1 Les racines carrées A. Activité de découverte Henry veut construire différents enclos carrés pour ses animaux. Il possède des lapins, des chèvres et des poules. Pour les lapins, il veut construire un enclos de 4 m² ; Pour les chèvres, il veut construire un enclos de 9 m² ; Enfin, pour les poules, il veut construire un enclos de 5 m². Pour cela, il doit connaitre les longueurs de côté de chacun des carrés ; aide-le à les trouver. Longueur de côté pour l enclos des lapins : Longueur de côté pour l enclos des chèvres : Longueur de côté pour l enclos des poules : L opération que tu as utilisée sans le vouloir est l opération. B. Définition La racine carrée positive d un nombre positif a, notée a, est le nombre positif x dont le carré vaut a. Si a 0 : Remarques : Dans l expressiona, a est appelé le.. et le. Le radical doit couvrir tout le radicand On écrit : 3254 et non : 3254
2 C. Calcul d une racine carrée 1. Racine carrée positive Dans certains cas, on peut connaitre la valeur exacte de a. 9 =. =.. = Un nombre admet une racine carrée exacte s il se décompose en un produit de facteurs dont les exposants sont. Exemples : 1,44 = 0,49= 400= 810000= Dans d autres cas, il est impossible de donner la valeur exacte de a. On ne peut en donner qu une valeur approchée. Elle s obtient à l aide de la calculatrice. 20 13.. 2. Racine carrée négative La racine carrée négative -a est de la racine carrée positive. -169 =. -25 =.. -25 existe mais -25 n existe pas. La racine carrée d un nombre négatif n existe pas.
3 D. Les propriétés des racines carrées des nombres positifs 1. Activité de découverte Complète le tableau suivant : a b a. b a b a.b a.b a+b a+b a-b a-b 4 9 196 49 Que constates-tu?.. 2. Racine carrée d un produit 3. 12 =.. 50. 2 =.. 45 =... La racine carrée d un produit de plusieurs nombres positifs est égale... (Et réciproquement). a, b et c étant des nombres positifs quelconques : 1) 48. 3 =.. 2) 7. 28 =. 3) 3. 5. 15 = 4) 80. 5 =.
4 5) 44. 11 =.. 6) 8. 2 = 7) 64xy. 4xy = 8) 12xy. 3xy = 9) 2a²b. 32a 4 b 3 =. 10) 24a 5 b²c. 6ab²c 3 = 3. Racine carrée d un quotient =.. =.. La racine carrée du quotient du nombre positif a par le nombre positif non nul b est égal.. (Et réciproquement) a étant un nombre positif quelconque et b un nombre positif non nul :. Exercice 1) =.... 2) =.. 3) =. 4) = 5) =.. 6) =.
5 7) =. 8) 9) ² = ² ² = 10) = 4. Racine carrée d une somme ou d une différence 152 + 62= 6 + 96 = 2 + 23 = La somme ou la différence de deux radicaux semblables (c est-à-dire de même ) est.. 1) 2+14 =.. 2) 5 + 5 5 = 3) 30 5 =. 4) 38-98 =... 5) a²b + 6 ab² =. 6) 102x² + 32x²y = 7) x y - x y = 8) 25a²b² - 12a²b² = a + b a + b et a - b a b
6 5. Racine carrée d un nombre dont l exposant est pair 5² =.... 4 =. La racine carrée d une puissance paire d un nombre positif est égale.... a étant un nombre positif et m un naturel quelconque : Exercice.. 1) 16² =.. 2) 2 8 =. 3) 3². 6 4 = 4) 9 4. 10² =. 5) 5². 2 6 = 6) a²b 4 =.... 7) 4 10 x 4 y 8 =. 8) 2²x 6 b 4. 8 4 a²b 6 = 6. Racine carrée d un nombre positif dont l exposant est impair 2 5 =. 3 7 =. La racine carrée d une puissance impaire d un nombre positif est égale a étant un nombre positif et m un naturel quelconque : Exercice 1) 9 3 =. 2) 6 5 =. 3) 3. 4 3 =.. 4) 5 5. 10 3 =
7 5) a 3 b 11 =. 6) 6 3 x 13 y 5 =... 7) 2 9 x²y 7. 3 5 a 9 b 5 = E. Opérations sur les racines carrées 1. Simplification des radicaux 18 = 75 = Les propriétés relatives au produit et au quotient des racines carrées permettent de les simplifier, c est-à-dire de les remplacer par des expressions égales contenant des radicands entiers les plus petits possibles 1) 8 =. 2) 12 =.. 3) 80 =.. 4) 328 =... 5) 427 =... 6) 775 =... 7) 2500 = 8) 0,25 =. 9) 4,50 =. 10) 0,0016 =. 11) 192a²b 5 =. 12) 350x 7 y 6 =. 13) 180a²b 5 x 8 y 11 =..
8 Quand on manipule des racines carrées avec des grands nombres comme par exemple 223344, il est assez difficile de trouver des carrés parfaits à extraire de la racine. Pour avoir plus simple, il suffit de décomposer ce nombre en facteurs premiers. 223344 223344 = 2. Addition et soustraction des radicaux 52 + 2 = 85 + 33 = 8-18 = Avant d additionner ou soustraire, il faut.. La somme ou la différence de deux radicaux semblables (c est-à-dire de même ) est.. 1) Si après simplification éventuelle, les radicaux ne sont pas semblables, on ne peut ni les additionner ni les soustraire. 2) a et b étant des nombres quelconques : a + b a + b et a - b a - b 1) 45 + 55 = 2) 37 + 57-47 =. 3) 18-50 =
9 4) -275 + 512 = 5) 4a + 9a 16a =. 6) a4b + 64a4b - a²100b =. 7) - ² =. 8) =. 3. Multiplication des radicaux 8. 18 = 3. 5 =.. Avant de multiplier, il faut.. La multiplication de deux radicaux a.. Simplifier, si possible, le nouveau radicand obtenu 3. 1. Puissance d un produit (25)² =.. (32)² =. 3. 2. Distributivité 23. (5 + 3)= (3 + 52). (2 + 73) = (3a²6b 3 + 57a). 4b2a²b² =. 3. 3. Produits remarquables (3 + 2)² =.. (25-3)² =. (7 + 2). (7-2) =. (4a2b 5 + 5b3b²)² =...
10 1) 5. (6 + 15) =.... 2) (37-28). 3 =. 3) 53. (227-320) =.. 4) (1-3). (5-33) =... 5) (23-5). (315-6) =.. 6) (26) 3 =. 7) (22)² =. 8) (5a²8a 3 b 5 )² =. 9) (x - 28x²y). (5 + 3yx 3 y) =. 4. Division des radicaux =.. = Avant de diviser, il faut.. Simplifier, si possible, le nouveau radicand obtenu 1) =. 2) =.. 3) =.. 4) =.. 5) ² = 6) =
11 5. Suppression des radicaux au dénominateur d une fraction 4.1. Le dénominateur est un monôme Avant de supprimer les radicaux au dénominateur, il faut... Si le dénominateur de la fraction est un monôme contenant une racine carrée, alors on multiplie les deux termes de la fraction par la racine carrée figurant au dénominateur Ne pas oublier de simplifier, si possible, la fraction obtenue. 1) 7 = 2) 7 5 = 3) 2 3 = 4) 5 10 =
12 4.2. Le dénominateur est un binôme Avant de supprimer les radicaux au dénominateur, il faut... Si le dénominateur de la fraction est un binôme contenant au moins une racine carrée, alors on multiplie les deux termes de la fraction par le binôme figurant au dénominateur Ne pas oublier de simplifier, si possible, la fraction obtenue. 1) 5 = 2) 3 3 2 = 3) 5 3 2 = 4) 2 2 = 5) 4 2 8 9 =