Calcul de dérivées www.phymaths.ch 1 er septembre 2010 1 Définition La dérivée est un opérateur, elle agit sur une fonction f(x) et renvoie une autre fonction f (x). Définition 1.1 (Dérivée d une fonction). On appelle dérivée de la fonction f(x) la fonction D[f(x)] = f (x) définie par : D[f(x)] = f f(x +) f(x) (x) = lim 0 (1) 2 Interprétation mathématique de la dérivée La dérivée donne le rapport de deux accroissements, celui de la variable dépendante par rapport à celui de la variable indépendante lorsque l accroissement de cette dernière tend vers zéro. Elle nous donne le taux d accroissement d une fonction en un point. En posant y = f(x) la dérivée est définie par y = f y (x) = lim 0 = dy dx 3 Interprétation géométrique de la dérivée Géométriquement parlant, la dérivée nous donne la pente de la droitetangenteàune courbe en un point. En appliquant les règles de la trigonométrie on constate effectivement que (figure 1) tan α = opp adj = y Lorsque tend vers zéro, la sécante d1, passant par les points (x; f(x)) et (x+; f(x+ )) tend vers la tangente à la courbe au point x (droite d2). Il est essentiel de comprendre que "tendre vers zéro" ne veut pas dire "égal à zéro". 1
Figure 1: La sécante d1 devient tangente à la courbe de f(x) lorsque tend vers zéro (droite d2). 4 Calcul de la dérivée d une fonction On part de la définition et on procède en trois étapes : 1. On écrit l expression f(x +) f(x) de la fonction considérée et on essaye de mettre en évidence. f(x +) f(x) 2. On divise l expression obtenue par afin d avoir 3. On effectue le passage à la limite et on évalue. Exemple(s): Calculer la dérivée de la fonction f(x) =3x 2. Solution: 1. f(x +) f(x) =3(x +) 2 3x 2 = x 2 6x +3 2 3x 2 =6x +3 2 f(x +) f(x) 6x +32 2. = =6x +3 3. lim 0 6x +3 =6x La dérivée de la fonction f(x) =3x 2 est la fonction f (x) =6x Exercice 4.1 (). Calculer la dérivée des fonctions suivantes à l aide de la définition de la dérivée. 1. f(x) =x 2
2. f(x) = 1 x 3. f(x) = x 5 Exemples 5.1 La surface du cercle et son périmètre Soit les deux fonctions de R + dans R + définies par : A c (r) πr 2 P c (r) 2πr Ce sont les fonctions donnant la surface et le périmètre d un disque de rayon r. La dérivée de A c est : 1. A c (r + r) A c (r) =π(r + r) 2 πr 2 = π(r 2 2r r + r 2 r 2 )=π(2r r + r 2 ) A c (r + r) A c (r) 2. = π(2r r + r2 ) =2πr + r r r 3. lim r 0 (2πr + r) =2πr Nous observons que la dérivée de la fonction donnant l aire d un disque est la fonction donnant son périmètre. Cela est tout à fait compréhensible lorsque l on raisonne de la manière suivante : Si on augmente le rayon d un disque d une quantité dérisoire, l augmentationdelasurface du même disque sera une bande très fine tout autour du disque, donc le périmètre. Si l on considère les unités nous avons pour la dérivée une grandeur exprimée en m2 = m m (accroissement de surface par unité de longueur) ce qui correspond bien à la grandeur de 2πr. Exercice 5.1 (). Quelle est la dérivée de la fonction donnant le volume d un cylindre en considérant la hauteur comme étant une grandeur constante. 5.2 Chute libre La distance parcourue par un corps en chute libre en fonction du temps est donnée par x(t) = 1 2 gt2 où g est la constante de gravitation, x est la variable dépendante et t la variable indépendante. Dériver x(t) par rapport à t revient à calculer le rapport entre le chemin parcouru durant un laps de temps t (à un certain moment t) puisdefairetendre t vers zéro. Ce faisant, on calcul la vitesse du corps au moment t. v(t) =x (t) = lim t 0 t = dx dt =ẋ 3
Le calcul de la dérivée de x(t) = 1 2 gt2 donne x (t) =gt, quiabienlagrandeurd une vitesse ( m s 2 s = m s ). En dérivant la vitesse v(t) =gt, c est à dire en calculant le taux d accroissement de la vitesse par rapport au temps on obtient l accélération du corps. v v (t) = lim t 0 t = dv dt = a(t) =ẍ Dans notre cas, la dérivée de v(t) =gt est v (t) =g qui est une constante. Ce qui est logique puisque l accélération dûe à la gravitation est constante près de la surface de la terre et vaut g =9.8. 6 Dérivation de fonctions simples 6.1 Dérivée des fonctions du type f(x) x n Soit la fonction f(x) x n, n Z +. Par définition Le calcul de cette limite donne f f(x +) f(x) (x +) n x n (x) = lim = lim 0 0 f (x +) n x n (x) = lim 0 = n x n 1 Pour développer (x +) n nous pouvons utiliser le binôme de New- Démonstration: ton. (x +) n = n Cnx k n k k = x n + n x n 1 + k=0 En substituant dans f (x) nous avons f (x +) n x n (x) = lim 0 Après réarrangement = lim 0 n Cnx k n k k k=2 x n + nx n 1 + n k=2 Ck n xn k k x n = lim 0 nx n 1 + n k=2 Ck nx n k k = lim 0 nxn 1 + lim 0 = nx n 1 + lim 0 = nx n 1 +0 n Cn k xn k k 1 k=2 n Cn k xn k k 1 k=2 4
