[http://mp.cpgedupudelome.fr] édité le 9 mai 7 Enoncés Intégrales doubles Calculs d'intégrales doubles Exercice avec Exercice [ 947 ] [Correction] x = { (x, R x, et x + } [ 949 ] [Correction] x où = { (x, R x, et x }. Exercice 3 [ 95 ] [Correction] où est l'intérieur de l'ellipse d'équation Exercice 4 [ 3373 ] [Correction] x x a + b = (a onner les coordonnées des foers F et F de l'ellipse E d'équation (avec < b < a (b où désigne l'intérieur de l'ellipse x a + b = (MF + MF Exercice 5 [ 3746 ] [Correction] avec = { (x, R x }. Exercice 6 [ 85 ] [Correction] où = { (x, R x, et x + π }. Exercice 7 [ 86 ] [Correction] ( + x ( + sin(x + x où = { (x, R x, et x }. Exercice 8 avec [ 96 ] [Correction] = (x 3 } {(x, R x,, x a + b On pourra utiliser le changement de variable x = au cos θ et = bu sin θ. Exercice 9 Soit [ 94 ] [Correction] I n = [;] + x n + n éterminer la limite de I n quand n +. iusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - d
[http://mp.cpgedupudelome.fr] édité le 9 mai 7 Enoncés Exercice [ 3365 ] [Correction] (x + + z dz où = { (x,, z R 3, x,, z, x + + z } Exercice 5 [ 953 ] [Correction] x + x + x + où est le quart de disque unité inclus dans R + R +. Exercice où [ 385 ] [Correction] (x + = { (x, (R + + x } Exercice 6 [ 954 ] [Correction] x où désigne le domaine borné délimité par la cardioïde d'équation polaire ρ = + cos θ. Exercice essiner [ 564 ] [Correction] = { (x, R, x, x, x 4 } Montrer que φ(x, = (x, x est un C diéomorphisme sur ] ; + [. Expliciter φ(. f(x, où f(x, = x(x + x Étudier les extrema de f. Calculs d'intégrales doubles en coordonnées polaires Exercice 3 [ 95 ] [Correction] cos(x + où est le disque de centre O et de raon R. Exercice 7 [ 957 ] [Correction] où = { (x, R x + x }. Exercice 8 [ 3396 ] [Correction] x ( + x où désigne le disque fermé de centre O et de raon. Exercice 9 [ 89 ] [Correction] x où est l'intérieur de la boucle de la lemniscate d'équation polaire r = cos θ obtenue pour θ [ π/4 ; π/4]. Exercice 4 [ 95 ] [Correction] sin(x + où désigne le disque de centre O et de raon π. Exercice [ 9 ] [Correction] (x + où = { (x, R x + x, x +, }. iusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - d
[http://mp.cpgedupudelome.fr] édité le 9 mai 7 Enoncés 3 Exercice [ 95 ] [Correction] où est donné par x x +. ( + x + Exercice [ 3 ] [Correction] désigne le demi-disque supérieur de centre (, et de raon. + x + Applications du calcul d'intégrales doubles Exercice 3 [ 93 ] [Correction] Soit R >. On note A R = [ ; R] [ ; R] et B R = { (x, R x, et x + R } On pose f(r = exp( (x + et g(r = A R exp( (x + B R (a Montrer que g(r f(r g(r. (b En déduire la valeur de e t dt Exercice 4 [ 546 ] [Correction] Soit C(R le quart de disque x,, x + R, R >. (a Montrer que est compris entre C(R ( R e t dt e x et C(R e x (b (c En déduire la valeur de Exercice 5 [ 97 ] [Correction] (a Justier la convergence de C(R cos(u du et e x e t dt + sin(u du (b Soit f : [ ; π/] R + une application continue. Pour t > on pose t = {(r cos θ, r sin θ/θ [ ; π ], r [ ; tf(θ]} et on introduit ϕ(t = sin(x + et ψ(t = t cos(x + t éterminer les limites, quand T tend vers + de T ϕ et T ψ T T (c On choisit f pour que = [ ; ]. On pose C(t = t cos(u du et S(t = t Montrer que ϕ(t = C(tS(t et ψ(t = C(t S(t. (d En déduire les valeurs des intégrales de Fresnel cos(u du et + sin(u du sin(u du iusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - d
