Analyse Mathématique pour l Ingénieur Exercices

Conservatoire National des Arts et Métiers Département de Mathématiques Analyse Mathématique pour l Ingénieur Exercices 009-06 Cours Suites et séries de nombres réels Exercice A propos d une antique légende indienne Calculer une valeur approchée de + + 4 + 8 + + 64 Exercice Un exemple important Pour n entier naturel, on pose u n = n (n+) et on introduit la série S n associée : S n = n k= u k Calculer le n ième terme de la série S n En déduire que S n tend vers si n tend vers + Exercice Suite récurrente On se donne un nombre réel x 0 et un nombre réel α La suite récurrente x n est définie par la donnée de x 0 et par la relation x n+ = + α x n si n est un entier naturel Quel est le comportement de la suite x n si n tend vers +? Exercice Notion de suite de Cauchy Une suite de Cauchy de rationnels est une suite x n pour n IN dont les termes se rapprochent de plus en plus au fur et à mesure que l indice tend vers l infini : ɛ > 0, N 0 IN, p, q IN, (p N 0, q N 0 ) = ( x p x q ɛ) Démontrer qu une suite convergente dans l ensemble des rationnels est de Cauchy La réciproque est fausse On pourra prendre par exemple la suite définie par la série des inverses des factorielles : x n = n k=0 k! Edition 3 janvier 06 François Dubois, Professeur des Universités

CNAM Paris Analyse Mathématique pour l Ingénieur Exercice Encore une suite récurrente! On se donne x = et la relation de récurrence x n+ = x n + Montrer que x n n+ < x n + pour n entier En déduire que la suite x n+ n converge vers une limite l que l on précisera Exercice Suite contractante On se donne un réel k tel que 0 k < et une suite x n de nombres réels telle que x n+ x n k x n x n pour n entier Montrer que la suite x n converge (on pourra utiliser le critère de Cauchy) Exercice Elle converge ou elle diverge? On se donne deux nombres réels strictement positifs q et α et on pose u n = qn n Etudier le comportement de la série S α n associée, c est à dire de S n = n k= u k On s intéressera à la convergence ou à la divergence de cette série, dans les cas où il est possible de conclure avec les arguments vus en cours Exercice Une dernière série Montrer que la série de terme général u k = ( )k (k+) est convergente Justifier avec soin votre réponse On se donne x IR Reprendre la question précédente avec v k = sin(k x) (k+) Exercice Borne inférieure Soient (a n ) n IN et (b n ) n IN deux suites bornées de nombres réels Démontrer, en justifiant soigneusement les diverses étapes du raisonnement, que l on a l inégalité inf n (a n + b n ) ( inf n a n ) + ( infn b n ) Cours Fonctions d une variable réelle Exercice Développement de Taylor Quelle est la limite pour x 0 de l expression sin x x 3 x? Exercice Intégration par parties pour le calcul d une intégrale Calculer I = π t sin t dt 0 Exercice Un changement de variable Calculer J = π 0 cos4 t sin 3 t dt Exercice Erreur d interpolation On se donne deux réels a et b tels que a < b Si ϕ est une fonction continue sur l intervalle [a, b], on pose ϕ = sup x [a, b] ϕ(x) (i) On étudie la cas particulier où a = 0 et b = On se donne une fonction f de classe C sur l intervalle [0, ], ce qui signifie que la fonction f est deux fois dérivable sur cet intervalle et que la dérivée f est continue sur [0, ] Pour

