Eléments de Mécanique des Fluides

1 Eléments de Mécanique des Fluides Objectifs de la séance Liaisons entre champ de vitesse, vitesse moyenne, tension visqueuse, tension pariétale, perte de charge et coefficient de frottement Solutions analytiques des équations de Navier-Stokes Ecoulement «rampant» ou de Stokes Ecoulement de Couette et Poiseuille entre deux plaques Ecoulement en film mince Généralisation, en section intégrée, de l équation de Bernoulli Expression générale du coefficient de perte de charge en long d une conduite Pertes de charge singulières en régime non établi Principe Formule de Bélanger (élargissement brusque) 1

Rappel : Sillage et pertes 3 H représente la charge de l écoulement et va diminuer pour autant que UU Supposons : U A la surface d un corps solide imperméable la vitesse normale est nulle et la vitesse tangentielle est nulle La vérification des CL et un raccordement asymptotique de la vitesse de la couche limite avec l écoulement extérieur induit : U Pour un tube de courant passant près de la surface, H tube va diminuer dans le sens de l écoulement Rappel : Sillage et pertes 4 Définition du «sillage» : «zone rassemblant toutes les lignes de courant passant à proximité de la surface du corps» H sillage Dans le sillage, est inférieur à la valeur sur une ligne de courant transitant loin du corps Par conservation de quantité de mouvement, la perte est liée à la traînée du corps = force appliquée

Deux problèmes liés intimement Quel est le centre d intérêt? 5 Corps immergé Exemples : aile, voiture, bateau, Effet à évaluer? Moyens à fournir pour permettre l écoulement Exemples : pompes, écoulement gravitaire en canalisation (égouttage, adduction), Traînée, portance Pertes de charge Lien à la couche limite? Les deux problèmes sont reliés par l intermédiaire i du développement de la couche limite et de son comportement autour du corps dans la «canalisation» Couche limite et perte de charge Pour une plaque mince dans un écoulement uniforme 6 le coefficient pariétal a été défini et exprimé analytiquement p c U 1 C f Coefficient de frottement pariétal Il permet de caractériser les efforts sur le corps à partir de variables de l écoulement 3

Solutions exactes de Navier Stokes 7 Dans certains cas particuliers, les équations de Navier-Stokes admettent des solutions analytiques A partir de ces solutions analytiques, il est possible de déduire la traînée et la portance sur un corps immergé ou bien la perte de charge de l écoulement 8 Ecoulement de Stokes 4

Ecoulement de Stokes 9 Une simplification du système général existe pour Re < < 1 Les termes visqueux sont dominants vis-à-vis des termes convectifs Hypothèses Forces de volume négligées Ecoulement stationnaire p U U Ecoulement de Stokes Ecoulement de Stokes 1 Rappel : Equations générales de Navier-Stokes en adimensionnel Lc u j Ut cc t xj Lc ui uu i j glc pc p c F i Ut c c t xj U x c cu c i UcLc Hypothèses Forces de volume négligées Ecoulement stationnaire ti i Re << 1 u j u uu 1 p 1 Str ui Re i i j F i Eu t x j Fr xi x Re j uu L p p x i j c c j c x cu c i 5

Ecoulement de Stokes 11 Hypothèses Forces de volume négligées Ecoulement stationnaire u j x j Lc pc p c x cu c i Re << 1?? Exemple : Sphère de diamètre : 1 cm Vitesse uniforme : cm/s Re = (eau) Re = (huile olive) Re =.1 (glycérine) Re =. (miel) U p U 1 Ecoulement de Stokes autour d une sphère 6

Ecoulement de Stokes autour d une sphère 13 Dans le cas spécifique de la translation d une sphère dans un fluide incompressible en écoulement stationnaire de vitesse U (forces volumiques négligées) Les lignes de courant au voisinage de la surface suivent la forme de la sphère Ecoulement de Stokes autour d une sphère U Le système à résoudre est : p U 14 Le problème est axisymétrique i selon x, il est donc pertinent d employer les coordonnées sphériques r,, z Par symétrie : vr r, U U v r, x r y 7

