Méthode des modres crrés
Méthodes des modres crrés Chptre 6 du polcopé L méthode des modres crrés permet de comprer des doées epérmetles, géérlemet etchées d erreurs de mesure à u modèle mthémtque cesé décrre ces doées. Ce modèle peut predre dverses formes. Il s gr e géérl de los de coservto que les quttés mesurées dovet respecter. L méthode des modres crrés permet lors de mmser l mpct des erreurs epérmetles et évluer les vleurs plus probbles des prmètres de l lo recherchée, s «joutt de l formto» ds le processus de mesure.
Les doées suvet l courbe fgurée e potllés et sot ffectées pr ue erreur létore. Elles sot représetées grphquemet sous l forme de pots de mesures, mus de brres d'erreur. Le melleur justemet détermé pr l méthode des modres crrés est représeté e rouge. Il s'gt de l focto qu mmse l somme qudrtque des écrts (ppelés résdus) etre les doées et le modèle.
Ds le cs le plus court, le modèle théorque est ue fmlle de foctos ƒ(,θ) d ue ou pluseurs vrbles, deées pr u ou pluseurs prmètres θ cous. L méthode des modres crrés permet de sélectoer prm ces foctos, celle qu reprodut le meu les doées epérmetles. O prle ds ce cs d justemet pr l méthode des modres crrés. S les prmètres θ ot u ses phsque l procédure d justemet doe églemet ue estmto drecte de l vleur de ces prmètres. 4
L méthode cosste e ue prescrpto (tlemet emprque) qu est que l focto ƒ (;θ) qu décrt «le meu» les doées est celle qu mmse l somme qudrtque des dévtos des mesures u prédctos de ƒ (;θ). S pr eemple, ous dsposos de mesures, ( ) vec =,, les prmètres θ «optmu» u ses de l méthode des modres crrés sot ceu qu mmset l qutté : où les r (θ) sot les résdus u modèle,.e. les écrts etre les pots de mesure et le modèle f (;θ). S(θ) peut être cosdéré comme ue mesure de l dstce qudrtque etre les doées epérmetles et le modèle théorque qu prédt ces doées. L prescrpto des modres crrés commde que cette dstce sot mmle. 5
S grde smplcté ft que cette méthode est très courmmet utlsée de os jours e sceces epérmetles. Ue pplcto courte est le lssge des doées epérmetles pr ue focto emprque (focto lére, polomes ou sples). Cepedt so usge le plus mportt est probblemet l mesure de quttés phsques à prtr de doées epérmetles. Ds de ombreu cs, l qutté que l o cherche à mesurer est ps observble et pprît qu drectemet comme prmètre θ d u modèle théorque f (, θ). Ds ce derer cs de fgure, l est possble de motrer que l méthode des modres crrés permet de costrure u estmteur de θ, qu vérfe certes codtos d optmlté. Pr lleurs, ds tous les cs, les estmteurs obteus sot etrêmemet sesbles u pots berrts: o trdut ce ft e dst qu ls sot o robustes. Pluseurs techques permettet cepedt de «robustfer» l méthode. 6
Régresso lére Ue régresso lére est l'justemet d'ue lo lére du tpe = α + β sur des mesures dépedtes, focto d'u prmètre cou. Ce tpe de stuto se recotre pr eemple lorsque l'o veut clbrer u pprel de mesure smple (mpèremètre, thermomètre) dot le foctoemet est lére. est lors l mesure strumetle (dévto d'ue gulle, ombre de ps d'u ADC,...) et l grdeur phsque qu'est cesé mesurer l'pprel, géérlemet meu coue, s l'o utlse ue source de clbrto fble. L méthode des modres crrés permet lors de mesurer l lo de clbrto de l'pprel, d'estmer l'déquto de cette lo u mesures de clbrto (.e. ds le cs préset, l lérté de l'pprel) et de propger les erreurs de clbrto u futures mesures effectuées vec l'pprel clbré. 7
Ajustemet d'u modèle de tpe = + b pr l méthode des modres crrés Les doées suvet l lo fgurée e potllés et sot ffectées d'erreurs gussees. L'justemet détermé (courbe rouge) est le melleur estmteur de l pete et de l'ordoée à l'orge compte teu de l qutté d'formto coteu ds les pots de mesure. 8
9 Régresso lére: clcul des coeffcets L prescrpto des modres crrés s'écrt pour ce tpe de modèle: f S ; Le mmum de cette epresso est trouvé qud les deu dérvées prtelles S/ α et S/ β sot égles à zéro: S S 0 0 Ce qu doe le sstème d équtos suvtes:
0 Ce sstème d équtos: peut être écrt e forme mtrcelle: ce qu doe l soluto:
Régresso lére: u lgorthme de clcul prtque S o déf les sommes suvtes: les coeffcets α et β sot esute clculés pr: XY XX Y X S S S S............ S S S S S S S S X Y X X XX Y X XY
Régresso lére cs prtculer: clcul de l pete s o suppose (ou mpose) le pssge de l drote pr zéro L drote cherchée est du tpe =. L prescrpto des modres crrés s'écrt pour ce tpe de modèle: f S ; Le mmum de cette epresso est trouvé qud l dérvée prtelle S/ α est égle à zéro: S 0 Ce qu doe: XX XY S S doc et
Y Evluto de l écrt-tpe pr rpport à l régresso Dgrmme vec brres d erreurs 0 8 régresso lére = 0.664 + 0.5455 6 4 Lére () 0-0 5 0 5 X
Problème O souhte tester dfféretes formes de régressos léres sur l'esemble des pots doés ds le tbleu suvt: = 4 6 8 9 4 = 4 4 5 7 8 9. pr mmsto de l somme des crrés des écrts sur les ordoées.. pr mmsto de l somme des crrés des écrts sur les ordoées et e forçt l drote à psser pr l'orge Fre l eercce vec Ecel ms ss utlser l opto «courbe de tedce» Détermer les coeffcets des drotes de régresso correspodtes u dfférets crtères metoés et les représeter sur u grphe vec églemet les pots fgurt ds le tbleu. Evluer esute l écrt-tpe des écrts résduels et trcer le dgrmme vec les brres d erreur. Vérfer qu o obtet les mêmes résultts vec l opto «courbe de tedce» 4
Régressos curvléres Ds de ombreu problèmes, ue relto ette pprît etre les vrbles étudées, ms cette relto est ps lére. Il peut lors être utle de procéder à l'justemet d'ue courbe de régresso u uge de pots observés. Deu problèmes dstcts se poset lors:. le cho de l'équto de l courbe (doc cho d'u cert tpe de focto),. l détermto des prmètres tervet ds cette équto. Il este des régressos polomles, epoetelles, logrthmques,. 5
Régressos curvléres vec Ecel 6
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Le coeffcet de détermto R Le coeffcet de détermto évlue l comprso des vleurs estmées pr l régresso u vleurs réelles et vre etre 0 et. U coeffcet de détermto égl à dque ue corrélto prfte de l'échtllo (ucue dfférece etre les vleurs estmées et réelles). A l'verse, u coeffcet de détermto égl à 0 (zéro) dque que l'équto de régresso e peut servr à prévor ue vleur. 8
Problème Détermer vec Ecel les coeffcets A et B de l lo = A B pour l esemble des pots suvts: 9
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Ajustemet d'u modèle lére U modèle f(;θ) est lére, s s dépedce e θ est lére. U tel modèle où les φ sot foctos quelcoques de l vrble. U tel cs est très court e prtque: tous les tpes de régressos proposés pr Ecel so léres suf l «pussce». Plus géérlemet tout modèle poloml est lére, vec φ () =. Auss, de très ombreu modèles utlsés e sceces epérmetles sot des développemet polomu sur des bses foctoelles clssques (sples, bses de Fourer, bses d'odelettes, etc.).
Ds le cs le plus géérl o trouve que les m qu mmset les écrts etre ue focto lére et ue sére de doées ( ), sot trouvés pr l epresso mtrcelle vec les déftos suvtes: L mtrce J est ppelée mtrce jcobee du problème. C'est ue mtrce rectgulre, de dmeso, vec géérlemet >>. Elle cotet les vleurs des foctos de bse φ pour chque pot de mesure. L mtrce dgole W est ppelée mtrce des pods: elle preds e compte le ft que chque vleur de peut être ffecté d u écrt tpe dfféret. S ce est ps le cs, W peut être remplcé pr l mtrce uté.
Ajustemet d'u polôme lére Le cs d'justemet d u polôme d'ordre à u esemble de pots de mesures doés pr les couples (, ) dmet des méthodes de soluto ssez smples à mettre e œuvre. Défssos le polôme recherché comme: Les coues sot les vleurs des. Il fut doc dsposer de + équtos. Multplos successvemet l relto précédete pr,,, o obtet le sstème d équtos suvtes:... 0 0.............. 0 5 4 0 4 0 0 0
4 O écrt ces + reltos pour tous les pots P, de coordoées,, pus l'o somme toutes les équtos pr ctégore. O obtet s: 0.........
5 Ef les vleurs o- s obteet pr l soluto de l équto mtrcelle suvte: 0.........
Problème Ajuster ue prbole (polôme d ordre ) pr les pots suvts: -4. -. -.8-0 0.95..9 4.0 6 5. 8..9.8.7 7.7 6 4.5 Fre l eercce vec. Ecel. Mtlb, pr l focto polft 6
Ajustemet d'u cercle Sot u cercle de ro R dot l'équto est doée pr: ( ) ( b) R Cette équto peut s'écrre uss: b ( R b ) ou: b c vec: c R b 7
Les coues sot, b, les coordoées, du cetre c qu doer R, ro du cercle recherché Il fut doc dsposer de équtos. E multplt ue fos pr et ue fos pr l relto: b c o obtet: b c et b c 8
9 O écrt ces tros reltos pour tous les pots P, de coordoées,, pus l'o somme toutes les équtos pr ctégore. O obtet s: Ajustemet d'u cercle pr l méthode des modres crrés O doc élboré les tros reltos suvtes: c b c b c b c b c b c b
0 S écrt sous forme mtrcelle: c b c b c b c b Le sstème d équtos:
Ajustemet d'u cercle pr l méthode des modres crrés Ef les vleurs de, b, c s obteet pr l soluto de l équto mtrcelle: c b
Problème Détermer (vec Mtlb) le ro R et les coordoées du cetre C du cercle des modres crrés psst prm les pots dot les coordoées polres sot les suvtes: R (mm) 8 64 50 54 70 88 9 9 ( ) 0 45 90 5 80 5 70 5
Plus de vrbles: Ajustemet d'u pl à u esemble de pots de coordoées z, z,... z Ds le cs des problèmes comportt plus de deu vrbles, le processus de résoluto est le même que pour deu vrbles. S pr eemple, l este ue relto etre les vrbles, et z, celle-c peut être eprmée à l'de de l'équto suvte: z f (, ) b c Cette équto représete u pl ds u sstème de coordoées à tros dmesos.
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Ajustemet d'u pl pr l méthode des modres crrés 5
6 z z z c b Ef les vleurs de, b, c pour le pl s obteet pr: c b f z ), (