I. Etude d ue suite récurrete I.A Cetrale 205 - PSI u corrigé. f état positive, f croit sur [0, ]. Motros alors par récurrece que N, 0 u u + - Iitialisatio : c est vrai au rag 0 car u 0 = 0 et u = f0 [0, ]. - Hérédité : soit 0 tel que le résultat est vrai jusqu au rag. O a alors 0 u u + et par croissace de f sur [0, ], u +2 u = fu + fu 0 E outre, comme [0, ] est stable par f, u, u + [0, ] etraîe u + = fu, u +2 = fu + [0, ]. O a aisi prouvé le résultat au rag +. O a motré que u N est croissate et qu elle reste das [0, ]. Par théorème de limite mootoe, la suite coverge et de plus passage à la limite das ue iégalité large l = lim u [0, ] + 2. Comme f =, l esemble A = {x [0, ]/ fx = x} est o vide. Comme il est mioré, il admet ue bore iférieure x f. Mais A = g Id{0} est fermé image réciproque par ue applicatio cotiue d u fermé et doc x f A ce qui motre que x f est u miimum. Il y a doc bie ue plus petite solutio à l équatio fx = x. 3. Comme f croît sur [0, ], o a f[0, x f ] = [f0, fx f ] = [0, x f ]. u 0 [0, x f ] et [0, x f ] est stable par f, doc récurrece simple sur le modèle de la précédete N, u [0, x f ] Par passage à la limite, l [0, x f ]. f état cotiue sur [0, ], u passage à la limite das u + = fu doe de plus fl = l. Efi, par miimalité, x f est le seul poit fixe de f das [0, x f ]. O a doc x f = l I.B Posos gx = fx x. g est de classe C sur [0, ] et g x = fx. Si m > alors g > 0 et g est localemet strictemet croissate au voisiage de. Comme g = f = 0, il existe doc a [0, [ tel que ga < 0. Efi, g0 = f0 0 et par théorème des valeurs itermédiaires, g s aule sur [0, a] [0, [. O e déduit que x f [0, a] et doc que x f [0, [ I.C Notos toujours gx = fx x. O a g C 2 [0, ] et g x = fx, g x = f x 0 ; comme g = f > 0, g qui est cotiue est même strictemet positve sur u itervalle [a, [. g est doc croissate sur [0, ] et strictemet croissate sur [a, ]. Comme g = m 0, g est égative sur [0, ] et même strictemet égative sur [a, [. g est doc décroissate sur [0, ] et même strictemet décroissate sur [a, ]. E particulier, x [a, [, gx > 0 et x [0, a], gx ga > 0. g e s aule doc pas sur [0, [ et ceci impose x f =
I.D I.E Sur [a, [, f est strictemet positive et f est doc strictemet croissate sur [a, ]. Aisi, x [a, ], f x m. Si, par l absurde, m était ul alors f serait ulle sur [a, ]. Comme f est positive et croissate sur [0, ] f 0 o aurait doc f ulle sur [0, ] ce qui cotredit f > 0. O a doc f > 0 et f est strictemet croissate au voisiage de. Comme elle est croissate sur [0, ], elle e pred fialemet la valeur qu e. Si, par l absurde, o avait u =, o aurait fu = et doc u =. Par ue récurrece descedate, o obtiedrait u 0 =, ce qui est faux. Aisi, N, u [0, [. O a u = ε et ε 0. Par formule de Taylor-Youg, u + = fu = f ε = f ε f + ε2 2 f + oε 2 = ε + ε2 2 f + oε 2 O e déduit que ε + = ε ε2 2 f + oε 2 = ε ε 2 f + oε O passe à l iverse possible puisque la suite ε e s aule pas et e utilisat u = + u + o 0 u o trouve = + ε ε + ε 2 f + oε Il e résulte que 2. D après le théorème de Césaro, lim = f + ε + ε 2 lim + ε k+ ε k = f 2 Das la somme, les termes se télescopet et ce qui précède s écrit = f + o ε ε 0 2 ε 0 état de limite ulle est o et ce qui précède s écrit aussi = f + o ε 2 ou ecore puisque f 0 ε f 2. O peut passer à l iverse das les équivalet et multiplier les équivalets. O a aisi u = ε 2 f. Le même calcul que ci-dessus doe ε + = ε m ε 2 f + oε 2
