Chapitre IV AGÉTOTATIQUE us avns étudié, au premier chapitre, l interactin électrique qui intervient entre deux crps électrisés. us allns cnsidérer, à présent, une autre interactin, l interactin magnétique, qui fait intervenir le champ magnétique. La magnétstatique est la partie du magnétisme qui ne fait intervenir que des phénmènes indépendants du temps. 1. ITRODUCTIO. 1. 1. Prpriétés des aimants. Dès l antiquité les grecs avaient remarqué qu une pierre de agnésie 1, la magnétite, avait la prpriété d exercer une frce sur de petits mrceaux de fer : d ù le mt magnétisme. Cmme pur l électricité (Ch I 1.9), la cntributin des grecs à l étude du magnétisme fut purement linguistique. Puis n avait remarqué que les prpriétés d un aimant ne se manifestent qu à ses extrémités : les pôles. Ces deux pôles, appelés, cmme les pôles gégraphiques, pôle nrd et pôle sud, snt différents. L expérience mntre que : Figure IV.1 Deux pôles de même nm se repussent alrs que deux pôles, de nms cntraires, s attirent. Figures IV. Au début du myen âge, les chinis utilisèrent les prpriétés de certains crps magnétiques et inventèrent les premières bussles. Ce fut la première applicatin du magnétisme. 1 agnésie : régin de la Grèce antique en Asie ineure (actuellement en Turquie) L. Aït Gugam,. endaud,. Dulache, F. ékidèche
Licence de Physique : Electricité Ch. IV: agnétstatique L expérience de l aimant brisé mntre que : Il est impssible de séparer le pôle nrd du pôle sud d un aimant. En effet si n casse un aimant en deux parties, n btient deux autres petits aimants ayant chacun un pôle nrd et un pôle sud. i n répète cette pératin, n btient, à chaque fis, des aimants de plus en plus petits dtés chacun d un pôle nrd et d un pôle sud. Figures IV.3 1.. Champ magnétique. Le visinage d un aimant est caractérisé par l existence d un champ magnétique de la même manière qu un champ gravitatinnel existe au visinage de la terre et un champ électrique autur d une charge électrique. De même il existe, cmme nus allns le vir, au visinage d un circuit électrique un champ magnétique. Un champ magnétique est une régin de l espace ù, en chaque pint, le pôle d un petit aimant est sumis à l actin d une frce. Cmme en électrstatique, n définit un vecteur champ magnétique nté. Ce vecteur est tangent aux lignes de champ. Aimant Figures IV.4 Les lignes du champ magnétique srtent du pôle nrd de l aimant et rentrent par le pôle sud. Dans le système.k..a ratinalisé, le champ magnétique est mesuré en tesla (T) 3, en hmmage au savant serbe ikla Testa (1856-1943), inventeur de l alternateur. Histriquement le cncept de champ est d abrd intrduit en magnétisme. Faraday, en répandant de la limaille de fer au visinage d un aimant, cnstate que les grains de fer s rientent et frment une figure, puis ce cncept est étendu à l électricité (vir ch I). Il y a une différence entre le champ électrique E et le champ magnétique (vir le 4.1.) 3 Vir l annexe 4. 94
Licence de Physique : Electricité Ch. IV: agnétstatique 1.3. Frce de Culmb. En 1885, Culmb truve, à l aide de sa balance de trsin, une li, analgue à celle de l électrstatique 4 qui dnne la frce d interactin entre deux aimants seln le mdèle newtnien. Il intrduit alrs le cncept de masse magnétique. ais cette thérie, étudiée jusqu au milieu du vingtième siècle, a été abandnnée. 1.4. L expérience d Oersted et ses cnséquences. A la fin du dix huitième siècle, utre l interactin gravitatinnelle, n cnnaissait l interactin électrique et l interactin magnétique (actin entre deux aimants). En 180, Oersted décuvre l actin d un curant électrique sur une aiguille aimantée. Cette décuverte, rendue pssible grâce à l inventin en 1800 de la pile électrique par Vlta, va permettre aux savants du dix neuvième siècle, de dévelpper une nuvelle science : l électrmagnétisme. Dès 180, it et avart énncent la li qui dnne la frce, créée par un fil parcuru par un curant, qui agit sur le pôle d un aimant 5. La frmule empirique de it a été démntrée par Laplace. A la même épque, Ampère truve la frce exercée par un aimant sur un curant (li de Laplace). En utre, Ampère élabre une thérie qui explique le magnétisme par l existence de curants électriques circulaires dans la matière aimantée. On cmprend alrs la raisn pur laquelle il est impssible de séparer les deux pôles d un aimant. Puis il démntre tutes les lis cnnues, celles de Culmb, it et Laplace, à partir de l interactin entre deux curants électriques. En 1905, Paul Langevin prpse une thérie qui attribue le magnétisme aux muvements des électrns qui gravitent dans l atme sur des rbites fermées et qui crrespndent aux curants circulaires imaginés par Ampère. Au lieu de suivre l rdre histrique, et partir des lis de it et de Laplace, nus allns cmmencer par étudier l actin d un champ magnétique sur une charge électrique en muvement. Cette frce, décuverte par Lrentz, à la fin du dix neuvième siècle va nus permettre de retruver la frce de Laplace. Puis nus dnnerns, sans démnstratin, la li de it à partir de laquelle n calcule les champs magnétiques créés par différents circuits électriques.. ACTIO D U CHAP AGETIQUE UR LE OUVEET D UE CHARGE ELECTRIQUE..1. Frce de Lrentz. A la fin du XIX e siècle, le physicien hllandais Hendrik Lrentz dnne l expressin de la frce F qui s exerce sur une charge pnctuelle q, se déplaçant à la vitesse V dans des champs électrique et magnétique E et : F q E V En présence du seul champ magnétique ( E = 0), la frce de Lrentz devient : F q V Un champ magnétique est une régin de l espace ù, en l absence du champ électrique E, une charge q animée d une vitesse V, est sumise à l actin d une frce F q V. (1) () 4 Vir Ch. I.1. 5 Actin de chaque élément du fil sur chaque mlécule m de magnétisme austral u bréal it : Précis élémentaire de physique. ème éditin 183 : Tme II p 1 95
Licence de Physique : Electricité Ch. IV: agnétstatique Cette nuvelle définitin du champ magnétique est btenue à partir de la frce de Lrentz. Cette frce - a pur mdule: F q V sin V, - sa directin est la perpendiculaire au plan frmé par V et, - n sens est tel que, dans le cas d une charge psitive, les vecteurs V, et F frment un trièdre direct (règle de la main drite). Lrsque la charge est négative la frce change de sens. F F F + q V V Figures IV.5 + qv Le sens de cette frce est également dnné par la règle du bnhmme d Ampère : Le bnhmme d Ampère, traversé des pieds vers la tête par la charge (+q ) animée d une vitesse V, vit fuir les lignes de champ, et a la frce à sa gauche.. Applicatin : uvement d une particule dans un champ magnétique. Une particule, de masse m prtant une charge électrique q, se déplace dans un champ magnétique unifrme avec une vitesse cnstante V perpendiculaire à. Elle est dnc sumise à une frce dnt l expressin, dnnée en (), est: F q V Cette frce est perpendiculaire à V et, et sn mdule est: F qv (3) Elle reste perpendiculaire à V au curs du muvement. Il n y a dnc pas d accélératin tangentielle. L accélératin étant centripète, le muvement est circulaire et unifrme. La relatin fndamentale de la dynamique permet d exprimer le mdule de la frce sus la frme: V F m (4) R R est le rayn de la trajectire circulaire. Avec (3) et (4), il vient : m V A partir de cette expressin, n btient : qv R - Le rayn du cercle décrit par la particule : mv R (5) q 96
Licence de Physique : Electricité Ch. IV: agnétstatique On nte que plus le champ magnétique est intense, plus le rayn de la trajectire est petit. V - Le mdule de la vitesse angulaire du muvement, qui s écrit R q, (6) m ne dépend que du rapprt q/m et de l intensité du champ magnétique. ens de la vitesse angulaire : Dans un muvement circulaire unifrme, la relatin fndamentale de la dynamique s écrit : Avec () n a : m V q V d ù : F m a m V q sit V V m q m (7) q > 0 q < 0 Figures IV.6 i la charge de la particule est psitive (q > 0 ) et snt de sens cntraires. inn (q < 0 ) et nt le même sens. Cas ù la vitesse initiale n est pas perpendiculaire au champ. Dans ce cas, n décmpse la vitesse en deux cmpsantes : V V V V est parallèle à : cette cmpsante n est pas affectée par, la particule prend un muvement rectiligne et unifrme. est perpendiculaire à : le muvement de la V particule est, cmme nus venns de le vir, circulaire et unifrme. Le muvement résultant est un muvement hélicïdal. La trajectire est une hélice. V V V Figure IV.7 97
