CAL1 1 DU CÔTÉ DU SECND DEGRÉ TRAVAILLER AVEC DES PLYNÔMES DE DEGRÉ 2 U 3 CADRE DE TRAVAIL ET/U NTATINS) UTILISÉES) Dans tout ce chapitre, sauf mention contraire, a, b c désigneront trois réels avec notamment a 0. 1.1 DÉFINITIN ET VCABULAIRE DÉFINITIN 1 ÉQUATIN ET FNCTIN PLYNÔME DU SECND DEGRÉ n appelle équation du second degré d inconnue, toute équation pouvant s écrire sous la forme a 2 + b+ c = 0. n appelle fonction polynôme du second degré, toute fonction f définie sur R par : R, f )= a 2 + b+ c La courbe représentative, dans un repère orthogonal, d une telle fonction est appelée une parabole. Dans les deu cas, le coefficient a est appelé coefficient du terme de degré 2, le coefficient b, coefficient du terme de degré 1, c est souvent appelé le terme constant, on remarquera que f 0)=c. EXERCICE N 1 Parmi les équations suivantes, lesquelles sont ou peuvent se ramener à la résolution d une d équation du second degré? 1). E) : 3 1)+6+ 2 = 0 ; 2). E) : 2) 3)+ 2)2 5) = 0 ; 3). E) : 3 6 2) 2 3) 2= 0 ; 4). E) : 2 4 3 3 + 4 2 3+ 2 2 = 1 ; + 1 5). E) : 3 + 2 2 2 2 1)= 2 + 1. La formule précédente n est pas à connaître par coeur, mais davantage renir la manière dont on l obtient le reproduire à chaque fois : n factorise par a : a 2 + b+ c = a 2 + ba ) + c on remarque que 2 + b a = 2 + 2 b est le début du développement de + b ce qui permtra d écrire : MÉTHDE N 1 - BTENIR UNE FRME CANNIQUE a 2 + b+ c = a + b EXERCICE N 2 Donner la forme canonique des epressions suivantes : 1). 2 6+ 4 ; 2). 2 2 + 7 2 ; 1.3 VARIATINS D UN PLYNÔME DE DEGRÉ 2 3). 2 2 + 12+ 19 ; 4). 3 2 + 12 15 ) 2 ) 2 + c+ CNSTANTE }{{} compense les termes provenant de + b ) 2 Pour la suite, f désignera une fonction polynôme de degré 2 définie sur R par : R, f )=a 2 + b+ c. PRPSITIN 1 n rappelle les résultats suivants sur la fonction 2 : CADRE DE TRAVAIL ET/U NTATINS) UTILISÉES) VARIATIN DE L A FNCTIN CARRÉE 1.2 FRME CANNIQUE D UN PLYNÔME DE DEGRÉ 2 THÉRÈME 1 FRME CANNIQUE n peut montrer que : R, a 2 + b+ c = a + b ) 2 ) b2 4ac 4a 2 n parle alors de forme canonique pour le polynôme a 2 + b+ c. ÉLÉMENTS DE PREUVE - VIR SES NTES PERSNNELLES de 2 0 0 La courbe représentative de la fonction carrée est une parabole de somm le centre du repère, d ae de symétrie l ae des ordonnées, dont les branches sont «tournées vers le haut». J MATHÉMATIQUES - CPGE TSI1-2016/17 1 CAL1 - TRAVAILLER AVEC DES PLYNÔMES DE DEGRÉ 2 U 3
REMARQUE 1 ILLUSTRATIN DE L IMPRTANCE DE LA FRME CANNIQUE La forme canonique de a 2 + b + c perm d obtenir la représentation graphique les variations d une fonction polynôme de degré 2 sans utiliser l outil de dérivation. Par eemple, pour f mise sous forme canonique telle que : R, f )=2+ 1) 2 2 : 2 2 2 2+ 1) 2 2+ 1) 2 1 EXERCICE N 3 Soit f : R R. La fonction f présente-t-elle un mininum ou 2+ 3) 2 4 un maimum? Le déterminer. PRPSITIN 2 VARIATINS D UNE FNCTIN PLYNÔME DE DEGRÉ 2 Les variations de f dépendent du signe du coefficient de degré 2. de f avec a > 0 b b2 4ac 4a C f est «une parabole dont les branches sont tournées vers le haut» de f avec a < 0 b b2 4ac 4a C f est «une parabole dont les branches sont tournées vers le bas» Le point de la courbe représentative correspondant au minimum ou maimum de f est appelé somm de la parabole. La courbe représentative d une fonction polynôme de degré 2, dans un repère orthogonal, adm un ae de symétrie : la droite passant par le somm parallèle à l ae des ordonnées. MÉTHDE N 2 - BTENTIN DU SMMET DE L A PARABLE La connaissance de deu points de même ordonnée de la courbe représentative d une fonction polynôme de degré 2, donnera l abscisse du somm : cte dernière est en eff le milieu de l abscisse de ces deu points. EXERCICE N 4 Soit f : R R 2 2 + 5 repère orthogonal du plan. 1). Résoudre l équation f ) = 5. 