O e déduit que ε + lim = m = m [0, [ + ε Par règle de D Alembert, ε est doc absolumet covergete. Notos que le cas m = 0 est impossible d après le raisoemet de la questio I.C. O peut doc diviser par m > 0. E repreat l idetité ci-dessus, o a O e déduit que ε + mε = ε 2m f + oε l = O ε mε ε+ qui est le terme gééral d ue absolumet covergete. O a motré que ε+ m + ε + l = l mε m ε est le terme gééral d ue série absolumet covergete. 2. Notos L la somme de la série de la questio précédete. O a doc l εk+ = L + o mε k Avec les propriétés de morphisme du logarithme, les termes se télescopet et o obtiet ou ecore lε lε 0 lm = L + o ε = m e L ε 0 e o Comme e L ε 0 > 0 ce qui importe est la o ullité o a fialemet II. Formule de Wald II.A u = ε cm avec c = e L ε 0 > 0. Les variables X et Y état idépedates, pour toute foctio f les variables fx et fx le sot et o a doc, sous réserve que les espéraces existet EfXfY = EfXEfY. Avec la foctio x N t x pour u réel quelcoque t fixé das [, ], o obtiet le cours ous idique que les espéraces existet toutes 2. Motros par récurrece que la propriété G X+Y t = Et X t Y = Et X Et Y = G X tg Y t G Sk = G X k est vraie pour tout N. - Iitialisatio : l hypothèse est immédiatemet vraie au rag. - Hérédité : soit k tel que l hypothèse soit vraie aux rags,..., k. D après la questio précédete et le résultat d idépedace admis la foctio géératrice de X + + X k + X k+ = S k + X k+ est G Sk G X. E utilisat l hypothèse de récurrece, elle vaut G X k+. 3
La propriété est aussi vraie au rag 0 puisque G S0 = S 0 état costate égale à 0 et que G X 0 =. 3. T = k k N état u système complet d évéemets, o a N, PS = = PS = T = k O e déduit que t [, ], G S t = PS = t = =0 PS = T = kt Comme o a l égalité des évéemets S = T = k et S k = T = k et comme S k et T sot admis idépedats, o a alors t [, ], G S t = PS k = PT = kt =0 O fixe K N. O peut découper la somme itérieure e deux : K t [, ], G S t = PS k = PT = kt + PS k = PT = kt =0 =0 k=k+ Pour écrire =0 U + V = =0 U + =0 V, il ous suffit sachat que le membre de gauche existe de motrer que l u des deux termes du membre de droite existe l autre existera alors fatalemet. O écrit ici o a des sommes fiies et doc pas de problème N K K N PS k = PT = kt = PS k = t PT = k =0 N =0 PS k = t est le terme gééral d ue suite covergete de limite G S t = G X t k. O a doc covergece ci-dessus somme d u ombre costat de suite covergete et =0 K PS k = PT = kt = =0 K G X t k PT = k Avec tous ces argumets, o peut fialemet écrire K t [, ], G S t = G X t k PT = k + =0 k=k+ PS k = PT = kt Remarque : la formule est valable pour t [, ] et pas seulemet t [0, ]. 4. O pred t [0, ] et K N. O a k K +, N, 0 PS k = PT = kt PT = kt Comme PT = k coverge série positive de somme o peut sommer pour k K et obteir N, 0 PS k = PT = kt PT = k t k=k+ k=k+ Comme t [0, [, t coverge et sa somme vaut +t. O e déduit que 0 R K PT = k t k=k+ 4
5. A t [0, [ fixé, la questio précédete motre que R K 0 quad K +. O peut aisi faire tedre K vers + das II.A.3 pour obteir G S t = G X t k PT = k = G T G X t = G T G X t Ceci est prouvé que pour t [0, ] mais le résultat rappelé e préambule idique que cela suffit pour coclure que G S = G T G X II.B Si Y est ue variable d espérace fiie, o a EY = G Y. Ici, e supposat que les espéraces existet, o a puisque G X = II.C ES = G S = G T G X.G X = ET EX. Si Y Pλ alors pour tout, P[Y = ] = e λ λ! et + t [, ], G Y t = e λ λt k = k! = e λ e λt 2. Ici, T Pλ et i, X i Bα. S est alors le ombre d isectes issus de la pote. O a t [, ], G S t = G T G X t = G T α + αt = e λα e λαt et o coclut que S Pλα III. Processus de Galto-Watso III.A. O fixe N. O est exactemet das la situatio de la partie précédete. Ici, T = Y et les X i sot les X,i. Y + correspod alors à S et II.A doe toutes les hypothèses d idépedace état vérifiées ϕ + = G Y+ = G Y G X, = ϕ f 2. De même, II.B doe et o a ue suite géométrique EY + = EY Ef N, EY = Ef EY 0 = m 3. L évéemet E : il y a extictio est égal à les réuio des évéemets Y = 0 il y a extictio si la populatio fii par être ulle : E = Y = 0 =0 Les évéemets Y = 0 état emboîtés, o peut utiliser la cotiuité croissate pour e déduire que PE = lim PY = 0 = lim ϕ 0 + + 5