Licence de Physique : Electricité Ch. IV: agnétstatique 3. ACTIO D U CHAP AGETIQUE UR U COURAT ELECTRIQUE. 3.1. Frce de Laplace. Lrsqu un fil cnducteur, parcuru par un curant I, est placé dans un champ magnétique, chaque élément dl du fil subit une frce : df I dl Cette frce est perpendiculaire au plan frmé par le champ et l élément de curant cnsidéré. n sens est dnné par la règle du bnhmme d Ampère 6. Cmme au.1 : Le bnhmme d Ampère, parcuru par le curant I, des pieds vers la tête, a la frce à sa gauche lrsqu il regarde les lignes de champ. us allns démntrer la li de Laplace à partir de la frce de Lrentz truvée sixante dix ans après. dl V q Cnsidérns un élément de vlume cnducteur filifrme de lngueur dl, de sectin et parcuru par un curant I. Il est traversé à chaque instant par le même nmbre de charges et par cnséquent par une même quantité infinitésimale de charges dq = q Chaque charge (+q) subit de la part du champ magnétique une frce q V Figure IV.8 et les charges subissent une frce : df q V dq V (9) D autre part d Q = q = dl et dq. V V dl I dl Où est la densité vlumique de charges. L expressin (9) devient : df I dl (10) C est l expressin de la li de Laplace. Exercice IV.1. alance de Cttn On veut mesurer l intensité du champ magnétique, dans l entrefer d un électr aimant, à l aide de la balance de Cttn, représentée sur la figure ci-dessus. L'un des bras de la balance est cnstitué par un circuit électrique alimenté par un curant cntinu I. Il cmprte deux cnducteurs linéaires parallèles, deux cnducteurs qui snt des secteurs circulaires centrés sur l'axe O de la balance et un cnducteur linéaire de lngueur l qui est hrizntal lrsque la balance est à l'équilibre. 6 La frce de Laplace est parfaitement définie à partir du prduit vectriel de la frmule (10). ais à l épque d Ampère n ne cnnaissait pas le calcul vectriel. Ce dernier ne sera intrduit qu à la fin du 19 ème siècle par Gibbs et Heaviside. Il en est de même de la frmule de it qui dnne le champ magnétique. 98
Licence de Physique : Electricité Ch. IV: agnétstatique 1 ) Dans quel sens dit-n faire circuler le curant, étant rienté vers l arrière de la figure. ) Calculer sachant que : les bras de la balance nt même lngueur L. l = cm, I = 5, 5 A, m = 3,5O g, g = 9, 81 m/s. lutin IV.1. 1 ) Le curant dit circuler dans le sens indiqué par les flèches. ) L actin sur les deux cnducteurs rectilignes parallèles est nulle. Le mment des frces agissant sur les secteurs circulaires est nul car ces frces snt dirigées vers O. l I i mg mg A l équilibre le mment, par rapprt à l axe de la balance, de la frce de Laplace qui agit sur l, est égal et ppsé à celui du pids. Les bras de la balance ayant même lngueur, n a : I l m g d ù mg = 0,3 T I l 3.. Actin d un champ sur un circuit fermé. ment magnétique. On cnsidère, pur simplifier, un circuit rectangulaire, de lngueur A = l et de largeur C = a, parcuru par un curant I. Ce circuit C, mbile autur d un axe fixe zz', est placé dans un champ magnétique unifrme, la nrmale à la spire C fait un angle avec. Le côté A est sumis, en, à l actin d une frce de mdule : F1= F = I l dnt la directin est le sens snt dnnés par la règle du bnhmme d Ampère z C I i H F1 n A D z Figures IV.9 F De même CD est sumis, en, à une frce F égale et ppsée à F 1. La résultante des frces qui agissent sur C est nulle, il en est de même de AD. Ainsi le circuit est sumis à un cuple frmé de F 1 & F et dnt le mdule est égal à : = F H Or H = sin = a sin D ù: = I l a sin 0n pse : I n avec = al C est le mment magnétique du circuit rectangulaire cnsidéré. 99
Licence de Physique : Electricité Ch. IV: agnétstatique Le cuple, qui agit sur ce circuit, s écrit Ce résultat est général. (11) Un circuit, cmprtant spires de surface, parcuru par un curant I, pssède un mment magnétique : I n (1) ù n est un vecteur unitaire prté par la nrmale aux spires. Le mment magnétique est mesuré en ampère mètre carré (A.m ) I I I Figures IV.10 Placé dans un champ magnétique, le circuit est sumis à un cuple ment magnétique d un aimant. De même une aiguille aimantée, u un barreau aimanté snt caractérisés par leur mment magnétique. Figure IV.11 Placé dans un champ magnétique, l aimant est sumis à un cuple 3.3. Energie d un circuit placé dans un champ magnétique. On mntre 7 que l énergie ptentielle d un circuit parcuru par un curant I, de mment magnétique I n placé dans un champ magnétique est : De même l énergie d un aimant de mment est : Ep. (13) Ep. 7 Cnsidérer, à titre d exercice, le cas d un cadre rectangulaire parcuru par un curant (Vir 3.) 100
Licence de Physique : Electricité Ch. IV: agnétstatique Exercice IV.. Un élément mteur magnétélectrique cmprte un cadre mbile, cnstitué de spires rectangulaires de lngueur l, et de largeur a. Ce cadre turne autur d un axe zz. Il est parcuru par un curant i et il est plngé dans un champ magnétique radial créé par un aimant permanent dnt la frme est indiquée sur la figure ci-cntre. 1 ) Calculer le cuple mteur m, qui agit sur le cadre. ) Ce cuple mteur est équilibré par un cuple de rappel r dû à un ressrt de cnstante C. ntrer que le curant i est prprtinnel à la rtatin du cadre. A.. = 0,3 T ; a = 0,5 cm ; l = cm ; i = 10 ma ; C =,3 10-4.m/rad ; = 00. lutin IV.. 1 ) Le mment, par rapprt à l axe de rtatin, des frces de Laplace qui agissent sur les côtés hrizntaux du cadre, est nul. Le champ étant radial, quelque sit la psitin du cadre, les frces, qui agissent sur chaque côté vertical, snt perpendiculaires au plan du cadre et nt même mdule : F F i l et snt ppsées F F 1 1 Elles frment un cuple dnt le mment par rapprt à ù est la surface d une spire. i l ( a) i m z ' z, pur les spires, est : ) A l équilibre ce cuple mteur est égal et ppsé au cuple de rappel C exercé r par le ressrt. D ù i = 0, 5 rad sit a # 30 C Exercice IV.3. On veut mesurer la cmpsante hrizntale du champ magnétique terrestre à l aide d un pendule frmé d un barreau magnétique de mment magnétique et de masse m. Ce dernier (figure ci-cntre), suspendu en sn milieu O à un fil sans trsin, est mbile, dans le plan hrizntal, autur d un axe vertical OO. L aimant a la frme d un parallélépipède rectangle. On fait turner ce pendule d un angle et n l abandnne à lui-même. 1 ) achant qu aucun cuple de trsin n agit sur le système, écrire l équatin du muvement dans le cas ù les frttements snt négligeables. En déduire la péride d scillatin T du pendule dans le cas des faibles amplitudes. (sin ). A.. T = 8, s, = A.m, J = 0,64 10-4 kg.m ) Retruver la péride T à partir d une étude dimensinnelle. J désigne le mment d inertie du pendule par rapprt à OO 101
Licence de Physique : Electricité Ch. IV: agnétstatique lutin IV. 3. Les frttements et le cuple de trsin étant nuls, le cuple d inertie est équilibré par le cuple magnétique : sin Le cuple s ppse tujurs au déplacement. En effet : > 0 <0 < 0 > 0 L équatin du muvement s écrit : d J sin si sin # dt C est l équatin d un pendule scillant autur de sn axe : d ù sit T J d 0 dt J d 0 dt J =.10-5 tesla ) Calcul dimensinnel : La péride T dépend de J, et. sit : T = J x y z Cette expressin dit être dimensinnellement hmgène, les deux membres nt dnc pur dimensin un temps. En remplaçant chaque grandeur par sa dimensin, n btient : D ù : T = (.L ) x (I.L ) y (.T -.I -1 ) z = (x+z).l (x+y). T (-z). I (y-z) 0 = x + z 0 = x + y 1 = - z 0 = y z Le calcul dimensinnel ne peut pas dnner la valeur du cefficient sans dimensin k 4. CHAP AGETIQUE CREE PAR U COURAT. 4.1. Li de it et avart. x = +1/ y = - 1/ z = - 1/ T k Les physiciens français it et avart nt truvé l expressin du champ magnétique btenu lrs de l expérience d Oersted. Un fil cnducteur rectiligne de lngueur infinie, parcuru par un curant I, crée, en un pint de l espace situé à une distance r du fil, un champ magnétique dnt : - la directin est telle que les lignes de champ sient des cercles axés sur le fil. - le sens est dnné par la règle du bnhmme d Ampère : celui-ci, lrsqu il est parcuru par I, r des pieds vers la tête, vit en le champ à sa gauche. I - le mdule est: Figure IV. 1. I (14) r J 10
Licence de Physique : Electricité Ch. IV: agnétstatique ù est la perméabilité magnétique du vide. Dans le système KA, = 4 10 7 henry par mètre: H/m (Annexe 4) Dans le cas d un circuit fermé de frme quelcnque, chaque élément de curant dl i u I r Figure IV.13 d I dl, crée en un champ élémentaire : I dl u d 4 r (15) C est l expressin de la li de it & avart dans le cas général. Le vecteur u est rienté, cmme le mntre la figure, de la surce vers le pint... Cette li sera démntrée en ème et 3 ème années de licence. Exercice IV. 4. Retruver l expressin (14) du champ créé par un fil rectiligne de lngueur infinie. A. : I = 5 A et O = a = 50 cm lutin IV. 4. Le champ magnétique d, créé au pint, par un élément PP = dl du fil cnsidéré, est dnné par l expressin (15) I dl u d 4 r P P O u H d d ù r = P Ce champ est perpendiculaire en au plan frmé par dl et u. n sens est dnné par la règle du bnhmme d Ampère (vir la figure ci-cntre). n intensité est: d après la figure : I dl cs d 4 r a r et PH r d cs I I d cs d et 4 a r d dl d ù cs I / 4 cs d a / I = T a Remarque : Il existe une différence ntable entre la nature vectrielle du champ électrique E et celle du champ magnétique. E est un vecteur plaire (un vrai vecteur), il est dirigé suivant la drite qui jint la charge surce au pint rigine du champ. Par cntre est un vecteur axial u pseud vecteur, qui est défini à partir d un prduit vectriel (li de it). Pur les différencier certains auteurs utilisent, pur un vecteur axial, la ntatin : La thérie de la relativité, qui sera étudiée en L3, mntre que ces deux grandeurs, le champ électrique et le champ magnétique, de l'espace tridimensinnel, ne snt en fait que deux parties d'une seule et même grandeur physique, de l'espace à quatre dimensins :"le tenseur électrmagnétique ". On parle alrs de champ électrmagnétique. 103
