Débrouillage pré-diagnostique Mathématique Secondaire IV Mat-4101 Mat-4102 Mat-4103 Conception : Micheline Denis, Dominic Ducharme et Nathalie Poulin Tiré de Brault et Bouthillier : Mat-5101 et Mat-4111 Modulo : Mat-4102
Rappel théorique Représentation graphique d'une équation du premier degré La représentation d'une équation du premier degré à deux variables est une droite. Pour tracer la droite qui correspond à une équation donnée, on doit, idéalement, calculer les coordonnées d'au moins trois couples qui sont des solutions de cette équation. On attribue une valeur quelconque à l'une des deux variables, puis, à l'aide de l'équation, on calcule la valeur de l'autre variable, ce qui nous donne un couplesolution de cette équation. En situant ces couples dans un plan cartésien, on constate qu'ils sont colinéaires, c'est-à-dire qu'ils forment une droite lorsqu'on les relie par un trait. Représenter graphiquement l'équation 5x- 2y+ 10 = 0 Étape 1 On attribue à x la valeur 0 afin de calculer les coordonnées d'un premier couple. On obtient ainsi un premier couple, (0,5) que l on situe sur le plan cartésien. Étape 2 On attribue maintenant à y la valeur 0 afin de calculer les coordonnées d'un deuxième couple. On obtient un deuxième couple, (-2,0), que l on situe également sur le plan 2
Étape 3 On attribue une autre valeur à x afin de calculer les coordonnées d'un troisième couple. Posons x = -4. On obtient le couple (-4, -5), que l'on situe sur le plan. Étape 4 On relie les trois points par une droite qui représente tous les couples-solutions de l'équation. Les types de droites Il existe trois types d'équations, chacun étant associé à une droite: 1. y ax b droite oblique ( pour A 0 et B 0) 2. x k droite verticale 3. y k droite horizontale 3
Droite oblique Si vous observez ces équations, vous remarquez que le premier type, y = ax + b, comporte les deux variables, x et y. Pour toute valeur non nulle des paramètres A et B, la représentation graphique de ce type d'équation sera toujours une droite oblique. Voici la représentation graphique de l'équation 4x + 5y = 200 Droite verticale Dans les équations du type x = k, vous remarquez que le terme en y est absent. Ces équations sont représentées par une droite verticale, car la valeur de x est une constante. Voici la représentation graphique de l'équation 2x - 10 = 0 Pour tracer le graphique de cette équation, on doit isoler x afin de connaître sa valeur constante. 2x 10 0 2x 10 x 5 On obtient x=5, ce qui signifie que, pour tous les couples (x, y) associés à cette équation, la valeur de x sera toujours égale à 5. En situant sur un plan cartésien tous les points dont la première coordonnée est 5, on obtient une droite verticale. 4
Droite horizontale Dans les équations du type y = k, vous remarquez que le terme en x est absent. Ces équations sont représentées par une droite horizontale, car la valeur de y est une constante. Voici la représentation graphique de l'équation 6y + 18 = 0 Pour tracer le graphique de cette équation, on doit isoler y afin de connaître sa valeur constante. 6y 18 0 6y 18 y 3 On obtient y=-3, ce qui signifie que, pour tous les couples (x, y) associés à cette équation, la valeur de y sera toujours égale à -3. En situant sur un plan cartésien tous les points dont la seconde coordonnée est -3, on obtient une droite horizontale. Représentation graphique d une inéquations du premier degré à deux variables. Dans le cas d'une inéquation, on représente la droite à l'aide d'une ligne pointillée si l'inégalité est stricte (> ou <), ou d'une ligne continue si l'inégalité n'est pas stricte ( ou ). On hachure ensuite le demi-plan situé au-dessus ou au-dessous de la droite. Pour déterminer quel demi-plan on doit hachurer, on isole la variable y dans le membre gauche de l'inéquation. Une fois la variable y isolée, on hachure le demi-plan situé audessus de la droite si le symbole d'inégalité est > ou, et le demi-plan situé sous la droite si le symbole est < ou. 5
