hapitre 2 Développements limités. Etude locale d une fonction. I Introduction : le cas de la fonction eponentielle A Approimation affine de ep au voisinage de 0 n notera f la fonction eponentielle f : e. n sait que f est dérivable sur R et, en particulier en 0. De plus, f (0) =, c est-à-dire, en reprenant la définition du nombre dérivé En posant ε() = e e lim =, on a donc ε() f() + A M N T : = + e = + + ε() avec lim f Ainsi, au voisinage de 0, e s écrit comme la somme du polnôme + et d un terme ε() où lim Par conséquent, pour voisin de 0, nous pouvons faire l approimation e + ( «proche» de 0) n dit que + est une approimation affine locale de e au voisinage de 0. Remarquez que = + est l équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction f en 0. ette approimation affine s interpréte géométriquement : lorsque est suffisamment proche de 0, on peut confondre la courbe f avec la tangente T. B Et si on pouvait faire «mieu»... Nous avons obtenu précédemment une approimation affine locale de la fonction ep au voisinage de 0. L idée maintenant serait d obtenir une approimation locale polnômiale au voisinage de 0. Graphiquement, cela revient à déterminer, un polnôme dont la courbe représentative se rapproche de la fonction ep au voisinage du point A(0; ). est le mathématicien BRK TAYLR qui est à l origine (en 72) de ces approimations d une fonction régulière au voisinage d un point par des polnômes (qui portent son nom). Lorsque l on fait une approimation, il est toujours souhaitable d avoir un contrôle de l erreur commise. L étude de l erreur d approimation restera vaine, il faudra attendre ses successeurs pour obtenir une epression plus fine de l erreur. Nous allons dans la suite de notre étude considérer les intégrales de la forme où est réel et n entier naturel non nul. I n () = 0 ( t) n e t dt Problème ) Approimation par un trinôme du second degré. n considère l intégrale I() = I () = (a) En intégrant par parties, démontrer que I() = e ( + ). 0 ( t)e t dt. (b) Soit [0; + [. Démontrer que pour tout t [0; ], on a e t e. En déduire l encadrement : pour tout [0; + [ 2 2 I() 2 e 2. (c) Soit ] ; 0[. Démontrer que pour tout t [; 0], on a e e t. En déduire l encadrement : pour tout [ ; 0[ 2 e 2 I() 2 2. e (d) Déduire de ce qui précéde que lim (+) = 2 2. En déduire l eistence d une fonction ε telle que e = + + 2 2 + 2 ε () avec lim ε () = 0. Lcée Les Pannevelles Page F. Boure BTS 2ème année
2) Approimation par un polnôme du troisième degré. n considère l intégrale J() = I 2 () = 0 ( t) 2 e t dt. (a) En faisant deu intégrations par parties successives, démontrer que J() = 2 e + + 2 2. (b) Soit [0; + [. Démontrer l encadrement : pour tout [0; + [ n démontre de la même façon et on admet l encadrement : 3 3 J() 3 e 3. pour tout [ ; 0[ 3 e 3 J() 3 3. e + + (c) Déduire de ce qui précéde que lim que 3 2 2 = 6. En déduire l eistence d une fonction ε 2 telle e = + + 2 2 + 6 3 + 3 ε 2 () avec lim ε 2 () = 0. Plus généralement, nous obtenons de la même façon e = + + 2 3! + 4 4! + + n n! + n ε() T : = + avec lim ette écriture est appelée développement limité (d.l.) à l ordre n de ep au voisinage de 0. = + + 2 2 A Le polnôme + + 2 2 3 + 4 2 3 4 + + n n! f = + + 2 6 est appelée partie régulière du d.l. à l ordre de n de ep en 0. II Développements limités. Définitions et propriétés Définition. Soit f une fonction définie au voisinage d un réel a. n dit que f admet un développement limité d ordre n en a s il eiste des nombres réels a 0, a,...a n et une fonction ε tels que f() = a 0 + a ( a) + + a n ( a) n + ( a) n ε() avec lim a Le cas particulier a = 0 f admet un développement limité d ordre n en 0 s il eiste des nombres réels a 0, a,... a n et une fonction ε tels que f() = a 0 + a + + a n n + n ε() avec lim Remarques. Par changement de variable t = a, on se ramène à l étude de f au voisinage de 0. Ainsi, on peut se limiter à l étude des d.l. en 0. Si f admet un développement limité à l ordre n en 0, alors ce développement est unique (résultat admis). Si f() = P n () + n ε() est le développement limité à l ordre n de f en 0, alors, la fonction polnômiale P n est appelée partie régulière d ordre n. Le d.l. en 0 d une fonction paire (resp. impaire) admet une partie régulière dont les termes sont des puissances paires (resp. impaire) de. Lcée Les Pannevelles Page 2 F. Boure BTS 2ème année