Licence de Physique : Electricité Ch. IV: agnétstatique 4.. Interactin entre deux curants rectilignes et parallèles : Définitin de l ampère. Cnsidérns deux fils cnducteurs rectilignes, parallèles, de lngueur infinie, séparés par une distance d et parcurus par des curants I 1 et I. Calculns la frce qu exerce le premier fil sur une lngueur = l du secnd fil. 1 ) Les deux curants I 1 et I nt le même sens (figure IV.14.a): calculns le champ magnétique 1, créé au milieu O de par le premier fil. Ce champ est perpendiculaire au plan des deux fils et rienté cmme le mntre la figure (règle du bnhmme d Ampère). D après la li de it, il a pur mdule 1 I1 d. F 1. 1 F (a) (b) I 1 I I 1 I Figures IV. 14. Ce champ exerce, sur la lngueur = l, une frce F dirigée et rientée cmme l indique la figure. n mdule est en vertu de la li de Laplace: F I l sit en remplaçant 1 par sa valeur : 1 F I1 I l (16) d i n fait le même raisnnement pur calculer la frce exercée par le secnd fil sur une même lngueur l du premier, n truve une frce égale et ppsée. La figure mntre que l interactin entre les deux fils, parcurus par des curants de même sens, se traduit par une attractin. ) Les deux curants I 1 et I snt de sens cntraires (figure IV.14.b). Le même raisnnement mntre que, dans ce cas, l interactin se traduit par une répulsin. Remarque : Ampère avait truvé une frmule générale qui dnne la frce d interactin entre deux éléments I 1 dl 1 et I dl. A partir de cette frmule, il a pu retruver tutes les lis de l électrmagnétisme Définitin de l ampère : L unité de l intensité électrique, l ampère, est définie à partir de cette interactin. Cnsidérns le cas ù les deux curants nt le même sens et la même intensité I 1 = I = I ; les distances l et d snt égales à l unité de lngueur du système KA l = d = 1 mètre. Dans ce système, n pse = 4 10-7 (unité KA). La frce qui agit sur est : 7 F 4 10 7.10 I I newtn (17) 104
Licence de Physique : Electricité Ch. IV: agnétstatique Le curant I a pur valeur l unité d intensité KA si F.10 système d unités KA l unité de l intensité est l ampère. 7 newtn. Dans le L'ampère est l'intensité d'un curant électrique cnstant qui, maintenu dans deux cnducteurs parallèles, rectilignes, de lngueur infinie, de sectin circulaire négligeable et placés à une distance de 1 mètre l'un de l'autre dans le vide, prduirait entre ces cnducteurs une frce F =.10-7 ewtn par mètre de lngueur. Il est difficile de mesurer l Ampère abslu à partir de cette méthde, d ù l utilisatin d électrdynammètres abslus. L électrdynammètre de Pellat fut l un des premiers appareils cnstruits (exercice IV.1) 4.3. Champ créé par une spire circulaire en un pint de sn axe. Un élément dl d une spire, parcurue par un curant I, prduit en un pint de l axe de la spire, un champ magnétique d. Il est perpendiculaire à dl et u, sn sens est dnné par la règle du bnhmme d Ampère et sn mdule est I dl d 4 r En raisn de la symétrie du prblème, tutes les cmpsantes perpendiculaires à l axe s éliminent, et les cmpsantes suivant z I dl dz sin 4 r s ajutent. Le champ résultant est prté par l axe de la spire et a pur valeur : R sin I 4 dl r 0 sit sin I R r R R étant le rayn de la spire et sachant que sin n a : r R I sit R 3 r R z Au centre de la spire, le champ a pur valeur : I (19) R 4.4. Dipôle magnétique. On peut écrire l expressin (18) du champ sur l axe de la spire sus la frme : 3/ I I d z O r R d Figure IV. 15 u dl (18) z R R z 3/ I c'est-à-dire z R z 3/ ù R I est le mdule du mment magnétique de la spire. i le rayn R de la spire est très petit, il peut être négligé devant z, n a alrs : 105
Licence de Physique : Electricité Ch. IV: agnétstatique z (0) 3 z On retruve une expressin analgue à celle du champ électrique créé par un dipôle sur sn axe (exercice I.4) 1 p Ez 3 4 z C est la raisn pur laquelle n dit qu une spire, de très faible rayn, parcurue par un curant, cnstitue un dipôle magnétique. i n calcule le champ magnétique créé par un tel dipôle, n truve 8 un vecteur dnt les cmpsantes radiale et tangentielle snt : r 4 3 r cs et 4 3 sin r (1) us avns truvé dans le cas du dipôle électrique des expressins analgues (ch I 7.) 1 p 1 p Er 3 cs et E sin 4 3 r 4 r 4.5. tins élémentaires sur l aimantatin de la matière. us avns expliqué, au premier chapitre, la plarisatin électrique de la matière par l actin d un champ électrique extérieur sur les mments diplaires des atmes et des mlécules qui cnstituent le milieu. Or, une petite spire, parcurue par un curant I cnstitue un dipôle magnétique. On purrait alrs, grâce à un raisnnement par analgie, expliquer l aimantatin de la matière par l existence de mments magnétiques et par leurs interactins avec un champ magnétique extérieur. us avns vu au paragraphe 1.4. que, histriquement, Langevin avait expliqué le magnétisme par l actin du champ magnétique sur le muvement rbital des électrns dans l atme, muvement qui crrespnd aux curants circulaires de la thérie d Ampère. Cependant, la physique classique ne peut pas dnner une explicatin cmplète du magnétisme ; il faut alrs recurir à la physique quantique. En plus des mments rbitaux, n dit tenir cmpte des mments de spin de l électrn. Or le spin est un cncept purement quantique. Le magnétisme sera étudié en trisième année de Licence (6) Le diamagnétisme : C est un phénmène analgue à la plarisatin induite, l actin du champ se traduit par l apparitin d un mment magnétique induit. Ce mment est prprtinnel au champ et s ppse à lui, ce qui cntraste avec la plarisatin électrique. Le paramagnétisme : Les cnstituants du milieu (atmes, mlécules) pssèdent un mment permanent ; mais en raisn de l agitatin thermique, le matériau n est pas aimanté. L actin d un champ magnétique se traduit par un effet d rientatin des mments et une aimantatin du matériau rienté dans le même sens que le champ. Ce phénmène dépend de la température. On peut nter une analgie avec la plarisatin diplaire. Le ferrmagnétisme : Certains matériaux (fer, nickel, cbalt) gardent une aimantatin lrsque le champ est supprimé ; ils cnstituent des aimants. Ce phénmène dépend de la température ; pur chaque matériau ferrmagnétique, il existe une température, appelée température de Curie Tc, au dessus de laquelle il perd sn aimantatin et devient paramagnétique. Vici quelques valeurs de Tc : Fe Tc = 770 C, C Tc = 1115 C, i Tc = 354 C.. : La perméabilité magnétique d un milieu magnétique est supérieure à celle du vide ( > ) 8 Ce calcul peut être fait en L à partir des ptentiels vecteurs. Vir le curs d Electrmagnétisme 4 [6] 3..5 106
Licence de Physique : Electricité Ch. IV: agnétstatique 5. THEOREE D APERE. 5.1. Vecteur excitatin magnétique. Cmme en électrstatique, n intrduit un vecteur excitatin magnétique H tel que : H () est la perméabilité magnétique du milieu. Dans le vide n a: H (3).. Le vecteur H a été lngtemps appelé champ magnétique et le vecteur inductin magnétique. Or c est le vecteur qui est à l rigine de la frce qui agit sur une charge q (frce de Laplace) ; c est dnc qui est le champ. 5.. Circulatin de l excitatin magnétique le lng d un cntur fermé. Cnsidérns un fil cnducteur rectiligne de lngueur infinie parcuru par un curant I. Il crée, à une distance r, un champ magnétique tangent à une ligne de champ et de mdule (14) : I r L excitatin magnétique H est parallèle à et sn mdule est I H r Les lignes de champ snt des cercles centrés sur le fil dans des plans perpendiculaires I r H Figure IV. 16 i n calcule la circulatin du vecteur H le lng d une ligne de champ, n truve : H. dl I En effet, en remplaçant H par sa valeur (4) I I dl dl I C r r C Le rayn r du cercle est cnstant et l intégrale dnne le périmètre du cercle. Ce résultat, truvé ici dans un cas particulier, est général, le cntur C étant quelcnque. D ù le thérème d Ampère : it : La circulatin du vecteur H le lng d un cntur fermé C quelcnque est égale à la smme algébrique des curants qui se truvent à l intérieur de C. C H dl. In n En intrduisant la densité de curant J, n btient : C H. dl J. d (5) (6) 107
