UNIVERSITÉ MOHAMMED V - AGDAL Faculté des Scieces Départemet de Mathématiques Filière Scieces de Matières Physiques (SMP4) Module Mathématiques : Aalyse (S4) Cours d Aalyse Séries umériques Suites et Série de foctios Séries etières A. Bourass, A. Ghami, N. Madi (FSR 2009-2010)
Table des matières 1 Séries umériques FSR / SMP(S4) 3 1.1 Défiitios et premières propriétés.................... 3 1.2 Séries à termes positifs......................... 5 1.3 Séries alterées............................. 9 2 Suites et Série de foctios FSR / SMP(S4) 10 2.1 Rappels................................. 10 2.2 Suites de foctios........................... 11 2.3 Séries de foctios........................... 14 3 Séries etières FSR / SMP(S4) 17 3.1 Défiitio et permières propriétés.................... 17 3.2 Développemet e série etière..................... 18 2
Chapitre 1 Séries umériques 1.1 Défiitios et premières propriétés Defiitio 1.1. 1) O appelle série à termes das K = (R ou C) tout couple ((u ), (S ) ) forme d ue suite (u ) d élémets de K et de la suite (S ) défiie par S = u k u est appelé le terme gééral de la série et S est la somme partielle d ordre. O écrira formellemet u ou lieu de ((u ), (S ) ). 2) La série u coverge, ou est covergete, si et seulemet si (S ) est covergete et S = lim S est appelée la somme de la série u. O ote alors S = + u. La série diverge (ou est divergete) si elle e coverge pas. Propositio 1.2 (Coditio écessaire). Si la série u coverge alors u 0 quad +. Preuve : Ceci résulte du fait que u = S S 1 S S = 0 où S = u k. k Exemples 1.3. 1 1. La série : 1 Pour assez grad, o a bie l() l(2). Alors, si o ote par m la partie 3
4 CHAPITRE 1. SÉRIES NUMÉRIQUES FSR / SMP(S4) etière de l l l l 2, m = E( l 2 ), o obtiet m l 2 < m + 1 et doc m l(2) l(). E appliquat e x qui est ue foctio croissate, o voit que 2 m. Par suite 1 S = 2m k 1 k. k=1 k=1 Or 2 m 1 k = 1 + 1 2 + (1 3 + 1 4 ) + (1 5 + + 1 8 ) + + ( 1 2 k=1 m 1 + 1 + + 1 2 m ) 1 + 1 2 + 2 1 4 + 4 1 8 + + 2m 1 1 2 m = 1 + m 2 Par coséquet S 1 + m 2. Il e résulte doc que la série 1 diverge. Résultat fodametal : La série 1 est divergete. 2. Série géométrique a : 0 La suite des sommes partielles est doée par S = 1 + a + + a. Alors, o a S +1 = 1 + a + + a +1 = 1 + a(1 + + a ) = 1 + as. D autre part, o a a +1 = S +1 S et doc a +1 = 1 + as S = 1 + (a 1)S. Si a = 1 o a S = a+1 1 a 1 et s e suit alors que S diverge si a > 1 et coverge si a < 1. Das ce derier cas o a S a 1 1. Efi, la série diverge si a = ±1. E effet pour a = 1, il est clair que S = +. Pour a = 1, le terme gééral a = ( 1) e ted pas vers zero et doc la série diverge d après la coditio écessaire de covergece des séries umériques. Résultat fodametal : La série a coverge si et seulemet si a < 1 et sa somme est + 0 =0 1 a 1.
