Chp n : Arithmétique I ] Le point sur les nomres Les nomres entiers reltifs :. ; ; ; ; ; ; ; ; Les nomres entiers positifs sont ussi ppelés les nomres entiers nturels. Les nomres décimux : nomres qui peuvent s écrire sous forme de frctions décimles ( le dénominteur est, ou,,, ) Un nomre déciml peut s écrire vec un nomre fini de chiffre près l virgule. Les nomres rtionnels : nomres qui peuvent s écrire sous forme de frctions. Les nomres irrtionnels : ce sont les nomres qui ne sont ps rtionnels. exemples : 4 5 8 6 entiers décimux,8 5, 4, 9 π π rtionnels irrtionnels Irrtionlité de Pour démontrer que est irrtionnel, on utilise un risonnement pr l surde, c estàdire que l on commence pr supposer que est un nomre rtionnel, puis on démontre que cette supposition conduit à une contrdiction, donc que cette supposition est fusse. Supposons que est un nomre rtionnel. Il existerit lors une frction irréductile tel que = donc, en élevnt u crré les deux memres, ( ) = vec et entiers. = c estàdire Le nomre ² serit pir. L entier serit églement pir puisque seul un entier pir peut voir un crré pir. On pourrit écrire = vec entier. En reportnt dns l églité ² = ², on otiendrit : ( )²=² soit 4 ²=² d où, en divisnt pr les memres, = ² Le nomre ² serit lui ussi pir, et pr conséquent serit ussi pir. ² = d où ² = ² ² Or, si et étient tous les deux pirs, l frction pourrit être simplifiée pr, elle ne serit donc ps une frction irréductile. Ce qui est une contrdiction! C est donc que l supposition fite u déprt est fusse, n est ps un nomre rtionnel, c est un nomre irrtionnel.
II] Division euclidienne définition : Soit et deux nomres entiers positifs tels que. Effectuer l division euclidienne de pr, c est trouver le quotient entier positif q et le reste entier positif r tels que : = q + r et r < Division euclidienne de 4 pr. 4 est le quotient et est le reste. 4 = 4 + et < 4 9 4 4 9 III] Diviseurs et multiples définition : Soit et deux nomres entiers positifs tels que. Dire que est un diviseur de signifie qu il existe un entier k tel que = k. Dns ce cs, on peut dire que : divise ; est divisile pr k ; est un multiple de. = 6 + 6 est un diviseur de. 6 divise. est divisile pr 6. est un multiple de 6. r q IV] Plus grnd commun diviseur(pgcd) ) Définition Soit et deux nomres entiers strictement positifs. On note PGCD ( ; ) le plus grnd des diviseurs communs à et. déterminer le PGCD( 4 ; 6) 4 = 4 6 = 6 4 = 6 = 8 4 = 8 6 = 4 = 4 6 6 = 4 9 6 = 6 6 Les diviseurs de 4 sont { ; ; ; 4 ; 6 ; 8 ; ; 4 } Les diviseurs de 6 sont { ; ; ; 4 ; 6 ; 9 ; ; 8 ; 6 } Les diviseurs communs à 4 et 6 sont { ; ; ; 4 ; 6 ; } donc PGCD (4 ; 6) = ) Nomres premiers entre eux définition : On dit que deux entiers (non nuls) sont premiers entre eux lorsque leur PGCD est égl à. PGCD ( 45 ; 8 ) Les diviseurs de 45 sont { ; ; 5 ; 9 ; 5 ; 45 } Les diviseurs de 8 sont { ; ; 4 ; ; 4 ; 8 } 45 et 8 ont un seul diviseur commun { } Comme PGCD ( 45 ; 8 ) = lors 45 et 8 sont premiers entre eux. Remrque : Un nomre entier positif qui dmet exctement deux diviseurs ( et luimême) est un nomre premier. exemples : ; ;5 ; ; ; ; ;9 n est ps un nomre premier. Il dmet un seul diviseur. c) Propriétés Soit et deux nomres entiers strictement positifs. PGCD ( ; ) = PGCD ( ; ) PGCD ( ; ) = Si est un diviseur de lors PGCD ( ; ) =. exemples : PGCD ( ; 5 ) = PGCD ( 5 ; ) PGCD ( ; ) = Comme est un diviseur de 4 lors PGCD ( ; 4 ) =