François Dubois une telle fonction, on construit sans difficulté l interpolé affine Πf de f exact aux points 0 et : Πf est l unique fonction affine sur [0, ] de sorte que (Πf)(0) = f(0) et (Πf)() = f() Démontrer que pour x [0, ] arbitraire, on a l inégalité f(x) (Πf)(x) 8 f ; en déduire l erreur d interpolation f Πf 8 f (ii) On revient au cas général a < b, on pose h = b a et on se donne une fonction g de classe C sur l intervalle [a, b] On introduit de façon analogue à la question précédente son interpolé affine Πg tel que (Πg)(a) = g(a) et (Πg)(b) = g(b) Montrer qu on a l estimation g Πg 8 h g ; l interpolation affine est d ordre deux pour une fonction assez régulière Cours 3 Introduction à la topologie générale Exercice Distance SNCF Pour x et y dans le plan IR, on pose d(x, y) = x y si x et y appartiennent à la même demi-droite issue de l origine et d(x, y) = x + y dans les autres cas (i) Montrer que pour tout x et tout y du plan, on a d(x, y) 0, d(y, x) = d(x, y) et d(x, y) = 0, implique x = y (ii) Démontrer l inégalité triangulaire, pour tous les x, y, z du plan : d(x, y) d(x, z) + d(z, y) En déduire que la distance SNCF satisfait effectivement les axiomes d une distance Exercice Inégalité de Minkowski pour la norme l p dans IR n On se donne p réel supérieur ou égal à Pour x = (x, x, x n ) appartenant à R n, on pose x p = ( p j= x j ) p /p On cherche à démontrer l inégalité triangulaire pour cette norme, c est à dire x + y p x p + y p pour tout x et tout y IR n (i) Montrer cette inégalité dans le cas p = (ii) Si p >, ce que l on suppose dans toute la suite, on introduit l exposant conjugué q de sorte que p + q = A partir de la concavité de la fonction logarithme, montrer que si α et β sont des réels stritement positifs, on a α β p αp + q βq (iii) On se donne deux familles de réels positifs α j et β j de sorte que p j= αp j = et p j= βp j = Montrer que l on a l inégalité de Hölder p j= α j β j α p β q dans ce cas (iv) Démontrer l inégalité de Hölder dans le cal général de deux vecteurs α et β de IR n (v) En déduire l inégalité de Minkowski pour deux vecteurs x et y de IR n 3

CNAM Paris Analyse Mathématique pour l Ingénieur Exercice Ouvert ou fermé? Soit f l application de IR dans IR définie par f(x, y) = x + y Démontrer que f est continue en tout point (x, y) de IR [On pourra éventuellement démontrer qu elle est différentiable en tout point et expliciter la différentielle df(x, y)] Les ensembles suivants A = {(x, y) IR, x + y = }, B = {(x, y) IR, x + y }, C = {(x, y) IR, x + y < }, D = {(x, y) IR, x + y > } sont-ils ouverts? Sont-ils fermés? Justifier avec précision votre réponse Cours 4 Compacité Exercice Parallélogramme On désigne par K le carré unité de IR : K = [0, ] [0, ] L ensemble K est un compact de IR Pourquoi? On se donne deux vecteurs u et v de IR et on pose P = {x u + y v, 0 x, 0 y } Montrer en le justifiant que P est un compact de IR Exercice Fermé dans un compact Soit F un fermé non vide inclus dans un compact K de l espace métrique E Montrer que F est compact, c est à dire que toute suite de F admet au moins une valeur d adhérence dans F Exercice Espace vectoriel de dimension finie Soit E un espace vextoriel normé de dimension finie n sur IR Soit D {x E, x } Montrer que D est compacte En déduire que toute application linéaire de E dans un espace normé F est continue Exercice Sous-espace de dimension finie Soit F de dimension finie dans un espace vectoriel normé E sur IR dont on ne précise pas la dimension Montrer que F est fermé dans E On montrera que toute suite de F qui converge dans E a une limite qui appartient à F Exercice Théorème de Riesz Soit E un espace vectoriel normé sur IR Soit B la boule unité fermée définie par B {x E, x } Démontrer que si B est compacte, alors l espace E est de dimension finie 4