Avec III.A. et ϕ 0 = Id, ue récurrece immédiate motre que N, ϕ = f où f désige l itérée fois de f pour la compositio avec la covetio f 0 = Id. E particulier N, ϕ + 0 = ff 0 = fϕ 0 et ϕ 0 N vérifie la relatio de récurrece de la partie I. Il ous reste à motrer que la foctio f vérifie les hypothèses de cette partie. - f est de classe C 2 sur [0, ] puisque l o a suppos que la loi µ possède ue espérace et ue variace. De plus, f et f sot à valeurs positives puisque t [0, ], f t = k 0 k + p k+ t k et f t = k 0 k + k + 2p k+2 t k III.B - f est défiie de [0, ] das [0, ] t [0, ], 0 ft = k 0 p kt k k 0 p k =. - f = k 0 p k =. - f 0 = p p 0 + p <. - f = k 0 k + k + 2p k+2 > 0 car l u des p k+2 est > 0. 4. Si m alors ϕ 0 d après I.C. La populatio s éteit doc presque sûremet.. Soit k N T ω = k alors Y k ω 0 et Y k ω = 0. E particulier T = k Y k 0 et doc k N, 0 PT = k PY k 0 = PY k = 0 = ϕ k 0 D après la questio I.E o est bie das le cas m <, k ϕ k 0 ckm k est le terme gééral d ue série covergete par comparaiso aux séries de Riema puisque ce terme est o/k 2 puisque m [0, [. A fortiori, kpt = k est aussi le terme gééral d ue série covergete comparaiso de séries positives et ET existe ici, absolue covergece et covergece sot équivaletes. 2. Pour tout etier, PY = k PY = k k kpy = k = EY = m O est das le cas où la populatio s éteit presque sûremet et o a doc PT = = 0. Aisi ET = kpt = k = kpt > k PT > k k 0 k 0 Pour maipuler les sommes, reveos à des sommes partielles. O a kpt > k PT > k = = = kpt > k kpt > k k + PT > k k= PT > k PT > kpt > k 6
II.C Comme T > = Y >, o a 0 PT > m 0 car m [0, [ et par croissaces comparées. U passage à la limite doe doc ET = PT > k O utilise à ouveau PT > k = PY k m k pour e déduire que ET m k = m. Comme o l a dit e III.A.3, l évéemet k N Y k = 0 est l évéemet la populatio fiit par s éteidre. Das le cas m, cet esemble est de probabilité questio III..4. 2. a. Fixos k N. Comme Z + = Z + Y Z, Z + k Z k et la suite PZ = k k 0 est doc décroissate. Elle est miorée par 0 et coverge doc d après le théorème de limite mootoe. D après la propriété de cotiuité décroissate, o a lim PZ k = P Z k + Si ω = Z k alors, Z ω k et doc Zω k passage à la limite. Réciproquemet, si Zω k alors, Z ω k la suite croissate Z ω est iférieure à sa limite et doc ω = Z k. Fialemet, = lim PZ k = PZ k + b. O a PZ = k = PZ k PZ k et doc o passe à la limite lim PZ = k = PZ k PZ k = PZ = k + c. Fixos K N et s [0, [. O a toutes les séries coverget absolumet G Z s G Z s = PZ = k PZ = ks k k K PZ = k PZ = k s k O découpe la somme. Pour les idices K, o majore s k par la somme est fiie et cela e pose pas de problème d existece. Pour k K +, o remarque que PZ = k PZ = k car les deux termes sot etre 0 et et leur différece est doc etre et. Comme s k coverge, o a à ouveau pas de problème d existece. O obtiet G Z s G Z s = K PZ = k PZ = k + K k K+ PZ = k PZ = k + sk+ s Remarque : c est u poil mieux que das l éocé puisque s [0, [. 7 s k