Licence de Physique : Electricité Ch. IV: agnétstatique est une surface quelcnque qui s appuie sur le cntur C. C est la frmulatin mathématique du thérème d Ampère. Remarque : Le thérème d Ampère équivaut au thérème de Gauss truvé en électrstatique : dans le premier cas le vecteur excitatin H est relié aux curants surces J, et dans le deuxième, D est relié aux charges surces. 5.3. Applicatin : Champ créé par un slénïde de lngueur infinie. Un slénïde est cnstitué d un fil cnducteur enrulé sur un cylindre de lngueur L. Chaque tur du fil cnstitue une spire circulaire de rayn R. Un curant électrique d intensité I, qui parcurt le fil, entraîne l apparitin, dans l espace envirnnant, d un champ magnétique (figure IV.17.a) us allns utiliser le thérème d Ampère pur calculer dans le cas d un slénïde de lngueur infinie. En raisn de la symétrie du prblème, les lignes de champ snt parallèles à l axe du slénïde. I Q P........ Q P........ H (a) Figures IV. 17 H (b) Calcul de H à l extérieur du slénïde : 0n chisit un cntur rectangulaire PQ (figure.iv.17. b). La circulatin, le lng de ce cntur, du vecteur H est C H dl. Ii i sit H. H. P H. PQ H. Q I 0 les ème et 4 ème termes snt nuls car les deux vecteurs snt perpendiculaires. Par cnséquent H a la même valeur le lng de et de PQ. A l extérieur H est unifrme et cela quelles que sient les psitins de et PQ, il est dnc nul cmme à l infini. Calcul de H à l intérieur du slénïde : 0n cnsidère, à présent, le cntur P Q : H. dl 1 I sit H. ' ' H. ' P ' H. P ' Q ' H. Q ' ' 1 I C ù 1 est le nmbre de spires à l intérieur de ce cntur. eul le premier terme n est pas nul ; les ème et 4 ème snt nuls cmme précédemment et le 3 ème parce que H = 0 à l extérieur du slénïde. Dnc, à l intérieur du slénïde, l excitatin magnétique a pur mdule : 1 H I H n I n est le nmbre de spires par unité de lngueur. A l intérieur du slénïde l intensité du champ magnétique est n I (7) i i Le calcul de sur l axe d un slénïde, de lngueur finie, sera traité en exercice (Ex IV. 10) 108
Licence de Physique : Electricité Ch. IV: agnétstatique 6. FLUX AGETIQUE. 6.1. Flux du champ magnétique à travers une surface. us avns défini, au paragraphe 9.1. du premier chapitre, le cncept mathématique de flux d un vecteur A à travers un élément d d une surface.par la quantité scalaire 9 d A. d = A d cs ù d d n et n un vecteur unitaire prté par la nrmale à d (figure IV.18.a) d d d n Face psitive A Face négative (a) (b) (c) n Figures IV. 18 Le flux glbal à travers la surface est btenu par intégratin : A. d (8) Rappelns que, dans le cas d une surface fermée, la nrmale est rientée de l intérieur vers l extérieur (Vir Ch I 9.1.).. Lrsque la surface est uverte (figure IV.18. b), n chisit un sens de parcurs du cntur et n riente la nrmale en utilisant par exemple la règle de la main drite. La figure IV.18.c représente une spire sur laquelle n a chisi une face psitive et une face négative. En électrmagnétisme, n définit le flux du vecteur champ magnétique à travers une surface par :. d (9) Le flux du vecteur champ magnétique appelé flux magnétique a, cmme nus le verrns au chapitre suivant, une très grande imprtance en électrmagnétisme. Dans le système KA, le flux magnétique est mesuré en weber (Wb), le champ magnétique en weber/m (Wb/m ), u en tesla (T ). 9 us avns étudié le flux du vecteur excitatin électrique D (Ch. I), le flux du vecteur densité électrique J qui représente l intensité I du curant (Ch. III) et ici le flux magnétique. De même en hydraulique le débit d une cnduite représente le flux du vecteur vitesse V à travers une sectin de cette cnduite.. 109
Licence de Physique : Electricité Ch. IV: agnétstatique 6.. Equatin de cnservatin du flux magnétique. La tpgraphie d un champ magnétique, qu il sit créé par des aimants u des curants électriques, mntre que, dans tus les cas, les lignes de champ snt des curbes fermées. Figure IV. 19 Tpgraphie du champ magnétique créé par un fil cnducteur plié en hélice www.epsic.ch/.../therie/matmag/image 370a.gif Il en résulte que le flux du vecteur à travers une surface fermée est nul. Par cnséquent, le flux magnétique est cnservatif, ce qui se traduit mathématiquement par. d 0 (30) C est l une des quatre équatins de axwell écrite sus frme intégrale. La li de cnservatin du flux magnétique permet de mntrer que : Le flux du vecteur champ magnétique à travers tute surface s appuyant sur un même cntur est le même. En effet, cnsidérns un cntur C avec le sens de parcurs indiqué sur la figure IV.0 et, dans une première étape, deux surfaces 1 et placés de part et d autre de C et s appuyant sur ce cntur. L ensemble frmé par 1 et cnstitue une surface fermée. En rientant cette surface vers l extérieur, la li de cnservatin du flux dnne : = 1 + = 0 ( 31) d d 1 n 1 n C 1 Figure IV. 0, 1, et désignent respectivement les flux qui traversent les surfaces, 1 et. L expressin ( 31) mntre que : 1 = - Le signe (-) prvient de la cnventin d rientatin de la nrmale. Le flux est le même dans les deux cas. Cnsidérns à présent une trisième surface 1 qui s appuie sur C et qui cnstitue avec une surface fermée, le même raisnnement abutirait à l égalité : ' 1 = - Dnc : ' 1 = 1 110
Licence de Physique : Electricité Ch. IV: agnétstatique 6.3. Expressin du travail des frces en fnctin du flux cupé. Cnsidérns d abrd le cas particulier du circuit représenté sur la figure IV.1 : Une barre cnductrice se déplace sur des rails parallèles cnducteurs. L ensemble est alimenté par une surce de curant cntinu qui débite à travers le circuit, ainsi frmé, un curant I. Ce circuit est placé dans un champ magnétique unifrme perpendiculaire à la barre et faisant un angle avec la nrmale au plan du circuit. n I F + - Figure IV. 1 Le cnducteur, est sumis à la frce de Laplace : F I F I sit F = I (3) Au curs d un déplacement élémentaire d de, le travail de la frce F dw F. d sit est dw F d cs (33) En remplaçant dans (33) F par sa valeur truvée en (3), il vient : dw = I d cs sit dw = I d cs d est la surface balayée par le cnducteur au curs de ce déplacement. i n fait intervenir le flux cupé par le cnducteur : d. n d d d cs On a : dw = I d (34) n est un vecteur unitaire prté par la nrmale à la surface balayée. Ce résultat, truvé dans un cas particulier, est général. Cnsidérns un circuit électrique, parcuru par un curant cntinu I et placé dans un champ magnétique. Chaque élément dl du circuit est sumis à une frce de Laplace : df I dl (35) 111
Licence de Physique : Electricité Ch. IV: agnétstatique Au curs d un déplacement élémentaire d dw df. d it avec (35) : dw I dl. d de l élément dl, le travail de la frce F est En utilisant les prpriétés du prduit mixte, il vient : dw I d dl. Or le prduit vectriel d dl d représente l aire du parallélgramme balayé par dl. Dnc dw I d. sit dw I d Ainsi : Lrsqu un élément de curant se déplace dans un champ magnétique, le travail de la frce, qui s exerce sur lui, est égal au prduit du curant par le flux cupé. 6.4. Expressin du travail en fnctin de la variatin du flux à travers un circuit. On retruve la même expressin dans le cas d un circuit électrique fermé, de frme quelcnque, parcuru par un curant I. dw I d d désigne la variatin du flux magnétique. Cette variatin du flux peut être due - sit à une variatin de la surface du circuit, - sit à une variatin du champ, - sit à une variatin de l angle. 6.5. Inductin mutuelle de deux circuits. Cnsidérns deux circuits C 1 et C parcurus respectivement par les curants I 1 et I. Le flux magnétique 1 envyé par C 1 à travers C est : I1 dl C 1 = I 1 (36) C 1 dl 1 I De même le flux magnétique envyé par C à travers C 1 est : = I (37) Figure IV. est le cefficient d inductin mutuelle u l inductance mutuelle 6.6. L inductance d un circuit électrique. Cnsidérns un circuit électrique fermé parcuru par un curant I. Ce curant crée dans le visinage un champ magnétique prprtinnel à I. Le flux de ce 11
Licence de Physique : Electricité Ch. IV: agnétstatique champ à travers le circuit, appelé flux prpre, est prprtinnel à, dnc à I. On peut alrs écrire : L est l inductance du circuit électrique. = L I (38) et L snt mesurés, dans le système KA, en henry (H). Exercice IV.5. On cnsidère un slénïde, dnt la lngueur l est très grande par rapprt 1 ) Calculer le cefficient d inductin mutuelle de ces deux bbines. ) On enlève la petite bbine et n ne cnsidère que la première. Calculer sn cefficient de self inductin L. A. : l = 5 cm, R = cm, = 500, = 3,15 cm, = 50, = 60 lutin IV.5. 1 ) Le champ magnétique à l intérieur du slénïde a pur intensité : I l Le flux de ce champ à travers la bbine est : I ' ' cs ' ' cs = I ' ' cs l l A. : =1,96 10-5 H ) Le flux magnétique envyé par le slénïde à travers ses prpres spires est : I l au rayn R des spires de façn à l assimiler à un slénïde infini. Il cmprte spires de surface et il est parcuru par un curant I. Une petite bbine de sectin, cmprtant spires et parcurue par un curant I, est placée cmme l indique la figure. n axe fait un angle avec celui du slénïde L =1,58 10-3 H l Ainsi : Le cefficient de self inductin u aut inductin d une bbine de grande lngueur l cmprtant spires de surface est : L (39) l 6.7. Calcul des frces appliquées à un circuit électrique. On peut calculer la résultante des frces appliquées à un circuit électrique fermé parcuru par un curant I. us avns truvé, en (34), que le travail dw de la frce électrmagnétique F au curs d un déplacement élémentaire est : dw F. d I d 113