[http://mp.cpgedupudelome.fr] édité le 9 mai 7 Enoncés 4 Exercice 6 [ 355 ] [Correction] sin t t en utilisant l'intégrale double J(u = sin(xe x [;u] Exercice 7 [ 9 ] [Correction] Soient < a < b. En calculant de deux manières déterminer π b π Exercice 8 [ 9 ] [Correction] Observer que pour tout x [ ; ], En déduire la valeur de a ln( + x = dt dx x cos t dt ln b cos t a cos t dt Formule de Green Riemann x d + x ln( + x dx + x Exercice 9 [ 3363 ] [Correction] Soit (a, b R, a >, b >. On note Γ l'ellipse d'équation et la partie de R dénie par x a + b = x a + b (a l'intégrale double (on posera x = ar cos θ et = br sin θ (b l'intégrale curviligne J = (c Quelle relation existe-t-il entre I etj? Γ (x + ( 3 dx x 3 d Exercice 3 [ 69 ] [Correction] Soit Γ la courbe orientée dans le sens trigonométrique, constituée des deux portions de courbes, comprises entre les points d'intersection, de la droite d'équation = x et de la parabole d'équation = x. (a Γ ( + x dx (b En utilisant la formule de Green-Riemann, retrouver la valeur de cette intégrale. Exercice 3 [ 8 ] [Correction] On considère f : R R de classe C vériant : Soit ϕ: R + R dénie par ϕ(r = f x + f = π (a Montrer que la fonction ϕ est dérivable. f(r cos θ, r sin θ dθ (b ϕ et en déduire une expression ϕ. On pourra interpréter rϕ (r comme la circulation d'une forme diérentielle sur un contour simple. (c Soit le disque de centre et de raon R. Quelle est la valeur de f(x,? iusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - d
[http://mp.cpgedupudelome.fr] édité le 9 mai 7 Enoncés 5 Calcul d'aires Exercice 3 [ ] [Correction] l'aire de la portion bornée du plan délimitée par l'ellipse donnée par { x(t = a cos t (t = b sin t (avec a, b > Exercice 33 [ 79 ] [Correction] l'aire de la portion bornée du plan délimitée par l'astroïde donnée par { x(t = a cos 3 t (t = a sin 3 t (avec a > Exercice 38 [ 6 ] [Correction] l'aire de la boucle de la strophoïde droite d'équation polaire r = cos θ cos θ Exercice 39 [ ] [Correction] (Inégalité isopérimétrique Soit γ une application de classe C et π-périodique de R vers C telle que s R, γ (s = On note S l'aire orientée délimitée par γ [;π]. (a Exprimer S à l'aide des coecients de Fourier exponentiels de γ. (b Montrer S π et préciser le cas d'égalité. Exercice 34 [ 66 ] [Correction] l'aire de la portion bornée du plan délimitée par l'arche de la ccloïde { x(t = t sin t (t = cos t obtenue pour t [ ; π] et l'axe des abscisses. Exercice 35 [ 46 ] [Correction] l'aire de la portion bornée du plan délimitée par la courbe dénie par { x(t = cos t Exercice 4 [ 3769 ] [Correction] On considère la courbe paramétrée du plan donnée par { x(t = t +t 4 avec t R (t = t3 +t 4 (a éterminer centre de smétrie et axe de smétrie. Indice : calculer x(/t et (/t. (b Voici l'allure de la courbe sur R. l'aire intérieure délimitée par cette (t = ( + sin t cos t Exercice 36 [ ] [Correction] l'aire de la portion bornée du plan délimitée par la cardioïde d'équation polaire r = + cos θ Exercice 37 [ 69 ] [Correction] l'aire de la portion bornée du plan délimitée par la lemniscate d'équation polaire r = cos θ courbe. iusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - d
[http://mp.cpgedupudelome.fr] édité le 9 mai 7 Enoncés 6 Intégrales doubles sur un produit d'intervalles Exercice 4 [ 99 ] [Correction] [;+ [ Exercice 4 [ 98 ] [Correction] En calculant de deux façons déterminer la valeur de ( + x + ];] x t ln t dt (a Justier l'existence de I et établir (b En déduire la valeur de ( x= Exercice 46 [ ] [Correction] Que dire de l'intégrale double où = ] ; ] [ ; ]? u= xe (+u x du dx e t dt x (x + 3 Exercice 43 [ 99 ] [Correction] En calculant de deux façons déterminer la valeur de [;π] [;[ π Exercice 44 [ ] [Correction] En calculant de deux façons + cos x ln( + cos t cos t [;+ [ e (x dt + Exercice 47 [ 5 ] [Correction] En déduire R + R + ln(tan θ cos θ ( + x ( + dθ et ln t t dt Exercice 48 [ 7 ] [Correction] Soit A M (R une matrice smétrique dénie positive. exp( t XAX R ou X désigne le vecteur de coordonnées (x,. déterminer la valeur de e t dt Exercice 45 [ ] [Correction] On pose ];+ [ e (x + Exercice 49 [ 354 ] [Correction] ];[ ];π/[ + (x tan et en déduire la valeur de l'intégrale tan d iusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - d