2). Déterminer alors les coordonnées du somm de C. 3). Construire le tableau de variation compl de f. dont on note C la courbe représentative dans un EXERCICE N 5 Construire le tableau de variation des deu fonctions polynômes de degré 2 suivantes : 1). f )= 2 6+ 4 ; 2). g)= 2 2 + 7 2 ; EXERCICE N 6 À l aides des formes canoniques des epressions suivantes obtenues précédemment, construire le tableau de variations sur R des fonctions f 1, f 2, f 3 f 4 définies par : 1). R, f 1 )= 2 6+ 4 ; 2). R, f 2 )= 2 2 + 7 2 ; REMARQUE 2 3). R, f 3 )= 2 2 + 12+ 19 ; 4). R, f 4 )= 3 2 + 12 15 À RETENIR EN PRIRITÉ Pour f )= a 2 + b+ c avec a 0, il est important de renir pour se fier les idées pour la suite, que : si a > 0, la courbe représentative de f est «une parabole dont les branches sont tournées vers le haut» ; si a < 0, la courbe représentative de f est «une parabole dont les branches sont tournées vers le bas» ; en gardant à l esprit que la représentation graphique d une telle fonction présente un ae de symétrie. 1.4 RACINES D UN PLYNÔME DE DEGRÉ 2 REMARQUE 3 IMPRTANCE DE LA FRME CANNIQUE La forme canonique de a 2 + b+ c perm d obtenir : les variations d une fonction polynôme de degré 2 sans utiliser l outil de dérivation ; les formules donnant les solutions d une équation de degré 2. DÉFINITIN 2 RACINE D UN PLYNÔME DE DEGRÉ 2 n appelle racine de l équation a 2 + b+ c = 0, toute solution de cte équation. Pour f ) = a 2 + b+ c, on parle encore de racine de la fonction f polynôme de degré 2, toute solution de l équation f )=0, c est à dire a 2 + b+ c = 0, même si l on préfère parler de zéros) de la fonction. Rechercher les racines de la fonction de polynôme de degré 2 est ainsi équivalent à résoudre l équation de degré 2 qui lui est associée. MATHÉMATIQUES - CPGE TSI1-2016/17 2 CAL1 - TRAVAILLER AVEC DES PLYNÔMES DE DEGRÉ 2 U 3
EXERCICE N 7 Les nombres proposés sont-ils racines du polynôme P? 1). 1 pour P)= 2 + + 2 ; 2). 2 pour P)= 2 2 + 7 6. THÉRÈME 2 RACINES D UN PLYNÔME DE DEGRÉ 2 n appelle discriminant de l équation a 2 + b+ c = 0 le réel défini par : =b 2 4ac si >0, l équation a 2 + b+ c = 0 adm eactement deu solutions réelles distinctes, notées 1 2 données par : 1 = b+ 2 = b si =0, l équation a 2 + b+ c = 0 adm eactement une solution réelle en fait on parle de solution double), notée 0 donnée par : 0 = b si <0, l équation a 2 + b+ c = 0 n adm pas de solutions réelles, mais deu solutions complees conjuguées, notées z 1 z 2 données par : z 1 = b+ i z 2 = b i ÉLÉMENTS DE PREUVE - VIR SES NTES PERSNNELLES EXERCICE N 12 Pour mesurer la profondeur d un puits, on y laisse tomber une pierre. Le bruit de contact de la pierre avec le fond du puits est perçu au bout de 6 s après le lâcher de la pierre. n notera p la profondeur de ce puit. 1). n appelle t 1 le temps de chute de la pierre. Pendant sa chute, la distance parcourue par la pierre en fonction du temps t est donnée par : t) = 1 2 g t 2 où g est l accélération de la pesanteur avec g 9,81 m/s. Eprimer p en fonction de t 1. 2). Pour remonter à la surface, le son m un temps t 2. La vitesse du son est de 340 m/s. Eprimer p en fonction de t 2. 