François Dubois Cours 5 Théorème du point fixe et applications Exercice Normes matricielles Pour tout l exercice, on se fixe une norme sur IR n qui est notée Soit A une application linéaire de IR n à valeurs dans IR n (A L(IR n )), qu on peut donc identifier à une matrice A si on munit l espace IR n de sa base canonique pour fixer les idées Pour un tel opérateur, on pose A = sup { Aξ, ξ } (i) Monter que le nombre A est bien défini par la relation proposée juste au dessus (ii) Montrer que A est bien une norme sur l espace vectoriel L(IR n ) : c est une grandeur toujours positive ou nulle ; si elle est nulle, alors A est nul et enfin on a l inégalité triangulaire A + B A + B (iii) Montrer de plus qu on a compatibilité de cette norme avec la multiplication dans l algèble L(IR n ) : AB A AB Exercice Formule de Duhamel Cet exercice fait suite du précédent Pour une matrice A réelle à n lignes et n colonnes (A L(IR n )) et un nombre réel θ arbitraire, montrer que la θ série de terme général n! An est normalemant convergente, ce qui signifie que θ la série (à termes positifs!) des normes n! An est convergente On note exp(θ A) sa somme, qui est une matrice à n lignes et n colonnes Si ϕ est un vecteur arbitraire (mais fixé) de IR n, monter que le vecteur y(t) fonction du temps défini par y(t) = exp(t A) ϕ est en fait une fonction dérivable et calculer la dérivée dy dt En déduire une expression de la solution de l équation différentielle du () dt + A u = 0, munie de la condition initiale u(0) = ϕ Sans changer la condition initiale, on se donne un vecteur f(t) de IR n et on remplace l équation du d évolution () par la dynamique () dt + A u = f(t) Montrer qu alors le vecteur solution u(t) est donné par la relation u(t) = exp( t A) ϕ + t exp( (t s) A) f(s) ds Cette dernière relation est 0 connue sous le nom de formule de Duhamel Cours 6 Introduction au calcul différentiel Exercice Une fonction quadratique définie de IR n dans IR On se donne un entier n, un vecteur b de IR n et une matrice réelle carrée A d ordre n On rappelle que le produit scalaire (x, y) de deux vecteurs de IR n s écrit (x, y) = n j= x j y j en fonction des composantes x j et y j des vecteurs x et y Pour x dans IR n, on pose J(x) = (x, Ax) (b, x) Montrer que la fonction J est dérivable sur IR n et si h désigne un vecteur test de IR n, calculer le nombre 5

CNAM Paris Analyse Mathématique pour l Ingénieur dérivé dj(x) h au point x et dans la direction h, En déduire l expression de la dérivée partielle J x j Exercice Laplacien en coordonnées cylindriques Un point du plan (x, y) distinct de l origine peut être paramétré par des coordonées cylindriques (r, θ) de sorte que x = r cos θ et y = r sin θ Soit u une fonction deux fois différentiable de (x, y) à valeurs réelles, c est à dire u(x, y) IR On introduit d une part le laplacien de u : u = u x et d autre part la fonction v des variables r et θ de sorte que v(r, θ) = u(x, y) Calculer u en fonction des dérivées partielles de la fonction v + u y Exercice Noyau de l équation de la chaleur On se donne σ > 0 x (i) Pour x IR et t > 0 on pose ϕ(x, t) = 4 π σ exp( t 4 σ t ) Vérifier que la fonction ϕ est solution de l équation de la chaleur à une dimension spatiale : ϕ t σ ϕ x = 0 pour x IR et t > 0 (ii) On se donne maintenant un entier n m et si x IR m, on pose x = j= x j Si ψ est une fonction deux fois dérivable sur IR m, on rappelle que le laplacien ψ de cette fonction est défini par ψ = n ψ j= Pour t > 0 on pose ψ(x, t) = ( x 4 π σ j t ) m exp( x 4 σ t ) Montrer qu alors la fonction ψ est solution de l équation de la chaleur dans IR m : ψ t σ ψ = 0 pour x IR m et t > 0 Cours 7 Théorème d inversion locale et des fonctions implicites Exercice Perturbation de l identité Soit f une fonction de IR dans IR continuement dérivable de sorte qu il existe k tel que 0 < k < et pour tout x dabs IR, f (x) Montrer que l application F de IR dans IR définie par F (x, y) = (x+f(y), y+f(x) est un difféomorphisme de classe C de IR : la fonction F est bijective de IR sur IR et son application réciproque F est également continuement dérivable Exercice Système non linéaire d équations Montrer que le système d équations x + y + z + t = 0, x + y + z + t =, et x 3 + y 3 + z 3 + t = 0 a une unique solution de la forme (x, y, z) = f(t) proche de (0,, ) pour t assez petit Que vaut f (0)? Exercice Construction d un point d une courbe algébrique Soit D l ensemble des points (x, y) de IR de sorte que x 4 5 x 3 y + 6 y 3 + 8 = 0 Montrer que il existe deux intervalles ouverts I et J de sorte que I 6

