Exercices 6. Suites numériques. Étude théorique et pratique des suites à valeurs dans R ou C.

Exercices 6 Suites numériques Étude théorique et pratique des suites à valeurs dans R ou C. 6 Suites numériques...................................................................... 1 1 Aspects théoriques................................................................. 2 1.1 Convergence............................................................... 2 1.2 Césaro & Cie................................................................ 2 1.3 Suites extraites.............................................................. 3 1.4 Divergence................................................................. 3 2 Suites monotones.................................................................. 4 2.1 Théorème des suites monotones............................................. 4 2.2 Suites adjacentes............................................................ 5 3 Modes de définition d une suite..................................................... 6 3.1 Étude qualitatives de suites récurrentes....................................... 6 3.2 Suites récurrentes d ordre deux.............................................. 7 3.3 Suites de nombres complexes, suites de points du plan........................ 7 3.4 Suites définies implicitement................................................ 8 3.5 Suites définies par une somme ou un produit................................. 8 3.6 Suites d intégrales........................................................... 9 4 Indications........................................................................ 1

Les difficultés sont échelonnées de la manière suivante : aucune,,, et. Certains énoncés sont tirés des annales des concours (oral et écrit) ; leur provenance est le plus souvent précisée. Les exercices notés et sont particulièrement délicats. 1. Aspects théoriques 1.1. Convergence 1. [ Puissances ] ( ind ) Soit (u n ) une suite à valeurs strictement positives telle que la suite ( ) n u n converge vers l. a) Justifier que l. b) On suppose que l < 1. Prouver que (u n ) converge vers. c) On suppose que l > 1. Prouver que (u n ) diverge vers +. d) Montrer à travers divers exemples que si l = 1, on ne peut rien conclure en général sur (u n ). 2. [ Accroissements de limite nulle ] ( ind ) Une suite (u n ) telle que p N, u n+p u n est-elle nécessairement convergente? n + 3. [ Un classique ] ( ind ) Soit (u n ) une suite réelle telle que (k,n) (N ) 2, u n 1 k + k n. Montrer que u n n +. 4. [ Irrationnalité de 2 ] ( ind ) On pose, pour tout n N, u n = ( 2 1 ) n. a) Montrer qu il existe deux suites d entiers relatifs (a n ) n et (b n ) n telles que, n, u n = a n + b n 2 b) Montrer qu une suite d entiers relatifs est convergente si et seulement si elle est stationnaire. c) En déduire que 2 est irrationnel. 1.2. Césaro & Cie 5. [ Le lemme de l escalier ] ( ind ) a) Soient (u n ) R N et l R {± } tels que u n+1 u n l. Montrer que u n n + n b) Soient (u n ) ( R ) N u n+1 + et l R {± } tels que u l. Montrer que n u n n n + n + l. n + l. ( ) 1/n 2n c) Étudier le comportement asymptotique des suites définies par a n = et b n = n n n! n. LLG PCSI 2 Exercices 6 2

6. [ Variation sur Césaro ] ( ind ) Soit (u n ) une suite réelle. On définit la suite (v n ) par : v n = u 1 + 2u 2 + + nu n n 2 Montrer que si la suite (u n ) est convergente, alors la suite (v n ) est convergente. 7. [ A Cesaro-like theorem ] ( ind ) On considère une suite réelle (u n ) de limite l. On définit alors la suite (v n ) par Montrer que la suite (v n ) admet l pour limite. v n = 1 2 n ( ) n n k= k u k 1.3. Suites extraites 8. [ Grand classique des suites extraites ] ( ind ) Soit (u n ) R N telle que les suites (u 2n ), (u 2n+1 ) et (u 3n ) convergent. Prouver que (u n ) converge. 9. [ Approximations rationnelles d un irrationnel ] ( ind ) a) Montrer qu une suite d entiers converge si et seulement si elle est stationnaire. b) Soit (q n ) une suite d entiers naturels qui ne tend pas vers +. Montrer que l on peut extraire de (q n ) une sous-suite constante. c) Soit v n = p n q n avec n N, p n Z, q n N une suite de rationnels qui converge vers x R \Q. Montrer que (q n ) et ( p n ) tendent vers +. 1.4. Divergence 1. [ La série harmonique ] ( ind ) n 1 Soient 1 et H n = k. a) Montrer que (H n ) est croissante. Qu en déduit-on quant au comportement asymptotique de (H n )? b) Montrer que n 1, H 2n H n 1 2. Décrire le comportement asymptotique de (H n). LLG PCSI 2 Exercices 6 3