1.2. SÉRIES À TERMES POSITIFS 5 Defiitio 1.4. Soit u ue série covergete. O appelle reste d ordre de cette série la quatité R doée par R = u k. k=+1 O a alors S = u k = S + R. Propositio 1.5. Le reste d ordre d ue série covergete u ted vers 0, lorsque 0. Preuve : E effet R = u k S = S S 0. Propositio 1.6. Soiet u et v deux séries covergetes. Alors (u + λv ) coverge pour tout λ R. Preuve : Il suffit de passer aux suites partielles. Propositio 1.7. O désige par Ru (resp. Iu ) la partie réele (resp. immagiaire) de u. Alors, o a u coverge { Ru Iu coverge u. Propositio 1.8. Soiet u et v deux séries covergetes telles que u v. Alors u v =0 =0 1.2 Séries à termes das R + Lemme 1.9. Soit u ue série à termes positifs, u 0. Alors u coverge si et seulemet si la suite des sommes partielles est majorée, c est-à-dire M > 0 tel que S = u k M,.
6 CHAPITRE 1. SÉRIES NUMÉRIQUES FSR / SMP(S4) Preuve : La série u coverge si et seulemet si (par défiitio) la suite (S ) coverge. Mais comme (S ) est croissate, puisque u 0, o sait que (S ) coverge si et seulemet si elle est majorée. Théorème 1.10 (Critères de covergece). Soiet les deux séries u et v. Alors o a 1. Si 0 u v, alors o a v coverge u coverge et u diverge v diverge. 2. Si u = O(v ) avec u 0 et v 0, alors v coverge u coverge. 3. Si u v pour + et v 0, alors u et v sot de même ature 4. Régle α u 0 : S il existe α > 1 tel que α u 0 alors u coverge. 5. Régle de Cauchy : Soit u 0 telle que u l, alors u coverge si l < 1 et diverge si l > 1. 6. Régle de D Alembert : Soit u > 0 telle que u +1 u l, alors u coverge si l < 1 et diverge si l > 1. Mise e garde : Le cas l = 1 das les régles de Cauchy et D Alembert est u casqu il coviedrait d étudier à part das chaque cas. Exemple 1.11 (Exemple fodametal : Série de Riema). O cosidère la série 1 α avec α R. Si α 0 alors 1 α diverge car 1 α 0. Si α = 1 alors la série 1 diverge (voir Exemples 1.3). Si 0 < α < 1, o a bie 1 < 1 α est doc la série 1 α diverge d après (1) du théorème précédet. Si α > 1, alors o a et doc N =1 1 α 1 α 1 1 α < dt 1 t α = 1 ( 1 α 1 ( 1) α 1 1 ) α 1 N ( 1 =1 ( 1) α 1 1 ) 1 = α 1 α 1 (1 1 N α 1 ) 1 α 1. Il e résulte alors que 1 α coverge puisque la suite S N = N 1 α est majorée. =1 Résultat fodametal : La série 1 α ; α R, coverge si et seulemet si α > 1.
1.2. SÉRIES À TERMES POSITIFS 7 Exemples 1.12. 1. u = 22 e 2. Par la régle de D Alembert, o a u +1 u = 2 2(+1) e 2(+1) +1 2 2 e 2 = ( ) 2 ( ) 2 e + 1 ( ) 2 2 < 1. e Doc 22 e 2 est covergete. O peut utiliser aussi la régle de Cauchy. 2. u = ( +1 )2 = (1 + 1 ) 2. Par la règle de Cauchy, o a u = (1 + 1 ) = 1 (1 + 1 ) 1 e < 1. Alors ( +1 )2 coverge. 3. Soit u = ( +1 a )2 ; a R +, ( ) Par la régle de Cauchy, o a a u (1+ 1 ) = ( a u 0 si a < 1 u 1 e < 1 si a = 1 u + si a > 1 Par suite, la série (u = ( a +1 )2 ) ; a R +, coverge si et seulemet si a 1. 4. Soit u = a l(1 + 1 ) b cos 1 + c si 1. O sait que 1+ 1 l(1 + 1 ) = 1 1 2 2 + 1 3 3 + o( 1 3 ) cos 1 = 1 1 2 2 + o( 1 2 ) si 1 = 1 + o( 1 2 ). )