d) PGCD et soustrction propriété : Soit et deux nomres entiers strictement positifs tels que >. PGCD ( ; ) = PGCD ( ; ) Démonstrtion : voir chier d exercices Comme 5 5 = lors PGCD ( 5 ; 5 ) = PGCD ( 5 ; ) Appliction: Clcul du PGCD pr l lgorithme des soustrctions ) On prend les deux nomres et on les soustrit ) On prend les deux plus petits et recommence On s rrête qund on otient zéro. ) Le PGCD est égl à l dernière différence non nulle. clcul du PGCD( 6 8 ; ) On pplique l lgorithme des soustrctions. 6 8 4 9 6 4 4 8 4 4 4 9 6 4 4 4 8 4 Comme l dernière différence non nulle est 4 lors PGCD( 6 8 ; ) = 4 4 4 e) PGCD et division euclidienne(dmise) propriété : Soit et deux nomres entiers strictement positifs tels que >. Si r est le reste de l division euclidienne de pr lors PGCD ( ; ) = PGCD ( ; r ) Comme 5 = 5 + 5 lors PGCD ( 5 ; 5 ) = PGCD ( 5 ; 5 ) Appliction : Clcul du PGCD pr divisions successives ( Algorithme d Euclide) ) On effectue l division euclidienne du plus grnd nomre pr le plus petit ) On continue en divisnt le diviseur pr le reste de l division précédente, jusqu'à ce que le reste soit égl à. ) Le dernier reste non nul est le PGCD. clcul du PGCD( 5 ; 6 ) On pplique l lgorithme d Euclide. 6 5 5 8 5 8 6 6 8 6 8 utre présenttion : 6 = 5 + 8 5 = 8 + 6 8 = 6 + Comme le dernier reste non nul est 6 donc PGCD( 5 ; 6 ) = 6 V ] Frctions irréductiles ) Définition Une frction est irréductile si son numérteur et son dénominteur sont premiers entre eux. exemples : Comme PGCD ( 6 ;5) = lors 6 est irréductile 5 Comme PGCD ( ;8) lors n est ps irréductile. 8 ) Propriété(dmise) Pour rendre une frction irréductile, on divise le numérteur et le dénominteur pr leur PGCD. 6 PGCD ( 6 ; 5 ) = 6 5 = 6 6 5 6 =
VI] Prolèmes Prolème n : Un confiseur un lot de 5 onons et de 5 sucettes. Il veut réliser des pquets identiques contennt des onons et des sucettes, en utilisnt tous les onons et toutes les sucettes. ) Quel nomre mximl de tels pquets pourrtil réliser? ) Comien yurtil de onons et de sucettes dns chque pquet? Correction du prolème n : ) Comme le nomre de pquets doit diviser les nomres 5 et 5 donc c est un diviseur commun à ces deux nomres. De plus, on cherche le plus grnd nomre possile donc le nomre cherché est le PGCD de 5 et 5. On pplique l lgorithme d Euclide. 5 5 5 4 5 5 4 5 Comme le dernier reste non nul est 45 lors PGCD( 5 ; 5) = 45. Le confiseur pourr réliser, u mximum 45 pquets identiques. ) 5 45 = 5 = Dns chque pquet, il y ur onons et sucettes. 45 Prolème n : Le sol d une pièce rectngulire pour dimensions cm et 49 cm. On veut le recouvrir vec des dlles crrées les plus grndes possiles (sns coupe ni joint). ) Déterminer l longueur du côté de l dlle. Justifier. ) Comien de dlles fudrtil? Correction du prolème n : ) Comme l longueur du côté de l dlle doit diviser les nomres 49 et donc c est un diviseur commun à ces deux nomres. De plus, on cherche l longueur l plus grnde possile donc le nomre cherché est le PGCD de 49 et. On pplique l lgorithme d Euclide. 4 9 6 6 4 8 9 6 9 6 4 Comme le dernier reste non nul est 9 lors PGCD( 49 ; ) = 9. L longueur du côté de l dlle est donc égle à 9 cm. cm 49 ) = 9 = 9 = Il fudr dlles. 49cm dlles dlles
Prolème n : ) Déterminer le PGCD de 5 et 5. ) Écrire le nomre 5 sous forme de frction irréductile, en justifint l réponse. 5 Correction du prolème n : ) On pplique l lgorithme d Euclide. 5 5 4 6 5 6 6 5 5 Comme le dernier reste non nul est 6 lors PGCD( 5 ; 5) = 6. ) Pour rendre une frction irréductile, on divise le numérteur et le dénominteur pr leur PGCD. 5 5 6 = 5 5 6 5 5 = 5