Lorsque la droite associée à une inéquation est verticale, ce qui signifie que l'inéquation est du type x < k ou x > k, on ne peut dire qu'on colorie le demi-plan situé au-dessus ou au-dessous de la droite. Souvenez-vous que vous devez isoler la variable x avant de déterminer la région à colorier, car le symbole d'inégalité pourrait être inversé au cours des opérations. Le demi-plan se trouve à gauche si le symbole est < ou, et à droite si le symbole est > ou. Étape 1 On calcule les coordonnées de trois points qui nous permettront de situer sur le plan la droite qui délimitera le demi-plan correspondant à l'inéquation 2x - y + 2 > O. Pour x 0 2 0 y 2 0 Pour y 0 2x 0 2 0 On obtient ainsi trois couples: Étape 2 On situe les couples sur un plan cartésien et on les relie par une ligne pointillée, car l'inéquation est stricte: l'égalité n'est pas comprise dans le symbole qui sépare les deux membres de l'inéquation. y x 1 Pour x 1 2 1 y 2 0 2 y 4 0,2, 1,0, 1,4 Étape 3 On isole la variable y dans le membre gauche de l'inéquation afin de déterminer quel demi-plan il faut colorier pour représenter la solution. 2x y 2 0 y 2x 2 y 2x 2 6
Vous remarquez qu'on a inversé le symbole d'inégalité, car le coefficient de la variable y était négatif. Lorsqu'on divise les membres d'une inégalité par un nombre négatif, on doit toujours inverser le symbole d'inégalité. Étape 4 L'inéquation à représenter est y < 2x + 2. On doit donc colorier le demi-plan situé sous la droite. Méthodes algébriques Élimination Comme son nom l'indique, la méthode d'élimination, couramment utilisée, consiste à éliminer l'une des deux variables en additionnant les équations. Pour ce faire, on doit préalablement transformer, si nécessaire, les équations afin que les coefficients d'une même variable soient des nombres opposés. 4x 3y 11 et 3x y 5 4x 3y 11 3x y 5 3 4x 3y 11 9x 3y 15 4x 3y 11 4 2 3y 11 9x 3y 15 8 3y 11 13x 0y 26 3y 11 8 13x 26 3y 3 13 13 3 3 x 2 y 1 7
Comparaison Cette méthode permet de calculer la valeur d'une seule variable à la fois. Elle consiste à isoler la même variable dans chacune des deux équations. 2x y 3 0 et x y 6 0 y 2x 3 y x 6 y 2x 3 2x 3 x 6 y 2x 3 2x x 6 3 y 2 1 3 3x 3 3 3 y 2 3 x 1 y 5 Substitution On isole une variable dans l'une ou l'autre des équations du système, puis on remplace, dans l'autre équation, cette même variable par la valeur ou l'expression ainsi obtenue. Il ne nous reste plus qu'à résoudre cette nouvelle équation pour trouver la valeur de l'autre variable. On isole y, dans la deuxième équation. 3y 2 4 3y 4 2 3y 6 3 3 y 2 On remplace y, dans la première équation, par la valeur que l'on vient de calculer. 5x y 13 5x 2 13 5x 13 2 5x 15 5 5 x 3 8
Résolution d un système d inéquations du premier degré à deux variables. Contrairement au système de deux équations, dont la solution est un couple, un système de deux inéquations a habituellement une infinité de solutions qui sont représentées par une région du plan cartésien. C'est pourquoi nous ne calculons pas algébriquement ces solutions: nous représentons plutôt graphiquement la région-solution du système d'inéquations donné. Soit les équations suivantes 3x y 0 et 2x y 4 0 Étape 1 On trace d'abord le graphique de la première inéquation: 3x + y O. Il nous faut donc calculer les coordonnées de trois couples associés à la droite d'équation 3x + y = 0. Pour x 0 3 0 y 0 Pour x 1 3 1 y 0 Pour y 3 3x 3 x 1 y 0 y 3 On obtient les couples 0,0, 1, 3, 1,3 Étape 2 On isole la variable y dans le membre gauche de l'inéquation afin de déterminer quel demi-plan on devra hachurer: 3x+ y O: y -3x. On situe les points sur le plan, on les relie par un trait continu, puis on colorie la région située sous la droite, car le symbole est. 9