[http://mp.cpgedupudelome.fr] édité le 9 mai 7 Enoncés 7 Exercice 5 [ 369 ] [Correction] Existence et calcul de min(x, ];] max(x, Exercice 5 [ 557 ] [Correction] (a omaine de dénition des fonctions B(x, = u x ( u du et de Γ(x = u x e u du (b Montrer que x ] ; + [, Γ(x = u x e u du (c Écrire Γ(xΓ( sous forme d'une intégrale double. (d À l'aide des coordonnées polaires, montrer que (e Montrer que et en déduire B(m, n pour m, n N. B(x, = Γ(xΓ( Γ(x + x R +, Γ(x + = xγ(x iusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - d
[http://mp.cpgedupudelome.fr] édité le 9 mai 7 Corrections 8 Corrections Exercice : [énoncé] Puisque = { (x, R x et x } on peut calculer l'intégrale ( x Exercice : [énoncé] On peut décrire sous la forme et ainsi exprimer l'intégrale étudiée x d dx = x( x dx = 4 = { (x, R x et x } x Exercice 3 : [énoncé] x = a = b a a x a = b a π/ a3 b sin t cos t dt = a3 bπ 4. Exercice 4 : [énoncé] x d dx = (a F (c, et F ( c, avec c = a b. x 5/ dx = 7 a x x d dx = a a b a x a x dx = (b L'intérieur de l'ellipse est la réunion des courbes E λ : MF + MF = λ pour λ [c ; a]. Procédons alors au changement de variable { x = λ cos t = λ c sin t qui donne l'intérieur de l'ellipse pour (λ, t parcourant [c ; a] [ ; π]. Le jacobien de ce changement de variable est (x, (λ, t = cos t λ sin t λ sin t λ λ c cos t = λ c cos λ t + c λ c sin t et on obtient d'où Après calculs a ( π c π λ λ c cos t + a Exercice 5 : [énoncé] On peut décrire la partie sous la forme c λ λ c + π 3 (3a b b λ 3 λ c sin t dt dλ λ 3 λ c dλ = { (x, R x et x } On peut alors réexprimer l'intégrale double et donc Exercice 6 : [énoncé] On peut décrire sous la forme x d + x + dx [ ] arctan x + x dx = (arctan x = π 3 = { (x, R x π et π x } et ainsi exprimer l'intégrale étudiée π x= π x = sin(x + d dx = π x= cos(x + dx = π iusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - d
[http://mp.cpgedupudelome.fr] édité le 9 mai 7 Corrections 9 Exercice 7 : [énoncé] On peut décrire sous la forme et ainsi exprimer l'intégrale étudiée = { (x, R x et x } x x d dx = x3 dx = 8 Exercice 8 : [énoncé] Φ: (u, θ (au cos θ, bu sin θ réalise une bijection de [ ; ] [ ; π/] vers de jacobien : abu. Par changement de variable (x 3 = Exercice 9 : [énoncé] ( (a 3 u 3 cos 3 θ bu sin θabu du dθ = 5 ab ( a 3 5b [;] x n + n I n = + x n (x n + n = + n [;] n + donc I n. Exercice : [énoncé] 3 (x + + z dz = ( x x= = x= (x + 3 d dx = 3 ( x ( x = ( 4 z= Exercice : [énoncé] = { (x, R x et x } donc ( x Après calculs (x + = (x + = 3 4 (x + + z dz d dx x 4 dx = ( 3 4 + = (x + d dx Exercice : [énoncé] La condition x donne une portion du plan comprise entre deux hperboles. ans le repère (O; u π/4, v π/4, la condition x 4 devient XY 4 ce qui conduit encore à une portion de plan comprise entre hperboles. Pour x,, X, Y >, on obtient { x = X x = Y x = X Y +4X Y = Y + 4X Y Cela permet de justier que φ est une bijection de ] ; + [ vers lui-même. φ est évidemment de classe C et Jacφ(x, = x x = (x + donc, par le théorème d'inversion globale, φ est un C diéomorphisme. On aurait pu aussi observer que φ est de classe C ce qui est immédiat car le sstème précédent permet d'exprimer φ. On a φ( = [ ; ] [ ; 4]. Par le changement de variable induit par φ, L'application f est de classe C. Après résolution du sstème [;] [;4] on obtient (, seul point critique. En passant en polaires, f(x, = qui change de signe. f n'a pas d'extremum locaux. X Y dx dy = 3 ln f (x, = x f (x, = r cos θ sin θ cos θ sin θ = r tan θ iusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - d
[http://mp.cpgedupudelome.fr] édité le 9 mai 7 Corrections Exercice 3 : [énoncé] En passant aux coordonnées polaires π R θ= ρ= r cos(r dr dθ = π Exercice 4 : [énoncé] En coordonnées polaires sin(x + = π π θ= Exercice 5 : [énoncé] En passant aux coordonnées polaires r r dr dθ = r cos θ + r 3 [ ] R sin r = π sin R ρ= ρ sin ρ dρ dθ = π cos θ + dθ = t=tan θ/ dt 3 = 3 Exercice 8 : [énoncé] En passant en coordonnées polaires π r + r 3 cos θ sin θ dr dθ = π Le résultat se comprend car les aires positives, compensant les négatives, on a x = Exercice 9 : [énoncé] En passant en coordonnées polaires π/4 θ= π/4 cos θ r= r 5 cos θ sin θ dr dθ = π/4 π/4 4 sin θ cos 