Spé ψ 2012-2013 Devoir n 7 OPTIQUE Toues les figures son regroupées à la fin du suje Parie I PRINCIPES DE L HOLOGRAPHIE La réalisaion d un hologramme es consiuée de deux éapes. La première, l enregisremen, consise à garder une race de la phase d un obje par inerféromérie en uilisan une onde de référence. La seconde, la resiuion, perme de récupérer la phase en éclairan le film de l enregisremen par la même onde de référence. I-1) Enregisremen On considère une source poncuelle monochromaique (Laser) que l on place au foyer obje d une lenille convergene de focale f (voir figure 1). Le faisceau émergen arrive sur un inerféromère de Michelson réglé en coin d air. Par rappor à la posiion des miroirs correspondan au conac opique, le miroir M 2 es incliné d un angle α. S P correspond à la sépararice qui divise le faisceau en deux sans apporer de modificaion dans le chemin opique : on suppose donc que la sépararice n inrodui aucun déphasage supplémenaire. L air a le même indice que le vide n AIR = 1. a) Commen es l onde à la sorie de la lenille convergene L, lenille parallèle à M 1? Dans le repère orhogonal Oxyz el que l axe Oy es confondu avec l arêe du coin d air, déerminer les composanes des veceurs d ondes des deux faisceaux issus du Michelson e qui inerfèren, en foncion de la longueur d onde λ 0. Préciser au mieux la naure de ces ondes. b) Déerminer le déphasage φ enre l onde qui s es réfléchie sur M 2 e celle qui s es réfléchie sur M 1 en un poin M quelconque du champ d inerférences. Que vau le déphasage en O? c) Exprimer alors l inensié lumineuse, ou éclairemen, en un poin M siué sur l écran dans le plan en z = D. d) Les inerférences son-elles localisées ou non localisées? Jusifier vore réponse. e) Préciser la naure des franges observées. En déduire l expression de l inerfrange i puis la valeur numérique.. Données : λ 0 = 632,8 µm ; α = 1. f) On inercale mainenan enre la lame sépararice S P e le miroir M 1, une lame de verre à faces parallèles d épaisseur e e d indice n (représenée en poinillés sur la figure 2). Cee lame es disposée parallèlemen à M 1. On néglige les phénomènes de réflexion sur cee lame. Quel déphasage supplémenaire cela implique--il pour un rayon raversan deux fois cee lame de verre? Cee lame occasionne--elle une avance ou un reard de phase? La lame aénue l ampliude de l onde incidene e celle-ci, qui valai A 0 avan le passage dans la lame, vau εa 0 après deux passages, avec ε 1. g) Déerminer l ampliude résulane au même poin M que précédemmen. h) Exprimer l éclairemen. Simplifier en enan compe de la rès faible valeur de ε (on pourra faire un développemen à l ordre 1). i) Donner l expression du nouvel inerfrange e comparer avec la valeur précédene. Quelle es l influence de la lame sur la figure d inerférence? j) On enregisre cee figure d inerférences sur une plaque phoographique de haueur L dans une direcion perpendiculaire aux franges, disposée sur l écran précéden. Combien voi-on, à une frange près, de franges brillanes sur cee plaque? Spé ψ 2012-2013 page 1/6 Devoir n 7
( ) ( ) Données : L = 2,0 cm. I-2) Resiuion La plaque phoographique a un faceur de ransparence (ou ransmiance) x, y = a + b I x, y si l on choisi convenablemen le emps de pause, avec a e b deux consanes réelles, e I l inensié lumineuse au niveau de la plaque, que l on a précédemmen déerminée en présence de la lame de verre. a) Déerminer la ransmiance ( x, y ) de ce film développé que l on appelle égalemen hologramme. On reire mainenan la plaque phoographique du disposiif précéden e on la place au niveau d un rou percé dans un écran opaque (figure 3). Les dimensions du rou recangulaire son L e h avec h L λ0. On éclaire ensuie ce rou par une onde plane en incidence normale monochromaique de longueur d onde λ 0, idenique à la source uilisée pour l enregisremen. b) Rappeler en quelques mos la significaion physique du principe d Huygens- Fresnel. c) Pourquoi peu-on se conener d éudier la diffracion selon une direcion parallèle à Ox? d) Jusifier précisémen que l ampliude diffracée à l infini dans la direcion faisan L / 2 un angle θ pei par rappor à l axe Oz (figure 