3). Quelle relation a-t-on entre t 1 t 2? 4). Montrer alors que t 1 vérifie l équation 4,9t 2 1 + 340t 1 2040=0. 5). Quelle est alors la profondeur du puit? 6). Peut-on négliger le temps de propagation du puit? EXERCICE N 8 Résoudre les équations suivantes : 1). f )= 2 6+ 4 ; 2). g)= 2 2 + 7 2 ; 3). h)= 2 2 4+ 2 ; 4). l)= 2 + + 1 ; EXERCICE N 9 n considère les deu polynômes f g définis sur R par : f )=2 3 2 10 g)= 2) 2 2 + a+ 5 ). 1). Eiste-t-il un nombre réel a pour lequel les polynômes f g soient égau? 2). Résoudre dans R l équation : 2 3 2 10= 2) 2 2 + 3+ 5 ). EXERCICE N 10 En utilisant le changement d inconnue 2 = X, résoudre dans R : 1). 4 3 2 + 2=0 ; 2). 2 4 + 2 + 1=0. EXERCICE N 11 Déterminer selon les valeurs du réel m, le signe des trinômes suivants : 1). 2 2 m m 2 ; 2). m 2 + 22m+ 1)+ 1. MATHÉMATIQUES - CPGE TSI1-2016/17 3 CAL1 - TRAVAILLER AVEC DES PLYNÔMES DE DEGRÉ 2 U 3
CAL1 2 FACTRISATIN DE PLYNÔMES 2.1 CAS DES PLYNÔMES DE DEGRÉ 2 TRAVAILLER AVEC DES PLYNÔMES DE DEGRÉ 2 U 3 THÉRÈME 3 FACTRISATIN DES PLYNÔMES DE DEGRÉ 2 n note = b 2 4ac le discriminant de l équation a 2 + b+ c = 0. si > 0, l équation a 2 + b+ c = 0 adm eactement deu solutions distinctes, notées 1 2, on a la factorisation suivante : R, a 2 + b+ c = a 1 ) 2 ) si =0, l équation a 2 + b+ c = 0 adm eactement une solution, notée 0, on a la factorisation suivante : R, a 2 + b+ c = a 0 ) 2 si <0, l équation a 2 + b+ c = 0 adm deu solutions complees conjuguées, notées z 1 z 2, on a la factorisation suivante : z C, az 2 + bz+ c = a z z 1 )z z 2 ) MÉTHDE N 3 - FACTRISER UN PLYNÔME DE DEGRÉ 2 En désignant par f )= a 2 + b+ c un polynôme de degré 2, pour factoriser ce polynôme : n calcule son discriminant ; En fonction du signe de, on eprime les solutions de l équation f ) = 0 ; n écrit alors la forme factorisée de f ). EXERCICE N 13 Factoriser les polynômes suivants : 1). f )= 2 6+ 4 ; 2). g)= 2 2 + 7 2 ; 3). h)= 2 2 4+ 2 ; 4). l)= 2 + + 1 ; EXERCICE N 14 Déterminer deu polynômes P du second degré admtant pour racines 1 3, puis déterminer celui qui vérifie P2) = 1. Illustrer ces résultats graphiquement. EXERCICE N 15 Soient f g deu polynômes définis sur R par : f )= 2 6 g) = + 2)a + b). Déterminer deu nombres réels a b pour que les polynômes f g soient égau. EXERCICE N 16 Soit P le polynôme de degré 2 défini sur R par P)= 8 2 + 2+ 3, dont on note C la courbe représentative. 1). Résoudre l équation P)= 3, puis en déduire l abscisse du somm de la parabole C. 2). Dresser alors le tableau de variations compl de P. 3). Donner la forme canonique de P). 4). Résoudre l équation P) = 0. 5). Factoriser P). 2.2 EXTENSIN AUX PLYNÔMES DE DEGRÉ 3 CADRE DE TRAVAIL ET/U NTATINS) UTILISÉES) Dans tout ce paragraphe, sauf mention contraire, a, b, c d désigneront quatre réels avec notamment a 0. DÉFINITIN 3 EQUATIN ET FNCTIN DE DEGRÉ 3 n appelle équation de degré 3 d inconnue, toute équation pouvant s écrire sous la forme a 3 + b 2 + c+ d = 0. n appelle fonction polynôme de degré 3, toute fonction f définie sur R par : R, f )= a 3 + b 2 + c+ d Dans les deu cas, le coefficient a est appelé coefficient du terme de degré 3, le coefficient b, coefficient du terme de degré 2, le coefficient c coefficient du terme de degré 1 d est souvent appelé le terme constant, on remarquera que f 0) = d. DÉFINITIN 4 RACINE D UN PLYNÔME DE DEGRÉ 3 n adopte la même terminologie que pour les polynômes de degré 2 en désignant par : racine de l équation a 3 + b 2 + c+ d = 0, toute