3 θ dθ = 8 Exercice 6 : [énoncé] En coordonnées polaires π Sachant et on obtient x = π π θ= π cos 4 θ dθ = +cos θ ρ= π π π π ρ cos θ dρ dθ = 3 cos θ dθ = π cos θ dθ 4 x = 5π 4 Exercice 7 : [énoncé] On peut décrire en coordonnées polaires On a alors π π π π cos θ( + cos θ 3 dθ sin θ dθ = 3π 4 = {(r cos θ, r sin θ/θ [ π/ ; π ], r cos θ} x = cos θ π/ r cos θr dr dθ = 3 π/ cos 4 θ dθ = π 8 Exercice : [énoncé] On peut décrire le domaine d'intégration en coordonnées polaires sous la forme = {M(r cos θ, r sin θ/θ [ ; π/4] sin θ r cos θ} En passant aux coordonnées polaires donc (x + = 4 (x + = π/4 π/4 ( cos θ r 3 (cos θ + sin θ dr dθ sin θ (cos 4 θ sin 4 θ(cos θ + sin θ dθ = 4 π/4 cos θ( + sin θ Exercice : [énoncé] En visualisant le domaine comme le complémentaire de la réunion de deux cercles dans le cercle unité et par des considérations de smétrie, on obtient en passant aux coordonnées polaires ( + x + = 4 ( cos θ r π/ ( + r dr dθ = + cos θ dθ iusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - d
[http://mp.cpgedupudelome.fr] édité le 9 mai 7 Corrections Or via le changement de variable t = tan θ donc dθ + + cos θ = dt t + = π ( + x + = π π = ( π Par encadrement, on obtient Or f(r = ( R f(r R + π 4 e t dt R + ( e t dt Exercice : [énoncé] Le cercle délimitant le disque étudié a pour équation polaire En passant en coordonnées polaires r = cos θ et e t dt donc Exercice 4 : [énoncé] π e t dt = On obtient donc θ= cos θ θ= θ= r= cos θ sin θ dθ r sin θ r dr dθ + r sin θ [r arctan r] cos θ r= dθ sin θ arctan( cos θ dθ La première intégrale est immédiate et la seconde s'obtient par changement de variable puis intégration par parties Exercice 3 : [énoncé] arctan x dx = arctan + 4 ln 5 (a B R A R B R et la fonction intégrée est continue et positive sur R donc (b En passant aux coordonnées polaires g(r = R g(r f(r g(r re r dr dθ = π 4 ( e R R + π 4 (a On a ( ( R ( R R e dt t = e x dx e d = [;R] e x Or la fonction (x, e x est positive et on a l'inclusion des domaines d'intégration C(R [ ; R] C(R On a donc ( R e x e dt t e x C(R C(R (b En passant en coordonnées polaires e x = R C(R re r dr dθ = π 4 ( e R (c La fonction f : t e t est dénie et continue par morceaux sur [ ; + [. Puisque e t = o ( /t quand t +, on peut armer que f est intégrable et il a donc convergence de l'intégrale e t dt iusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - d
[http://mp.cpgedupudelome.fr] édité le 9 mai 7 Corrections En passant à la limite quand R + l'encadrement obtenu à la première question, on obtient ( e t dt = π 4 puis sachant l'intégrale positive. Exercice 5 : [énoncé] (a Pour A R + A cos(u du = Par intégration par parties : A π e t dt = cos(u du + A cos(u du [ ] A u u cos(u du = u sin(u + A sin(u u du l R A + On procède de même pour + sin(u du. (b En passant aux coordonnées polaires donc puis ϕ(t = sin(x + = t ϕ(t = θ= T ϕ(t dt = π T 4 T θ= ( tf(θ r sin(r dr dθ r= ( cos(t f (θ dθ ( T cos(t f (θ dt dθ Par changement de variable ane, sachant f(θ >, on a T cos(f(θt dt = f(θt cos(u du f(θ Or A A cos(u du est continue sur R + et admet une limite nie en + donc elle est bornée par un certain M. On a alors ( π/ T T cos(t f (θ dt dθ cos(t f (θ dt dθ M f(θ dθ = C puis Finalement T e manière semblable, on obtient (c On a or En séparant, puis e même ϕ(t = t ϕ(t = ( T cos(t f (θ dt dθ t T ϕ(t dt π T 4 T ψ(t dt T x= ( t sin(x + d dx = sin(x + = sin(x cos( + sin( cos(x sin(x dx t cos( d + t ϕ(t = S(tC(t ψ(t = C(t S(t sin( d t cos(x dx (d Lorsqu'une fonction g : [ ; + [ R continue tend vers l en + il est connu que T g(t dt T l T + On a donc ϕ(t t + CS et ψ(t t + C S iusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - d
