Thème : Calculs d aires et de longueurs Introduction : L exercice proposé porte sur le thème du calcul d aires et de longueurs. Situer le thème dans le programme : - En 6 : o Mesure de longueur avec une règle graduée, report de longueur avec le compas et calcul de longueur milieu o Calcul de d aire d une surface à partir d un pavage simple, comparaison d aire (par découpage et recollement) o Calcul d aire d un carré, rectangle, triangle rectangle et triangle quelconque (hauteur à l intérieur du triangle) où à chaque fois on connait les mesures des côtés et aire d un disque - En 5 : o Calcul d aire d un parallélogramme, triangle quelconque. o Calcul de d aire en décomposant en plusieurs figures simples - En 4 : o Calcul de longueur dans un triangle rectangle théorème de Pythagore, calcul de longueur avec des parallèles théorème de Thalès, calcul de longueurs avec un agrandissement ou réduction coefficient d agrandissement ou de réduction o Exercice calcul d aire où les longueurs des côtés sont à déterminer. - En 3 : o Calcul de longueur avec des parallèle (configuration du papillon) théorème de Thalès, calcul de longueur dans un triangle rectangle cosinus, sinus, tangente o Calcul d aire d une figure agrandie ou réduite - Au lycée : o Calcul d aire et de longueur dans les exercices avec des fonctions o Terminal : calcul d aire sous la courbe Intégrale
Exercice : Exercice niveau 3, portant sur le calcul de longueurs et d aires. Utilisation du théorème de Thalès et de la réciproque du théorème de Thalès, ainsi que des propriétés de l agrandissement/réduction. Question qui peut solliciter l utilisation des TICE Particularité : donne une figure sans expliquer sa construction. Questions : 1) Les acquis du premier élève : Domaine géométrie - Propriété : Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles implicite - Théorème de Thalès donne pas toutes les hypothèses - Utilise propriétés de la symétrie implicite - Calcul d aire d un triangle rectangle Domaine algébrique - Produit en croix isole un terme - Calcule une expression avec des fractions et la simplifier - Met en équation le problème posé - Résoudre une équation à une inconnue isole l inconnue - Résout des équations de la forme x² = a utilisation de la racine mais oublie le négatif (connaissance longueur positive?) 2) Propriété de l élève 2 : - La symétrie conserve les longueurs conserve les aires Aire IKA = Aire JKA car I symétrique I par rapport à J - Dans un agrandissement ou une réduction de rapport k, l aire d une surface est multipliée par k² Calcul correcte, attention où on prend l origine.
3) Correction : (DC) (AD) et (JK) (DA) alors (DC) // (JK) - Dans le triangle ACD, on a (DC) // (JK) et J [AD] et K [AC] D après le théorème de Thalès, on a = = (1) (BC) (AB) et (IK) (BA) alors (BC) // (IK) - Dans le triangle ACB, on a (BC) // (IK) et I [AB] et K [AC] D après le théorème de Thalès, on a = = (2) D après (1) et (2), on a = =, Dans le triangle ABD, on a = et J [AD], I [AB] D après la réciproque du théorème de Thalès, on a (IJ) // (BD) Autre démonstration possible avec la symétrie axiale d axe (AC).
Exercice 1 en classe de 6 Calculer l aire du champignon inscrit dans un carré de côté 10cm. Initiative de l élève : déplacer partie colorée Peut vérifier le résultat avec découpage, reproduction de la figure Utilisation formule de l aire d un disque, d un rectangle et calcul de longueur (basique)
Exercice 2 en classe de 3 Initiative de l élève : étape intermédiaire : calcul de longueur Visualisation dans l espace, faire le dessin d une face (vue en perspective) Utilisation formule de l aire d un parallélogramme, d une réduction/agrandissement,
Exercice 3 : En 1 e Soit ABCD un rectangle tel que AB = 3cm et BC = 5cm. Soient M, N, P et Q quatre points appartenant aux côtés du rectangle tel que AM = BN = CP = DQ. On pose AM = x et a(x) = l aire de MNPQ 1) Avec un logiciel dynamique, déterminer l ensemble des valeurs que peut prendre l aire de MNPQ en fonction de AM et la longueur AM pour que l aire de MNPQ soit égale a 9cm². Formuler une conjecture sur le minimum de l aire 2) Préciser l ensemble de définition de a 3) Démontrer que a(x) = 2x²-8x+15 4) Faire un tableau de variation pour vérifier la première conjecture 5) En déduire le nombre de solution de a(x) = 9 et résoudre a(x) = 9. Emettre une conjecture grâce aux TICE Utilisation du théorème des valeurs intermédiaires explicitement Tableau de variation, discriminant d une fonction du second degré
Exercice 4 en Terminal économique/littéraire P est une parabole d équation y = x² 1) Démontrer que l aire du domaine colorié est égale aux de l aire du triangle OAB. 2) (IA) et (IB) sont les tangente à P aux points d abscisses -2 et 2. Démontrez que l aire du domaine colorié est égal aux deux tiers de l aire du triangle IAB Initiative de l élève : étape intermédiaire : calcul intégrale de f(x) = x² sur [-2 ; 2] Visualisation dans l espace, faire le dessin d une face (vue en perspective) Utilisation formule de l aire d un parallélogramme, d une réduction/agrandissement, calcul des tangentes, points d intersections de deux droites.