GINETTE CUISINIER, CHRISTINE DCQ, THÉRÈSE GILBERT, CHRISTIANE HAUCHART, NICLAS RUCHE, RSANE TSSUT ATELIER ASSCIÉ À L ARTICLE : LES RERÉSENTATINS LANES CMME UN FIL CNDUCTEUR UR L ENSEIGNEMENT DE LA GÉMÉTRIE LANE RERESENTATINS AS A GUIDELINE FR THE TEACHING F GEMETRY 1. Représentation une boite cubique quarillée intérieurement La figure 21 est la photo une boîte cubique sans couvercle. Figure 21 Représentez, en perspective cavalière, cette boîte placée ans la même position que sur la photo. Ensuite représentez un quarillage 8 sur 8 sur les faces intérieures e la boîte. Faites le même travail en perspective centrale. 1.1 Résolution en perspective cavalière La figure 22a montre une représentation en perspective cavalière e cette boîte placée avec le fon parallèle au plan e projection. Afin y voir es faces intérieures ans leur entiereté, on choisit e ne représenter que trois faces e la boîte, comme à la figure 22b : la face u fon y apparaît en vraie graneur, et les eux autres faces, perpeniculaires au plan e projection, y sont représentées par es parallélogrammes. ANNALES e DIDACTIQUE et e SCIENCES CGNITIVES, supplément vol. 11, p. 1 22. 2006, IREM e STRASBURG.
2 GRUE D ENSEIGNEMENT MATHÉMATIQUES, LUVAIN-LA-NEUVE Figure 22a Figure 22b our représenter le quarillage e la face horizontale inférieure et e la face latérale gauche, eux méthoes sont proposées. a) n commence par représenter la ivision e chaque face en quatre carrés : on représente le centre e chaque face, point intersection es iagonales, et ensuite les méianes (figure 23a). n recommence l opération pour chacun es carrés afin e représenter 16 carrés sur chaque face (figure 23b) et 64 carrés à l étape suivante ; Figure 23a Figure 23b b) n ivise en 8 segments égaux eux côtés ajacents e chacune es faces. n représente ainsi es sommets es carrés u quarillage (figure 24a). ar ces points, on trace es parallèles aux côtés es faces pour obtenir le quarillage (figure 24b) ;
ATELIER ASSCIÉ À L ARTICLE 3 Figure 24a Figure 24b Dans les eux méthoes, on a utilisé es propriétés es projections parallèles établies lors u travail sur les ombres : une figure parallèle au plan e projection est isométrique à son image ; le parallélisme est conservé ; ans une même irection, l égalité es istances est conservée 1. 1.2 Résolution en perspective centrale La figure 25 montre une représentation e la boîte en perspective centrale. Il s agit e son image par une projection centrale sur un plan vertical parallèle à la face u fon. Contrairement à ce qui se passe en perspective cavalière, on peut placer l objet e manière à voir sur le essin les cinq faces intérieures. Le contour e l ouverture e la boîte et la face u fon sont représentés par es carrés. Les quatre autres faces sont représentées par es trapèzes ont les côtés non parallèles sont sur es roites qui convergent en un point. Ce point est le point e fuite es roites horizontales perpeniculaires au plan e projection et est aussi appelé point e fuite principal. Figure 25 1 La conservation es égalités es istances ans une irection peut être éuite e la conservation u parallélisme.