[http://mp.cpgedupudelome.fr] édité le 9 mai 7 Corrections 3 en notant C = cos(u du et S = sin(u du On en déduit C = S et CS = π/. Il ne reste plus qu'à déterminer les signes de C et S pour conclure leur valeur. avec (n+π I n = nπ cos(u du = cos(u du = (n+π nπ + I n n= cos t dt = ( n t π cos s s + nπ ds On a alors I n = ( n I n, ( I n n décroissante et I n donc le critère spécial s'applique et assure que la somme + n= I n est du signe de son premier terme, à savoir I >. Ainsi C >. e plus CS > donc S > puis π C = S = Exercice 6 : [énoncé] La fonction f dénie sur R par f(x, = sin(xe x est continue donc pour tout u ; u ( u J(u = sin(xe x = 'une part avec u et d'autre part u ( u sin(xe x d dx ( u ( e sin(xe x dx = Im e ( ix ( iu dx = Im i ( e ( iu Im i u = ( cos(ue u sin(ue u + sin(xe x d = sin x x ( e xu On en déduit u sin x x ce qui se réorganise en avec et u u sin x u x dx = ( e xu dx = u u cos(u + sin(u + On en déduit d u + + sin x x e xu dx ( cos(ue u sin(ue u d + sin x u x e xu dx u e u d e xu dx = u u + + + e u d cos(u + sin(u e u d + u sin x u d lim dx = lim u + x u + + = π ce qui donne la convergence et la valeur de l'intégrale dénissant I. Exercice 7 : [énoncé] 'une part 'autre part et On en déduit π π π b a π b dt x cos t a dx x cos t dt = dx x cos t dt = = u=tan t π b π a ln b cos t a cos t dt dt x cos t dx du ( + xu + x = π x e u d u + ln b cos t b a cos t dt = π [ ] b a x dx = π argsinh x = π ln b + b a a + a iusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - d
[http://mp.cpgedupudelome.fr] édité le 9 mai 7 Corrections 4 Exercice 8 : [énoncé] Par simple détermination de primitive On a Or x d + x = [ln( + x] = ln( + x ln( + x dx + x = x ( + x( + x d dx x ( + x( + x = a + x + bx + c + x avec a = +, b = +, c = + donc puis ( + x( + + x + ( + x ( + = I+ x + ( + x ( + avec on obtient J = puis au terme des calculs (c On observe π ab 3 sin 4 θ + a 3 b cos 4 θ dθ J = 3πab(a + b 4 J = 3I ce qui est conforme à la formule de Green Riemann puisque 3 dx x 3 d = P (x, dx + Q(x, d Q P (x, x (x, = 3(x + Exercice 9 : [énoncé] ( + ( + x = ( + d (a Le changement de variables proposé a pour jacobien (x, (r, θ = a cos θ ar sin θ b sin θ br cos θ = abr Ce changement de variable donne et donc π r= (b Par le paramétrage direct { x(t = a cos t (t = b sin t dx + x = π ln 8 ( a r cos θ + b r sin θ abr dr dθ πab(a + b 4 avec t [ ; π] Exercice 3 : [énoncé] (a En paramétrant les deux courbes constituant Γ x + x 3 dx x + x dx = 4 (b Par la formule de Green-Riemann ( + x avec = { (x, R x, x x }. On en déduit ( x ( + x d dx = ( + x(x x dx = x 4 Exercice 3 : [énoncé] (a g : (r, t f(r cos t, r sin t est C donc g et g r sont continues sur R [ ; π] et ϕ est C sur R. iusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - d
[http://mp.cpgedupudelome.fr] édité le 9 mai 7 Corrections 5 (b La fonction (r, θ f(r cos θ, r sin θ admet une dérivée partielle en la variable r et celle-ci est continue sur R [ ; π]. Par intégration sur un segment, ϕ est dérivable et ϕ (r = π cos θ f f (r cos θ, r sin θ + sin θ (r cos θ, r sin θ dθ x En notant Γ le cercle de centre O et de raon r parcouru dans le sens direct et le disque correspondant, rϕ (r = Γ f f f (x, d (x, dx = x x (x, + f (x, = On en déduit ϕ (r = pour r, puis par continuité pour tout r R. Par suite la fonction ϕ est constante égale à (c En passant aux coordonnées polaires f(x, = R π ϕ( = πf(, f(r cos θ, r sin θr dθ dr = πr f(, Exercice 3 : [énoncé] Le domaine limité étant parcouru dans le sens direct, on peut calculer son aire par l'intégrale curviligne A = x d On obtient A = π ab cos t dt = πab Exercice 33 : [énoncé] Le domaine limité étant parcouru dans le sens direct, on peut calculer son aire par l'intégrale curviligne A = x d On obtient A = π 3a cos 4 t sin t dt = 3π 8 a Exercice 34 : [énoncé] On calcule l'aire étudiée par l'intégrale curviligne A = x d le long d'un pourtour direct du domaine limité. Le pourtour est ici formé par la réunion de deux arcs, l'arche de ccloïde (parcouru dans le sens indirect et un segment de l'axe (Ox. On obtient A = π (t sin t sin t dt + π dt = 3π Exercice 35 : [énoncé] La courbe étudiée est intégralement obtenue pour t [ ; π] et le domaine limité est parcouru dans le sens direct. On peut calculer son