solution de cte équation. pour f ) = a 3 + b 2 + c+ d, on parle encore de racine de la fonction f polynôme de degré 3, toute solution de l équation f ) = 0 même si l on préfère parler de zéros) de la fonction. THÉRÈME 4 RACINE D UN PLYNÔME DE DEGRÉ 3 L équation a 3 + b 2 + c+ d = 0 où a 0 adm au moins une solution dans R. ÉLÉMENTS DE PREUVE - VIR SES NTES PERSNNELLES THÉRÈME 5 FACTRISATIN D UN PLYNÔME DE DEGRÉ 3 Soit f une fonction polynôme de degré 3, dont le coefficient du terme de degré 3 est non nul, 0 qui eiste) tel que f 0 )=0. Il eiste trois réels α, β γ avec α 0, tels que : R, f )= 0 ) α 2 + β+ γ ) n dit alors que f est factorisable par 0, le polynôme α 2 + β+ γ de degré 2 ainsi obtenu est éventuellement encore factorisable. Répondre à la consigne «Factoriser ce polynôme de degré 3 dans R», c est poursuivre ce processus de factorisation tant qu il est possible. MÉTHDE N 4 - FACTRISER UN PLYNÔME DE DEGRÉ 3 En désignant par P)=a 3 + b 2 + c+ d un polynôme de degré 3, pour factoriser ce dernier : n cherche une «racine évidente» 0, c est à dire un nombre qui vérifie P 0 )= 0 ; n sait que l on peut écrire : R, P)= 0 ) α 2 +β+γ ) où a, b c sont trois réels à déterminer ; n détermine les réels α, β γ en procédant à une identification des deu epressions de P ; n factorise si possible) ensuite le polynôme α 2 +β+γ ainsi obtenu ; n m alors en forme la factorisation de P. MATHÉMATIQUES - CPGE TSI1-2016/17 4 CAL1 - TRAVAILLER AVEC DES PLYNÔMES DE DEGRÉ 2 U 3
EXERCICE N 17 Soit P le polynôme défini sur R par P)= 2 3 3 2 17+ 30. 1). a). Calculer P2). b). Déterminer trois réels a, b c tels que, pour tout R, P)= 2) a 2 + b+ c ). 2). Résoudre alors l équation P) = 0. 3). À l aide d un tableau de signe, résoudre P)<0. EXERCICE N 18 Soit f le polynôme de degré 3 défini sur R par f )= 4 3 7 2 21+ 18. 1). Calculer f 2). En déduire une factorisation de f ). 2). Résoudre dans R l équation f ) = 0. 3). Écrire f ) sous la forme d un produit de facteur du premier degré. EXERCICE N 19 Factoriser le polynôme P défini sur R par : P)= 6 3 + 17 2 14+ 3. EXERCICE N 20 Factoriser dans R le polynôme P)= 2 3 3 2 + 4 3. CAL1 3 DÉFINITIN 5 AUTUR DES QUTIENTS DE PLYNÔMES TRAVAILLER AVEC DES PLYNÔMES DE DEGRÉ 2 U 3 FRACTIN RATINNELLE n désigne par fraction rationnelle toute quotient du type P) où P Q sont des fonctions Q) polynômes. 3.1 EXEMPLES D ÉQUATINS SE RAMENANT À UNE ÉQUATIN DE DEGRÉ 2 PRPSITIN 3 n rappelle que : A) B) = 0 A)=0 B) 0 ÉQUATINS DU T YPE A) B) = 0 EXERCICE N 21 n s intéresse à la fraction rationnelle f suivante : f )= 22 5 3 2 + 3+ 2 1). Quelles sont les valeurs interdites pour le dénominateur de l epression f )? 2). Résoudre alors l équation f ) = 0. EXERCICE N 22 Résoudre les équations ou inéquations suivantes : 1). 2 2 3+ 1 = 2 ; 2). 2 1 + 2 2 + 12 = 4 ; 3). + 3 1 = 2 3 2 ; 3.2 TRANSFRMATINS D ÉCRITURE PRPSITIN 4 Deu polynômes sont égau si, seulement si, leurs coefficients sont égau. IDENTIFICATIN DE PLYNÔMES EXERCICE N 23 Déterminer les réels a, b c tels que pour tout nombre ] 1;[, on ait : 2 + 3 1 = a+ b+ c 1 1. EXERCICE N 24 Déterminer les réels a, b c tels que pour tout nombre ]2;[, on ait : 2 + 4+ 7 2 + + 2 = a+ b 1 + c 2. EXERCICE N 25 Pour tout R, on pose : h) = 10 2 17 + 3 g) = 5 2 + 14 3, sous réserve d eistence, f )= h) g). Factoriser les epressions h) g), puis en déduire une epression simplifiée pour f ). MATHÉMATIQUES - CPGE TSI1-2016/17 5 CAL1 - TRAVAILLER AVEC DES PLYNÔMES DE DEGRÉ 2 U 3