4 GRUE D ENSEIGNEMENT MATHÉMATIQUES, LUVAIN-LA-NEUVE Nous avons utilisé es propriétés es projections centrales établies précéemment : une figure parallèle au plan e projection est homothétique à son image ; les images e roites parallèles entre elles mais non parallèles au plan e projection concourent en un point. La euxième propriété est utilisée, pour la première fois, ans le cas e roites parallèles qui ne sont pas toutes ans un même plan. A ce stae-ci, on ispose un coe pour représenter la boîte en perspective centrale. Les essins obtenus peuvent varier : les carrés peuvent être plus ou moins écentrés et leurs tailles plus ou moins ifférentes. n peut choisir e laisser un caractère arbitraire à ces éléments. u, on peut choisir approfonir la question e la iversité es aspects possibles. n écouvrira alors que ces aspects épenent e paramètres liés aux positions relatives e l objet, u centre e projection et u plan e projection. our représenter le quarillage es faces intérieures, on peut utiliser es méthoes analogues à celles utilisées en perspective cavalière. a) n commence par iviser les faces en quatre carrés. Sur le essin, on représente abor le centre e la face à l intersection es iagonales et on représente ensuite les méianes : les images es méianes parallèles au plan e projection forment un carré et images es méianes perpeniculaires au plan e projection sont sur es roites qui convergent au point e fuite principal (figure 26a). n recommence ensuite l opération pour chacun es carrés (figure 26b) ; Figure 26a Figure 26b b) ar l autre méthoe, on procèe en eux temps. n représente abor les roites u quarillage perpeniculaires au plan e projection. our cela, on utilise la conservation e l égalité es segments situés sur es parallèles au plan e projection, ce qui permet e subiviser le contour e l ouverture, et on essine ensuite les roites qui convergent au point e fuite principal (figure 27a). our représenter les autres parallèles u quarillage, on utilise
ATELIER ASSCIÉ À L ARTICLE 5 une propriété éjà rencontrée : la conservation es iagonales es quarillages (figure 27b). Figure 27a Figure 27b 2. Représentations u moule e paix à l aie u quarillage n suppose que les petits cubes qui forment le moule ont même côté que les carrés u quarillage. La figure 28 montre, vus u haut, trois moules posés sur la face horizontale e la boîte. osition 3 osition 2 osition 1 Figure 28 Représentez ces moules en perspective cavalière en vous servant u quarillage construit précéemment (figure 24b). Faites ensuite le même travail en perspective centrale (figure 27b).
6 GRUE D ENSEIGNEMENT MATHÉMATIQUES, LUVAIN-LA-NEUVE 2.1. Résolution en perspective cavalière La hauteur u moule vaut quatre fois le côté es carrés u quarillage et sa représentation est partout en vraie graneur. La véritable ifficulté consiste onc à représenter la face inférieure u moule. a) Dans la position 1, c est simple (figure 29) ; Figure 29 b) our représenter le moule ans la position 2, on commence par relever la face inférieure e la boîte sur la face u fon, car celle-ci est parallèle au plan e projection et les figures y sont vues en vraie graneur. Nous y essinons un es carrés qui constituent la face inférieure u moule (figure 30). Figure 30 Il faut ensuite ramener ce carré sur le quarillage horizontal. our cela, on commence par tracer, ans ce quarillage, les eux iagonales sur lesquelles apparaîtront les côtés u carré (figure 31a). Dans ce quarillage, les côtés u carré n apparaissent pas en vraie graneur. ar contre on voit en vraie graneur les projections es côtés sur les lignes u quarillage parallèles à la face u fon. Nous
ATELIER ASSCIÉ À L ARTICLE 7 allons onc construire sur la face u fon les projections es côtés sur les lignes horizontales u quarillage (figure 31b), ensuite utiliser es lignes e rappel (en trait interrompu sur la figure 31b) pour ramener les projections es côtés sur les lignes corresponantes u quarillage u plan horizontal. n obtient ainsi la projection e chaque côté ; la construction es eux premiers côtés u carré est alors imméiate. Figure 31a Figure 31b n peut terminer la représentation u carré e base et ensuite celle e la face inférieure u moule (figure 32). Figure 32