François Dubois et J et une fonction assez régulièle ϕ de I dans J de sorte que la condition (x, y) D (I J) équivaut à y = ϕ(x) Calculer ϕ () Exercice Racine carrée matricielle Soit E = M n (IR) l espace des matrices carrées réelles de dimension n, I la atrice identité et ϕ l application de E dans E telle que ϕ(a) = A Démontrer qu il existe α > 0 tel que si A I < α, la matrice A admet une unique racine carrée au voisinage de l identité Cours 8 Introduction à l optimisation Exercice Très classique On se donne un entier n, une matrice A symétrique réelle à n lignes et n colonnes et b un vecteur de IR n On note (x, y) n j= x j y j le produit scalaire de deux vecteurs de IR n On pose J(x) = (A x, x) (b, x) C est une fonction de IR n dans IR Montrer que la fonction J est différentiable en tout point x de IR n et calculer l action dj(x) h de la différentielle dj(x) sur un vecteur h IR n arbitraire Comment s exprime la condition dj(x) = 0? Exercice Surface maximale On se donne L strictement positif et on cherche une fonction y = f(x) pour 0 x a de sorte que la longueur de la courbe soit égale é L et telle que la surface sous la courbe y = f(x) est maximale Déterminer une telle courbe Exercice Multiplicateur On cherche à minimiser la fonction différentiable J de IR n dans IR sous la contrainte g(x) = ξ, où g est une fonction différentiable de IR n dans IR p On note f(ξ) la valeur minimale de J solution du problème précédent et λ la valeur du multiplicateur de Lagrange associé au point de minimum Montrer que la fonction f est différentiable par rapport à ξ et que sa différentielle est égale (au signe près éventuellement!) au multiplicateur de Lagrange Cours 0 Convergence dominée Exercice La bosse glissante Etudier la convergence de la suite de fonctions f n (x) = +(x n) si l entier n tend vers + Peut-elle avoir une limite dans L (IR)? Exercice Fourier avant l heure Pour f fonction dans L (IR), on pose g(ω) = + f(t) exp( i t ω) dt 7

CNAM Paris Analyse Mathématique pour l Ingénieur (i) Montrer que g appartent à L (IR) et qu on a g f Montrer que la fonction g est une fonction continue de la variable ω (ii) Dans le cas ù f(t) = (+t), montrer que la fonction g est dérivable et calculer g (ω) à l aide d une intégrale Peut-on dériver la fonction g une seconde fois dans ce cas? Cours Théorèmes de Tonelli et de Fubini Exercice Calcul d une intégrale double On introduit le triangle T du plan défini par les inégalités x, y, x + y Montrer que dx dy T (x+y) = 4 48 Exercice Intégrale de Gauss : e x dx = π Exercice Ne pas oublier ce que l on sait déjà! Pour x IR on pose f(x) = sin x x Montrer que l intégrale f(x) dx 0 est infinie La fonction f est-elle intégrable au sens de Lebesgue sur l intervalle ]0, + [? Comment peut-on définir l intégrale sin x 0 x dx? Exercice L exponontielle est un morphisme On rappelle que la fonction exponentielle e x est définie par la série k IN xk k! ; montrer que l on a e x+y = e x e y Cours Compléments de calcul intégral Exercice Calcul et dérivation d un produit de convolution On désigne par f la fonction caractéristique de l intervalle ]0, [ : f(x) = si le réel x appartient à cet intervalle, et f(x) = 0 sinon Calculer g = f f puis p = f g = f f f Vérifier que g est une fonction continue sur IR et que la fonction p est continuement dérivable sur IR Vérifier que p (x) = (f g )(x) Exercice Formule d intégration par parties dans un triangle Soit K le triangle unité défini par K = {(x, y) IR, x 0, y 0, x + y } Montrer que la formule d intégration par parties : u K x dx dy = K u n x dγ Comment généraliser ce résultat à un triangle quelconque? Exercice Une fonction définie de IR n dans IR On se donne un entier n, un vecteur b de IR n et une matrice réelle carrée A d ordre n On rappelle que le produit scalaire (x, y) de deux vecteurs de IR n s écrit (x, y) = n j= x j y j en fonction des composantes x j et y j des vecteurs x et 8