Développements limités usuels en 0 Voici les développements limités usuels en 0. A notre niveau, nous admettrons ces résultats. Théorème (d.l. usuels en 0). = + + 2 + + n + n ε() avec lim + = + 2 3 + 4 + + ( ) n n + n ε() avec lim ln( + ) = 2 3 4 n + + ( )n+ 4 n + n ε() avec lim e = + + 2 2! + 3 3! + + n n! + n ε() avec lim cos() = 2 2! + 4 4! 6 2p + + ( )p 6! (2p)! + 2p ε() avec lim sin() = 3 3! + 5 5! 7 7! + + ( )p 2p+ (2p + )! + 2p+ ε() avec lim α étant un réel quelconque, ( + ) α = + α! lim α(α ) + 2 + 2! α(α )(α 2) 3 + + 3! α(α ) (α n + ) n + n ε() n! Attention! Pour chacune des fonctions précédentes, la fonction, notée ε est différente : elle dépend en effet de la fonction et de l ordre du d.l. Ainsi, lorsque l on étudiera des développements limités de fonctions différentes ou d une même fonction à des ordres différents, on indicera les fonctions ε : ε, ε 2, ε 3... (voir les eemples suivants) avec III D.L. et opérations A D.L. d une somme de fonctions. Déterminons le développement limité à l ordre 3 en zéro de la fonction f définie par f() = e + +. n reconnait que f est la somme de la fonction eponentielle et de la fonction de chacune de ces fonctions. Pour cela, on utilise le théorème précédent. + e = + + 2 3! + 3 ε () avec lim ε () = 0.. Déterminons un d.l. à l ordre 3 Par conséquent, + = + 2 3 + 3 ε 2 () avec lim ε 2 () = 0. e + + = + + 2 3! + 3 ε () + + 2 3 + 3 ε 2 () = 2 + 3 2 2 5 6 3 + 3 (ε () + ε 2 ()) = 2 + 3 2 2 5 6 3 + 3 ε() en posant ε() = ε () + ε 2 () r, d après le théorème sur la limite d une somme, on a lim Ainsi, finalement, f() = 2 + 3 2 2 5 6 3 + 3 ε() avec lim La méthode décrite dans cet eemple se généralise facilement. n retiendra cette méthode : Lcée Les Pannevelles Page 3 F. Boure BTS 2ème année
Développement limité à l ordre n d une somme de fonctions n obtient la partie régulière du développement limité d ordre n en 0 de la somme de deu fonctions en ajouant les parties régulières des développements limités d ordre n en 0 des deu fonctions. B D.L. d un produit de fonctions. Déterminons le développement limité en 0 à l ordre 3 de la fonction g définie par g() = ln( + )cos(). g est le produit des fonction ln( + ) et cos. Rappelons les d.l. à l ordre 3 de chacune de ces fonctions : cos() = 2 ε () avec lim ε () = 0. Par conséquent, ln( + ) = 2 3 + 3 ε 2 () avec lim ε 2 () = 0. cos()ln( + ) = 2 ε () 2 3 + 3 ε 2 () = 2 3 + 3 ε 2 () 3 2 + 4 4 5 6 5 2 ε 2() + 3 ε () 2 3 + 3 ɛ 2 () = 2 2 3 6 + 3 ε 2 () + 4 2 6 2 2 ε 2() + ε () 2 3 + 3 ɛ 2 () = 2 2 3 6 + 3 ε() avec lim ε() = 0 d après les règles opératoires sur les limites. La méthode décrite dans cet eemple se généralise facilement. n retiendra cette méthode : =ε() Développement limité à l ordre n d un produit de fonctions n obtient la partie régulière du développement limité d ordre n en 0 du produit de deu fonctions en multipliant les parties régulières des développements limités d ordre n en 0 des deu fonctions et en ne gardant que les termes de degré inférieur ou égal à n. D.L. d une composée de fonctions f g où g est une fonction polnômiale Déterminons le développement limité en 0 à l ordre 3 de la fonction h définie par h() = 2. n a l enchaî- + 2 nement suivant : g t = 2 2 f t = h(). avec g() = 2 2 et f(t) =. g admet un développement limité à l ordre 3 donné par : t n a alors, on notant δ() = 2 f(t) = + t + t 2 + t 3 + t 3 ε(t) avec lim t 0 ε(t) = 0. h() = f(g()) = f( 2 2) = + ( 2 2) + ( 2 2) 2 + ( 2 2) 3 + ( 2 2) 3 ε( 2 2) = + 2 2 + 3 4 3 + 4 2 + ( 6 + 2 4 6 5 8 3 ) + 3 δ() 3 ε( 2 2) = 2 + 5 2 2 3 + 3 P() + δ()ε( 2 2) = 2 + 5 2 2 3 + 3 ε () où P est une fonction polnôme de limite nulle en 0. Par les règles opératoires sur les limites, on montre que lim ε () = 0. n obtient donc le développement limité souhaité. Plus généralement, nous avons le résultat suivant ε () Lcée Les Pannevelles Page 4 F. Boure BTS 2ème année