Ecoulement de Stokes autour d une sphère 15 En sphérique axisymétrique, la continuité prend la forme développée : 1 1 U r vr v sin r r sin Rappel : Il est toujours possible d exprimer la continuité sous la forme d un vecteur potentiel A Dans cette symétrie, il existe de plus une fonction de courant (vérifiant donc identiquement la continuité) : 1 v r r sin 1 v rsin r Ecoulement de Stokes autour d une sphère 16 Le vecteur potentiel et la «fonction de courant de Stokes» sont définis comme : A r sin er e rsin e e 1 1 1 U A e r e rsin r sin r r sin rsin r 8

Ecoulement de Stokes autour d une sphère 17 L identité vectorielle : U U U par continuité peut simplifier l équation de quantité de mouvement multipliée vectoriellement tpar l opérateur nabla 1 pu L utilisation de la fonction de courant amène à A Ecoulement de Stokes autour d une sphère 18 Or er re rsin e e 1 e sin 1 rsin r sin r rsin r r sin 1 1 r sin sin r e U r sin e e sin 1 U rsin rsin r r sin L équation de quantité de mouvement devient donc une équation scalaire en sin 1 r r sin Ce système est biharmonique, le principe de superposition est applicable 9

Ecoulement de Stokes autour d une sphère 19 Les conditions limites du problème sont : A l infini U U x, y, z v r r v r 1 U cos r sin 1 U sin rsin r U sin r r Sur le périmètre de la sphère v r ra v ra 1 r sin 1 rsin r Ecoulement de Stokes autour d une sphère Etant donné l allure de la fonction à l infini U sin r r Testons une solution du type : f rsin sin 1 r r sin La fonction f doit vérifier : 4 f r f r f r f f d '''' 4 '' 8 ' 8 dr r f dr r dr r d d f f 4 4 dr r dr r dr dr r r dr r d d f f 4 d f d f d f 4f 3 3 3 4 dr r dr dr r dr r dr r r dr r dr r dr r d f d d f d df 4f d f 4 df 4 df 1f 1

Ecoulement de Stokes autour d une sphère 1 Les solutions d dr 4 f r f r f r f f r '''' 4 '' 8 ' 8 Equation equi-dimensionnelle Euler-Cauchy Notions d analyse : Equation d Euler-Cauchy dérivée d'ordre n n n1 n1 n xy an 1x y ay Si f est de la forme r m f '''' 4 f '' 8 f ' 8 f 1 3 4 1 8 8 4 m r f r f r f f r m m m m m m m 4 3 m m m m 6 7 6 8 4 racines réelles m 1,1,, 4 A 4 A 4 f r BrCr Dr sin Br Cr Dr r r Ecoulement de Stokes autour d une sphère Les conditions aux limites permettent de déterminer les constantes A l infini : U U r sin D, C r En r=a : v U A B r ra 3 a a 1 3 3, v A B 4 4 U ra a 3 a A Ua B Ua La solution s exprime donc comme : r r sin 3 U a 3 ar Solution d un champ uniforme Solution d un dipôle Correction rotationnelle 11

Ecoulement de Stokes autour d une sphère Le champ de vitesse se déduit immédiatement : 3 3 1 a 3a vr U 1 cos 3 r sin r r v 3 1 a 3a U 1 sin 3 rsin r 4r 4r La pression : p p ref 3 Ua o cos 3 r Les taux de déformation et les contraintes visqueuses : 3 v 1 vr 3Ua r r sin r r r 4 r 3 U a r r sin r a Ecoulement de Stokes autour d une sphère 4 r x y z La solution analytique en coordonnées cartésiennes : 3 ax a 1 a a u U 1 3 1 3 4 r r 4 r r vu 3 axy a 4 r r 3 1 3 axz a wu 1 3 4 r r 3 ax p pref U 3 r 1