QED Exemple(s): 1. D[x 12 ]=12 x 11 2. D[x] =D[x 1 ]=1 x 0 =1 Remarque Il n est bien sûr pas nécessaire d effectuer ces longs calculs pourchacune des fonctions que l on est appelé à dériver, il existe des tables de dérivations et certaines règles permettant de simplifier le processus. 6.2 Principales règles de dérivation f(x) =x f (x) =1 f(x) =c f (x) =0 f(x) =c x f (x) =c f(x) =x n f (x) =n x n 1 7 Propriétés de la dérivée Dans cette section nous allons voir comment calculer la dérivée d une fonction y(x), lorsqu elle se rencontre sous la forme d unesommede2fonctions,y(x) =u(x)+v(x), d unproduitde2fonctions,y(x) =u(x)v(x), d unquotientde2fonctions,y(x) = u(x),v 0, v(x) delacompositionde2fonctions,y(x) =u(v(x)) = (u v)(x). Notation : x étant la seule variable indépendante on notera simplement y, u, v en lieu et place de y(x),u(x),v(x). On notera y, u, v l accroissement respectif de chaque fonction dû à l accroissement de la variable indépendante x. 5
7.1 Dérivée d une somme Soit la fonction y = u + v. Sanouvellevaleuraprèsunaccroissement de la variable indépendante x sera : y + y = (u + u)+(v + v) =(u + v)+ u + v y = (u + v)+ u + v (u + v) = u + v y = u + v En prenant la limite pour 0 on obtient : dy dx = du dx + dv dx ou encore (u + v) = u + v (2) 7.2 Dérivée d un produit Soit la fonction y = uv. Sanouvellevaleuraprèsunaccroissement de la variable indépendante x sera : y + y = (u + u)(v + v) =uv + u( v)+v( u)+ u v y = uv + u v + v u + u v uv = u v + v u + u v y = u v + v u v + u En prenant la limite pour 0 et en considérant que si tend vers zéro alors u également, on obtient : dy dx = u dv dx + v du dx ou encore (uv) = uv + u v (3) 6
7.3 Dérivée d un quotient Soit la fonction y = u.sanouvellevaleuraprèsunaccroissement de la variable v indépendante x sera : y + y = y = = (u + u) (v + v) (u + u) (v + v) u v vu + v u uv u v v 2 + v v y = v u u v v 2 + v v = v(u + u) u(v + v) v(v + v) = v u u v v 2 + v v En prenant la limite pour 0 et en considérant que si tend vers zéro alors v également, on obtient : dy dx = v du u dv dx dx ou encore ( u v 2 v ) = vu uv (4) v 2 7.4 Dérivée d une fonction composée. Une fonction composée est une fonction formée de deux ou plusieurs fonctions imbriquées les unes dans les autres. Par exemple pour h(x) = sin x 2,onpeuttrèsbiendéfinir les fonctions f(x) = sin x, g(x) =x 2 et dire que h(x) =f(g(x)). Autrementditonprend la valeur de la fonction g(x) et on la met comme argument de la fonction f(x). Onnote aussi f(g(x)) = (f g)(x) Schématiquement cela donne : En utilisant la définition de la dérivée, on peut écrire f(g(x)) =(f g) (x) de cette façon. D[f(g(x))] = f(g(x)) f(g(x +)) f(g(x)) = lim 0 en multipliant le numérateur et le dénominateur par g(x +) g(x) f(g(x)) f(g(x +)) f(g(x)) g(x +) g(x) = lim 0 g(x +) g(x) la limite d un produit est égal au produit des limites, donc f(g(x)) f(g(x +)) f(g(x)) g(x +) g(x) = lim lim 0 g(x +) g(x) 0 La première limite est la dérivée de la fonction f par rapport à la fonction g, ladeuxième limite est la dérivée de g(x), cequinousdonnefinalement f(g(x)) = f (g(x)) g (x) (5) 7
Figure 2: default Exercice 7.1 ( ). Dans la démonstration ci-dessus il manque deux précisions très importantes, lesquelles? Exemple(s): Dérivée de la fonction h(x) =(2x) 4. Posons : h(x) =f(g(x)) avec f(x) =x 4 et g(x) =2x. f (x) =4x 3 et g (x) =2 f(g(x)) = f (g(x)) g (x) =4(2x) 3 2 =64x 3 Exercice 7.2 ( ). Démontrer que la formule pour la dériveé de x n est également valable quand n Q Exercice 7.3 (Calcul de dérivées). Calculer la dérivée des fonctions suivantes : 1. f(x) =x 3 3x 5 (deux méthodes) 2. f(x) =x + 1 x 3. f(x) = x +1 x 4. f(x) = x3 + x 2 (deux méthodes) 1 x 5. f(x) = x x 2 (deux méthodes) 3 x 1 6. f(x) = (deux méthodes) x 2 8
7. Faire un dessin de la situation dans le cercle trigonométrique de et expliquer pourquoi cette limite vaut 1. 8 Point important 8.1 Dérivabilité d une fonction sin x lim x 0 x Dans tout ce résumé nous ne nous sommes jamais demandé si la dérivée d une fonction en un point pouvait ne pas être définie? Cela arrive, dans un tel casondiraquelafonction n est pas dérivable en ce point. J ai décidé de traiter le problème de la dérivabilité d une fonction dans le résumé "Fonctions, limites et continuité" car la dérivée est une fonction comme une autre. 9