François Dubois ) 3 y Pour x dans IR n, on pose J(x) = 8( (x, Ax) Montrer que la fonction J est dérivable sur IR n et calculer l expression de la dérivée partielle J x j Exercice Introduction aux problèmes elliptiques On désigne par Ω un ouvert borné de IR, IR ou de IR 3 On note Ω sa frontière qu on suppose régulière et Ω son adhérence composée de la réunion de l ouvert Ω et de la frontière Ω Soit f une fonction donnée de Ω à valeurs réelles On s intéresse au problème suivant : chercher une fonction u de Ω à valeurs dans IR de sorte que () u = f dans Ω et () u = 0 sur Ω Le problème ()() s appelle le problème de Dirichlet homogène pour le laplacien (i) Si v et w sont deux fonctions régulières de l ouvert Ω à valeurs dans IR et n la normale extérieure à Ω, on rappelle que v n v n j v x j n j Montrer que Ω v w dx = Ω v w dx v Ω n w dγ (ii) Soient u et v deux fonctions solutions du problème ()() Quel système d équations vérifie la différence ϕ u v? En déduire que pour toute fonction w nulle sur le bord de Ω, on a ϕ w dx = 0 En déduire que la fonction ϕ est Ω identiquement nulle et que le problème de Dirichlet ()() a au plus une solution régulière (iii) On se propose de déterminer explicitement la solution du problème ()() dans le cas d une seule dimension spatiale On pose Ω =]0, [ pour fixer les idées On définit la fonction G(x, ξ) par les relations G(x, ξ) = ξ ( x) si ξ x et G(x, ξ) = ( ξ) x si ξ x Montrer que la fonction u définie pour 0 x par u(x) = G(x, ξ) f(ξ) dξ est une solution du problème ()() 0 Exercice Calcul différentiel dans des espaces de fonctions On se donne un domaine Ω de IR n, u une fonction définie sur Ω et à valeurs réelles Dans quel espace de fonctions classique la fontionnelle N(u) = Ω u dx est elle définie? Montrer qu elle est différentiable et calculer son action dn(u) v sur une fonction test v Reprendre toute la question en remplaçant la fonctionnelle N par ψ(u) = [ Ω u dx] 3 Même question avec ζ(u) = Ω u 3 dx Exercice A propos d espaces de fonctions classiques Soit p un réel supérieur ou égal à un, ou bien p = + Démontrer que L p (0, ) est inclus dans L (0, ) On se donne maintenant un ouvert arbitraire Ω de IR n Si q désigne l exposant conjugué de p, c est à dire q est réel ou égal à + de sorte que p + q =, montrer que Lq (Ω) (L p (Ω)) où (L p (Ω)) désigne le dual de (L p (Ω)), c est à dire l espace des formes linéaires continues sur (L p (Ω)) 9

CNAM Paris Analyse Mathématique pour l Ingénieur Cours 3 Espaces de Hilbert pour les séries de Fourier Exercice Dent de scie On se donne un réel positif T Soit u la fonction périodique de période T définie sur l intervalle ]0, T [ par la relation u(t) = t T Montrer qu on peut développer u en série de Fourier faisant intervenir essentiellement la fonction sinus Que peut-on dire de la convergence ponctuelle de la série de Fourier ainsi obtenue? En utilisant l égalité de Parseval, établir la somme classique k k = π 6 Exercice Transformée de Fourier de la corde pincée Soit β un réel non nul Montrer qu on a () 0 θ exp(i β θ) dθ = [ β (cos β ) + β sin β] + i [ β sin β β cos β] On se donne α de sorte que 0 < α < On définit la corde pincée comme la fonction c périodique de période, continue sur IR, affine sur les intervalles [0, α] et [α, ] de sorte que c(0) = c() = 0 et c(α) = Après avoir vérifié que c(θ) = min( θ α, θ ), déduire de la relation () que le développement en série de () c(θ) = α Fourier de la corde pincée est donné par la relation + α ( α) π k k [( cos(kπα) ) cos(kπθ) + sin(kπα) sin(kπθ) ] Exercice Equation de la chaleur sur un intervalle On cherche à résoudre l équation de la chaleur u t κ u x = 0 pour x [0, L] et t 0 On se donne des conditions aux limites de Dirichlet homogènes sur les bords de l intervalle : u(0, t) = u(l, t) = 0 ainsi qu une condition initiale u(x, 0) = u 0 (x) où u 0 est une fonction donnée qui satisfait aux conditions limites : u 0 (0) = u 0 (L) = 0 Chercher la fonction inconnue u sous la forme d une série de Fourier relative à x avec des coefficients qui dépendent du temps On pourra étendre u en une fonction impaire et chercher u périodique de période L Montrer que les coefficients de Fourier sont alors solutions d équations différentielles très simples qu on intègrera sans difficulté Montrer que les conditions initiales s obtiennent naturellement à partir des coefficients de Fourier correspondants de la condition initiale u 0 Cours 4 Transformation de Fourier Exercice Convolution de la porte et transformation de Fourier Soit T un réel strictement positif et P T la fonction porte définie par P T (t) = pour T < t < T et P T (t) = 0 sinon Montrer que le produit 0