Traînée sur une sphère écoulement de Stokes 5 La traînée de forme est égale à l intégrale des forces de pression sur la sphère : 3 x 3 cos F forme pref U cos sin da pref U a d a a A Jacobien F au DU forme La traînée de frottement est égale à l intégrale des tensions de frottement sur la sphère F dadu frot A Traînée et portance sur une sphère écoulement de Stokes 6 Force de portance = par symétrie de l écoulement par rapport au plan xy Force de traînée = Traînée de forme + Traînée de frottement F DU DU 3 DU traînée Rapport ½ entre les deux composantes de la force de traînée qui est en toute généralité dépendant de la forme et du Re Si A est le maître couple de la sphère Variation de pression le long de l axe x U Ftraînée 3 DU CD A 4 UD CD Re Re C D coefficient de traînée 13

Limites des écoulements de Stokes Paradoxe de Stokes 7 «Les conditions physiques permettant la simplification des équations de Navier-Stokes ne sont pas nécessairement rencontrées sur l ensemble du domaine de solution. C est par exemple le cas à l infini où les termes inertiels prennent souvent le pas sur les termes visqueux.» Exemple : solution analytique du cylindre dans un champ uniforme impossibleibl 8 14

Viscosimètre à chute Application de l écoulement de Stokes : viscosimètre à chute 9 Mesure la viscosité relative par chronométrage du temps de chute d une bille dans un tube calibré rempli d échantillon. Pour échantillons dont l opacité n empêche pas d observer la descente de la bille. Ecoulement particulier réversible Rappelez-vous l expérience montrée au premier cours!! 3 Pouvez-vous maintenant l expliquer? 15

Ecoulement particulier réversible 31 Nager à bas nombre de Reynolds??? Un nageur effectuant des mouvements répétitifs Les mouvements sont périodiques les efforts appliqués s annulent en moyenne le nageur n avance pas Solution : mouvement rotatif 3 Ecoulements e pa plans sde Couette et de Poiseuille oseu e 16

Démarche générale 33 Faisons évoluer le domaine en confinant l espace selon oz Considérons un écoulement plan selon xy entre deux plaques distantes de h Simplifions le système d équations de Navier-Stokes en fonction des caractéristiques de l écoulement Intégrons analytiquement le champ de vitesse Sur base du champ de vitesse analytique, expression : Des tensions visqueuses internes De la tension pariétale Des pertes de charge le long d une ligne de courant Description des écoulements 34 Fluide incompressible newtonien Ecoulements établis unidirectionnels limités par deux plaques planes parallèles, l une étant fixe et l autre éventuellement mobile ECOULEMENT DE COUETTE : La paroi inférieure est au repos, la paroi supérieure est animée d une vitesse de translation uniforme U s (pas de gradient de pression) ECOULEMENT DE POISEUILLE : Deux parois fixes, le moteur de l écoulement étant un gradient longitudinal de pression y h z x 17

Simplification des équations de Navier Stokes Equations de Navier-Stokes h y 35 u k xk ui uu i k 1 p Fi u t xk xi i z x Simplification des équations de Navier Stokes 36 Ecoulement unidirectionnel établi : v = w = et u indépendant de z Force de volume négligée h z y x u x v y w z u u t x uv uw 1 p u u u y z x x y z t x y z v uv v vw w uw vw w t x y z 1 p v v v y x y z z x y z 1 p w w w 18

Simplification des équations de Navier Stokes 37 Ecoulement unidirectionnel établi : v = w = et u indépendant de z Force négligée h z y x u x p u x y p p y p z Détermination du profil de vitesse Conclusion : h y 38 d u dy 1 dp d x z x Au plus, fonction de y Au plus, fonction de x Les deux membres de l équation doivent donc chacun être constants, étant donné que y et x sont des variables indépendantes 19

Détermination du profil de vitesse Intégration h y 39 1 dp y u y C y C dx 1 z x Conditions limites : u = en y = u = U s en y = h Profil de vitesse : u y 1 dp dx y h y U s h y Calcul des tensions visqueuses 4 Tension de cisaillement au sein du fluide : h y xy du dy dp dx h y U s h z x Tension aux parois : dp h U s h xy y dx dp h U s xy y h h dx h