Licence de Physique : Electricité Ch. IV: agnétstatique ù d est la variatin du flux magnétique au curs de ce déplacement. On peut alrs déterminer, cmme en électrstatique, les cmpsantes de F. En crdnnées cartésiennes n a : Fx I x ; Fy I y ; Fz Dans le cas d un système en rtatin autur d un axe, le mment des frces par rapprt à cet axe est : d I (41) d I z (40) Exercice IV.6. Un élément mteur électrdynamique cmprte une bbine fixe, représentée sur la figure en deux parties, d inductance L 1, parcurue par un curant I 1 et une bbine, d inductance L, mbile autur d un axe, parcurue par un curant I. I 1 I n L axe est perpendiculaire en O au plan de la figure. Le cefficient d inductin mutuelle des deux bbine est. 1 ) Calculer le cuple mteur m qu exerce la bbine fixe sur la bbine mbile. ) Le cuple mteur est équilibré par un cuple de rappel r dû à un ressrt de cnstante C. Calculer, à l équilibre, l angle de rtatin de l équipage mbile. d lutin IV. 6. 1 ) Le cuple mteur est d après (41) m = I d Le flux envyé par la bbine fixe à travers la bbine mbile est dnné par (36) : I1 d D ù : m I 1 I d En effet, au curs d une rtatin élémentaire d, seul le cefficient d inductin mutuelle varie, les selfs L 1 et L restent cnstantes. ) A l équilibre, ce cuple mteur est équilibré par le cuple de rappel dû au ressrt : d ù C r 1 d I 1 I C d.. Cet élément mteur est utilisé dans les wattmètres, pur les mesures de puissances. La bbine fixe est placée en série, cmme un ampèremètre, avec le récepteur et la bbine mbile en dérivatin cmme un vltmètre (Exercice VI.14). 114
Licence de Physique : Electricité Ch. IV: agnétstatique Annexe Le champ magnétique terrestre. Dès l antiquité, les chinis avaient remarqué l existence d un champ magnétique au visinage de la Terre et nt cnstruit, au V ème siècle, les premières bussles à aiguille aimantée 10. Le champ magnétique terrestre est équivalent à un champ qui serait créé par un immense barreau aimanté dnt le milieu serait situé près du centre de la terre Une aiguille aimantée (bussle) placée au visinage de la terre s riente apprximativement vers le pôle nrd gégraphique. Les lignes du champ terrestre srtent du ple nrd magnétique dans l hémisphère sud et reviennent au pôle sud de l aimant situé dans l hémisphère nrd. Ainsi, en réalité, c est le pôle sud magnétique qui se truve, cmme le mntre la figure 1, près du pôle nrd gégraphique et nn l inverse. Cette erreur, intrduite au début de l histire du magnétisme, n a pas été crrigée. rd magnétique rd gégraphique Verticale du lieu rd gégraphique J rd magnétique Figure 1. La valeur du champ magnétique terrestre mesures de sa cmpsante hrizntale Figure. en un lieu dnné est déterminé à partir des, la déclinaisn et l inclinaisn J (figure ). La cmpsante hrizntale est la prjectin du champ magnétique terrestre sur un plan perpendiculaire à la verticale du lieu cnsidéré. La déclinaisn magnétique est l angle frmé par les plans méridiens gégraphique et magnétique. C est l erreur que l n cmmet en repérant le nrd gégraphique à l aide d une bussle. L inclinaisn magnétique J est l angle frmé par et Ces tris grandeurs,, et J varient en fnctin du lieu cnsidéré, et, en un même lieu, elles évluent en fnctin du temps. Des mesures effectuées à Tamanrasset 11 nt dnné : = -, J = 7, = 37 345 nt en 1994 = - 1, J = 7 15, = 37 560 nt en 006 L existence du champ magnétique terrestre assure la prtectin de la vie sur Terre en déviant les particules à très hautes énergies. 10 ichel utif : Histire de la physique, pages 14 à 18, Ed. Fcus 003 11 Observatins magnétiques ulletin 5 115
Licence de Physique : Electricité Ch. IV: agnétstatique Exercices : Chapitre IV Exercice IV. 7. Déflexin magnétique. y y Un électrn, de masse m prtant une charge électrique - e, animée d une vitesse cnstante V parallèle à l axe x (figure ci-cntre), entre dans un champ magnétique parallèle à z et A qui reste unifrme dans une zne rectangulaire V de largeur a. En dehrs de cette zne le O H O x champ est nul. d 1 ) Quel est le sens du champ magnétique dans la figure ci-cntre. ) Déterminer la trajectire de la particule a dans le champ magnétique ( 0 < x < a ), calculer sn rayn R. 3 ) A la srtie du champ la particule pursuit sn trajet et abutit, en, sur l écran d un scillscpe cathdique. Calculer la déviatin de la trajectire de la particule et la psitin, y = O, du spt sur l écran.. Les rdres de grandeur des paramètres du prblème permettent de remplacer, dans les calculs, la lngueur de l arc OA par la distance a. Les vitesses cnsidérées snt faibles vis-à-vis de celle de la lumière A.., V = 3.10 6 m/s, e = 1,6 10-19 C, m = 9,1 10-31 kg, = 10-3 T, a = 5 mm, d = 5 cm. Exercice IV. 8. pectrmètre de Dempster. Le spectrmètre de Dempster, représenté sur la figure ci-cntre, cmprte une surce d ins. Ces ins transitent, à travers deux fentes fines, dans la régin I ù ils snt accélérés par une différence de ptentiel V. Dans le cas cnsidéré ici des ins 79 r - snt accélérés par une d.d.p V = 10 3 Vlts. Ils pénètrent, avec une vitesse v dans la régin II ù règne un champ magnétique unifrme perpendiculaire à la vitesse (vir figure). Après avir décrit une trajectire, représentée en pintillés sur la figure, ils tmbent sur une plaque phtgraphique P ù ils laissent une trace. P R. O v + - 1 ) Quelle est la nature du muvement des ins dans les régins I et II. En déduire leur vitesse à la srtie de la régin I, sachant que la vitesse initiale est nulle. ) Quelle intensité faut il dnner à pur que ces ins décrivent une trajectire circulaire de rayn R = 57.4 cm. 3 ) Quelle est la variatin R du rayn de la trajectire circulaire lrsque les ins 79 r - snt remplacés par des ins 81 r -. On dnne : =0.1 Tesla, m 79 = 1.3104 10-5 kg et m 81 = 1.3436 10-5 kg 116
Licence de Physique : Electricité Ch. IV: agnétstatique Exercice IV. 9. Rue de arlw Un disque métallique circulaire, de rayn R, peut turner librement autur de sn axe perpendiculaire en O au plan du disque. Celui-ci est placé dans un champ magnétique unifrme parallèle à l axe et rienté cmme l indique la figure. L extrémité inférieure A du disque est en cntact avec la surface libre d un bain de mercure cntenu dans un récipient. L ensemble est parcuru par un curant cntinu I. Celui-ci arrive en, traverse le disque, grâce à un frtteur qui assure le cntact avec l axe de rtatin, passe à travers le mercure, puis il revient à la surce en. O. I A I I On suppse que, dans le disque, le curant électrique I circule en ligne drite entre O et A 1. 1 ) Quel est le sens de rtatin du disque? ) Calculer le mment, par rapprt à l axe, de la frce de Laplace qui s exerce sur le disque. 3 ) Quelle est la puissance du mteur, ainsi cnstitué, sachant que le disque effectue turs par minute. A.. R = 10 cm, I = 5 A, = 0,5T, = 10 turs/mn Exercice IV. 10. lénïde de lngueur finie. On cnsidère un slénïde de lngueur finie L et cmprtant spires de rayn R et parcurues par un curant I. 1 ) Calculer le champ magnétique en un pint de l axe x ' x du slénïde en fnctin du nmbre n de spires par unité de lngueur, de l intensité du curant I et des angles 1 et sus lesquels n vit, depuis le pint, les deux spires terminales du slénïde. ) Retruver la valeur du champ magnétique en dans le cas d un slénïde de lngueur infinie. Exprimer le champ magnétique en fnctin de m, n, I, L et R lrsque le pint se truve en O au milieu du slénïde 3 ) Pur quelle valeur de R/L a-t-n une précisin de 1% lrsqu n assimile la valeur du champ en O à celle btenue dans le cas d un slénïde de lngueur infinie. 4 ) Le slénïde cnsidéré cmprte = 300 spires, de rayn R = 1 cm, parcurues par un curant I = A. a lngueur est L = 16 cm. Calculer la valeur du champ en O, milieu du slénïde et rigine de l axe x ' x. Tracer la curbe (x) qui représente la variatin du champ le lng de l axe x ' x. Exercice IV. 11. pire carrée. 1 ) Calculer le champ créé par un fil rectiligne de lngueur L finie, parcuru par un curant I, en un pint situé à une distance D du fil. ) En déduire le champ magnétique sur l axe d une spire carrée, de côté L = a, parcurue par un curant I. Quelle est la valeur de ce champ au centre de la spire? 1 Pur le calcul exact vir Perez page 43. Il mntre que le résultat est indépendant de la tpgraphie des lignes de curant. 117
Licence de Physique : Electricité Ch. IV: agnétstatique Exercice IV.1. Electrdynammètre de Pellat. La balance électrdynamique (électrdynammètre de Pellat), représentée sur la figure cidessus, sert à la mesure de l ampère abslu. L un des bras de la balance est slidaire d une petite plate placée à l intérieur d un slénïde. Ce slénïde, dnt l axe est hrizntal, cm- l l 1 mg -prte spires de surface parcurues par un curant I ; sa lngueur L est très grande par rapprt au diamètre des spires. La petite bbine, cnstituée de spires de surface, est parcurue par le même curant I. n axe est, lrsque la balance est équilibrée, perpendiculaire à celui du slénïde. Quelle masse dit-n placer sur le plateau de la balance pur mesurer, à l équilibre, un curant de 1 ampère? A : = 10 000 spires, = 100 spires, = 10 cm, l = 0 cm 118