Étape 3 On calcule les coordonnées de trois couples qui nous permettront de tracer le graphique de la deuxième inéquation: 2x y + 4 0. Pour x = 0: 2(0) y + 4 = 0 y = 4 Pour y = 0: 2x -(0) + 4 = 0 x = -2 Pour x = 1 2(1) - y+ 4 = 0 Y = 6 On obtient les couples (0,4). (-2, 0) et (1,6). Étape 4 On isole y dans l'inéquation 2x y + 4 O. On obtient y 2x+ 4, car on inverse le symbole d'inégalité lorsqu'on divise les termes par un nombre négatif. On situe dans le plan les points dont on a calculé les coordonnées, on les relie par un trait continu, puis on colorie le demi-plan situé sous cette droite, car le symbole est. La région-solution est celle où les deux régions coloriées se croisent, c est-à-dire la région commune aux deux inéquations. Tous les couples appartenant à cette région sont des solutions de ce système d inéquations. 10
Représenter graphiquement les équations suivantes. Indiquer sur le graphique les coordonnées de trois points, dont les points de rencontre de la droite avec les axes. 1) 5x 8y 20 0 3) 3x 8y 120 0 2) 15x 7y 175 4) 10x 9y 720 Déterminer si l équation donnée correspond à une droite oblique, verticale ou horizontale, puis représenter cette équation à l aide d un graphique. 5) 2x 5y 10 0 8) 2 8 5x 6) 12x 43 0 9) x 3y 175 7) 7y 31 3 10) 2y 18 24 Résoudre les systèmes d équations suivants à l aide de la méthode de votre choix soit comparaison, élimination ou substitution. 11) x 3y 2 4 et x y 5 12) 2x y 8 0 et y 5x 3 13) 4y x 4 et x 6y 9 14) 3x y 1 x 2y 5 et 4 2 8 3 3 6 15) x 2y et 6x 3y 2 0 3 16) 0,05x 0,02y 0, 04 0 et x 1,2 y 2, 4 11
Représenter graphiquement les inéquations suivantes en indiquant les coordonnées de trois points, dont les points de rencontre de la droite avec les axes, s ils existent. 17) 3x 4y 12 1y 18) 1 4 19) x 2y 300 0 x 20) 25 5 Résoudre graphiquement les systèmes d inéquations suivants. 21) 3x 6 12 et 5x 4y 8 0 22) 2x 5y 5 0 et x y 2 0 23) x y 3 0 et x y 0 24) 2x y 3 0 et x 2y 2 0 12
Rappel théorique Isométries Isométrie Caractéristiques Représentation graphique Translation Rotation Réflexion 13
25. Tracez l image par translation t de chacune des figures. a b 26. Tracez l image des figures ayant subi les rotations suivantes. a b 27. Tracez l image par réflexion autour de l axe donné de chacune des figures. a b 14
28. Voici quatre transformations géométriques. a) Laquelle illustre une rotation? b) Laquelle illustre une réflexion? Comment reconnaître une homothétie Le tableau suivant donne les caractéristiques d une similitude et d une homothétie. Comparez ces caractéristiques. 15
k 2 1 k 2 k 2 1 k 2 16
AB DE BD est sécante aux deux segments 17
AE BD AC est sécante aux deux segments 29. Dites si les triangles suivants sont congrus. a ABD et ACD B C D A A D b ACD et ABD 18
c Dans cette figure, m AB m CD et mabc mbcd. Le triangle ABC est il congru au BCD? d Deux côtés d' un triangle mesurent respectivement 4 cm et 7 cm. L angle formé par ces deux côtés est 0 ' 75. a lui aussi un angle de 0 75, Un deuxième triangle mais celui ci est formé de deux côtés mesurant 2cm et 3 cm. Ces triangles sont ils semblables? e Les côtés d' un triangle mesurent 3 cm, 4cm et 6,2 cm. Un autre triangle a des côtés de 15,5 cm, 10cm et 7,5 cm. Ces triangles sont ils semblables? f Les triangles suivants sont ils semblables? 19
Rappel théorique 30. 20
31. a) b) Rappel théorique 21
32 a b 22
Rappel théorique 23
32. 34. 24
c) Voici le dessin à l échelle d un parc de la ville de Terrebonne. On souhaite y installer des bancs en bois qui reproduiront exactement la même forme que le parc dans un rapport de similitude de 1/125. Quelle sera la largeur du banc sur un dessin réalisé à la même échelle que celui du parc? d) Voici le plan à l échelle 1 cm 50 cm de la chambre de Rémi. 25