8 CHAPITRE 1. SÉRIES NUMÉRIQUES FSR / SMP(S4) Il e résulte que u = a b + (c a 2 ) 1 + ( a 3 + b 2) 1 2 + o( 1 2 ). Si a = b alors u a b = 0, et doc u diverge. a = b et c = a 2 alors u α 1 et doc u diverge d après (3) du théorème précédet (puisque 1 diverge). Si a = b, c = a 2 et a 3 + b 2 = 0, alors u α 1 2, doc u coverge. Si a = b, c = a 2 et a 3 + b 2 = 0, alors u = o ( 1 2 ), doc u coverge. 5. u = π 0 si x 1+x 2 dx. Pour tout x [0, π ] [0, π] o a 1 1+π 2 1 1+x 2 1. D où, si(x) 1 + x 2 si(x) car si(x) 0 pour x [0, π]. O e déduit, 0 u π 0 si dx = 1 cos π π2 2. Doc u coverge. Defiitio 1.13. La série u est dite absolumet covergete si la série à termes positifs u coverge. Propositio 1.14. Si la série u est absolumet covergete, alors u coverge Preuve : Posos S = u k et T = u k, o a S +p S = u +1 + + u +p u +1 + + u +p = T +p T. Mais (T ) coverge par hypothèse, doc (T ) est de Cauchy. Il e résulte que (S ) est aussi de Cauchy, et doc coverge.
1.3. SÉRIES ALTERNÉES 9 1.3 Séries alterées Defiitio 1.15. La série u est dite alterée si et seulemet si pour tout N, o a u = ( 1) u ou u = ( 1) u. Théorème 1.16. Soit u ue série alterée. Si la suite ( u ) décroit et u 0, alors u coverge. Preuve : Supposos que u = ( 1) u, o a alors et De plus S 2p+2 S 2p = u 2p+1 + u 2p+2 = u 2p+1 + u 2p+2 0 S 2p+3 S 2p+1 = u 2p+3 + u 2p+2 = u 2p+3 + u 2p+2 0. S 2p+1 S 2p = u 2p+1 0. Aisi, les deux suites extraites (S 2p ) p et (S 2p+1 ) p sot adjacetes et doc S 2p et S 2p+1 ot même limite. Ceci motre que (S ) coverge. Exemples 1.17. 1. O cosidère la série ( 1) α avec α R. Si α 0, alors ( 1) α Si 0 < α 1, alors ( 1) α Si α > 1, alors ( 1) α 0 et doc la série diverge. 2. Soit u = 1 2 +1 (( 1) + a) ; a R. coverge d après le théorème précédet. coverge absolumet et doc ( 1) α coverge. La série est pas absolumet covergete, car u 1 et doc u e coverge pas. Pourtat, la série u est covergete. E effet, o a où v = ( 1) 2 +1 u = ( 1) 2 + 1 + a 2 + 1 = v + w est ue suite alterée 0. Doc d après le théorème précédet v coverge. Comme w est aussi covergete (car alors que la série u est covergete. a 2 +1 1 2 ), o coclut
Chapitre 2 Suites et Série de foctios 2.1 Rappels Soit K = R ou C et A R. O ote par F(A, K) l espace vectoriel sur K des foctios de A das K, F(A, K) = { f : A K}. O dit que f F(A, K) est borée si et seulemet s il existe ue costate M > 0 tel que f (x) M, x A. O ote par B(A, K) le sous espace vectoriel de F(A, K) costitué des foctios borées, B(A, K) = { f F(A, K), f bore}. Par C(A, K) o désige l esemble des foctios cotiues de A das K. C est u sous espace vectoriel de F(A, K). Efi, o défiit la orme f = sup f (x). x A Théorème 2.1. Soit A = I = [a, b] avec a, b R et a < b. Alors, toute foctio cotiue sur [a, b] est borée. De plus, il existe x 1, x 2 [a, b] tels que if f (x) = x [a,b] f (x 1 ) et sup f (x) = f (x 2 ), x [a,b] f (x 1 ) f (x) f (x 2 ) x [a, b]. Théorème 2.2 (T.A.F). Soit f C(A, K) ue foctio dérivable. O suppose de plus que f (x) M, x A. Alors, o a f (x) f (y) M x y, x, y A. 10