Chapitre V L IDUCTIO ELECTROAGÉTIQUE us n avns cnsidéré, jusqu à présent, que des régimes statinnaires : en électrstatique et dans le cas des curants cntinus. La variatin, en fnctin du temps, des charges surces entraîne un phénmène de prpagatin des champs, il en résulte des effets de capacité entre cnducteurs et une mdificatin du thérème d Ampère 1. Lrsque cette variatin est lente, c'est-à-dire lrsque les dimensins des circuits électriques snt très faibles par rapprt aux lngueurs d nde qui interviennent dans la prpagatin, n peut cnsidérer que le curant électrique est, à un instant dnné, le même le lng de tut le circuit. En utre, les effets de capacité snt lcalisés à la surface des armatures des cndensateurs : c est le cas des régimes quasi statinnaires que nus allns cnsidérer dans les deux chapitres qui suivent. 1. LE PHEOEE D IDUCTIO ELECTROAGETIQUE. Les phénmènes d inductin électrmagnétique nt été décuverts en 1831 simultanément par Faraday et Henry. Cette décuverte a été à l rigine de l inventin des génératrices à curants cntinus et à curants alternatifs et, par cnséquent, de la prductin de l énergie électrique. 1. 1. ise en évidence des phénmènes d inductin. Ce phénmène d inductin est mis en évidence à partir de la réalisatin de quelques expériences simples : Expérience 1 : On prend une bbine, frmée par un fil cnducteur défrmable, placée dans un champ magnétique cnstant et reliée à un galvanmètre à zér central (Figure V.1). On cnstate que la défrmatin du fil entraîne l apparitin d un curant dans le galvanmètre. Ce curant s annule dès que cesse la défrmatin et dépend de la vitesse avec laquelle n effectue la défrmatin. On rednne au fil sa frme initiale, un curant circule dans le sens inverse, tant que dure cette pératin. Figure V.1 1 Le thérème de axwell Ampère, qui intervient en régimes variables, est étudié en 4. Quant aux lignes à cnstantes réparties, elles snt au prgramme du 5. Les curants alternatifs industriels snt prduits à la fréquence f = 50 Hz, les lngueurs d nde crrespndantes snt égales à = c / f = 3.10 8 / 50 = 6 000 km. Les dimensins des circuits électriques étant nettement inférieures à cette valeur, le phénmène de prpagatin peut être négligé. Aux Etats Unis, les fréquences industrielles snt égales à 60 Hz. L. Aït Gugam,. endaud,. Dulache, F. ékidèche
Licence de Physique : Electricité Ch. V : Inductin électrmagnétique Expérience : La figure V. représente une bbine indéfrmable reliée à un galvanmètre. i n apprche un aimant, le galvanmètre dévie et met en évidence la circulatin d un curant dans le circuit. Ce curant a un sens tel que la bbine présente une face rd au pôle nrd de l aimant. Ainsi les frces électrmagnétiques, créées par le curant induit, s ppsent au muvement de l aimant. Dès que le muvement cesse, le curant induit s annule. i n éligne l aimant le curant circule dans le sens inverse. G V Figure V. Cette expérience peut être réalisée en remplaçant l aimant par une bbine parcurue par un curant. Expérience 3 : On reprend l expérience précédente avec deux bbines mntées cmme le mntre la figure V.3. La première est reliée au galvanmètre et la secnde est placée en série avec un générateur, un rhéstat et un interrupteur. Lrsqu n ferme l interrupteur, un curant apparaît dans le galvanmètre, puis s annule. Lrsqu n uvre l interrupteur le curant circule dans le sens cntraire. G ague G n E K R Figure V.3 Figure V.4 Expérience 4 : Un cadre rectangulaire, cnstitué de spires cnductrices, peut turner librement autur d un axe verticale dans une régin u règne un champ magnétique (figure V.4). es deux extrémités snt reliées à des bagues slidaires de l axe de rtatin. ur ces bagues viennent frtter deux électrdes (balais) qui cnstituent les extrémités d un circuit cmprtant un galvanmètre G. La rtatin du cadre entraîne l apparitin d un curant dans le galvanmètre. Le sens du curant induit est tel que les frces qu il crée s ppsent à la rtatin du cadre. 10
Licence de Physique : Electricité Ch. V : Inductin électrmagnétique 1.. Lis de l inductin. Tutes ces expériences nt mis en évidence l apparitin d un curant dans un circuit qui ne cmprte aucun générateur. Ces curants résultent de la naissance d une frce électrmtrice induite e. eln le cas, n remarque que le sens et la grandeur du curant dépendent de la variatin, en fnctin du temps, - de la surface du circuit (expérience 1). - du champ magnétique dans lequel est plngé le circuit (expériences & 3). - de l rientatin du circuit par rapprt au champ magnétique (expérience 4). Par cnséquent : 1 ) Chaque fis que le flux magnétique, qui traverse un circuit, varie, une frce électrmtrice e prend naissance dans le circuit. a durée t est égale à celle de la variatin du flux. ) Le sens du curant induit est tel que les frces électrmagnétiques, qui en résultent, s ppsent à la cause qui a créé ce curant. C est la li de Lenz. 3 ) La frce électrmtrice induite, e, est égale et ppsée à la vitesse de variatin du flux magnétique à travers la surface du circuit et s écrit : La f.é.m instantanée est : e t (1) d e () dt Exercice V.1. On cnsidère le dispsitif décrit dans l expérience 4 et représenté sur la figure V.4. Le cadre, de lngueur L =1 cm et de largeur l = 6 cm, cmprte =50 spires. Le champ magnétique, cnstant et unifrme, a pur intensité = 0,1tesla. Le cadre est initialement perpendiculaire au champ ( ( n, ) =0), puis n lui impse une brusque rtatin durant t = 0, s, passe alrs de 0 à. 1 ) Calculer la valeur myenne de la frce électrmtrice induite. ) La résistance du circuit est R =10, calculer la quantité d électricité transprtée, à travers ce circuit, pendant la durée de la variatin du flux. lutin V.1. 1 ) Lrsque varie de 0 à, le flux magnétique varie de à = - = - = - 0,36 Wb Il en résulte une frce électrmtrice induite, dnt la valeur myenne est : e m = 1, 8 V t ) La quantité d électricité transprtée pendant un temps dt est : e ( t) dq i( t) dt ù i( t) R 1 d 1 dq dt d R dt R D ù : 1-3 q d = 36.10 Cb R R 1 La quantité d électricité transprtée ne dépend pas de la durée de la variatin du flux. 11
Licence de Physique : Electricité Ch. V : Inductin électrmagnétique. LOI DE LEZ-FARADAY. us avns déjà vu, au chapitre IV, qu un curant électrique peut engendrer un champ magnétique. D un autre côté, les expériences, que nus venns de décrire, mntrent qu un champ magnétique peut induire, sus certaines cnditins, un curant dans un circuit électrique. La li de Faraday dnne le mdule de la frce électrmtrice induite e et la li de Lenz précise sn signe. us allns, dans ce qui suit, démntrer la li de Lenz-Faraday dans un cas particulier.. 1. Cas d un circuit fermé placé dans un champ cnstant et unifrme. On cnsidère un circuit fermé, frmé d une barre métallique qui se déplace sur un rail cnducteur en U (figure V.5), placé dans un champ magnétique cnstant unifrme et perpendiculaire au plan du circuit. Il est pssible de retruver la li de Lenz-Faraday à partir de cet exemple. La tige cnductrice se déplace, dans le champ à la vitesse v. Il en résulte un déplacement de charges électriques, le lng de la tige, à la vitesse v q. La vitesse d une charge q par rapprt au champ est : V v v q (3) Elle est sumise à la frce de Lrentz : F q V q v v (4) ( q ) y v x A Figure V.5 z Lrs d un déplacement F est : dz de la charge q à travers la tige, le travail de la frce dw F. dz = q ( v vq ). dz Or v q est parallèle à dz par cnséquent : dw q v. dz (6) Ce travail équivaut à celui qui est prduit par une frce électrmtrice élémentaire de telle que : dw q de (7) (5) 1
Licence de Physique : Electricité Ch. V : Inductin électrmagnétique Avec (6) et (7) n btient : de v. dz (8) v est la vitesse de déplacement de la tige. dx v (9) dt dx est le déplacement élémentaire de la tige le lng des rails. L équatin ( 8) devient : 1 de dx. dz sit 1 de dt dx dz. dt La frce électrmtrice qui prend naissance aux extrémités de la tige mbile est 1 e dx l. (10) dt En intrduisant le flux cupé par la tige au curs de sn déplacement : d dx l., il vient : e d dt (11) La li de Lenz- Faraday est démntrée, ici, dans un cas particulier, mais elle est valable dans tus les cas... Champ électrmteur. L expressin (4) de la frce qui met les charges en muvement: F q v peut s écrire F q E m (1) Où E v (13) est le champ électrmteur. m Cmme dans le cas des générateurs, étudiés au chapitre III, n intrduit un champ électrmteur qui est à l rigine de la frce électrmtrice. Calculns la circulatin du champ électrmteur le lng d un cntur fermé. On prend cmme cntur C le circuit de la figure V.5, cnstitué de la tige et du cnducteur en U. ;. E. dl v. dl v. dz v. dl m C C A La dernière intégrale est nulle car la vitesse est nulle et avec (8), n peut écrire : Em. dl de e C La circulatin du champ électrmteur le lng de C est égale à e : elle n est pas nulle, dnc le champ électrmteur ne dérive pas d un ptentiel. e Em. dl (14) C 13