aire par l'intégrale curviligne A = x d On obtient A = π cos 4 t cos t( + sin t sin t dt = π Exercice 36 : [énoncé] Le domaine limité étant parcouru dans le sens direct, on peut calculer son aire par l'intégrale curviligne A = r dθ On obtient A = π π ( + cos θ + cos θ dθ = 3π Exercice 37 : [énoncé] L'aire voulue se calcule par une intégrale curviligne le long d'un pourtour direct du domaine A = r dθ Pour θ variant de π/4 à π/4, on parcourt une boucle de lemniscate dans le sens direct, on obtient par considération de smétrie A = π/4 π/4 cos θ dθ = iusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - d
[http://mp.cpgedupudelome.fr] édité le 9 mai 7 Corrections 6 Exercice 38 : [énoncé] La boucle de la courbe considérée est obtenue pour θ [ π/4 ; π/4] et elle est parcourue dans le sens direct. L'aire voulue se calcule par l'intégrale curviligne A = r dθ puis S = π n Z n c n π n Z n c n π avec égalité si, et seulement si, c n = pour tout n Z tel que n >. On a alors γ(s = c + c e is avec c = car γ (s =. γ est un paramétrage direct d'un cercle de diamètre. On obtient par considération de smétrie A = Exercice 39 : [énoncé] π/4 (a Posons x = Re(γ, = Im(γ. donc S = γ 4 cos θ 4 + cos θ dθ = π (x d dx = S = π en notant (.. le produit scalaire usuel. Par la formule polarisée de Parseval (γ γ = n Z car c n (γ = inc n (γ et donc π (x(s (s (xx (s ds Im( γ(sγ (s ds = π Im(γ γ c n (γc n (γ = n Z in c n (γ Exercice 4 : [énoncé] (a La courbe est dénie pour t parcourant R. Puisque x( t = x(t et ( t = (t, le point M( t est le smétrique du point M(t par rapport à l'origine. Pour t, x(/t = (t et (/t = x(t donc M(/t est le smétrique du point M(t par rapport à la droite d'équation = x. (b On peut calculer l'aire par une intégrale curviligne généralisée (par un changement de paramétrage du tpe s = arctan t, on se ramène à un paramétrage sur ] π/ ; π/[ que l'on prolonge à [ π/ ; π/] en adjoignant le point limite origine et cela nous ramène au contexte usuel.... La formule la plus pratique ici est A = x d dx Pour des raisons de sens de parcours, on va calculer le double de l'aire d'une boucle et l'on obtient A = t 3 ( + t 4 dt = (b Par la formule de Parseval on a : S = n Z n c n (γ Exercice 4 : [énoncé] Considérons f : (x, ( + x + donc n inc n = π π n c n = n γ (s ds = f est dénie et continue sur [ ; + [. Pour x, f(x, est intégrable sur R + car +. [ ( + x + d = + x + (+x + 3 ] + = = quand ( + x iusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - d
[http://mp.cpgedupudelome.fr] édité le 9 mai 7 Corrections 7 e plus x f(x, d est intégrable sur R + car x +. dx + x = π 4 (+x x quand Puisque f est positive, on en déduit que f est intégrable sur [ ; + [ et par le théorème de Fubini, [;+ [ ( + x + = ( Exercice 4 : [énoncé] Soit f(x, = x continue et positive sur ] ; [. 'une part 'autre part = ( x= x dx x= d = = ( x d dx = = ( + x + d dx = π 4 d = ln + x= x ln x dx avec x x ln x intégrable sur ] ; [. Par le théorème de Fubini (avec ici f, ces deux intégrales sont égales et donc Exercice 43 : [énoncé] Soit f(x, = 'une part : + cos x π t ln t dt = ln continue et positive sur [ ; π] [ ; [. ( et cette intégrale est bien dénie. 'autre part : π dx + cos x et ( π d π ln( + cos x dx = dx + cos x cos x = t=tan x dx d = + cos x dt ( + + ( t = π π d = π Par le théorème de Fubini (avec ici f, ces deux intégrales sont égales et donc π Exercice 44 : [énoncé] Sous réserve d'intégrabilité on a : ( x= = ln( + cos t cos t e (x + d dx = dt = π ( θ= r= re r dr dθ 'une part, la fonction e (x + est intégrable sur R + et la fonction x + d = Ce = e (x x est intégrable sur R +. 'autre part, la fonction r re r est intégrable sur R + et la fonction θ re r dr est intégrable sur [ ; π/]. La relation précédente est donc valide. 'une part, en séparant les variables : ( ( e (x + d dx = e t dt 'autre part, On peut conclure x= = ( θ= Exercice 45 : [énoncé] r= re r dr dθ = π [ ] + e r = π r= 4 π e t dt = (a Pour tout x ] ; + [, e (x + est intégrable sur ] ; + [ et l'application x + = e (x d = Ce x est continue et intégrable sur ] ; + [ donc (x, e (x + est intégrable sur ] ; + [ et ( e (x + d dx x= = Réalisons le changement de variable = ux = e (x + d = u= xe x (+u du iusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - d
