Mora (graphique.) et tout implemet la repréetatio de couple de poit : valeur da la zoe, valeur da le voiiage. Ce graphique de Mora permet de cotituer quatre ecteur, appelé habituellemet : - HH valeur élevée da u eviroemet élevé ; - HB valeur élevée da u eviroemet ba ; - BH valeur bae da u eviroemet élevé ; - BB valeur bae da u eviroemet ba. Le graphique ci-deou repréete le diagramme de Mora réalié à partir de l exemple ci-deu de la carte.. Si o effectue ue régreio de la valeur du voiiage ur la valeur de la zoe, o obtiet pour paramètre etimé,7334, ce qui, corrigé par S /N redoe l idicateur global de Mora. Graphique. Carte.5 Le calcul théorique permettet d arriver à de expreio de l epérace et de la variace de idicateur Avec le covetio d écriture utiliée habituellemet da la littérature, obtiet le expreio uivate : wij j E( Ii) Da cette expreio, le umérateur deviet lorque la omme e lige de podératio vaut. L expreio de la variace a pa cette belle implicité : wi() ( b) wi( kh) (b ) Var( Ii) + E( Ii) ( ) ( )( ) avec m4 b, achat que i r m z m r i

22 wi() wij w i( kh) j k h w ik w ih Geti et Ord uggèret ( claiquemet) d utilier u tet baé ur la ormalité (hypothétique) de : Ii E( Ii) Z( Ii). Var( Ii) Le tet permettet de faire apparaître le zoe qui e ditiguet de faço igificative de leur eviroemet. O trouvera ci-deou le zoe le plu igificative, aii que la carte faiat apparaître le poit «chaud» et «froid». Noir % Gri focé 5% Gri clair % Poit chaud et froid Carte.6 Carte Idicateur de Geary local Niveau de igificativité De LISA calculé da ue optique «Geary» ot été égalemet propoé par Aeli (995). Il ot défii de la faço uivate : ci wij( zi zj ) j zi i S O a doc : ci c. i L epérace et la variace peuvet être approché comme uit : wij j E( ci ) et Var( ci) ( wi. + wi() )(3 + b) E( ci) Da la littérature, o trouve de ombreux exemple d idicateur de Mora locaux, mai pratiquemet jamai d exemple d idicateur de Geary locaux. O e doera pa d illutratio umérique da ce documet.

23 3 - Cofiguratio patiale de poit et ratio de deité Ce paragraphe vie à doer ue petite «teiture» ur le cofiguratio de poit, et itroduire quelque otio utile pour la compréheio de ce qui va uivre. 3- Gééralité U proceu patial et défii de faço géérale comme : { Z( ; D } R D déige le domaie d étude qui et ue portio du pla. Z(.) déige ue variable aléatoire, le proceu d eemble état la réaliatio de chacue de ce variable aléatoire e u certai ombre de poit. Si le proceu et u proceu de ature géotatitique, comme la température, ue réaliatio du proceu pourra être l eemble de température meurée e,,. De faço tadard, déige e tatitique patiale le couple (x,y) de coordoée. U chagemet du dipoitif expérimetal produirait ue autre réaliatio du proceu. Le doée géotatitique pourraiet être meurée e tout poit du domaie. Da le ca de doée «de urface», la gradeur meurée et aociée à ue régio défiie d u domaie d étude ( la commue da la régio par exemple). Da le ca de proceu poctuel, la variable Z et e quelque orte «dégéérée», puiqu elle e traduit que la localiatio de l uité tatitique au poit. La réaliatio d u proceu poctuel coite e u ombre fii de localiatio (localiatio de arbre da ue forêt, par exemple). Cette réaliatio peut être appelée emi de poit. Figure 3. Source : GOREAUD(998) Ce emi de poit peuvet être de ature divere. Il et fréquet (et pédagogiquemet pertiet) de ditiguer troi forme typique de emi de poit : 3