Calcul de la vitesse moyenne 41 Un écoulement entre deux plaques est caractérisé par le débit spécifique La vitesse moyenne peut être évaluée comme le rapport du débit spécifique sur la hauteur h z y x Vitesse moyenne q u uydy A h 1 h h 1 1 dp y h y U s h dx h 1 dp h U s dx 1 y dy CAS PARTICULIER 1 : Ecoulement de Couette 4 Pas de gradient de pression Plaque supérieure mobile h y U s uy h y z x u U s U s f h U Pas de pere t 1

CAS PARTICULIER : Ecoulement de Poiseuille 43 Gradient de pression non nul Plaque supérieure fixe y uy6uh y h 1 dp h u dx 1 dp h 6u h dx h h z y x En régime établi, la vitesse ne varie pas la charge locale ne dépend plus que de la pression Estimation de la perte de charge en long selon une ligne de courant dp 1 1 L u L u p dx u dx ul 4 C f dx h h hu h h L L f x ReL C f coefficient de frottement en long Rapport entre longueurs caract. 44 Ecoulement en films minces

Ecoulement en films minces Rappel : Equations générales de Navier-Stokes 45 uk xk ui uu i k 1 p Fi u i t xk xi Hypothèses Forces de volume négligées Ecoulement stationnaire ti i Ecoulement en fine lame xy, L h 1 z h L Ecoulement en films minces 46 Hypothèses Forces de volume négligées Ecoulement stationnaire Ecoulement en fine lame xy, Lc h 1 z h Lc h Lc négligeable Les grandeurs caractéristiques sont-elles indépendantes? Il est licite de définir un temps de référence pendant lequel une particule parcourt une distance équivalente dans les différentes directions : Lc Lc Lc h t U u v w u v U h w U L c 3

Ecoulement en films minces traitement de l équation de quantité de mouvement selon i 47 ui ui ui 1 p ui ui u i u v w x y z x i x y z Uu i ui ' ui ' uiw ui ' p p ' u i ui ' u' i ui u' i u' v' w' Lc x' y' h z' Lci xi ' L c x' y' h z' hu ui ' ui ' ui ' p h p' h ui ' u ' i u ' u' v' hw w' i Lc x' y' z' u L ' i ci xi L c x' y' z' h ui ' ui ' ui ' p h p' h ui ' ui ' ui ' Re Lu' v' w' ReL Lc x' y' z' u L ' iu ci xi L c x' y' z' Re L LcU h Lc négligeable h L Re 1 L Ecoulement en films minces 48 Equations de Navier-Stokes simplifiées pour les films minces u v w x y z p u x z p p p p v z x y y z UL p p w h z z Il n y a pas de restriction sur le Reynolds Les forces visqueuses sont dominantes si h/l est suffisamment faible (influence des conditions de non glissement aux deux parois) 4

Ecoulement en films minces Equations de Navier-Stokes simplifiées pour les films minces 49 p p p z x y u v w x y z 1 p u z Az B x 1 p v z Cz D y p z Ecoulement en films minces 5 Exemples pratiques - Cellules de Hele-Shaw Conditions aux limites : u,v= en z= et z=h u v w x y z 1 p u z Az B x 1 p v z Cz D y p z u v w x y z 1 p u z( h z) x 1 p v z( h z) y p z Les lignes de courant sont indépendantes de z p v y u p x f z 5

Ecoulement en films minces Exemples pratiques - Cellules de Hele-Shaw 51 u 1 p zh ( z ) y x y u v v 1 p y x zh ( z ) x xy L écoulement dans une cellule de Hele-Shaw est irrotationnel L écoulement est dominé par les effets visqueux 1 p p udx vdy z( h z) dx dy x y C car la pression est une fonction univoque de la position C Ecoulement en films minces 5 Exemples pratiques Théorie de la lubrification des corps Palier (force de soulèvement) Cylindres en rotation excentrique (Force exercée sur le cylindre intérieur) Film mince autour d un corps en rotation Pour obtenir un écoulement permanent, il faut que la rotation du corps respecte.14 gh 6

