Fonctions usuelles Arthur LANNUZEL http ://mathutbmal.free.fr le 8 Janvier 009 Fonctions usuelles Fonctions trigonométriques réciproques.. arcsin(.). sin : [ π, π ] R est continue strictement croissante. Donc sin : [ π, π ] sin([ π, π ]) = [, ] est bijective. arcsin : [, ] [ π, π ] x y tel que sin y = x Propriétés.0. i) arcsin est impair sur [, ]. [En effet arcsin(x) = y tel que sin y = x et sin( y) = x donc arcsin( x) = y.] ii) arcsin est dérivable sur ], [ et (arcsin) (x) = cos(arcsin(x)) = sin (arcsin(x)) = x ATTENTION : cela fonctionne car arcsin(x) [ π, π ] et cos est positif sur cet intervalle. iii) arcsin est continue sur [, ], croissante sur [, ]. Figure arcsin Exercice. i) Déterminer arcsin( ), arcsin( 3 ). ii) Déterminer sin(arcsin(x)) et arcsin(sin(x)).
Fonctions usuelles iii) Déterminer cos(arcsin(x)). iv) Trouver le développement limité de arcsin à l ordre 4 en 0.. arccos(.). cos : [0, π] R est continue strictement décroissante. Donc cos : [0, π] cos([0, π]) = [, ] est bijective. arccos : [, ] [0, π] x y tel que cos y = x Propriétés.. i) arccos n est ni pair, ni impair sur [, ] (exo.). ii) arccos est dérivable sur ], [ et (arccos) (x) = (exo) x iii) arccos est continue sur [, ], décroissante sur [, ]. Figure arccos Remarque. x ], [, (arcsin) (x) + (arccos) (x) = 0. Donc, en intégrant, x ], [, arcsin(x) + arccos(x) = k R. En posant x = 0, on trouve x ], [, arcsin(x) + arccos(x) = π. Exercice.3 Résoudre dans R l équation arcsin(x) = arccos(x) (attention à l espace de définition de cette équation). Exercice.4 i) Déterminer arccos( ), arccos( 3 ). ii) Déterminer cos(arccos(x)) et arccos(cos(x)). iii) Déterminer sin(arccos(x)).
Fonctions usuelles 3 iv) Trouver le développement limité de arccos à l ordre 4 en 0..3 arctan(.). tan :] π, π [ R est continue strictement croissante. Donc tan :] π, π [ tan(] π, π [) = R est bijective. arctan : R ] π, π [ x y tel que tan y = x Propriétés.4. i) arctan est impair R (exo.). ii) arctan est dérivable sur R et (arctan) (x) = + x (exo) iii) arctan est continue sur R, croissante sur R et lim x + arctan(x) = π, lim x arctan(x) = π. Exercice.5 i) Calculer (arctan( x )). ii) Que peut-on en déduire? Figure 3 arctan Exercice.6 Variation et graphe de arctan(tan(x)). Exercice.7 Calculer x 3 +3x +x+ dx. (x +x+).(x +) Fonctions hyperboliques.. Définitions-propriétés. Définition. On appelle fonctions cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique, les fonctions ch = cosh : R R x ex +e x sh = sinh : R R x ex e x
Fonctions usuelles 4 Propriétés.. cosh(x) + sinh(x) = e x et cosh(x) sinh(x) = e x, donc cosh (x) sinh (x) =. Définition. On appelle tangente hyperbolique la fonction th = tanh : R R x ex e x e x +e x Propriétés.. i) tanh est impair. ii) sinh est impair, sinh (x) = cosh(x). iii) cosh est pair, cosh (x) = sinh(x). iv) tanh (x) = = cosh (x) sinh (x) = tanh (x). cosh (x) cosh (x) v) cosh(x) = ex ( + e x e ) donc cosh(x) x +. vi) sinh(x) = ex ( e x e ) donc sinh(x) x + Figure 4 sinh, cosh, tanh. Relations et formules... additions. sinh(a + b) = sinh(a) cosh(b) + sinh(b) cosh(a), sinh(a b) = sinh(a) cosh(b) sinh(b) cosh(a), cosh(a + b) = cosh(a) cosh(b) + sinh(b) sinh(a), cosh(a b) = cosh(a) cosh(b) sinh(b) sinh(a), Exercice.3 En déduire i) tanh(a + b) et tanh(a b) en fonction de tanh(a) et tanh(b). ii) cosh(p) ± cosh(q) et sinh(p) ± sinh(q) en fonction de sinh( p±q.. Linéarisation. cosh (x) = +cosh(x), sinh (x) = cosh(x), ) et cosh( p±q ).
Fonctions usuelles 5..3 Transformation en tanh( x ). Posons t = tanh( x ). Alors, sinh(x) = sinh( x) cosh( x) = sinh( x ) cosh( x ).(cosh( x )) = t. t cosh(x) = cosh ( x) + sinh ( x) = cosh ( x)( + tanh ( x +t )) =. t Exercice.4 Retrouver le même genre de formules avec sin, cos, tan. 3 Fonctions hyperboliques réciproques. 3. Argument cosinus hyperbolique. cosh : R + R est continue strictement croissante. Donc cosh : R + cos(r + ) = [, + [ est bijective. arg cosh : [, + [ R + x y tel que cosh y = x Propriétés 3.0. i) arg cosh est croissante sur R. ii) arg cosh est dérivable sur ], + [ et (arg cosh) (x) = sinh(arg cosh(x)) = cosh (arg cosh(x)) = x Figure 5 argcosh Exercice 3. Dériver ln(x + x ). Que peut-on en déduire? 3. Argument sinus hyperbolique. sinh : R R est continue strictement croissante. Donc sinh : R sin(r) = R est bijective. arg sinh : R R x y tel que sinh y = x
Fonctions usuelles 6 Propriétés 3.. i) arg sinh est croissante et impair sur R. ii) arg sinh est dérivable sur R et (arg sinh) (x) = cosh(arg sinh(x)) = + sinh (arg sinh(x)) = + x Figure 6 argsinh Exercice 3. Dériver ln(x + x + ). Que peut-on en déduire? 3.3 Argument tangente hyperbolique. tanh : R R est continue strictement croissante. Donc tanh : R tan(r) =], [ est bijective. arg tanh : ], [ R x y tel que tanh y = x Propriétés 3.. i) arg tanh est croissante et impair sur ], [. ii) arg tanh est dérivable sur ], [ et (arg tanh) (x) = x Figure 7 argtanh Exercice 3.3 Dériver +x ln( ). Que peut-on en déduire? x