François Dubois de convolution P T P T est une fonction ϕ T définie par ϕ T (t) = t + T pour T t 0, ϕ T (t) = T t pour 0 t T et ϕ T (t) = 0 sinon En déduire la transformée de Fourier de la fonction ϕ T Exercice Transformation de Fourier de la Gaussienne On admet que exp( t /) dt = π En déduire la transformée de Fourier f(ω) exp( i ω t) f(t) dt de la Gaussienne f(t) exp( t /) Exercice Transformation de Fourier du sinus cardinal Pour t réel, on définit le sinus cardinal sinc(t) par la relation sinc(t) = sin t t A l aide de la transformée de Fourier d une porte bien choisie et de la formule d inversion de Fourier, calculer la transformée de Fourier du sinus cardinal Exercice Autour de la transformée de Fourier d une loi de Cauchy Pour t réel, une loi de Cauchy est une fonction de la forme f(t) = +t A l aide de la transformée de Fourier de la fonction exp( a t ) et de la formule d inversion de Fourier, calculer la transformée de Fourier f(ω) En déduire la t transformée de Fourier des fonctions g(t) = 0+6 t+t, h(t) = (+t ) et k(t) = t +t Exercice Quelques intégrales A partir des résultats de l exercice numéro, expliciter la transformée de Fourier du carré du sinus cardinal, c est à dire de la fonction f définie par f(t) = sin t t En déduire la valeur de l intégrale sin t t dt Même question pour l intégrale sin 4 t t dt Préciser, selon les valeurs du paramètre ω IR, les valeurs 4 prises par l intégrale sin t t cos(ω t) dt Cours 5 Révisions et compléments Exercice Une inégalité avec les bornes inférieures Soit A et B deux parties non vides de IR minorées : α IR, x A, α x et une proprié analogue pour la partie B On sait alors que A possède une borne inférieure infa qui est un nombre réel défini comme le plus grand des minorants de A D une part, infa est un minorant de A et l on a inf A x, x A D autre part, infa est le plus grand minorant, ce qui implique que tout minorant de A est inférieur ou égal à infa : si α est un nombre réel tel que α x pour tout x A alors α inf A On a une construction analogue pour infb (i) Démonter que la partie A+B de IR définie par A+B = {x+y, x A, y B} est minorée

CNAM Paris Analyse Mathématique pour l Ingénieur (ii) Etablir l inégalité infa + infb inf(a + B) Exercice Une série géométrique à valeurs complexes Soit N en entier supérieur ou égal à et θ un nombre réel On pose S N (θ) = k=+n k= N exp(ikθ) (i) Montrer que S N (θ) est un nombre réel En donner une expression en fonction des cos lθ avec l entier positif inférieur ou égal à N Que vaut S N (0)? Que vaut S N (lπ) pour l entier positif ou négatif? (ii) Si θ est différent de lπ avec l entier positif ou négatif, montrer que sin( θ ) est non nul (iii) Démontrer que si θ lπ avec l ZZ, alors S N (θ) = sin (N+ )θ sin( θ ) Exercice Convergence de la série de terme général /(n n) On se propose dans cet exercice de démontrer (sans faire appel au critère de comparaison avec une intégrale) que la série de terme général u n = n n est convergente Pour cela, on procède en quatre temps (i) Pour n entier, on pose v n = n n Montrer que v n 0, que la série de terme général v n converge et calculer le nombre k= v k (ii) Montrer que v n = n n ( n + n) (iii) Montrer que si n on a l inégalité n n ( n + n) En déduire que n n n n ( n + n) (iv) Montrer à l aide d un critère de comparaison entre deux séries positives que la série de terme général u n est convergente Exercice Convergence en moyenne de Cesaro On se donne une suite x n de nombres réels telle que x n converge vers le réel l si l entier n tend vers l infini Pour n entier on introduit la moyenne des n premiers termes de la suite x n : y n = n n k= x k Démontrer que la suite y n converge vers l si n tend vers l infini Exercice Utilisation du théorème de la moyenne Calculer la limite pour x de l intégrale K(x) = x x désigne le logarithme naturel dt log t, où log Exercice ( Point de ) minimum( pour ) une fonction quadratique 5 Soit A = et b = On note (, ) le produit scalaire usuel dans IR Pour x IR, on pose J(x) = (x, Ax) (b, x) (i) Pour h IR, calculer dj(x) h (ii) Si il existe x tel que pour tout x IR, J(x) J(x ), quelle équation doit satisfaire le point x?