Licence de Physique : Electricité Ch. V : Inductin électrmagnétique D autre part, n sait que le champ électrstatique E dérive d un ptentiel, sit E. dl 0 (15) C i n cnsidère le champ électrique ttal : E E E m n a, avec (14) et (15) E. dl e (16). 3. Li de Lenz-Faraday en fnctin de la vitesse. C On peut également btenir l expressin de la f.é.m. induite en faisant apparaître la vitesse de déplacement de la tige : ldx dx e l lv dt dt (17) Le signe de la frce électrmtrice e est dnné par la li de Lenz. La figure V.5 mntre que le sens du curant est tel que la frce F qu il crée s ppse au muvement. Exercice V.. Une dynam est une machine électrique dnt le principe est basé sur l inductin électrmagnétique et dnt le rôle est de prduire des curants cntinus. Elle cmprte : - un inducteur fixe, le statr, qui crée un champ magnétique - un induit, le rtr, qui turne autur de sn axe à raisn de n turs par minute. Le rtr est cnstitué d un cylindre en fer dux qui prte sur sa périphérie des encches ù snt lgées des barres en cuivre (figure a). 0 (a) (b) Le déplacement de ces barres dans le champ magnétique entraîne, dans chacune d elles, l apparitin d une frce électrmtrice induite e. La variatin de l intensité du champ magnétique dans l entrefer est représentée sur la figure b. Ces barres alimentent un récepteur électrique par l intermédiaire d un cllecteur placé sur l arbre de la machine. achant que la lngueur de chaque barre est L = 5 cm, le diamètre du rtr est d = 0 cm et sa vitesse de rtatin n = 3000 turs/mn, calculer la f.é.m e, qui prend naissance dans chaque barre, dans la régin ù = = 1 tesla. n d lutin V.. : La vitesse de la barre est : v = 31,4 m/s 60 et la f.é.m induite : e = L v = 7,85 vlts 14
Licence de Physique : Electricité Ch. V : Inductin électrmagnétique. 4. Equatin de axwell-faraday 3. Dans l exemple précédent (..1) C est un circuit électrique dnt la surface varie et qui est placé dans un champ cnstant. Ce circuit, cnstitué de cnducteurs, existe physiquement. D après la li de Lenz- Faraday (11) n a : Avec (16) il vient : e d dt d sit e. d. d E dl. d dt C dt (18) Cnsidérns, à présent, une régin de l espace ù règnent des champs variables E et. On chisit un cntur quelcnque C et une surface arbitraire s appuyant sur ce cntur. C n est plus, dans ce cas, un circuit électrique, c est une curbe fermée imaginaire. Cmme ne dépend pas ici du temps, l équatin (18) s écrit alrs : C est l équatin de axwell-faraday.. E dl. d t C (19) 3. UTUELLE IDUCTIO ET ELF IDUCTIO. us avns défini au chapitre IV 6.5 l inductin mutuelle entre deux circuits électriques C 1 et C parcurus respectivement par des curants i 1 et i. Cnsidérns le dispsitif représenté sur la figure V.6. Les deux circuits étant immbiles, le galvanmètre indique i =0. Fermns l interrupteur K, un curant i 1 va circuler dans le circuit C 1, celui-ci envie, à travers C, un flux magnétique : G i C i 1 E C 1 K i 1 Figure V.6 Au curs du temps dt que dure cette fermeture, le curant i 1 passe de 0 à i 1. Il en résulte, à travers C, une variatin du flux d et l apparitin d une frce électrmtrice induite : d d e i1 (0) dt dt Cmme les deux circuits snt immbiles, ne dépend pas du temps ; d ù di1 e (1) dt 3 Ce paragraphe n est pas au prgramme du mdule, l équatin de axwell Faraday sera établie en 4 [6]. 15
Licence de Physique : Electricité Ch. V : Inductin électrmagnétique De même, si n fait varier i dans C, n cnstate, dans C 1, la naissance d une f.é.m. induite : di e1 () dt Le cefficient d inductin mutuelle est le même dans ces deux expressins. Cnsidérns, à présent, une bbine, mntée cmme le mntre la figure V.7. Cmme précédemment, lrs de la fermeture u de l uverture de l interrupteur K, La bbine est traversée par un flux prprtinnel à i : L i La variatin du curant i entraîne l apparitin d une f.é.m induite : i di e L (3) dt E K L est l inductance u le cefficient de self inductin de la bbine (vir Ch IV 6.6) Figure V.7 Exercice V. 3. Inductin mutuelle. La figure ci-dessus représente un dispsitif cnstitué de deux circuits électriques cuplés par inductin mutuelle. Le premier (circuit primaire) est alimenté par une surce de frce électrmtrice cntinue e et cmprte une bbine d inductance L 1. Le secndaire se cmpse d une bbine d inductance L et peut être fermé sur une résistance R placée entre A et. Le cefficient d inductin mutuelle est. K e L 1 L A u(t ) 1 ) Ecrire les équatins des curants lrsque le secndaire est fermé sur une résistance R. ) Le secndaire, étant uvert, n ferme l interrupteur K. Quelle est la valeur maximale de la f.é.m induite dans la deuxième bbine? A. : e = 8V, L1 = 0,0 H, = 0,001 H. lutin V. 3. 1 ) La li d Ohm permet d écrire : di 1 di e L 1 dt dt di di Ri 1 L dt dt ) Lrsque le circuit est uvert, i = 0 et les équatins précédentes deviennent di e L 1 1 dt e e 0,4 V di 1 1 L u e dt 16
Licence de Physique : Electricité Ch. V : Inductin électrmagnétique 4. APPLICATIO DE PHEOEE D IDUCTIO. 4.1. Générateur de curant alternatif. Une bbine, cmprtant spires, turne autur d un axe z z vertical, à la vitesse angulaire cnstante, dans un champ magnétique unifrme et cnstant. Le champ est perpendiculaire à z z (figure V.8). A l instant t, la nrmale n à la bbine fait avec un angle = t Figure V.8 n Le flux magnétique embrassé à cet instant par la bbine est : t cs t ù Il en résulte dans la bbine une f.é.m induite : d e sin ( t ) E sin ( t ) (4) dt C est le principe de l alternateur mnphasé. Exercice V. 4. On cnsidère le dispsitif décrit dans le paragraphe précédent et représenté sur la figure V.8. Le cadre a une lngueur L =1 cm, une largeur l = 6 cm, et cmprte = 50 spires. Le champ magnétique a pur intensité = 0,1 tesla. Le cadre turne en effectuant n = 3000 turs par minute. 1 ) Calculer la frce électrmtrice induite dans le cadre. ) Le cadre est, à présent, fermé, par l intermédiaire d un système bagues balais décrit plus haut, sur une résistance pure R. Il en résulte un curant électrique dnt la valeur instantanée est i. achant que le cadre a une résistance r et une self L, truver, à partir de la li d Ohm, la relatin entre i, t, R, r et L On néglige par la suite r et L, calculer le curant i sachant que R = 100. 3 ) Truver l expressin du cuple électrmagnétique qui s exerce sur le cadre. Calculer sa valeur myenne sur une péride. 4 ) Ce cuple est ppsé au cuple mteur, calculer la puissance myenne qu il faut furnir pur maintenir le muvement du cadre. lutin V. 4. L expressin de la f.é.m induite a été truvée en ( 4) d e E sin ( t ) dt avec E = f. ù f = 3000 : 60 = 50 turs par secnde, sit une péride : T = 1/f =.10 - s d ù E = 56,5 vlts 17
Licence de Physique : Electricité Ch. V : Inductin électrmagnétique di ) La li d Ohm permet d écrire e L r i R i ù u t R i dt est la d.d.p aux brnes de R. i L # 0 et r # 0 l équatin précédente devient : e t u t R i u E u t U sin t E i ( t ) # sin t I 0, 56A R R R 3 ) Le cuple électrmagnétique qui s exerce sur le cadre a pur expressin: ù i n est le mment magnétique du cadre. La valeur de sn mdule à l instant t est : i sin I sin t et sa valeur myenne est : 1 T 1 T 1 m dt I sin t dt I 0.05 m. T 0 T 0 4 ) Expressin de la puissance instantanée qu il faut furnir au cadre pt u t i t U I sin t Valeur myenne de la puissance. 4.. Curants de Fucault. T 0 1 1 P p t dt U I T = 15.8 watts Des curants électriques induits, appelés curants de Fucault, prennent naissance dans une masse cnductrice - lrsque cette masse se déplace dans un champ magnétique unifrme et cnstant, - u bien si la masse, étant immbile, le champ varie (vir Exercice VI.1 ). Dans le premier cas, ces curants créent des frces qui, en vertu de la li de Lenz, s ppsent au muvement. Ce phénmène a pur applicatin le freinage électrmagnétique. Figures V.9 (a) (b) Les curants de Fucault, en circulant dans la masse métallique, dissipent de l énergie par effet Jule. Cette dissipatin d énergie entraîne un échauffement du métal. Dans les machines électriques (les transfrmateurs par exemple), n diminue les pertes par curants de Fucault par l empli de circuits magnétiques feuilletés. Les feuilles métalliques (tôles en fer dux) snt séparées les unes des autres par un vernis islant. Les figures V.9, mettent en évidence l effet du feuilletage. Une masse turne dans un champ invariant : si la masse est pleine le freinage est intense. i la masse est feuilletée et les feuilles perpendiculaires aux lignes de champ, le 18
Licence de Physique : Electricité Ch. V : Inductin électrmagnétique freinage diminue légèrement, mais si elles snt parallèles le freinage est nettement atténué. Par cntre les curants de Fucault snt avantageux pur la réalisatin de furs à inductin. 5. CIRCUIT R.L. Le circuit, représenté sur la figure V.10, est cnstitué d une résistance R en série avec une bbine d inductance L. Un inverseur K permet - it de relier R et L à une surce de curant cntinu de frce électrmtrice e, - it de les mettre en curt circuit. 5.1. Etablissement du curant. Lrsqu n met le cmmutateur sur la psitin 1, le curant qui traverse la résistance R cmmence à augmenter. En l absence de la bbine, le curant atteint e rapidement sa valeur d équilibre I. Tutefis, en présence de la bbine, une R f.é.m d aut-inductin apparaît dans le circuit et, cnfrmément à la li de Lenz, cette f.é.m s ppse à l augmentatin du curant. De ce fait, le curant ne s établit pas instantanément. L applicatin de la li des mailles au circuit de la figure V.10 permet d écrire : di Ri L e 0 (5) dt On btient alrs l équatin différentielle suivante : e 1 K Figure V.10 R L di R i e dt L L (6) C est une équatin différentielle de premier rdre, du même type que celle déjà btenue lrs de l étude du circuit RC. La slutin de cette équatin (vir Ch III), cmpte tenu de la cnditin initiale t 0, i 0, est dnnée par : e t i 1 exp R L ù L L est la cnstante de temps du circuit. Elle permet d évaluer la durée R pratique du régime transitire et mesure le temps au but duquel la valeur du curant circulant dans le circuit est égal à 1/e fis sa valeur finale. L expressin de la tensin aux brnes de la bbine s btient par dérivatin, sit : di t V L e exp (8) dt L Cette tensin est maximale à la fermeture de l interrupteur. Pendant l établissement du curant, elle décrît avec le temps et lrsque le curant est établi, la bbine se cmprte cmme un fil de résistance négligeable. (7) 19