Développement limité à l ordre n de la composée f g où g est une fonction polnôme n obtient la partie régulière du développement limité d ordre n en 0 de la composée f g de deu fonctions où g est une fonction polnômiale de terme constant nul en composant la partie régulière Reg n f de f avec le polnôme g et en ne gardant que les termes de degré inférieur ou égal à n. D D.L. au voisinage de a 0 Déterminer le d.l. à l ordre 3 au voisinage de 2 de la fonction f : 2 + e n pose t = 2. Ainsi, lorsque tend vers 2, t tend vers 0 et on se ramène à la recherche d un d.l. en 0. n a donc = t + 2. f() = 2 + e = (t + 2) 2 + e t+2 = t 2 + 4t + 4 + e 2 e t = t 2 + 4t + 4 + e 2 ( + t + t2 2 + t3 6 + t3 ε(t)) = (4 + e 2 ) + t(4 + e 2 ) + t 2 + e2 e2 + t3 2 6 + e2 t 3 ε(t) = (4 + e 2 ) + ( 2)(4 + e 2 ) + ( 2) 2 + e2 e2 + ( 2)3 2 6 + ( 2)3 ε ( 2) n a donc obtenu un d.l. à l ordre 3 en 2 de la fonction f. IV Applications des développements limités A Au calcul de limite... Eercice En utilisant un d.l., déterminer la limite e 22 2 2 lim 4 Eercice 2 En utilisant un d.l., déterminer la limite lim ln( + ) 2 Lcée Les Pannevelles Page 5 F. Boure BTS 2ème année
B A l étude locale d une fonction... Eercice 3 Soit f la fonction définie sur R par f() = e 2 ( + ) +. n désigne par la courbe représentative de f dans un repère orthogonal (; i, j ). ) Démontrer que le d.l. à l ordre 3 de la fonction f au voisinage de 0 est f() = 2 + 2 3 3 + 3 ε() avec lim 2) En déduire une équation de la tangente T à au point d abscisse 0. 3) n a donc, au voisinage de 0, l égalité f() (2 + ) = 3 2 3 + ε(). (a) Au voisinage de 0, quel est le signe de 2 3 + ε()? (b) Au voisinage de 0, par valeurs négatives, quel est le signe de 3? et par valeurs positives? (c) Déduire des questions précédentes la position relative de et T an voisinage de 0. j i Eercice 4 Soit f la foncion définie sur R par f() = 2 5 ln + 2 5. n désigne par la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (; i, j ). j i ) (a) A l aide du développement limité à l ordre 2 de la fonction t ln( + t) au voisinage de t = 0, écrire le développement limité à l ordre 4 au voisinage de 0 de la fonction ln + 2 5. (b) En déduire le développement limité à l ordre 4 de la fonction f au voisinage de = 0. 2) (a) Déduire de la question précédente une équation de la tangente T à la courbe au point d abscisse 0. (b) Déterminer le d.l. à l ordre de 2 au voisinage de 0 de la fonction f. A l aide de ce développement limité, étudier la position relative de et T au voisinage de 0. es deu eercices ont valeur de méthode. La remarque suivante est capitale! Attention! Un développement limité permet une étude locale autour d un point : c est-à-dire au voisinage d un point. Ainsi, l étude de signe menée précédemment pour étudier la position relative de et de sa tangente T n est vraie qu au voisinage de 0 (pour des valeurs très proches de 0). Ainsi, le d.l. ne permet pas de déduire la position relative globalement. Lcée Les Pannevelles Page 6 F. Boure BTS 2ème année
A l étude du comportement asmptotique d une fonction en ± Eercice 5 Soit f la fonction définie sur ]0; + [ par f() = e ( + ). n appelle la courbe représentative de f dans le plan muni d un repère orthonormal. j i ) Etudier les limites de f au bornes de son intervalle de définition. 2) (a) Déterminer le développement limité à l ordre 2, au voisinage de 0, de la fonction h : t e t ( + t). (b) En posant t =, montrer que f() = 2 + ε avec lim t 0 ε(t) = 0. (c) En déduire que admet une asmptote oblique D au voisinage de +. Préciser son équation réduite. (d) Etudier la position relative de et D au voisinage de +. Lcée Les Pannevelles Page 7 F. Boure BTS 2ème année