53 Ecoulement en conduites Couche limite et perte de charge en conduite 54 Diminuons encore le domaine pour qu il soit entièrement confiné par des parois imperméables Ex : conduite circulaire en laminaire Régime non établi Régime établi Contrairement à la plaque (fixe de longueur infinie) qui peut développer une couche limite libre, les parois du tube définissent un espace limité Or, c est la couche limite qui induit principalement les pertes dans l écoulement 7

Couche limite et perte de charge en conduite Ex : conduite circulaire en laminaire 55 Régime non établi Régime établi Les questions pratiques dans cette configuration sont : Quel débit total peut-on faire circuler entre deux points de caractéristiques connues? Comment caractériser globalement les pertes de charge dans cet espace confiné? Quels moyens faut-il mettre en œuvre pour obtenir le débit souhaité? Le praticien accorde peu d importance à la distribution exacte du profil de vitesse mais souhaite pouvoir caractériser son installation de manière globale 56 «Equation de Bernoulli» intégrée ée sur la section 8

Objectif 57 L équation de Bernoulli traduit la conservation de l énergie le long d une ligne de courant Dans le cas d un écoulement confiné, comment se généralise cette relation en tenant compte des variables moyennées de l écoulement? Rappel : loi de Bernoulli 58 Pour un fluide incompressible, si le champ de force est conservateur : U U U p G U U t Par une multiplication scalaire de l équation de quantité de mouvement par U p U U U G U U t H =Fonction de Helmholtz U 9

Loi de Bernoulli intégration sur une section fermée 59 Si le champ de force est conservateur et que l écoulement est stationnaire : UH HU H U HU UU par continuité Intégrons sur une section quelconque : A U da U U da H A Par Leibniz : Surface instantanée t de la section A HUdA U da H HU A t A Position instantanée de la frontière C t Loi de Bernoulli intégrée 6 Bernoulli intégré: HUdA U A U U da A H t C t en stationnaire i A p U H U U G U p p U U G du G 3

Loi de Bernoulli intégrée 61 Il faut introduire des coefficients d inégale répartition sur la section : U U p p U G d U G Quelle sont les valeurs de ces coefficients? 1 si pression hydrostatique 1 3 U d 1 Ud 3 Loi de Bernoulli intégrée 6 d p U 1 G s Ud ds Il faut également caractériser l ensemble des pertes sur la section : 1 s U d L idéal est de pouvoir relier ce terme aux grandeurs moyennes caractéristiques de l écoulement 31

Couche limite et perte de charge en conduite Conduite circulaire en laminaire 63 Régime non établi Régime établi Deux types principaux de perte de charge : les pertes continues (dites pertes en long) qui sont dues aux frottements des filets fluides entre eux ou contre les parois chocs entre particules échangées entre filets voisins (turbulence) chocs entre particules échangées entre filets voisins (turbulence) les pertes locales provoquées par des particularités du parcours changements (brusques ou progressifs) de section changements de direction (coudes, courbes) Chaque type de perte peut être relié à un régime d écoulement «établi» ou «non établi» Couche limite et perte de charge en conduite Conduite circulaire en laminaire 64 Régime non établi Régime établi Le coefficient pariétal a été défini grâce à une mise sous forme adimensionnelle Appliquons un raisonnement semblable pour définir un coefficient de pertes en conduite 3

Analyse dimensionnelle 65 Démarche Inventorier toutes les grandeurs intervenant dans le problème Grouper ces grandeurs en produits sans dimension Exprimer des conditions de similitude en fonction de ces grandeurs sans dimension Choix des grandeurs fondamentales (SI) masse M, temps T, longueur L éventuellement : température, quantité de chaleur,... Applications établissement d équations liant les variables d un problème donné représentation systématique des résultats d un programme expérimental et réduction du nombre de variables à prendre en considération,... ( cours sur les similitudes) Théorème de Vaschy Buckingham 66 Utilité Mettre immédiatement en évidence les produits sans dimension qui règlent la similitude Intérêt Réduire le nombre d arguments de la relation qui existe entre les différentes grandeurs intervenant dans un problème Difficulté Ne pas oublier de grandeurs dans l inventaire de celles intervenant dans le phénomène étudié : étude de leur influence réelle par voie expérimentale Avantage Applicable à tout phénomène physique, mécanique thermique, électrique, 33

