Td correction Bilans en mécanique des fluides

PSI Moissan 013 TD correction Bilans en mécanique des fluides octobre 013 Td correction Bilans en mécanique des fluides I Jet d eau sur une plaque h D 1 α D m v D a. L écoulement est incompressible et permanent. L écoulement est unidimensionnel, on peut prendre v v x e x, l équation d Euler s écrit Or, le fluide étant incompressible, div v 0 et µp v ÝÝÑ gradq v µv x Bv x Bx e x ÝÝÑ gradp Bv x Bx 0 ÝÝÑ gradp ÝÑ 0 La pression est constante dans les zones ou l écoulement est unidimensionnel. Par ailleurs, par continuité, à l interface eau-air, P P 0, la pression dans les zones d écoulement unidimensionnel est égale à la pression atmosphérique. b. On fait un bilan de moment cinétique, puisque la plaque est susceptible de tourner autour de l axe en choisissant le système suivant à t, le système est constitué par {la plaque, l eau contenue dans la surface Σ} (S 0 ) et {l eau entrant entre t et t ` dt dans la surface en A} (S 1 de masse δm A ), à t ` dt, le système est constitué par {la plaque, l eau contenue dans la surface Σ} (S 0 ) et {l eau sortant entre t et t ` dt de la surface en B (S B de masse δm B ) et C (S C de masse δm C )}. B O z A H y C On calcule le moment cinétique par rapport à à t L ptq L S0 ptq ` δm A p ÝÑ OA ^ v A q e x L S0 ptq ` δm A pp ÝÝÑ OH ` ÝÝÑ HAq ^ v e y q e x 1

PSI Moissan 013 TD correction Bilans en mécanique des fluides octobre 013 ÝÝÑ HA est porté par e y L ptq L S0 ptq ` δm A p h e z ^ v e y q e x L S0 ptq ` δm A vh On calcule ensuite le moment cinétique par rapport à à t ` dt L pt ` dtq L S0 pt ` dtq ` δm B p ÝÑ OB ^ vb q e x ` δm C p ÝÑ OC ^ vc q e x Or en B, la vitesse est colinéaire à ÝÑ OB, en C la vitesse est colinéaire à ÝÑ OC, L pt ` dtq L S0 pt ` dtq On peut écrire la variation du moment cinétique DL L pt ` dtq L ptq L S0 pt ` dtq L S0 ptq δm a vh L écoulement est étudié en régime permanent, avec un débit massique tel que δm A D m dt, DL D m dtvh et DL D m vh Dt Il reste à faire l inventaire des actions extérieures et de leur moment : la pression est la même en tout point entourant le système, et égale à P 0, son moment est nul, la réaction au niveau de l axe est une force qui passe par O, son moment est nul, le poids, dont le moment est à priori non nul. Le poids s applique au centre de gravité de la plaque, M P p ÝÑ OG ^ m gq ex mpp ÝÝÑ OH ` ÝÝÑ HGq ^ p g e z q e x M P mghg mgl sin α On en déduit, en appliquant le théorème du moment cinétique D m vh mgl sin α ñ sin α D mvh mgl c. Le fluide est incompressible, le débit volumique est conservé D m D 1 ` D Par ailleurs, l écoulement étant incompressible, parfait et permanent, on peut appliquer le théorème de Bernoulli en négligeant l effet de la pesanteur Comme P A P B P C P 0, P A ` 1 v A P B ` 1 v B P C ` 1 v C v A v B v C v On fait un bilan de quantité de mouvement qui a pour objectif de relier la variation de quantité de mouvement du fluide à la force de pression exercée sur la plaque. Le système est le même qu à la

PSI Moissan 013 TD correction Bilans en mécanique des fluides octobre 013 question précédente, hormis la plaque. Le système S 0 est constitué uniquement par le fluide contenu dans Σ, de quantité de mouvement p 0 ptq. A l instant t pptq p 0 ptq ` δm A v A p 0 ptq ` D m dt v A et à l instant t ` dt ppt ` dtq p 0 pt ` dtq ` δm B v B ` δm C v C p 0 ptq ` D 1 dt v B ` D dt v C D p Dt D 1 v B ` D v C D m v A La force de pesanteur étant négligé, seule la force de pression s exerce. En particulier, compte tenu du caractère parfait du fluide, la force de surface s exerçant sur le fluide de la part de la plaque se réduit à la pression P (pas de viscosité). On peut alors écrire ÝÑ F P d ÝÑ S où P est variable. On transforme cette intégrale ÝÑ F P 0 d ÝÑ S pp P 0 qd ÝÑ? Σ Σ La première intégrale est nulle, puisque c est l intégrale sur une surface fermée d une pression constante. La deuxième intégrale est non nulle quand P P 0, au contact entre la plaque et le fluide, d où ÝÑ F pp P 0 qd ÝÑ S On a plaque que l on projette le long de la plaque plaque Σ pp P 0 qd ÝÑ S D 1 v B ` D v C D m v A 0 D 1 v ` D v D m sin αv On a finalement le système suivant " D 1 ` D D m D 1 D D m sin α ñ D 1 D mp1 ` sin αq et D D mp1 sin α II Force exercée sur un coude de canalisation On va faire un bilan de quantité de mouvement sur la système fermé suivant à t, le système est constitué du fluide compris entre les surfaces S 1 et S (système S 0 de masse m 0 ), plus le fluide qui va entrer à travers la surface S 1 entre t et t ` dt (système S 1, de masse δm 1 ), à t ` dt, le système est constitué de S 0, plus le fluide sortant par la surface S (système S de masse δm. 3