Voici le plan à l échelle du tapis que Rémi veut installer dans sa chambre. Ce tapis a une forme semblable à sa chambre. 1cm 10 cm Quel est le rapport de similitude entre le tapis et la chambre? 26
Rappel théorique Le triangle rectangle Théorème de Pythagore Dans tout triangle rectangle, la somme des carrés des mesures des côtés de l'angle droit est égale au carré de la mesure de l'hypoténuse. 2 2 2 a b c Où a et b sont la longueur des côtés de l angle droit et c, la longueur de l hypoténuse. Les rapports trigonométriques Utilisés pour calculer les mesures d'un triangle rectangle. Ces rapports mettent en relation la mesure d'un des angles aigus du triangle et celles de deux de ses côtés: il s'agit du sinus, du cosinus et de la tangente. Ils nous permettent de calculer la mesure d'un angle lorsqu'on connaît les mesures de deux côtés, ou la mesure d'un côté lorsqu'on connaît la mesure d'un angle aigu et celle d'un côté. Le sinus d'un angle est le rapport entre la mesure du côté opposé à cet angle et la mesure de l'hypoténuse. Dans le triangle illustré ci-dessus, sin A = a/c sin B = b/c Le cosinus d'un angle est le rapport entre la mesure du côté adjacent à cet angle et la mesure de l'hypoténuse. Dans le triangle illustré ci-dessus, cos A = b/c cos B = a/c 27
La tangente d'un angle est le rapport entre la mesure du côté opposé à cet angle et la mesure du côté adjacent à cet angle. Dans le triangle illustré ci-dessus, tan A = a/b tan B = b/a On appuie une échelle de 3 m contre le toit d'un garage de 2,7 m de hauteur. Quel angle l'échelle forme-t-elle avec le sol? On peut représenter la situation de la manière suivante: Puisqu'on connaît la mesure de l'hypoténuse et celle du côté opposé à l'angle dont on cherche la mesure, on utilise le sinus pour trouver la mesure recherchée. Loi des sinus sin x 2, 7 3 sin x 0, 9 mx mx 1 sin 0, 9 64 La loi des sinus consiste en trois rapports égaux entre le sinus d'un angle et la mesure de son côté opposé. Dans un triangle ABC, on a: sin A sin B sin C a b c 28
Calculer la mesure de l'angle B du triangle ci-dessous. La loi des sinus est tout à fait appropriée ici, car on connaît la mesure d'un angle et celle du côté opposé à cet angle, ainsi que la mesure du côté opposé à l'angle dont on cherche la mesure. Loi des cosinus sin 43 sin B 25 36 0,6820 sin 43 25 36 0, 98208 sin B mb mb 1 sin 0, 98208 79 La loi des cosinus rappelle un peu le théorème de Pythagore: elle permet de calculer la mesure d'un angle d'un triangle quelconque lorsqu'on connaît les mesures des trois côtés du triangle. Cette loi permet aussi de calculer la mesure d'un côté lorsqu'on connaît la mesure de l'angle opposé ainsi que les mesures des deux autres côtés. Ainsi, pour un triangle quelconque ABC, on peut énoncer trois variantes de la loi des cosinus, selon le côté ou l'angle dont on cherche la mesure: 2 a 2 2 b c 2bc cosa 2 b 2 2 a c 2ac cos B 2 c 2 2 a b 2ab cos C 29
Calculer, au centième de centimètre près, la mesure de AC du triangle ci-dessous. La loi des cosinus est ici tout indiquée, puisqu'on connaît la mesure de deux côtés et celle de l'angle qu'ils forment. 2 2 2 b a c 2ac cos B b 2 b 2 b 2 b 2 2 2 b b 5, 4 4,3 2 5, 4 4,3 cos 135 29,16 18, 49 46, 44 0, 7071 29,16 18, 49 32,8377 80, 4877 80, 4877 8,97 La mesure de AC est donc 8,97 cm. Déterminer la longueur du côté manquant. 35) 36 37 Résoudre les problèmes suivants en arrondissant les mesures d angles au degré près, et les autres mesures au dixième près. 38. Calculer mab et mac. 30
39. Calculer GHI. Calculer les mesures demandées en arrondissant les mesures d angles au degré près, et les autres mesures au dixième de centimètre près. 40. Calculer mbc et mc 41. Calculer mac et mbc. 42. Calculer macb et mcd. 43. Calculer mab et mde. 31