8 GRUE D ENSEIGNEMENT MATHÉMATIQUES, LUVAIN-LA-NEUVE c) La représentation u moule ans la position 3 est analogue. Les figures 33 et 34 montrent les constructions terminées. Figure 33 Figure 34 2.2. Résolution en perspective centrale Nous avons choisi une résolution qui exploite le quarillage onné, comme ans le cas e la perspective cavalière. Nous utiliserons en plus le point e fuite principal présent sur la figure. a) our le moule en position 1, on représente la face inférieure u moule en suivant le quarillage (figure 35). Figure 35 n complète la représentation (figures 36 et 37) en utilisant les propriétés suivantes :
ATELIER ASSCIÉ À L ARTICLE 9 les horizontales parallèles au plan e projection sont représentées par es horizontales ; les verticales sont représentées par es verticales. our faciliter les constructions, on peut également utiliser le fait que les images es perpeniculaires au plan e projection sont sur es roites qui convergent au point e fuite principal. Figure 36 Figure 37 b) our représenter le moule en position 2, on commence par relever la face inférieure e la boîte sur la face u fon et on y essine la face inférieure u moule A' B' F' E ' H ' C ' qui y est vue en vraie graneur (figure 38). Des lignes e rappel permettent associer es segments parallèles horizontaux représentant es segments parallèles e même longueur ans la réalité. Ces lignes e rappel sont essinées en trait interrompu. Ce sont es lignes verticales sur le essin e la face u fon et ce sont es roites convergeant au point e fuite principal sur le essin e la face inférieure.
10 GRUE D ENSEIGNEMENT MATHÉMATIQUES, LUVAIN-LA-NEUVE F' G' B' C' A' D' H' E' F G D 2 B C E A H Figure 38 Sur la face horizontale, on place le point A et on trace les iagonales u quarillage passant par A, à savoir et 2 ; à partir e B', on étermine le point B sur ; puis à partir e C ', le point C sur 2 ; à partir e D', le point D également sur 2 ; ensuite, à partir e E' surb ' C ', on repère la position e E sur BC ; et, à partir e F' sur D' E', on obtient F sur DE ; à partir e G ' sur B' F', on obtient G sur BF ; et enfin, H ' sur G ' C ' nous fournit H sur GC. n termine la représentation (figure 39) en utilisant les propriétés suivantes : les verticales sont représentées par es verticales ; les segments égaux situés ans un plan parallèle au plan e projection sont représentés par es segments égaux.
ATELIER ASSCIÉ À L ARTICLE 11 Figure 39 Notons que le texte présente une solution parmi autres possibles. n pourrait par exemple résoure le problème en se servant es points e fuite associés aux irections e la base u moule. c) La représentation e la base u moule en position 3 est analogue. La figure 40 montre comment représenter la face inférieure u moule et la figure 41 montre la construction terminée.
12 GRUE D ENSEIGNEMENT MATHÉMATIQUES, LUVAIN-LA-NEUVE F' G' C' B' A' D' H' E' B F G 2 C A D H E Figure 40 Figure 41
ATELIER ASSCIÉ À L ARTICLE 13 3. Représentations u moule e paix sans quarillage La figure 42 est une représentation en perspective cavalière un moule isposé verticalement, en position frontale. Complétez cette figure en représentant le même moule e telle sorte que l arête soit sur la roite et que soit placé à l avant e. Faites ensuite le même travail en perspective centrale. Figure 42 3.1 Résolution en perspective cavalière Concentrons-nous sur la représentation e la face inférieure u moule, car une fois cette partie-là u problème résolue, le reste suit aisément. Cette face inférieure, composée e trois petits carrés isométriques, est placée ans un carré ont la figure 43 montre l'image en perspective cavalière. Un es côtés e ce gran carré est en position frontale. Que evient la représentation e ce carré si le côté pren la irection e avec evant? A B D C Figure 43 Commençons par tracer, la parallèle à passant par et cherchons la nouvelle position 1 e sur (figure 44).