4) peu s écrire ( ) ( ) ( ) O L / 2 2π i xsin λ0 ( θ) A θ = ha θ x e dx. e) En écrivan le cosinus inervenan dans l expression du faceur de ransparence sous forme de deux exponenielles complexes, monrer que cee ampliude diffracée à l infini s exprime comme la superposiion de rois ermes don on donnera l ampliude e la direcion du maximum de chacun. f) À quelle condiion ces rois ermes son-ils séparés deux à deux? g) Monrer que l un de ces rois ermes reconsiue l onde iniiale réfléchie par le miroir M 1. Commen peu-on alors jusifier la sensaion de relief? h) Un aure erme es souven nommé «onde jumelle». Jusifier égalemen une elle appellaion. Parie II APPLICATION 1 : RÉSEAU ZONÉ DE FRESNEL Considérons mainenan l inerféromère de Michelson en configuraion lame d air éclairé par une source spaialemen large e monochromaique, de longueur d onde λ 0 idenique à celle du Laser éudié. On a donc enlevé la lame de verre précédene. II-1-a) Décrire : la posiion relaive des miroirs M 1 e M 2 ; la façon d éclairer l inerféromère ; le lieu de localisaion des franges ; la façon d observer les inerférences. b) L épaisseur de la lame d air es e. Pour un rayon arrivan sur la lame avec une incidence i par rappor à la normale, déerminer la différence de marche δ en foncion de e e i. c) Donner la naure des franges observées. Jusifier. d) On choisi 2e/λ 0 égal à un enier naurel. Que peu-on dire de la frange siuée au cenre de la figure d inerférences? e) Dans la limie des faibles angles, déerminer le rayon r k de la k ème frange brillane compée depuis le cenre (pour cee dernière on choisi donc k = 0 ) en foncion de λ 0, k, e e f disance focale de la lenille convergene uilisée pour l observaion des inerférences.. f) Expérimenalemen, on mesure les rayons suivans : Spé ψ 2012-2013 page 2/6 Devoir n 7
k 1 2 3 4 5 r k (cm) 2,8 4,0 4,9 5,5 6,2 Vérifier graphiquemen que la loi précédene convien e en déduire la valeur de e. Données : f = 1 m, λ 0 = 632,8 nm. II-2) On imprime la figure d inerférences ainsi obenue sur une diaposiive puis on l éclaire par une onde plane monochromaique de longueur d onde λ 0 (figure 5-a). On uilise le modèle suivan : la ransparence de la diaposiive vau 1 là où l éclairemen es maximal, c es-à-dire en r k ; la ransparence vau 0 ailleurs. Ainsi, la diaposiive es analogue à un réseau bidimensionnel à pas variable de fenes infinimen fines. a) Dans le cas d un réseau classique (= succession de fenes fines ideniquemen espacées) rappeler à quelle condiion sur la différence de marche enre deux rayons passan par deux fenes successives, on peu observer des inerférences consrucives à l infini? b) Considérons un poin F disan de la diaposiive d une disance f m (figure 5-b). Déerminer la différence de marche enre les rayons passan par M e N e convergens en F. Les deux poins M e N son siués sur un même diamère de la diaposiive e appariennen à deux franges brillanes successives de la figure d inerférences. On se placera dans l hypohèse où la disance f m es rès supérieure aux r k. c) En uilisan le résula de la quesion a), donner la posiion fm ' = OFm ' (où m Z ) des poins de l axe OZ où les inerférences son consrucives. d) Le nom donné à ce disposiif es égalemen «lenille mulifocales» : jusifier. Parie III APPLICATION 2 : INTERFÉROMÉTRIE HOLOGRAPHIQUE EN TEMPS RÉEL L inerféromérie holographique en emps réel consise à observer, à ravers l hologramme (correspondan à l enregisremen de l obje non déformé), éclairé par l onde de référence, l obje déformé, lui même éclairé par la même source laser. i 0 ( M ) III-1) On noe U ( M ) = A ( M ) e ϕ (resp. ( ) ( ) 0 0 Spé ψ 2012-2013 page 3/6 Devoir n 7 ( M ) U M A M e ϕ i = ) l ampliude complexe de l onde, issue de l obje dans son éa de référence (resp. dans un éa déformé à l insan ), en un poin M du plan de l hologramme, juse avan sa raversée. On adme, qu après la raversée de l hologramme, l onde diffracée dans l ordre 1 pour U M α U M, l hologramme es de la forme α ( ) e l onde ransmise pour l obje déformé es ( ) 0 ou α es un réel posiif. Ces deux ondes inerfèren. On noe C la consane apparaissan dans la relaion définissan l