2.2. SUITES DE FONCTIONS 11 2.2 Suites de foctios Defiitio 2.3. 1. O dit que la suite de foctios ( f ) coverge simplemet sur A vers la foctio f si pour tout x A, la suite umérique ( f (x)) coverge vers f (x). ui f. 2. O dit que ( f ) coverge uiformémet sur A vers f et o écrit f si f (x) f (x) coverge vers 0. Cela sigifie que la suite umérique ( ) f f sup x A coverge vers 0. Propriété 2.4. Si f ui f. f, alors f f simplemet. Remarque pratique : Pour motrer que f ui f. f, o étudie f (x) f (x). O essaie de majorer ( f (x)) f (x) par ue quatité u idépedate de x telle que u 0. Exemples 2.5. 1. Soit ( f (x)) = x3 1+x 2. Pour x = 0 o a f (0) 0. Si x = 0 o a f (x) x. Alors, la suite de foctios ( f ) coverge simplemet sur R vers la focio f (x) = x. De plus, o a f (x) f (x) = x 1 + x 2 x. Si x 1, alors f (x) f (x) 1. Du fait que x 2 1+x 2 x 1 o a 1 o déduit que x 1. Il s esuit alors que si 1+x 2 x f (x) f (x) = x 1 + x 2 1 x 1. Par suite sup f (x) f (x) 1 0. x R Alors, la suite de foctios ( f ) coverge aussi uiformemet sur R vers la foctio f (x) = x.
12 CHAPITRE 2. SUITES ET SÉRIE DE FONCTIONS FSR / SMP(S4) 2. O cosidère la suite de foctios f (x) = l(1 + x ). Il est claire que cette suite coverge simplemet vers 0 sur R + car f (x) x quad +. Mais, elle e coverge pas uiformemet sur R +. E effet, pour tout N fixé, o a sup f (x) 0 = sup f (x) = +. x R + x R + Toutefois, elle coverge uiformemet vers 0 sur tout itervalle [0, a] fermé boré de R + ; e effet pour tout x [0, a], o a f (x) l(1 + a ) et doc sup f (x) l(1 + a x [0,a] ) 0. Théorème 2.6. Soit f : I R avec I = [a, b]. O suppose que f f uiformemet sur I. 1. Si les f sot cotiues sur I, il e est de même de f. 2. Si les f sot itégrables alors f est itégrable et lim b a f (x)dx = b a f (x)dx. 3. O défiit F (x) = x a f (t)dt et F(x) = x a f (t)dt. Alors F ui f. F sur [a, b]. Preuve : O a x F (x) F(x) = ( f (t) f (t))dt a x a f (t) f (t) dt f f x a Par suite F (x) F(x) b a f f 0.
2.2. SUITES DE FONCTIONS 13 Remarque et Exemple 2.7. O cosidère la suite des foctios { 1 si x [0, ] f (x) = 0 sio O a bie mais + 0 f ui f. 0, f (t)dt = 1 0. Théorème 2.8. Le théorème précédet est plus vrai si I est pas u itervalle fermé boré. Soit f : [a, b] R ue suite de foctios vérfiat i) Il existe α [a, b] tel que f (α) + l R ii) f ui f. g. Alors ( f ) coverge uiformemet vers ue foctio f qui est la primitive de g preat la valeur l au poit α, et o a f = g. Preuve : Pour tout x fixé, o a f (x) = f (α) + x α f (t)dt. Alors, par passage à la limite o obtiet lim f (x) = l + x α g(t)dt. Si o pose f (x) = l + x α g(t)dt, alors f + f précédet. E effet, posos 0 d après le théorème F (x) = x α f (t)dt = f (x) f (α) et F(x) = x α g(t)dt. O a doc d après le théorème précédet F F uiformémet sur [a, b]. C est à dire puisque f (α) l : f (x) l + x α g(t)dt = f (x), où f est la primitive de g qui pred la valeur l au poit x = α.