14 GRUE D ENSEIGNEMENT MATHÉMATIQUES, LUVAIN-LA-NEUVE A B D C Figure 44 our l'obtenir, nous allons passer par une représentation en position frontale u carré ABCD (figure 45). Nous relevons le quarilatère ABCD et l amenons ans la position A' B' BA. A' E' B' ' 1 ' A F' ' E B D C Figure 45 Soit E, l intersection e avec AB. n construit aisément E' et '. Comme la roite passe par E et par, la roite ', passant par E' et ', est la représentation e ans ce plan frontal. Elle coupe AB en F'. Tout se passe comme si les figures ABCD et A' B' BA représentaient eux faces intérieures une boîte cubique écorées 'un même essin. Sur ' nous plaçons le point 1 ' tel que ' 1 ' = ' ' (figure 46). Et en utilisant les propriétés e la perspective cavalière, nous obtenons la position e 1 sur. Le segment 1 ainsi obtenu onne onc la longueur e la représentation e l arête ans la irection e la roite. Il nous reste à éterminer la longueur e la représentation e cette même arête ans la irection perpeniculaire à.
ATELIER ASSCIÉ À L ARTICLE 15 A' E' B' ' 1 ' A ' 1 ' E B 1 D C Figure 46 Servons-nous à nouveau u plan frontal. Traçons-y p' perpeniculaire à ' en ' (figure 47). Cette roite p' rencontre le côté A' A en X'. Cherchons le point X e AD corresponant à X'. our cela, on utilise la propriété suivante : Les rapports e longueurs ans une même irection sont conservés. n a onc : AX XD = A' X' X' A (1) La figure constituée u carré A' B' BA et es roites ' et p' est invariante pour une rotation e 90 autour u point ' et par conséquent, on a : A' X' = AF ' et X' A = F' B (2) Des égalités (1) et (2), on éuit : AX XD = AF' F' B Dès lors, pour éterminer le point X, on trace la iagonale BD et la parallèle à BD passant par F'. Celle-ci coupe AD en X. Les points X et étermine la roite p cherchée.
16 GRUE D ENSEIGNEMENT MATHÉMATIQUES, LUVAIN-LA-NEUVE A' B' X' p' ' 1 ' X A ' 1 F' ' E B 1 p D C Figure 47 Il reste à repérer sur p le point 2 tel que 2 soit la représentation un segment e même longueur que l arête. our cela, ans le plan frontal, on construit 2 ' tel que ' ' = ' 1 ' et, en utilisant les propriétés e la perspective cavalière, on en éuit la position e 2 sur p (figure 48). A' B' X' ' 2 ' 1 ' p' D X 2 ' 1 A ' E B p 1 C Figure 48 Sachant à présent comment représenter un segment e même longueur que l arête ans la irection e et ans la irection perpeniculaire à, il reste à tracer les parallèles nécessaires pour essiner la face inférieure u moule (figure 49).
ATELIER ASSCIÉ À L ARTICLE 17 1 2 C Figure 49 n termine la représentation en prenant comme hauteur le ouble e la longueur u côté AB u parallélogramme. 3.2 Résolution en perspective centrale Comme ans le cas e la perspective cavalière, le problème principal est e représenter la base u euxième moule (figure 50). Figure 50 Dans un premier temps, nous allons représenter la base u moule ayant tourné autour e jusqu à avoir son arête sur la roite qui est parallèle à ans la réalité. our tracer, avons besoin e la ligne horizon sur laquelle se trouvent les points e fuite es roites horizontales ; il s agit e la roite horizontale menée par le point e fuite principal F. Les roites et se rencontrent au point e fuite F (figure 51). F F Figure 51 our représenter une roite qui, ans la réalité, est perpeniculaire à la roite, nous allons utiliser une propriété es projections centrales qui n'est pas intervenue