Théorème de Vaschy Buckingham : énoncé... 67 Toute relation dimensionnellement homogène entre n grandeurs physiques f(a 1,A,A 3, A n ) = entraîne l existence d une autre relation j( 1,,, n-n )= entre n-n grandeurs sans dimension qui sont des produits distincts de puissances des grandeurs A 1,A, A N de la forme A 1 A A N N est l ordre le plus élevé du déterminant non nul que contient la matrice dimensionnelle des grandeurs A 1,A,A 3, A n. Il est le plus souvent égal au nombre d unités fondamentales dont dépendent A 1,A,A 3, A n Une fois les N grandeurs indépendantes choisies, on peut les utiliser pour adimensionnaliser les (n-n) autres grandeurs afin d écrire une relation entre ces nombres sans dimension Théorème Procédure en pratique 68 Considérons l écoulement permanent en charge dans une conduite circulaire Question : quelle est la perte de charge entre les extrémités? Grandeurs à prendre en compte physiquement : p : pression L : longueur de la conduite D : diamètre de la conduite : rugosité, dimension des aspérités U : vitesse moyenne du fluide : masse volumique du fluide : viscosité cinématique du fluide 34

Procédure en pratique Matrice dimensionnelle 69 p L D U L -1 1 1 1 1-3 M 1 1 T - -1-1 Nombre de paramètres : 7 Rang de la matrice : 3 3 grandeurs primaires linéairement indépendantes 4 produits sans dimension () indépendants Choix des grandeurs indépendantes Procédure en pratique 7 Première grandeur adimensionnelle dérivée : 1 p D U 1 3 p L D U L -1 1 1 1 1-3 M 1 1 T - -1-1 Coefficients i 1 p U 1 35

Procédure en pratique 71 Deuxième grandeur adimensionnelle dérivée : L D U 1 3 p L D U L -1 1 1 1 1-3 M 1 1 T - -1-1 Coefficients i 1 L D Procédure en pratique 7 Troisième grandeur adimensionnelle dérivée : 3 1 D U 3 p L D U L -1 1 1 1 1-3 M 1 1 T - -1-1 Coefficients i 1 3 D 36

Procédure en pratique 73 Quatrième grandeur adimensionnelle dérivée : 4 1 D U 3 p L D U L -1 1 1 1 1-3 M 1 1 T - -1-1 Coefficients i 1 1 4 UD 1 Re Procédure en pratique 74 Selon le théorème, il existe une relation entre : 1 =p/(u²) =L/D 3 = /D 4 =/UD Autrement dit, en régime établi (vitesse indépendante de x) : L 1 p j, 3, 4U j,, U D D Re Tout comme dans le cas de Poiseuille entre deux plaques, la perte en long sera logiquement linéairement proportionnelle à L 1 L 1 p j,, U D D Re Où j, est appelé coefficient de perte de charge en long D Re et noté habituellement f 37

Coefficient de perte de charge 75 Julius Weisbach a proposé en 1845 une formulation des pertes de charge en long LU hr J fl f,re [m] D D g Par extension, une formulation générale de pertes (en long ou locales) peut prendre la forme suivante : Coefficient de perte de charge U Perte k m g nombre d Euler 76 Pertes de chargelocales 38

Pertes de charge locales 77 Les pertes locales sont observées lorsque l écoulement n est pas établi : Modifications de sections Modifications d orientation L écoulement dans ces singularités présente presque toujours des recirculations Etant donné que l écoulement n est pas établi, il n est pas possible de relier le coefficient de perte uniquement à la contrainte pariétale Il est donc très difficile de représenter théoriquement ces pertes Recours à l expérimentation et recueil de pertes de charge Pour caractériser l écoulement, Re sera évalué avec la section la plus faible Ecoulement dans des singularités 78 39