11. [ Une généralisation ] ( ind ) Soit α R\πZ. On considère les suites définies par a n = sin(nα) et b n = cos(nα). Prouvez qu elles divergent. 12. [ Partie fractionnaire de la racine carrée ] ( ind ) Pour x R, on note {x} = x x la partie fractionnaire de x. Montrer que la suite ({ n }) ne converge pas. 2. Suites monotones 2.1. Théorème des suites monotones 13. [ Vers Stirling ] ( ind ) ( ) n 2n Soit (u n ) n 1 la suite définie par u n =. n a) Déterminer le sens de variation de (u n ) n 1. n b) Démontrer que n 1, u n 2n + 1. 4 n c) Montrer que la suite (u n ) n 1 converge vers un réel l tel que 1 2 l 1 2. 14. [ Suites bornées convexes ou concaves ] ( ind ) On considère une suite (u n ) bornée telle que la suite (u n+1 u n ) soit monotone. Montrer que la suite (u n ) est convergente. 15. [ Radicaux itérés ] ( ind ) Si (u n ) n 1 est une suite réelle à termes positifs, on lui associe la suite (v n ) n 1 définie par v n = u 1 + a) Montrer que la suite (v n ) n 1 est croissante. u 2 + + u n b) Prouver que si la suite (u n ) n 1 est constante, alors (v n ) n 1 est convergente. Déterminer sa limite. c) Que peut-on dire de (v n ) n 1 si (u n ) n 1 est majorée? 16. [ Limites supérieure et inférieure d une suite bornée ] ( ind ) On considère une suite réelle (u n ) bornée. On pose v n = supu p et w n = inf u p. p n p n a) Justifier que les suites (v n ) et (w n ) sont bien définies. b) Déterminer le sens de variation des suites (v n ) et (w n ). c) En déduire que (v n ) et (w n ) sont convergentes. d) Montrer que (u n ) converge si et seulement si (v n ) et (w n ) convergent vers la même limite. LLG PCSI 2 Exercices 6 4

2.2. Suites adjacentes 17. [ Un inusable du genre ] ( ind ) Soient p et q deux réels strictement positifs tels que p + q = 1 et p > q. Soient (u n ) et (v n ) deux suites de réels telles que { un+1 = pu n + qv n n N, v n+1 = pv n + qu n a) Montrer que les suites (u n ) et (v n ) sont adjacentes. b) Calculer la limite commune de (u n ) et (v n ). 18. [ Séries de Riemann ] ( ind ) Soit p un entier tel que p 2. Pour n N, on pose Montrer que (u n ) et (v n ) sont des suites adjacentes u n = 1 + 1 2 p + + 1 n p et v n = u n + 1 n p 1 19. [ La constante d Euler ] ( ind ) Pour tout n 1, on pose S n = ( n 1 k, γ n = S n ln(n), et δ n = γ n ln 1 + 1 ) n Montrer que les deux suites (γ n ) et (δ n ) sont adjacentes et que leur limite commune appartient à ],1[. On la note γ, constante d Euler. 2. [ Oldfashioned ] ( ind ) Soient a et b deux réels tels que < a < b, (u n ) et (v n ) les suites définies par { u = a = b v et n, u n+1 = u n v n v n+1 = u n + v n 2 Prouver que les suites sont adjacentes. Leur limite commune s appelle la moyenne arithméticogéométrique de a et b, on ne cherchera pas à la calculer! 21. [ Le critère des séries alternées ] ( ind ) Soit (a n ) une suite de réels positifs décroissante de limite nulle. On pose, pour tout n N, n u n = ( 1) k a k a) Montrer que la suite (u n ) est convergente. b) Soit l = lim(u n ). Montrer que, quel que soit n N, u n l a n+1. k= c) Pour n N, on pose n ( 1) k S n = k + 1 Montrer que (S n ) converge puis calcule sa limite. k= LLG PCSI 2 Exercices 6 5

3. