Niveau : De la 4 e à la Terminale. Trigonométrie Prérequis :Géométrie du triangle, théorème de Pythagore,notion de fonction et produit scalaire. Vocabulaire :Tri - gono - métrie = trois - cotés - mesure La trigonométrie est une branche des mathématiques qui étudie la relation qui existe entre la mesure des trois cotés d'un triangle et la mesure de ses angles. La trigonométrie au collège Définition :Dans un triangle ABC rectangle en A, on définit le sinus, le cosinus et la tangente de l angle aigu ÂBC de la manière suivante : Côté opposé à ÂBC sin ÂBC= = AC hypoténuse BC Côté adjacent à ÂBC cos ÂBC= = AB hypoténuse BC Coté opposé à ÂBC tan ÂBC= côté adjacent à ÂBC = AC AB Remarque :On a aussi avec l angle ÂCB : cos ÂCB= CA CB, sin ÂCB= AB CB, tan ÂCB= AB AC. Proposition: Pour tout réel x, on a : cos x+sin x=1 cos ÂBC=sin ÂCB et cos ÂCB=sin ÂBC La trigonométrie en seconde Enroulement de la droite numérique sur le cercle trigonométrique (voir le fichier joint ggb) La trigonométrie en première S : A. Le Radian Définition : Le radian est l'unité de mesure des angles telle que la mesure en radian d'un angle est égale à la longueur de l'arc que cet angle intercepte sur un cercle de rayon 1. Propriété:Les mesures en degrés et en radians d'un angle sont proportionnelles. Remarque :Pour trouver la mesure d un angle de x degrés, on a recours à un tableau de proportionnalité.
B. Repérage sur un cercle trigonométrique Définition : Le cercle trigonométriquec de centre O est de rayon 1, sur lequel on choisit un sens de parcours, appelé sens direct (ou sens giratoire) Soit M un point du cercle tel que α soit une mesure (en radians) de l angle orienté ( OI, OM ). Définition :On appelle cosinus et sinus de α et on note cos α et sin α, les coordonnées du point M dans le repère (O, i, j ) : OM=(cos α) OI+(sin α) OJ Soit Δ la droite d équation x =1 dans le repère orthonormé (O, i, j ) et H le point défini par (OM) Δ. Ce point H existe dès lors que Δ et (OM) ne sont pas parallèles, c est-à-dire : α π +k π(k Z). Définition :On appelle tangente de α et on note tan α l'ordonnée de H dans(o, i, j )
Propriétés: Pour tout réel x et tout entier relatif k : 1. 1 cos x 1. 1 sin x 1 3.sin(x+k π) = sin x 4.cos(x+k π) = cos x Exemple : on admet que cos π 5 =1+ 5 4,on veut calculer la valeur exacte de sin π 5 la relation cos x+sin x=1,donc on obtient : π cos 5 +sin π 5 =1 donc sin π 5 ( =1 1+ 5 10 5 = 10 5 4 ) 16 4 donc on utilise donc sin π 5 = = 5 5 car sin π 5 0 puisque π [0 ;π ] 5 C. Fonction sinus et cosinus Définition : Pour tout T R * on a : Une fonction f est dite périodique de période T si pour tout réel x, on a : f (x + T) = f (x). Remarque: pour étudier une fonction périodique, on se limite à une période Propriété :Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période π. la fonction cosinus est paire cos(-x) = cos (x). la fonction sinus est impaire sin(-x) = -sin(x).
Propriété : Les fonctions cosinus et sinus sont dérivables sur R et : sin'(x)=cos(x) cos'(x)=-sin(x) Représentation graphique de la fonction sinus et cosinus D. Résolution des équations cos x = a et sin x = a pour tout x R i. Cos(x)=a On va supposer que -1 a 1, sinon le problème n a pas de solution. On commence par chercher les valeurs de x sur l intervalle [ 0 ; π ], en s aidant du cercle trigonométrique. On place donc a sur l axe des abscisses, puis on trace la droite parallèle à l axe des ordonnées qui passe par ce point. Elle croise le cercle en deux points C et D. On détermine alors deux angles : α et - α. L ensemble des solutions est alors l ensemble des réels x tels que : x = α + kπ ou x = - α +kπ où k est un entier relatif. ii. sin(x)=a On commence par chercher les valeurs de x sur l intervalle [0 ; π], en s aidant du cercle trigonométrique. On place donc a sur l axe des ordonnées, puis on trace la droite parallèle à l axe des abscisses qui passe par ce point. Elle coupe le cercle en deux points C et D. On détermine alors deux angles : α et π - α. L ensemble des solutions est alors l ensemble des réels x tels que
x = α + kπ ou x = π - α +kπ où k est un entier relatif. E. Angles associés Propriétés : 1. cos(-x) = cos x, 6. sin(π + x) = sin x. sin(-x) = sin x, 7. cos( π +x) = sin x, 3. cos(π - x) = -cos x, 8. sin( π 4. sin(π - x) = sin x, 9. cos( π 5. cos(π + x) = -cos x, 10. sin( π + x) = cos x, x) = sin x, x) = cos x.
Développement : Les relations cos(-x) = cos x et sin(-x) = -sin x s obtiennent immédiatement par symétrie par rapport à l axe des abscisses. On veut démontrer la propriété 9 : Soit x un réel appartenant à l'intervalle [0 ; π ] et M le point du cercle trigonométrique de centre O associé à x.on appelle H le projeté orthogonale de M sur l'axe des abscisses On a : cos MOH = OH =sin ĤMO sin MOH = MH =cos ĤMO or ĤMO=π π x= π x car la somme des angles dans un triangle est égale à π. cos ĤMO =cos π x =sin MOH =sin x d'où cos π x =sin x. Propriété 10 :cos MOH =cos x =sin ĤMO =sin π x d'où cos x =sin π x si maintenant on écrit : π x= π +( x) on peut démontrer facilement la propriété 7 et 8.
F. Formules trigonométriques Propriétés: 1. cos(a b) = cos a cos b + sin a sin b,. cos(a + b) = cos a cos b sin a sin b, 3. sin(a b) = sin a cos b cos a sin b, 4. sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b. G. Formules de duplication Proposition : 1. cos(a) = cos²a sin² a,. sin(a) = sin a cos a. H. Formules de linéarisation Proposition : cos a= 1+cos(a) et sin a= 1 cos(a) Exercice (3 e ) Voici un schéma de la statut de la liberté : Calculer une valeur approchée de la hauteur SI de la statue de la liberté. Exercice (niveau 3 e ) Tracer à l'aide uniquement d'une règle graduée (sans rapporteur) le triangle ABC tel que AB=4,5cm; BAC=63 et ABC=50. Exercice n 94 p 71 Terracher Géométrie ( 1 er S ) Dans la figure ci-contre,acde est un carré de côté 1 et ABC est un triangle équilatéral. 1) Montrer que BED= π 1. ) Calculer BH et en déduire que : tan π = 3 3)En déduire que : cos π 1 = 1 + 3 et sin π 1 =1 3