éclairemen E = C U U *. a) Exprimer l éclairemen résulan E(M) au poin M juse après l hologramme. b) Dans la praique les déformaions de l obje son micromériques, aussi l approximaion A (M) = A 0 (M) es légiime. Simplifier l expression précédene en inroduisan ϕ = ϕ ( M ) ϕ 0 ( M ) e E 0 (M), éclairemen correspondan à l obje seul non déformé, en ce poin. c) Qu observerai-on dans le cas où l obje n es pas déformé à l insan? III-2) On modélise la siuaion expérimenale comme sur la figure 6 e on s inéresse à un poin P dans la posiion P 0 au repos, e P lorsque l obje es déformé. La source laser es placée en L A e M désigne un poin de l hologramme. On inrodui le veceur sensibilié S = k e k 0 où k e (respecivemen k 0 ) es le veceur d onde de l onde incidene d éclairemen (respecivemen diffu-
sée par l obje). Compe enu de la faiblesse des déplacemens, on pourra considérer ces veceurs comme consans. a) Exprimer ϕ (déphasage en M enre les deux ondes issues de L A ) en foncion de S e du déplacemen D = P0 P b) Que représenen donc les franges d inerférences observées? On précisera bien en pariculier à quelle(s) condiion(s) sur le déplacemen on a une frange brillane ou sombre. c) Sur quels paramères peu-on jouer a priori pour augmener la sensibilié de la mesure des déplacemens? Combien faudrai-il donc a priori d expériences pour déerminer complèemen le déplacemen du poin P? III-3) Dans l inerféromérie holographique par double exposiion, on enregisre successivemen sur la même plaque sensible, avan raiemen, les hologrammes correspondan à deux posiions de l obje, référencées par 1 e 2. On exploie l hologramme en l éclairan seul avec la lumière de référence. Le calcul monre β τ U + τ U où τ 1 e τ 2 son que l onde diffracée dans l ordre 1, a pour ampliude en M(x, y) : ( 1 1 2 2 ) les emps d exposiion de l obje dans chacune des deux posiions e 1 ( ) 1 ( ) i 2( M ) U ( M ) A ( M ) e ϕ 2 2 i U M A M e ϕ 1( M ) =, =, avec oujours A 2 (M) A 1 (M) = A(M) (ampliudes complexes correspondan aux deux posiions 1 e 2 de l obje). a) Exprimer l éclairemen résulan E(M) au poin M juse après l hologramme. b) Quelle différence noe--on quan à l inerpréaion des franges par rappor à l inerféromérie holographique en emps réel? V M E = E c) Exprimer le conrase (ou visibilié) ( ) MAX MIN d inerférences en foncion de τ 1 e τ 2. MAX E + E MIN de la figure d) Commen a--on inérê a choisir τ 1 e τ 2? III-4) On suppose que l obje éudié es une plaque plane (XOY), non déformée dans la posiion 1, e avec une déformaion suivan OZ présenan une symérie de révoluion en forme de cloche (voir la figure 7-a qui donne le déplacemen Z en foncion de la disance à l axe OZ). On prendra λ 0 = 694 nm e S π 2 = 2cos( θ) e z avec θ = 30. λ 0 a) Déerminer le nombre e le rayon des franges sombres. b) En faisan le même ravail avec la déformaion de la figure 7-b, quel problème me-on en évidence? c) Un exemple d inerférences holographiques es donné figure 8. Il s agi de l éude du régime ransioire correspondan à un choc sur le chevale d un violon e ransmis au dos du violon par un pei bou de bois appelé âme du violon. Esimer un ordre de grandeur pour la célérié des ondes mécaniques dans le dos du violon, sachan qu un violon mesure environ 11 cm de large à l endroi le plus fin (à peine au dessus de la zone d appariion des franges), que pour oues les phoographies la première exposiion de 30 ns a eu lieu au momen du choc e enfin que les deuxièmes exposiions, égalemen de 30 ns on eu lieu 100 e 125 µs respecivemen après le choc pour les phoographies référencées par e e f dans la figure 8. À ire informaif, les phoographies g e h on leur deuxième exposiion 250 e 450 µs après le choc. Quel es le déplacemen au niveau de la frange noire la plus exerne des phoographies e e f, pour λ 0 = 694 nm, en supposan que les rois veceurs D, k e e k 0 son quasimen parallèles. Spé ψ 2012-2013 page 4/6 Devoir n 7
FIGURES M 2 O α x M 2 O α x S S L S P M 1 L S P n, e M 1 D X D X z Écran z Écran figure 1 figure 2 figure 4 figure 3 figure 5-a figure 5-b Spé ψ 2012-2013 page 5/6 Devoir n 7
figure 6 figure 7-a figure 7-b Spé ψ 2012-2013 page 6/6 Devoir n 7