Licence de Physique : Electricité Ch. V : Inductin électrmagnétique Les graphes représentant l évlutin, au curs du temps, du curant et de la différence de ptentiel aux brnes de la bbine snt dnnés ci-dessus. i(t) e/r V(t) e t t (a) Figures V.11 (b) Ces figures mettent en évidence un régime transitire et un régime permanent. Lrsque le régime permanent est atteint, n a : e i I et V 0 (9) R 5.. Rupture du curant. Lrsqu n met l inverseur en psitin, n curt-cicuite R et L. La li des mailles, appliquée au circuit btenu, permet d écrire : di Ri L 0 (30) dt V(t) i(t) τ L t E/R e/r t -e -e -E τ L (a) (a) t (b) (b) Figures V.1 L équatin qui régit alrs le curant circulant dans ce circuit est dnnée par : di R i 0 (31) dt L C est une équatin différentielle de premier rdre dnt la slutin est dnnée par : 130
Licence de Physique : Electricité Ch. V : Inductin électrmagnétique i e R t exp L (3) La différence de ptentiel aux brnes de la bbine est alrs dnnée par : di t V L eexp dt L (33) Les allures du curant et de la différence de ptentiel snt représentées, au curs du temps, sur les figures V.1. Exercice V.5. Un disque de cuivre turne, sans frttements, autur de sn axe dans un champ magnétique unifrme d intensité = 0,5 T et parallèle à l axe du disque. Lancé à la vitesse de rtatin = 3000 turs par minute, il est brusquement fermé sur une résistance R = 0,1. Etablir l équatin du muvement. En O. déduire le temps au but duquel la vitesse de rtatin atteint le centième de sa valeur initiale. Les caractéristiques du disque snt : Diamètre d = 30 cm, épaisseur a = 1 mm, masse vlumique O = 8,96 gr/cm 3 A R On néglige la résistance électrique du disque et les frttements mécaniques. K lutin V.5. Le flux cupé, en dt, par chaque rayn du disque qui se truve en OA est : d. d d ù d est la variatin de la surface balayée au curs d une rtatin élémentaire d 1 d ù la f.é.m induite : d r d d 1 d 1 e r r dt dt = n est la vitesse angulaire à l instant t e r n n est le nmbre de turs par secnde. Au mment de la fermeture de l interrupteur, la f.é.m est : e = 1.76 V. Au curs du muvement la diminutin de l énergie cinétique acquise par le disque sera, pendant dt, entièrement dissipée par effet jule dans R : e 1 d J RI dt dt R 1 4 J d r dt 4R ù 1 J m r est le mment d inertie du disque. En psant 1 4 r n a : 4R J d dt exp t t 1 ln O A. : = 4, 44.10- s- 1 t = 104 s = 1 mn 44 s 131
Licence de Physique : Electricité Ch. V : Inductin électrmagnétique 5.3. ilan énergétique Cnsidérns le bilan des énergies depuis la fermeture du circuit jusqu à l établissement du curant. En multipliant l équatin de la maille, dnnée en 5, par idt, nus btenns : 1 d( Li ) Ri dt ei dt ei dt représente l énergie furnie par le générateur entre les instants t et t dt. Ri dt est l énergie dissipée dans la résistance R entre t et t dt. 1 d( Li ) crrespnd à l énergie emmagasinée dans la bbine. Durant l établissement du curant dans le circuit, le générateur furnit l énergie WG ei dt L I (34) 0 Une partie de cette énergie est stckée dans la bbine, sit L 1 1 ( ) (35) 0 W d Li L I Le reste est dissipé par effet Jule dans la résistance, sit : 1 WR Ri dt L I (36) 0 Au curs de la rupture du curant, la bbine restitue entièrement l énergie qu elle a emmagasinée lrs de l établissement du curant, sus frme de chaleur dans la résistance R. Cette énergie a été stckée par la bbine sus frme magnétique et la restitue sus frme d énergie électrique. 5.4. Lcalisatin de l énergie : Densité d énergie magnétique. Cnsidérns le cas d une bbine dnt le cefficient de self inductin est (vir Ch IV, frmule 39) L l L énergie magnétique emmagasinée dans cette bbine est d après (35): 1 W L I Or le champ magnétique à l intérieur de la bbine (slénïde de lngueur infinie) est (vir Ch IV, frmule 7) : 1 I d ù : W l l La densité d énergie magnétique lcalisée dans le champ magnétique (régin de l espace située à l intérieure de la bbine) est : 1 1 w = u bien w = H (37). : 1 ) Cette frmule, établie dans le cas particulier du slénïde, est générale. ) ter l analgie entre la densité d énergie lcalisée dans un champ magnétique et celle qui est lcalisée dans un champ électrique (vir Ch II, 4.5). 13
Licence de Physique : Electricité Ch. V : Inductin électrmagnétique Exercices : Chapitre V Exercice V.6. Un cadre métallique rectangulaire de côtés l et L, est en muvement de translatin, rectiligne et unifrme, de vitesse v v i dans le plan zx. Ce cadre est sumis à l actin d un champ magnétique vertical statinnaire et nn unifrme, dnt la variatin linéaire, en fnctin de x, est représentée sur la figure (a). 1 ) Déterminer l expressin de la f.é.m induite e 0 dans le cadre, pur un déplacement de ce dernier de x 0 à x D l. ) Reprendre la même questin dans le cas d un déplacement de x D l à x D. A : 0,1 T, l 0,5 m, L 0, 4 m, D 5 m, v 0, 5 m / s 0 y y 0 O L D x O P L Q x z l Figure a I a Figure b Exercice V.7. Un fil cnducteur, rectiligne, de lngueur suppsée infinie, parallèle à l axe y, est parcuru par un curant cntinu d intensité I (figure b). 1 ) Calculer, en un pint d abscisse x, le champ magnétique créé par ce curant. ) Un cadre métallique cmprtant spires rectangulaires de côtés L, parallèles à y, et l = a, parallèles à x, est en muvement de translatin, rectiligne et unifrme, de vitesse v parallèle à x. Déterminer la f.é.m e induite dans le cadre, lrsque le centre du cadre est en x. Tracer la curbe représentative de la fnctin e (x ) lrsque est en muvement du pint P au pint Q. A : I = 5 A, L = 0 cm, a = 5 cm, = 100, v = 1, 5 m/s, OP = 0, 5 m, OQ = 5 m Exercice V.8. On reprend l exercice IV. de la page 101. Le cadre mbile, cnstitué de spires rectangulaires de lngueur l, et de largeur a, est à présent fermé sur lui-même. Il peut turner, autur de l axe axe zz, dans un champ magnétique radial. 1 ) Calculer le flux cupé par les fils de lngueur l, au curs d une rtatin élémentaire d du cadre. En déduire la f.e.m. induite e dans le cadre. ) On néglige le cefficient de self inductin L du cadre. Calculer le curant induit i qui circule dans le cadre sachant que la résistance électrique de dernier est R. 3 ) Calculer le cuple de freinage électrmagnétique qui s exerce sur le cadre au curs d une rtatin élémentaire d de ce dernier. 4 ) Un cuple de rappel r dû à un ressrt de cnstante C s exerce sur le cadre. On appelle J le mment d inertie du cadre par rapprt à l axe zz, et n néglige les frttements mécaniques (freinage visqueux). Ecrire l équatin du muvement du cadre. Exercice V.9. Circuit R,L,C en régime libre. Le circuit électrique, représenté sur la figure ci-dessus, cmprte une résistance R, une bbine de self inductin L et un cndensateur de capacité C placé en série avec un interrupteur K. 133
Licence de Physique : Electricité Ch. V : Inductin électrmagnétique L interrupteur K étant uvert, n charge le cndensateur jusqu à la valeur q, puis n ferme K. Un curant électrique i(t ) circule dans le circuit pendant un certain temps puis s annule. 1 ) Ecrire l équatin qui relie i(t ) aux caractéristique R, L, C du circuit. R K L C u(t ) ) En déduire l équatin différentielle qui dnne la charge q(t ) et la différence de ptentiel u(t ) aux brnes du cndensateur. 3 ) On pse : R L et 0 est le cefficient d amrtissement et la pulsatin prpre du circuit Résudre cette équatin dans les tris cas suivants : a) < b) > c) = 4 ) Tracer la curbe représentative de la fnctin q (t)/q dans le cas suivant : R = 0,7, L = 0,5 mh, et C = 00 F. C est une sinusïde amrtie de pseud péride T. Purqui l appelle-t-n ainsi? Quelle erreur cmmet-n en cnfndant T et la péride prpre T = Calculer la charge du cndensateur au but de t = T 5 ) L et C gardant les mêmes valeurs, quelle dit être la valeur de la résistance R pur avir =. Tracer la curbe q (t)/q. Calculer la charge du cndensateur au but de t = T et t = 1,5 T 6 ) Dans le cas ù R = 6 L et C gardant les mêmes valeurs, calculer la charge du cndensateur au but de t = T 1 L C Tableau V.1. Equatins de axwell en régimes quasi statinnaires Dans ce curs, nus avns mis en évidence les quatre équatins de axwell que nus présentns, ci-dessus, sus frme intégrale Thérème de Gauss Cnservatin du flux D d. Qi i Valable dans tus les cas. d 0 Valable dans tus les cas Equatin axwell Ampère H. dl J. d C Valable en régimes quasi statinnaires Equatin axwell Faraday. d E dl. d dt C Valable dans tus les cas 134