d. Soit s [0, [. Fixos ε > 0 ; comme sp s 0 quad p +, o peut trouver u rag K pour lequel ce terme est ε/2. K état fixé, K PZ = k PZ = k 0 quad + somme d u ombre costat de suites de limite ulle et il existe u rag 0 à partir duquel ce terme est aussi ε/2. O a aisi 3. ce qui sigifie que ε > 0, 0 / 0, G Z s G Z s ε lim G Z + s = G Z s Ceci reste vrai pour s = la suite est costate égale à. O a fialemet G Z qui coverge simplemet sur [0, ] vers G Z. a. O a Z = +Y et comme ue variable costate est idépedate de toute autre variable, la questio II.A. idique que G Z s = G sg Y s = sfs b. Avec le résultat admis et III.C.2 o a f état cotiue s [0, ], G Z s = lim G Z + s = sfg Z s c. Le cours ous idique que Z est d espérace fiie si et seulemety si G Z est dérivable e et qu alors EZ = G Z. O sait qu ue foctio géératrice est dérivable sur [0, [. La questio précédete doe ce que l o peut écrire s [0, [, G Zs = fg Z s + G Zsf G Z s s [0, [, f G Z sg Zs = fg Z s Quad s, f G Z s m et fg Z s f = les foctios géératrices sot cotiues sur [, ]. Si m [0, [, o a doc G Z s m quad s. D après le théorème de limite de la dérivée corollaire des accroissemet fiis et utilisable avec G Z qui est cotiue sur [0, ] et de classe C sur [0, [, G Z est dérivable e et G Z = m. Si m =, o a G Z de limite ifiie e et le même théorème idique que G Z est o dérivable e. Fialemet, EZ < + si et seulemet si m < et das ce cas, EZ = m. IV. U exemple Notos que l éocé est cohéret puisque les p k vérifiet les boes hypothèses positifs, de somme et avec u terme au mmois d idice > qui est o ul. IV.A O a + t k t [0, ], ft = 2 k+ = 2 t = 2 t 2 f est dérivable sur [0, ] avec f t = 2 t 2. E particulier, m = f = 8
IV.B f est croissate sur [0, [ dérivée positive et doc f[0, [ = [f0, f[= [0, [. Soit t [0, [ ; comme ϕ 0 t = t [0, [ et ϕ + t = fϕ t, ue récurrece immédiate doe t [0, [, N, ϕ t [0, [ IV.C Le calcul doe a + t = fϕ t = 2 ϕ t + ϕ t = a t IV.D Il e découle que a t = a 0 t = que t ϕ t = + t = t. Comme ϕ t = + a t, o trouve + t + t IV.E PY = k est le coefficiet devat t k das le DSE de ϕ t. Or, pour, o a à l aide d ue divisio euclidiee o explicitée ϕ t = et doc développemet de u O a aisi prouvé que + + t = + + et regroupemet des termes costats ϕ t = N, PY = 0 = + + k tk + k+ k= + et k, PY = k = Comme Y 0 =, la formule reste valable das le cas = 0. IV.F O a T > = Y et doc PT > = PY = PY = 0 = O peut repredre le calcul de III.B.2 pour obteir kpt = k = PT > k PT > + t k + k+ + = + PT > mais PT > k diverge série de Riema. Aisi, T admet pas d espérace fiie la série e coverge pas doc e coverge pas absolumet ; otos qu ici les otios coïcidet puisque les termes sot positifs. IV.G III.C.3 doe ue relatio vérifiée par x = G Z s : x = s 2 x. O trouve doc résolutio d ue équatio de degré 2 que G z s vaut ± s. Mais G z s quad s [0, [ et doc s [0, [, s Pour obteir la loi de Z, o effectue u DSE de cette foctio et o idetifie le coefficiet de s k comme PZ = k : PZ = 0 = 0 et k, PZ = k = k+ k! k i=0 2 i = k 2 k k! i= 2i = 2k! 2 k k! 2 9
V. Cas surcritique V.A Les évéemets dot les u r sot les probabilités sot icompatibles o e peut voir arriver est doc covergete s u r qui est terme gééral d ue u évéemet pour la première fois à deux istats différets. u r de somme. Pour tout s [, ], o a doc u r série absolumet covergete et a fortiori covergete. V.B V.C. W = X 0, + + X 0,k. Si W k alors il existe j tel que X 0,j c est à dire E passat au complémetaire W k k X 0,j j= k X 0,j > W > k j= E passat aux probabilités, et comme les X 0,i sot idépedates, et doc puisque p 0 + p [0, [. 2. JOKER au temps t. p 0 p k PW > k PW > k p 0 p k > 0. O se doe N et r 2. Soit ω Ω pour lequel la suite W p pred la valeur k pour la r-ième fois exactemet au rag. Il existe u premier rag i où W i = k et i r +. A partir du momet où l o retrouve ue populatio de taille k, l expériece repred alors comme iitialemet de faço idépedate de ce qui s est passé lors des étapes précédetes. O cherche alors les évéemet doat pour la r -ième fois ue populatio égale à k au bout de i géératios. O partitioe aisi l évéemet dot o cherche la probabilité e r sous-esembles disjoits. La probabilté du i-ème de ces sous-esemble est u i u r i. O trouve fialemet que r+ u r = u i u r i i= Comme u b a est ul si a < b o e peut avoir b succès e strictemet mois de b épreuves, o peut ajouter les termes d idices r + 2,..., qui sot uls et écrire que u r = u i u r i i= 2. E posat u r 0 = 0 pour tout r et e particulier u 0 = 0, la relatio précédete d écrit aussi N, u r = 0 i=0 u i u r i
La suite u r est alors le produit de Cauchy des suites u et u r. Comme toutes les séries etières sot de rayo de covergece > 0, le cours ous idique que s ], [, 0 u r s = u s 0 0 u r s V.D Comme les termes d idice 0 sot uls, o trouve fialemet s ], [, U r s = UsU r s et ceci reste vrai pour s = ± par cotiuité des foctios sur [, ]. U récurrece immédiate doe alors r, U r = U r. U correspod à la probabilité que W pree au mois ue fois la valeur k et o a doc U = u [0, [ Notos E r l évéemet la suite W pred au mois r fois la valeur k. Si la suite pred au mois r fois la valeur k, il y a bie u rag où elle pred pour la r-ième fois la valeur k et réciproquemet. Deux évéemet correspodat à des rags différets sot bie sûr différets et aisi PE r = u r = U r = U r = u r Les E r format ue suite décroissate d esembles, la propriété de cotiuité décroissate idique puisque u [0, [ P E r = lim PE r = 0 r + r 0 Or, r 0 E r correspod à l évéemet la suite W pred ue ifiité de fois la valeur k et o a doc le résultat demadé. 2. Soit k. O partitioe les évéemets e deux sous-esembles A et A : ceux pour lesquels o atteit la valeur k au mois ue fois et les autres. O ote B l évéemet la suite Y pred la valeur k ue ifiité de fois. Par formule des probabilités totales, PB = PB A + PB A = PB A Plus précisémet, otos A i l esemble des évéemets correspodat à l obtetio d ue populatio k pour la première fois au rag i. Les A i partitioet A et PB = PB A i = i= PA i PB A i i= La questio précédete ous appred que PB A i = 0 si o tombe sur ue populatio de k idividus, tout se passe esuite comme das l expériece de cette partie et fialemet PB = 0.
V.E Par cotiuité croissate, o a P Or, o a et aisi, N A = lim N + P N N N, 0 P A =0 P A = 0 N N A =0 N PA = 0 O e déduit que le complémetaire d ue réuio est l itersectio des complémetaires P A = P A = N V.F Si la suite Y ω ted vers + alors elle fiit pas dépasser défiitivemet e temps fii toute valeur k, ce qui implique qu elle e pred aucue valeur ue ifiité de fois. Réciproquemet, si cette propriété a lieu alors pour tout etier k 0 et pour j [0, k 0 ], la valeur j est plus prise à partir d u rag j ; à partir du rag max 0,..., k0 +, o a Y ω k 0 et o a doc motré que Y ω + défiitio d ue limite ifiie. L évéemet la suite Y est de limite ifiie est doc égal à l itersectio des évéemets A k : la suite Y e pred pas ue ifiité de fois la valeur k et sa probabilité est β = P A k O a vu que les évéemets A k pour k sot tous de probabilité. L évéemet A 0 correspod, lui, à l évéemet la suite Y e pred jamais la valeur 0 predre ue fois la valeur 0 équivaut à predre la valeur 0 à partir d u certai rag et sa égatio est la populatio fiit par s éteidre. O a doc PA 0 = α. Pour se rameer à la questio précédete, j utilise la formule des probabilités composées : β = PA 0 P A0 A k Les A k, k, état de probabilité pour la probabilité coditioelle, o a aisi N k= =0 β = PA 0 = α 2