PSI Moissan 013 TD correction Bilans en mécanique des fluides octobre 013 Par conservation de la masse totale du système mpt ` dtq mptq m 0 ` δm m 0 ` δm 1 δm δm 1 0 ñ δm δm 1 δm On effectue le bilan de quantité de mouvement, à t et à t ` dt ce qui donne pptq p 0 ` δm v 1 ppt ` dtq p 0 ` δm v D p δmp v v 1 q D dtp v v 1 q et D p Dt Dp v v 1 q Par ailleurs, les forces s exerçant sur le système sont : le poids ÝÑ P M g, la force de pression motrice en S 1 : P 1 S 1 e x, la force de pression résistante en S : P S pcos α e x ` sin α e y q la réaction de la canalisation ÝÑ R. de sorte que Dv pcos α e x ` sin α e y q Dv 1 e x M g ` P 1 S 1 e x P S pcos α e x ` sin α e y q ` ÝÑ R La force exercée par le fluide sur la canalisation est donnée par ÝÑ F ÝÑ R Dv pcos α e x ` sin α e y q Dv 1 e x ` Mg e y P 1 S 1 e x ` P S pcos α e x ` sin α e y q que l on projette sur les deux axes pour obtenir les composantes " Fx Dv cos α Dv 1 P 1 S 1 ` P S cos α F y Dv sin α ` Mg ` P S sin α Dans des conditions classiques S 1 S S, P 1 P P 0, et pour un fluide incompressible, par conservation du débit, v 1 v v " Fx Dv cos α Dv P 0 S ` P 0 S cos α F y Dv sin α ` Mg ` P 0 S sin α et en regroupant les termes " Fx pdv ` P 0 Sqpcos α 1q F y pdv ` P 0 Sq sin α ` Mg

PSI Moissan 013 TD correction Bilans en mécanique des fluides octobre 013 III Éolienne/hélice v A v A S A v A Σ 1 Σ v v S B x 1 v B P 0 x P 0 a. Le fluide est incompressible, le débit est conservatif, et S A v A S B v B Sv b. On applique le théorème de Bernoulli entre A et un point de de Σ 1 De même entre un point de Σ et B P 0 ` ρv A P 1 ` ρv P 0 ` ρv B P 1 ` ρv ˆv ñ P 1 P 0 ` ρ A v ˆv ñ P P 0 ` ρ B v On définit le système suivant : à t, le volume compris entre Σ 1 et Σ (S 0, de quantité de mouvement p 0 ptq m 0 vptq) + le fluide rentrant dans S 0 entre t et t ` dt (S 1, de masse δm 1 ), à t ` dt, le volume compris entre Σ 1 et Σ (S 0, de quantité de mouvement p 0 pt ` dtq m 0 vpt ` dtq) + le fluide sortant de S 0 entre t et t ` dt (S, de masse δm ), On fait un bilan de quantité de mouvement sur ce système pptq p 0 ` δm 1 v ppt ` dtq p 0 ` δm v En régime stationnaire, p 0 ptq p 0 pt ` dtq, et δm 1 δm (conservation de la masse) D p Dt ÝÑ 0 Les forces qui agissent sur le système sont les forces de pression et l action de l hélice sur le fluide ÝÑ F, ÝÑ F ` lomon P1 S e x lomon P S e x 0 ñ ÝÑ ˆv F S e x pp P 1 q S e x ρ B v A moteur resistant La force exercée par l hélice sur le fluide est positive (et fournit un travail positif au fluide, fonctionnement en moteur) si P ą P 1 ou si v B ą v A, et S B ă S A. La vitesse d éjection du fluide est plus grande en sortie qu en entrée. Inversement, La force exercée par l hélice sur le fluide est négative (et fournit un travail négatif au fluide, fonctionnement en éolienne/génératrice) si P 1 ă P ou si v B ă v A, et S B ą S A. La vitesse d éjection du fluide est plus petite en sortie qu en entrée, et on prélève de l énergie cinétique du vent pour faire tourner l hélice. 5