[http://mp.cpgedupudelome.fr] édité le 9 mai 7 Corrections 8 puis ( x= u= xe (+u x du dx (b Compte tenu des calculs précédents (x, u xe (+u x est intégrable sur ] ; + [ et donc x dx du ];+ [ xe (+u Puisque x xe (+u x est intégrable sur ] ; + [ et que u xe (+u x dx = +u est intégrable sur ] ; + [ on a aussi ( xe (+u x du dx du = + u = π u= x= x= Or par séparation des variables ( e (x + d dx = = donc π e t dt = car cette dernière intégrale est positive. Exercice 46 : [énoncé] L'intégrale a la même nature que sur ] ; ]. x est intégrable sur ] ; ] et x (x+ 3 (+ est intégrable sur ] ; ] et Ainsi x (x+ = 3. Par une démarche smétrique x (x + 3 dx = ( + d ( + = On peut donc dire que la fonction (x, x (x + 3 d dx = ( t= e t dt x (x+ 3 n'est pas intégrable sur. Exercice 47 : [énoncé] Posons f : R + R + R dénie par f(x, = ( + x ( + La fonction f est continue et positive. Pour R +, la fonction x f(x, est intégrable sur R + et π f(x, dx = (+ est intégrable sur R +. On en déduit que f est intégrable sur R + R + et R + R + ( + x ( + = Posons g : R + ] ; π/[ R dénie par g(r, θ = f(r cos θ, r sin θr = ( dx ( + x ( + r ( + r cos θ( + r sin θ La fonction g est continue et positive. Pour θ ] ; π/[, la fonction r g(r, θ est intégrable sur R + et Pour θ π/4, et on en déduit puis g(r, θ dr = u=r ( + u cos θ( + u sin θ = cos θ du ( + u cos θ( + u sin θ = cos θ e plus, pour [a ; b] ] ; π/[, on a g(r, θ d = π 4 du tan θ ( + u cos θ( + u sin = ln θ cos θ ln tan θ g(r, θ dr = cos θ ( cos θ + u cos θ sin θ + u sin θ [ ln + u ] + cos θ ln tan θ + u sin = θ cos θ r ( + r cos b( + r sin a = ϕ(r avec ϕ intégrable sur [ ; + [ donc, par domination sur tout segment, on peut armer que θ g(r, θ dθ est continue sur ] ; π/[. Par cet argument, il n'est pas nécessaire de calculer l'intégrale pour θ = π/4. iusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - d
[http://mp.cpgedupudelome.fr] édité le 9 mai 7 Corrections 9 La fonction h: θ g(r, θ dθ est intégrable sur ] ; π/4] car quand θ +, θh(θ = θ ln(tan θ cos θ θ ln θ e plus, h(π/ θ = h(θ donc h est aussi intégrable sur [π/4 ; π/[. Par le théorème d'intégration en coordonnées polaires, on a alors d'où l'on tire R + R + f(x, = ( ln tan θ cos θ En posant t = tan θ, on a dt = ( + t dθ et et on obtient Exercice 48 : [énoncé] Commençons par le cas où On étudie alors A = Posons f : R R dénie par dθ = π 4 cos θ = t + t ln t π t dt = 4 ( λ µ avec λ, µ > exp ( (λx + µ R f(x, = exp ( (λx + µ La fonction f est dénie, continue et positive sur R. Pour x R, la fonction f(x, est intégrable sur R et R g(r, θ dr dθ f(x, d = e λx e µ d = C te e λx La fonction x f(x, d est intégrable sur R et par conséquent f est R intégrable sur R avec R ( f(x, d R dx = ( Sachant e t dt = π on obtient par un changement de variable ane π π = λµ det A ( e λx dx e µ d Passons au cas général. Notons λ, µ > les deux valeurs propres de la matrice A. Il existe une base orthonormée ( e, e telle que si X = u e + v e alors t XAX = λu + µv Considérons alors l'application ϕ: R R qui à (x, associe (u, v de sorte que (x, = u e + v e ϕ est une isométrie de l'espace vectoriel R, la valeur absolue de son jacobien vaut et ϕ transforme le disque (, R = { (x, R x + R } en lui-même. Par le changement de variable (u, v = ϕ(x, exp( t XAX = exp ( (λu + µv du dv (,R (,R Quand R +, l'étude d'intégrabilité du cas initial donne exp ( (λu + µv du dv exp ( (λu + µv du dv = π (,R R λµ On en déduit (,R exp( t XAX R + π λµ Tout pavé [a ; b] [c ; d] étant inclus dans un disque (, R pour R assez grand et inversement tout disque (, R étant inclus dans un pavé assez grand, on peut armer que la fonction continue positive (x, exp( t XAX est intégrable sur R et sup [a;b] [c;d] R [a;b] [c;d] exp( t XAX = lim exp( t XAX = R + (,R iusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - d