François Dubois (iii) Résoudre cette équation et démontrer que la fonction J est effectivement minimale au point x : J(x) J(x ) pour tout point x de IR Exercice Lemme de Gronwall On se donne un réel α 0, une fonction v(x) continue positive (v(x) 0) définie pour x 0 On dispose aussi d une seconde fonction u définie dans les mêmes conditions de sorte que u(x) α + x 0 qu alors on a l inégalité u(x) α exp( x 0 u(t) v(t) dt pour x 0 Démontrer v(t) dt) valable pour tout x 0 Exercice Un contre-exemple classique en thermodynamique On se donne une fonction f assez régulière définie sur une partie de IR 3 et la surface d équation f(x, y, z) = 0 On suppose qu on peut alors résoudre cette équation et toujours définir l une des coordonnées en fonction des deux autres ; il existe des fonctions X(y, z), Y (z, x) et Z(x, y) de sorte que si le point (x, y, z) de IR 3 vérifie f(x, y, z) = 0, on a x = X(y, z), y = Y (z, x) et z = Z(x, y) Montrer qu on a l dentité suivante entre dérivées partielles : X y Y z Z x = Exercice Quelle bonne formule pour la série de Fourier? Si on se donne une fonction f continue sur l intervalle ]0, T [ et telle que f(0) = f(t ) = 0 pour fixer les idées, on peut construire plusieurs développements de cette fonction en séries de Fourier Certains avec uniquement la fonction cosinus, certains uniquement avec la fonction sinus Expliquer pourquoi et proposer des développements de Fourier de cette forme Exercice Savoir dériver, et savoir s arrêter! Pour θ nombre réel arbitraire, on pose f(θ) = k= k sin kθ (i) Pourquoi la relation précédente définit-elle bien un nombre 5 réel? (ii) A l aide du théorème de convergence dominée, montrer que la fonction f est une fonction continue de la variable θ (iii) Montrer que f est dérivable et préciser l expression de df dθ à l aide d une série (iv) Même question pour f et f (v) Le théorème de convergence dominée permet-il de définir simplement f (4) (θ), dérivée quatrième de la fonction f? Exercice Dériver par rapport à une matrice On se donne un entier n et on désigne par GL n (IR) l ensemble des matrices inversibles à n lignes et n colonnes Si X GL n (IR), la matrice Φ(X) = X existe et on définit ainsi une fonction Φ de GL n (IR) à valeurs dans l ensemble M n (IR) des matrices carrées à n lignes et n colonnes On désigne par I la matrice identité de M n (IR) (i) Si H désigne une matrice assez petite, montrer, en utilisant le développement en série absolument convergent de (I + H), que la matrice I + H est encore 3

CNAM Paris Analyse Mathématique pour l Ingénieur inversible On pourra utiliser la propriété classique que pour deux matrices A et B de M n (IR), on a l inégalité suivante sur les normes : A B A B (ii) En utilisant à nouveau le développement en série suggéré à la question précédente, montrer que la fonction Φ est dérivable au point I (matrice identité) et que l on a : dφ(i) H = H (iii) Si X désigne une matrice inversible arbitraire de GL n (IR), montrer à l aide des deux questions précédentes que la fonction inverse Φ est dérivable au point X et que l on a : dφ(x) H = X H X (iv) Appliquer le résultat précédent si n = Que constatez-vous? François Dubois, janvier 04, édition janvier 06 4