14 CHAPITRE 2. SUITES ET SÉRIE DE FONCTIONS FSR / SMP(S4) 2.3 Séries de foctios Defiitio 2.9. 1. O appelle série de foctios u couple de deux suites ( f ) et (S ) avec S = f k, o la ote f. k 2. f coverge simplemet sur A si la suite (S ) coverge simplemet sur A, c est-à-dire si et seulemet si pour tout x A la série umérique f (x) coverge. La foctio x f k (x) est appelée reste de la série f. k O ote par + f la somme de la série f, i.e. la foctio f défiie par =0 ( + ) + f (x) = f (x). =0 =0 3. La série f coverge uiformemet sur A si et seulemet si la suite de foctios (S ) coverge uiformemet sur A : Autremet dit s il existe ue foctio S : A R telle que sup s (x) s(x) 0. x A 4. La série f coverge absolumet sur A si la série f coverge simplemet sur A. 5. O dit que la série de foctios f coverge ormalemet sur A si et seulemet si la série f coverge das R +, avec f sup f (x). x A Théorème 2.10. 1. Si la série f coverge ormalemet, alors f coverge uiformémet, et doc f coverge simplemet. 2. La série f coverge ormalemet si et seulemet s il existe ue série u à termes positifs et covergete telle que Exemples 2.11. f (x) u, x,.
2.3. SÉRIES DE FONCTIONS 15 1. Soit f (x) = si x!. O a f (x) 1!. La sa série umérique 1! coverge. Alors f coverge ormalemet d après 2) du théorème précédet. 2. Soit f (x) = x 2 e x sur R +. La série f coverge simplemet mais pas ormalemet sur R +. E effet, pour tout fixé, o a f (x) = x(2 x )e x. Le tableau de variatio de la foctio f (x) motre que f = f ( 2 ) = 4 e 2. Par suite la série umérique f diverge et doc f e coverge pas ormalemet sur R +. 2 Pourtat, pour u réel a > 0 et u etier N 0 tel que < a, o a bie N sup x>a f (x) = f (a) = a 2 e a et doc o a la covergece ormale de la série f sur tout [a, + [ ; a > 0. Notos aussi que comme f = 4 e 2 0 alors la série f e coverge pas uiformémet sur R + = [0, + [. Mais, elle coverge uiformémet sur tout [a, + [ ; a > 0. Théorème 2.12. Soit f ue série de foctios défiies sur I = [a, b]. O suppose que f coverge uiformémet sur [a, b] et que les f sot cotiues. Alors i) La foctio f = f est cotiue. ii) La série ( b a f (t)dt) coverge et o a b a b ( f (x))dx = ( f (x)dx). a Théorème 2.13. Soit f ue suite de foctios de classe C 1 vérifiat i) f coverge simplemet
16 CHAPITRE 2. SUITES ET SÉRIE DE FONCTIONS FSR / SMP(S4) ii) f coverge uiformémet. Alors, o a a. f coverge uiformémet. b. f = f est de classe C 1. c. f = ( f ) = f.