[http://mp.cpgedupudelome.fr] édité le 9 mai 7 Corrections Exercice 49 : [énoncé] La fonction f dénie sur ] ; [ ] ; π/[ par f(x, = + (x tan est continue et positive. Pour x ] ; [, la fonction f(x, est continue par morceaux et intégrable sur ] ; π/[ avec Par décomposition en éléments simples et donc d + dt + (x tan = t=tan ( + t ( + x t x ( + t ( + x t = x + t + x + x t d + (x tan = ];[ ];π/[ t=tan π ( x + x x = π x + La fonction x π ln(x + est continue par morceaux et intégrable sur ] ; [. On en déduit que la fonction f est intégrable sur ] ; [ ] ; π/[ et ( π/ + (x tan = d + (x tan dx puis nalement ];[ [;π/[ + (x tan = π dx x + = π ln Aussi, pour ] ; π/[, la fonction x f(x, est continue par morceaux et intégrable sur ] ; [ avec [ ] dx + (x tan = arctan (x tan = tan tan e plus la fonction /tan est continue par morceaux et intégrable sur ] ; π/[ donc on aussi ];[ ];π/[ + (x tan = ( dx + (x tan d ce qui donne ];[ ];π/[ On en déduit π/ + (x tan = tan d tan d = π ln Exercice 5 : [énoncé] Posons f : ] ; ] R la fonction dénie par f(x, = La fonction f est positive, continue et vérie min(x, max(x, (x, ] ; ], f(x, ce qui assure son intégrabilité. L'intégrale étudiée est donc bien dénie. Pour x ] ; ] xé, la fonction f(x, est intégrable sur ] ; ] car est continue par morceaux, positive et majorée par. On a f(x, d = x x d + x x d = x x ln x La fonction x f(x, d est intégrable sur ] ; ] car est continue par morceaux et prolongeable par continuité en. On retrouve ainsi que f est intégrable sur ] ; ] mais aussi a-t-on ( f(x, d dx = x x ln x dx = Exercice 5 : [énoncé] (a La fonction b: u u x ( u est dénie et continue par morceaux sur ] ; [. On a u x ( u ux et u x ( u u + ( uu donc la fonction b est intégrable sur ] ; [ si, et seulement si, x > et >. La fonction b étant positive, son intégrabilité équivaut à la convergence de l'intégrale dénissant B. La fonction B est donc dénie sur R + R +. Une étude semblable donne que la fonction Γ est dénie sur ] ; + [ car u u x e u ux et u x e u = o ( /u u + u + iusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - d
[http://mp.cpgedupudelome.fr] édité le 9 mai 7 Corrections (b Le changement de variable u = t qui est de classe C strictement monotone donne (c On a donc Γ(x = t x e t dt ( + ( 4 Γ(xΓ( = u x e u du v e v dv 4 Γ(xΓ( = ( u x v e (u +v dv du Considérons la fonction f : (u, v u x v e (u +v. Cette fonction est positive. Pour chaque u >, la fonction v f(u, v est continue par morceaux et intégrable sur ] ; + [. La fonction u f(u, v dv = ux e u Γ( est continue par morceaux et intégrable sur ] ; + [. On peut donc armer que f est intégrable sur R + R + et ( f(u, v du dv = f(u, v dv du R + R + ce qui fournit exactement u x v e (u +v du dv = 4 Γ(xΓ( R + R + (d Introduisons la fonction déduite d'un passage en polaire g : (r, θ = f(r cos θ, r sin θr = (cos θ x (sin θ r (x+ e r La fonction g est positive Pour chaque θ ] ; π/[, la fonction r g(r, θ est continue par morceaux et intégrable sur ] ; + [. La fonction θ g(r, θ dr = (cos θx (sin θ Γ(x + est continue par morceaux et intégrable sur ] ; π/[ car x, > et On peut donc passer en coordonnées polaires et armer ce qui donne R + R + f(u, v du dv = Γ(xΓ( = Γ(x + ( g(r, θ dr dθ (cos θ x (sin θ dθ Par le changement de variable C strictement monotone u = cos θ pour lequel du = cos θ sin θ dθ on obtient et nalement (e Par intégration par parties A ε (cos θ x (sin θ dθ = Γ(xΓ( = B(x, Γ(x + u x ( u du u x e u du = [ u x e u] A A + x u x e u du ε Quand ε et A +, on obtient Γ(x + = xγ(x Puisque Γ( =, une récurrence facile donne Γ(n = (n! pour tout n N. On en déduit B(n, m = ε (n!(m! (n + m! ce qui aurait aussi pu se démontrer directement par une succession d'intégrations par parties. (sin θ θ, (cos θ x θ θ π/ ( π θ x iusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - d