C 641 Actionneurs et régulateurs industriels Alessandro GIUA LSIS UMR-CNRS 6168 Cours 18h 3A - Génie Industriel et Informatique Polytech' Marseille 2015 1
Leçon 2 Stabilité des systèmes linéaires et temps-invariants 2
Sommaire 1. Introduction à la stabilité 2. Stabilité ELE «évolution libre qui s éteint» 3. Stabilité EBSB «entrée bornée sortie bornée» 4. Le critère de Routh pour la stabilité 5. Régime permanent et transitoire 3
Stabilité Tendance d un système perturbé à revenir à une condition d équilibre. stable instable indifferent On considère deux définitions de stabilité: S 1 : Stabilité ELE «évolution libre qui s éteint» S 2 : Stabilité EBSB «entrée bornée sortie bornée» On montre que S 1 S 2 4
Sommaire 1. Introduction à la stabilité 2. Stabilité ELE «évolution libre qui s éteint» 3. Stabilité EBSB «entrée bornée sortie bornée» 4. Le critère de Routh pour la stabilité 5. Régime permanent et transitoire 5
Stabilité ELE On considère: condition d équilibre l état du système a repos perturbation due aux conditions initiales Définition Stabilité ELE «évolution libre qui s éteint» Un système est stable ELE si pour toutes conditions initiales l évolution libre s éteint 6
Stabilité ELE et modes Evolution libre = combinaison linéaire des modes étudier les modes Les mode d un système dépendent des racines du polynôme caractéristique 7
Mode apériodique ordre 1 Racine réelle Mode Le mode s éteint mode stable Si mode au limite de stabilité Si mode unstable 8
Mode apériodique ordre k>1 Racine réelle Mode Le mode s éteint Si mode instable. mode stable 9
Modes pseudopériodique ordre 1 Racines complexes Mode Le mode s éteint mode stable Si mode au limite de stabilité Si mode unstable 10
Modes pseudopériodique ordre k>1 Racines complexes Mode Le mode s éteint Si mode instable. mode stable 11
Critère de stabilité ELE Théorème: Un système est stable ELE si et seulement si toutes les racines de son polynôme caractéristique P(s) de dégrée n ont partie réelle négative Preuve: les modes sont fonctions linéairement indépendant une combinaison linéaire de modes s éteint si et seulement si chaque mode s éteint. 12
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Stabilité EBSB On considère un système à repos perturbé par un signal d entrée Définition Stabilité EBSB («entrée bornée sortie bornée») Un système est stable EBSB si pour toutes entrées bornées l évolution forcée est bornée. u(t) bornée : y(t) borneé : En anglais on parle de BIBO stability Bounded input bounded output 14
Stabilité EBSB et modes (1) L évolution forcée est une combinaison linéaire des modes du système + modes de l entrée où les modes de l entrée sont bornées (par définition) Cas 1: si tous les modes du système sont stables (racines à partie réelle ) ils sont bornés évolution forcée bornée Cas 2: s il y-a un mode du système instable (racine à partie réelle ) le mode est non-borné évolution forcée non-bornée 15
Stabilité EBSB et modes (2) Cas 3: s il y-a un mode du système au limite de stabilité (racine a partie réelle ) le mode est borné mais le même mode en entrée cause dans l évolution forcée un mode d ordre k>1 non-bornée Exemple : FdT racine mode entrée mode non-bornée 16
Critère de stabilité EBSB Théorème: Un système est stable EBSB si et seulement si tous les pôles de sa FdT (c.a.d., les racines de son polynôme caractéristique P(s) de dégrée n) ont partie réelle négative Corollaire: Un système est stable EBSB si et seulement si il est stable ELE 17
Sommaire 1. Introduction à la stabilité 2. Stabilité ELE «évolution libre qui s éteint» 3. Stabilité EBSB «entrée bornée sortie bornée» 4. Le critère de Routh pour la stabilité 5. Régime permanent et transitoire 18
Stabilité et racines d un polynôme Les critères précédents ramènent l étude de la stabilité d un système à déterminer si le racines d un polynôme P(s) de dégrée n ont toutes partie réelle négative Le critère de Routh permet de déterminer pour un polynôme donné n - : nombre de racines à partie réelle négative n 0 : nombre de racines à partie réelle nulle n + : nombre de racines à partie réelle positive en fonction de ses coefficients et sans avoir à calculer le racines Hyp: Si racines de P(s) = racines de Q(s) + k racines nulles 19
Résultats elementaires Théorème 1 (critère de Descartes): Un polynôme de dégrée 2 a toutes racines à partie réelle négative si et seulement si tous coefficients ont le même signe: NB: Condition nécessaire et suffisante pour la stabilité Théorème 2 : Si un polynôme de dégrée n quelconque a toutes racines à partie réelle négative alors tous ses coefficients ont le même signe NB: Condition nécessaire mais non suffisante pour la stabilité 20
Exemples Polynôme : Toutes racines à p.r. négative donc système stable (Th. 1) Racines : Polynôme : Racines à p.r. NON négative donc système instable (Th. 2) Racines : Polynôme : On peut rien dire (Th. 2) Racines : 21
Tableau de Routh Tableau construit pour un polynôme 22
Critère de Routh Théorème: Si on peut construire pour le polynôme P(s) le tableau de Routh (tous coefficients dans la première colonne non nuls) on détermine : N p : nombre de permanences de signe dans la première colonne N c : nombre de changements de signe dans la première colonne On a : nombre de racines à partie réelle négative de P(s) : nombre de racines à partie réelle nulle de P(s) : nombre de racines à partie réelle positive de P(s) : Corollaire: le système est stable si et seulement si tous coefficients dans la première colonne ont le même signe 23
Exemple Polynôme Tableau de Routh p p c c Nombre de racines dans Nombre de racines dans Le système est instable Racines : 24
Remarques On appelle les coefficients dans la première colonne pivots Dans la construction du tableau on peut multiplier tous éléments dans la même ligne par un réel positive quelconque sans modifier les résultat (utile pour simplifier les calculs) Le tableau de Routh peut être utilisé avec de coefficients inconnus (avantage par rapport au méthodes numériques) Si on peut pas construire le tableau on peut conclure que le système n est pas stable. Cette condition se vérifie dans deux cas: Cas 1: un pivot est nul mais la ligne n est pas nulle Cas 2: toute une ligne est nulle 25
Cas 1: pivot nulle Si dans la construction du tableau l un des pivot est nul (mais la ligne n est pas nulle), il existe au moins une racine a partie réelle positive. On peut compléter le tableau en remplaçant le pivot nul par un reel e arbitrairement petit de signe quelconque et déterminer le changements de signe dans la première colonne. On a toujours : 26
Exemple Polynôme Tableau de Routh p p c c Nombre de racines dans Racines : Le système est instable 27
Cas 2: ligne nulle (1) Si dans la construction du tableau pour un polynôme P(s) de dégrée n l un des ligne est nulle, le polynôme a au moins une racine a partie réelle positive ou une paire des racines imaginaires. La ligne qui précède la ligne nulle a index 2m (toujours paire) avec coefficients Soit Q(s) le polynôme en la variable s 2 construit avec ces coefficients On a R(s) est un polynôme de dégrée n-2m : le nombre de ses racines à partie réelle positive r + e négative r - peut être déterminé par analyse de la première partie du tableau (jusqu à la ligne nulle) par le critère standard 28
Cas 2: ligne nulle (2) R(s) est un polynôme de dégrée n-2m : le nombre de ses racines à partie réelle positive r + e négative r - peut être déterminé par analyse de la première partie du tableau (jusqu à la ligne 2m) par le critère standard On complète le tableau remplaçant la ligne nulle par le coefficient du polynôme obtenu en dérivant Q(s) : Q(s) est un polynôme de dégrée 2m : le nombre de ses racines à partie réelle positive q +, négative q - et nulle q 0 peut être déterminé par analyse de la deuxieme partie du tableau (à partir de la ligne 2m) par le critère suivant: Le nombre de racines à partie réelle positive, négative et nulle de P(s) est: 29
Exemple Polynôme Tableau de Routh p p p p p trois racines a partie réelle négative deux racines imaginaires Racines : P(s) a trois racines a partie réelle négative et deux imaginaires 30
Exemple parametrique Polynôme Si n_ = 2, n 0 = 1 Si le tableau de Routh est 31
Sommaire 1. Introduction à la stabilité 2. Stabilité ELE «évolution libre qui s éteint» 3. Stabilité EBSB «entrée bornée sortie bornée» 4. Le critère de Routh pour la stabilité 5. Régime permanent et transitoire 32
Réponse d un système stable La réponse totale d un système linéaire et temps-invariant peut s écrire évol. libre évol. forcée où sont combinaisons linéaires des modes du système contient les modes de l entrée Si le système est stable ses modes s éteignent, c.a.d., après un période d amortissement qu on appelle régime transitoire et le système atteint un régime permanent où On appelle partie transitoire de la réponse partie de régime de la réponse 33
Exemple Modelé IU condition initiale y(0)=2 Entrée 8 7 FdT (pôle p=-2) 6 5 4 3 Evol. libre 2 1 Y f (s) 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 t Evol. Forcée Evol. totale 34
Réponse à l échelon (1) Théorème: La réponse en régime permanent d un système avec FdT W(s) à l échelon est: Preuve: associé aux modes du système où et 35
Réponse à l échelon (2), 0 0 t t Système du premier ordre Système du deuxième ordre avec 2 pôles complexes conjugués 36
Réponse à une entrée sinusoïdale (1) Théorème: La réponse en régime permanent d un système avec FdT W(s) à l entrée sinusoïdale est: Preuve: associé au modes du système où On peut écrire le nombre complexe et 37
Réponse à une entrée sinusoïdale (2) 38