Chapitre 3 Série etières 3.1 Défiitio et première propriétés Defiitio 3.1. Ue série etière est ue série de foctios f où f (z) = a z, autremet dit ce sot les séries de la forme a z, a C. Lemme 3.2 (d Abel). S il existe ρ C tel que a ρ coverge, alors pour tout z C tel que z ρ, la série a z est absolumet covergete. Defiitio 3.3 (théorème). Soit a z ue série etière. Alors, il existe R [0, + ] tel que i) Si z C tel que z < R, alors a z coverge. ii) Si z C tel que z > R, alors a z diverge. R est appelé rayo de covergece de la série etière a z. Exemple 3.4. La série z est de rayo de covergece R = 1, et elle diverge pour tout z C tel que z = 1. La série z 2 est de rayo de covergece R = 1, et coverge pour tout z C tel que z = 1. Propositio 3.5 (Règle de D Alembert). Si lim a +1 a = l [0, + ], alors le rayo de covergece de la série etière a z est R = 1 l avec les covetios 1 0 = + et 1 + = 0. 17
18 CHAPITRE 3. SÉRIES ENTIÈRES FSR / SMP(S4) Propositio 3.6. Soit la série etière a x. Alors la série etière dérivée a x 1 1 a le même rayo de covergece que la série a x. Théorème 3.7. 1. a x coverge ormalemet sur tout itervalle fermé boré coteu das ] R, R[= I R 2. La foctio S(x) = a x est cotiue sur I R 3. S(x) est de classe C sur I R et o a pour tout k N, S (k) (x) = + =k! ( k)! a x k. 3.2 Développemet e série etière Defiitio 3.8. O dit qu ue foctio f est développable e série etière s il existe ue série etière a x de rayo de covergece R tel que f (x) = a x, x I ] R, R[, et o a f est de classe C sur I et a = f (0).! Propositio 3.9. Si f est développable e série etière avec f (x) = a x, alors i) Si f est pair, alors a 2p+1 = 0. ii) Si f est impair, alors a 2p = 0. Propositio 3.10. Soit f : I =] a, a[ C ue foctio de classe C. Alors f est développable e série etière, (DES(0)), si et seulemet s il existe α tel que 0 < α a et des costates A > 0 et B > 0 vérifiat x, α < x < α, o a f (x) B.A!. Propositio 3.11. Soit f : I =] α, α[ R ue foctio de classe C de formule de Taylor avc reste itégral f (x) = f (k) (0) x x k (x t) + f (+1) (t)dt. k! 0!
3.2. DÉVELOPPEMENT EN SÉRIE ENTIÈRE 19 Alors f est développable e série etière si et seulemet s il existe β ; 0 < β < α tel que R ( f )(x) := f (x) f (k) (0) x k 0, k! x ] β, β[. Preuve : Il est clair que si f est développable e série etière alors R ( f )(x) 0 sur ] R, +R[. Réciproquemet, si R ( f )(x) 0 sur ] β, β[, alors f (k) (0) x k = f (x) R ( f )(x) f (x). k! De plus la série f (k) (0) k! x k est de rayo de covergece R β > 0. Exemples 3.12. 1. Soit e x = x k k!. O a Alors x 0 e x = x k x 0 k! + 0 (x t) e t dt.! (x t) e t dt! max(1, ex ) = max(1, e x ) x 0 0 x (x t) dt! (u) du! Il e résulte que pour tout x R o a x Par suite, pour tout x R o a 0 = max(1, e x ) x +1 ( + 1)! (x t) e t dt! 0. f ( k)(0) x k = f (x) R ( f )(x) f (x). k!
20 CHAPITRE 3. SÉRIES ENTIÈRES FSR / SMP(S4) Efi, 1 2. 1 x = x k. f ( k)(0) k! x k est de rayo de covergece égale à +. 3. Soit f (x) = cos(x). ( 1) cos(x) = k x (2k) x (x t) + cos(t)dt (2k)! 0! x = (x t) x cos(t)dt! u! du = x+1 ( + 1)! 0 0 4. l(1 x) = x. =0 Propriété 3.13 (Opératios). Soiet f et g deux foctios DES(0) avec f (x) = a x et g(x) = b x. Alors i) f + g est DES(0) et o a f + g = (a + b )x. ii) f g est DES(0) et o a f g = c x avec c = a k b k. iii) f est DES(0) et o a f = a x 1. =1 iv) f (k) est DSE(0). v) Les primitives de f sot aussi DES(0).