18 GRUE D ENSEIGNEMENT MATHÉMATIQUES, LUVAIN-LA-NEUVE jusqu'à présent : l angle α formé par eux roites e l objet réel se retrouve au niveau u centre e projection Z lorsqu on joint Z aux points e fuite es eux roites (figure 52). F ' α α Z ' 1 'F' Figure 52 Cette propriété permettra abor e préciser la position u centre e projection à partir u essin onné, ensuite e représenter une roite qui est perpeniculaire ans la réalité à la roite onnée. Nous utiliserons aussi cette propriété pour construire, sur es roites sécantes u essin, es segments qui ont la même longueur ans la réalité. Cette propriété nous permettra ainsi e résoure le problème sans utiliser une vue en vraie graneur u plan sur lequel les objets sont posés. Commençons onc par éterminer la position u centre Z e projection à partir u essin. Le centre Z se trouve ans le plan horizontal mené par la ligne horizon, sur une perpeniculaire à la ligne horizon menée par le point e fuite principal F. our situer Z sur cette roite, nous utilisons le point e istance F'. Un point e istance est, par éfinition, le point e fuite une famille e parallèles horizontales inclinées à 45 par rapport au plan e projection. Le point F' se trouve sur la ligne horizon et s obtient à partir e l image une iagonale e la base u moule. Nous pouvons maintenant situer Z car la istance e Z au point e fuite principal F est égale à la istance e F à F'. A la figure 53, le plan horizontal contenant Z a
ATELIER ASSCIÉ À L ARTICLE 19 été rabattu ans le plan u essin, au-essus e la ligne horizon, par rotation autour e la ligne horizon. Z F F' F Figure 53 Nous pouvons à présent éterminer le point e fuite F p es roites horizontales perpeniculaires à ans la réalité et mener par F p la roite p passant par (figure 54). our ce faire, nous avons utilisé la propriété illustrée à la figure 52. Z F p F F p Figure 54 Nous allons à présent construire sur, un point 1 e sorte que et 1 représentent es segments e même longueur. Il s agit onc e construire un
20 GRUE D ENSEIGNEMENT MATHÉMATIQUES, LUVAIN-LA-NEUVE triangle 1 représentant un triangle isocèle, les angles en et 1 evant être égaux ans la réalité. Nous pouvons à nouveau utiliser le centre Z e projection et bissecter l angle joignant Z aux points e fuite F et F ce qui fournit le point Q sur la ligne horizon (figure 55). L intersection e Q avec fournit le point 1 cherché 2. Z F Q F p 1 Figure 55 our représenter le segment situé e l autre côté e, nous utilisons la conservation e l égalité e segments situés sur es parallèles au plan e projection (figure 56). n trace Q 1 ' e même longueur que Q 1 et on trouve 1 ' à l intersection e et e FQ 1 '. 2 Cette construction apparaît ans le traité e Brook Taylor e 1715, Linear erspective : or, a New Metho of Representing justly all manner of bjects as they appear to the Eye in all situations, (in Kirsti Anersen, Brook Taylor's Work on Linear erpective, Springer-Verlag, New York, 1992). Le problème traité alors par Taylor est le suivant : «Etant onné la ligne e fuite un plan, son centre et sa istance, construire la représentation un cercle à partir e la représentation onnée un rayon.»
ATELIER ASSCIÉ À L ARTICLE 21 Z F p 1 Q' 1 Q 1 ' 1 Figure 56 De manière analogue, on étermine sur la roite p eux segments représentant es arêtes e la base u moule (figure 57). Z F p F p 1 ' 1 Figure 57 n peut ensuite représenter la base u moule ayant une arête le long e en utilisant les points e fuite F et F p (figure 58).
22 GRUE D ENSEIGNEMENT MATHÉMATIQUES, LUVAIN-LA-NEUVE F p F 2 1 ' 1 ' 2 Figure 58 our isposer le moule le long e, il suffit utiliser la conservation e l égalité e segments se trouvant sur es parallèles au plan e projection. Référence bibliographie GRUE D ENSEIGNEMENT MATHÉMATIQUE (G.E.M.) (2006) Les représentations planes comme un fil conucteur pour l enseignement e la géométrie, Annales e Diactiques et e Sciences Cognitives, supplément u vol 11, 51-71.