Nombres complexes I. Conventions On admet qu il existe un ensemble, noté que : d éléments appelés nombres complexes tel contient Les opérations dans prolongent celles dans avec des propriétés analogues admet un élément i vérifiant i Tout nombre complexe s écrit de manière unique sous la forme a bi, où a et b sont deux réels. En particulier pour tous réels a b a b : a bi a b i équi aut a a et b b Vocabulaire et notations dans le cadre précédent : L écriture a bi est appelée la forme algébrique de z Le réel a est appelé la partie réelle de z et noté Re(z) Le réel b est appelé la partie imaginaire de z et noté Im(z) Le complexe bi, b réel, est appelé un imaginaire pur. Mettre sous forme algébrique chacun des nombres complexes suivants : i i, i, i i,. II. Conjugué d un nombre complexe Définition1 Soit le nombre complexe a bi, où a et b sont deux réels. Le conjugué de est le nombre complexe, noté défini par a bi Propriétés immédiates dans le cadre précédent : 1) e i m 2) z est réel si et seulement si. 3) z est imaginaire pur si et seulement si. Théorème 1 Pour tous complexes et, Preuve : voir page 235.,, ( 15
III. Equation du second degré à coefficients réels Théorème 2 Soient a, b et c trois réels avec a non nul. L équation a b c a toujours des solutions dans, précisément : Si l équation a deux solutions réelles Si l équation a une solution réelle double Si l équation a deux solutions complexes conjuguées qui sont et. Dans tous les cas, le trinôme a b c se factorise dans sous la forme : a b c a Preuve : voir page 236. Résoudre dans l équation puis factoriser dans le trinôme IV. eprésentation géométrique d un nombre complexe Le plan étant muni d un repère orthonormé u A tout nombre complexe a bi, on associe le point a b, appelé son image A tout point a b, on associe le nombre complexe a bi appelé son affixe. De même pour un vecteur : l affixe d un ecteur complexe a bi de coordonnées a b est le Propriétés immédiates : 1) Si deux point et ont pour affixes respecti es et alors le ecteur a pour affixe 2) Si deux vecteurs et ont pour affixes respectives et alors le ecteur + a pour affixe et, pour tout réel k, le vecteur a pour affixe. 3) Si deux points A et B ont pour affixes respectives et, alors le milieu I du segment [AB] a pour affixe 16
V. Forme trigonométrique d un nombre complexe non nul Le plan est muni d un repère orthonormé direct u Pour tout complexe non nul notons l image de Si (a ; b) sont les coordonnées cartésiennes de M et r alors a bi r cos i sin ses coordonnées polaires, Définition2 Soit z un nombre complexe non nul, notons M son image. Un argument de z, noté arg(z), est une mesure en radians de l angle u Le module de z, noté, est la longueur r du segment [OM]. Propriété immédiate dans le cadre précédent : a b et Théorème 3 Pour tout nombre complexe non nul, arg arg et arg arg et. Preuve : voir page 238. Définition3 Soit z un nombre complexe non nul. Une forme trigonométrique de z est une écriture r cos i sin, avec r et arg mod Propriété immédiate : Pour tous nombres complexes non nuls et : équi aut et arg arg. Mettre sous forme trigonométrique chacun des nombres complexes suivants : Théorème 4 i cos sin cos sin Si r cos i sin avec r alors z est sous forme trigonométrique. Preuve : voir page 238. 17
Théorème 5 Si A et B sont deux points distincts d affixes respectives et, alors et arg Preuve : voir page 239. VI. Notation exponentielle On considère la fonction f définie sur par f cos i sin. 1) Démontrer que pour tous réels et, f f f et f 2) Envisager une définition de la dérivée pour f, montrer alors que f i f. 3) Par analogie avec une fonction connue, comment pourrions-nous noter f Notation : cos i sin le complexe de module 1 et dont un argument est est noté e. Tout complexe z non nul, si il a r pour module et pour argument, est alors noté re. Propriété immédiate : Pour tous réels et, e e = e et e e. Théorème 6 Pour tous complexes et non nul et arg arg arg mod, et arg arg arg mod Preuve : voir page 240. Exercices envisagés 1) Exercices d application oir a ant chacun d eux les objectifs et les exos résolus : 3 p 241; 10, 14 p 242; 19 p 243 ; 22 p 244 ; 25 p 245 ; 28 p 246. (On pourra se tester p 247 et vérifier ses réponses sur le site indiqué) 2) Exercices pour apprendre à chercher : 33 p 248; 37 p 250 (TP) ; 38 p 251. 3) Exercices d entraînement : 56, 62 p 253; 63, 67, 70, 74 p 254; 79, 80, 82 (logique), 84, 86 p 255; 90, 93, 96 p 256; 101 p 257. 4) Exercices pour le BAC : (On pourra travailler le premier exercice guidé avec correction sur le site indiqué) 110 p 260 ; 115 p 261. 5) Exercices pour aller plus loin : 118 p 262. 18
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