PSI Moissan 013 TD correction Bilans en mécanique des fluides octobre 013 c. On choisit un nouveau système dans lequel les pressions sont identiques sur les deux faces, soit : à t, le volume compris entre S A et S B (S 0, de quantité de mouvement p 0 m 0 v) + le fluide rentrant dans S 0 entre t et t ` dt (S 1, de masse δm 1 ), à t ` dt, le volume compris entre S A et S A (S 0, de quantité de mouvement p 0 m 0 v) + le fluide sortant de S 0 entre t et t ` dt (S, de masse δm ), on est toujours en régime permanent p 0 ptq p 0 pt ` dtq, et, et δm 1 δm δm, D p δmp v B v A q D m dtp v B v A q Le débit volumique pour un fluide incompressible est donné par D m ρs A v A ρs B v B ρsv. On a alors D p Dt D mp v B v A q La pression étant la même sur tout le système, la résultante des forces de pression est nulle, la seule force exercée sur le système est la force exercée par l hélice ÝÑ F Dm p v B v A q ρsvp v B v A q En projetant sur l axe Ox et en utilisant le résultat de la question précédente ˆv ρsvpv B v A q Sρ B v A v v A ` v B d. On calcule la puissance à partir de la valeur de ÝÑ F P F ÝÑ F v ρsvpv B v A q v A ` v B D m pv B v Aq qui est une fonction en v 3! On peut aussi utiliser le premier principe de la thermodynamique, appliqué au système à t, le volume compris entre S A et S B (S 0 ) + le fluide rentrant dans S 0 entre t et t ` dt (S 1, de masse δm 1 ), à t ` dt, le volume compris entre S A et S A (S 0 ) + le fluide sortant de S 0 entre t et t ` dt (S, de masse δm ), du ` de c δw ` δq Le fluide étant parfait, il n y a pas de chaleur échangée (adiabaticité) On calcule a variation d énergie interne du ` de c δw pression ` δw f du Upt ` dtq Uptq U S0 ` U S pu S0 ` U S1 q D m dtpu S ` u S1 q L énergie interne massique ne varie pas car le fluide est dans le même état thermodynamique en A et B, du 0 6

PSI Moissan 013 TD correction Bilans en mécanique des fluides octobre 013 La variation d énergie cinétique vaut de c E c pt ` dtq E c ptq E cs0 ` E cs pe cs0 ` E cs1 q D m dtpe cs ` e cs1 q D mdt pvb v Aq La puissance des forces de pression vaut P pression ÝÑ F pression v, soit au total δw pression P pression dt dtpp 0 S A v A P 0 S B v B q 0 Finalement D m dt pvb v Aq δw F P F dt ñ P F D m pv B vaq III.1 Application à la propulsion d un vaisseau (bateau ou avion) e. Le référentiel du vaisseau est galiléen, puisqu il est en translation rectiligne dans un référentiel supposé galiléen. On a alors, dans ce référentiel, pour les vitesses du fluide v A u u e x et v B v e u pv e ` uq e x La puissance fournie par l hélice vaut alors P F D m pv B v Aq D m ppv e ` uq u q D m pv e ` v e uq P m La puissance fournie à la coque est la puissance fournie par l hélice à la coque du vaisseau. Dans le référentiel du vaisseau, l hélice est immobile ÝÑ F helice{fluide ` ÝÑ F helice{bateau ÝÑ 0, ÝÑ F helice{bateau ÝÑ F helice{fluide ÝÑ F On a alors P u ÝÑ F u ρsup v B v A qu e x ρsu pv e q D m v e u On peut alors calculer η D m v e u D m pve ` v e uq u v e ` u ` ve u 1 1 ` ve u f. η est maximal quand v e 0, mais dans ce cas il n y a pas de propulsion! g. Avion ve ve u 0.35, bateau u 1.33. Plus l efficacité est importante, plus une faible vitesse d éjection permet d obtenir une grande vitesse du vaisseau. III. Application à une éolienne h. Le tube de courant a alors la forme suivante (voir question c.) Σ 1 Σ x 1 x 7

PSI Moissan 013 TD correction Bilans en mécanique des fluides octobre 013 i. La puissance fournie sur l arbre de l éolienne est l opposée de la puissance fournie par l hélice au fluide, car ÝÑ F helice{fluide ` ÝÑ F helice{arbre ÝÑ 0, puisque l hélice n a pas de mouvement de translation. On a ce qui donne et P Dm pv B vaq ρsvpvb vaq 1 ρspv B vaq v A ` v B P ρsv3 A On calcule l annulation de la dérivée px 1qp1 ` xq ρsv3 A p1 x qp1 ` xq P ρsv3 A p1 ` x x x 3 q dp dx ρsv3 A p1 x 3x q 0 qui a pour discriminant `1 16 et pour solutions x 1 p`q{6 1 et x p q{6 1{3. La puissance maximale vaut alors P ρsv3 A p1 ` 1{3 1{9 1{7q ρsv3 A 8 p7 ` 9 3 1q 7 7 ρsv3 A j. On calcule le débit de l énergie cinétique contenue dans un cylindre de section S D Ec 1 ρv A lomon E c volumique Sv A lomon volume balayé par unité de temps 1 ρsv3 A r P 16 D Ec 7 k. AN : P max 15, 5 kw. 8