Ecoulement dans des singularités 79 Pertes de charge locales : Elargissement brusque u 1 D 8 A 1 C E A B A G 1 G u z 1 F z Ecoulement stationnaire Q u A u A 1 1 Dans le cas d une répartition uniforme de vitesse et Re > 35 h A 1 k 1 u1 A g 4

Pertes de charge locales : Elargissement brusque Dans la section 1, centre de gravité G 1 81 z 1 p1 u1 g Dans la section, centre de gravité G z p u g p1 u 1 p u hz1 z g g Pertes de charge locales : Elargissement brusque 8 Appliquons la conservation de quantité de mouvement sur le volume ABCDEFA selon l axe x u 1 D D A 1 C E A C p 1 G 3 E B G 1 B G 1 A G u A G p F x Forces extérieures : pesanteur et pression sur les faces Hypothèse : pression hydrostatique P F 41

Pertes de charge locales : Elargissement brusque D u 1 C E 83 a G 3 G 1 B u A G Pesanteur Pression sur AD Pression sur EF z 1 P F z L ga Lsin p a A 1 pa Lsin z a z Conservation de la quantité de mouvement selon G3 G Q u u ga Lsin p a A p A 1 1 1 Pertes de charge locale : Elargissement brusque 84 Q u u ga Lsin p a A p A 1 1 Q u1 u p1 p Lsin a Ag Qu1u p1 p z1az a Ag uu1 u p1 p z1 z g Lsin z a z 1 Cl Calcul lde la perte de charge : u u p 1 1 p h z1 z g g p 1 u 1 p u u u u1 u1 u hz1 z g g g g g 4

Pertes de charge locales : Elargissement brusque 85 u u u1 u1 u h g g g u uu 1 u u 1 u 1 u h g g g g Q u A u A 1 1 h u u 1 g 1 1 h u A 1 u 1 A g A g A 1 Formule de Bélanger 86 Ecoulement laminaire en conduite circulaire 43

Démarche 87 Exprimer Navier-Stokes en coordonnées cylindriques Simplifier les équations selon les hypothèses Intégrer l équation de QM selon x pour déduire le profil de vitesse en fonction du gradient de pression Sur base du profil de vitesse établi : Evaluer la vitesse moyenne Evaluer les tensions visqueuses dans le fluide et la tension pariétale Déduire l expression de la perte de charge en long en fonction des grandeurs moyennes, calculer le coefficient de Weissbach Expliciter le paramètre d inégale répartition d énergie cinétique utile dans «Bernoulli intégré» Ecoulement de Hagen Poiseuille en conduite circulaire 88 Considérons Un fluide incompressible newtonien Une conduite circulaire inclinée Un écoulement laminaire établi dont les lignes de courant sont parallèles aux parois dx dh u u() r Quel est le profil établi de vitesse?? x 44

Ecoulement de Hagen Poiseuille en conduite circulaire 89 Equations de Navier-Stokes en incompressible : uk xk ui uu i k 1 p Fi u i t xk xi F g Equations de quantité de mouvement en coordonnées cylindriques (x,r,) : u u v u u 1 p u 1 u 1 u u vr u gsin t r r x x r r r r x v r v r v v r v r v 1 p v r cos sin r r v v u g v t r r x r r r r v v v v v v r v 1 p r v r u gcoscos v v v t r r x r r r r Ecoulement de Hagen Poiseuille en conduite circulaire Simplifications des équations de quantité de mouvement : 9 u u v u u 1 p u 1 u 1 u u vr u gsin t r r x x r r r r x r r v r r v 1 p r cos sin r r v v u g v v v v v v t r r x r r r r v v v v v v r v 1 p r v r u gcoscos v v v t r r x r r r r (écoulement stationnaire) t v (lignes de courant // aux parois) r v (pas de rotation autour de l'axe) u u (écoulement établi ) x u (écoulement symétrique) 45

Ecoulement de Hagen Poiseuille en conduite circulaire 91 Transformation de l équation de quantité de mouvement selon x 1 p u 1 u g sin x r r r dh sin dx dx dh u 1 u 1 u r r r r r r r 1 p gh 1 d du r x rdr dr supposons ppr (, ) px gr avec x, et r indépendants 1 d p gh 1 d du r dx r dr dr Ecoulement de Hagen Poiseuille en conduite circulaire En intégrant cette équation après multiplication par r, il vient: 9 du r r A A est une constante d intégration dr Une nouvelle intégration est réalisée après division par r : ur r Aln rb 4 Valeur des constantes d intégration: Vitesse finie en r A En r r, u B r 4 B est une constante d intégration 46

Ecoulement de Hagen Poiseuille en conduite circulaire Le profil de vitesse s écrit : 93 u r r r 4 1 d p gh r r 4 dx Equation parabolique de l écoulement laminaire dans une conduite Ecoulement de Hagen Poiseuille en conduite circulaire La vitesse moyenne est évaluée comme 94 r Q u r rdr u A r r 1 r d d p gh p gh r r rdr r 4 dx 8 dx Vitesse maximale en r= : u r d p gh max 4 dx u 47

Ecoulement de Hagen Poiseuille en conduite circulaire La vitesse moyenne dépend du gradient de charge 95 r d p gh u 8 dx Il est donc possible d en déduire la perte de charge sur l ensemble de la conduite : 8uL p gh r Ecoulement de Hagen Poiseuille en conduite circulaire 96 Connaissant : Le profil de vitesse dans la conduite L expression de la perte de charge en long Il est possible d en tirer l expression du coefficient de frottement en long en fonction des paramètres de la conduite et de l écoulement moyen Les caractéristiques de l écoulement interne étant connues, la contrainte de cisaillement ill dans l écoulement l et plus particulièrement la contrainte pariétale peut être évaluée 48

Ecoulement de Hagen Poiseuille en conduite circulaire Coefficient de frottement f 97 p 1 8uL L u h f m g g r Weisbach D g 64 64 f Du Re Du Re Pour un écoulement laminaire dans une conduite Ecoulement de Hagen Poiseuille en conduite circulaire Autres résultats Relation entre et p en écoulement établi 98 dx dh p r rdx p dp r gr dx r d p gh dx x 49

Ecoulement de Hagen Poiseuille en conduite circulaire Autres résultats 99 Introduction de la contrainte de cisaillement du r d p gh dr dx rr r d p gh dx L p gh r Liaison entre et u p gh L 8uL r r 4u r Application de Bernoulli intégré à l écoulement de Poiseuille 1 En écoulement de Poiseuille: U U gh 1 d p ur r r 4 dx r d p gh u 8 dx U m r 3 3 r 1 1 d pgh 1 dpgh 3 3 r 4 dx 3 r dx 3 3 r d pgh r d pgh r r rdr r r rdr 8 dx 8 dx 3 8 1 d p gh r 3 3 r dx 8 3 r dp gh 8 dx 5

Rappel : Loi de Bernoulli intégrée Pour Hagen-Poiseuille : 11 p G U 64 L U Re D g Application de Bernoulli intégré à l écoulement turbulent En écoulement turbulent, idéalisation du profil universel: 1 U U u r 1 r r n r U U est la vitesse de référence au centre U m 1 3 1 3 r r rrn rrn U rdr rdr n r 3 r r 3n3n 13nn 1 3 1 3 3 4 r r n 4n 3n 3 1 rr n rr n U rdr rdr 13nn r r r r 1 r Re n 4.E+3 6 1.767761 1.E+5 7 1.5838537.E+6 1 1.3634699 n 51

Loi de Bernoulli intégrée sur la section Interprétation graphique 13 Ce qu il faut faire en pratique : Choisir un plan de référence Prendre le centre de la conduite comme axe curviligne de référence Utiliser des sections transversales Evaluer le Reynolds dans les endroits critiques évaluer correctement les termes d inégale répartition Tracer les lignes de charge et piézométriques selon une verticale U g p g h U g p g h Plan de référence U g p g h 5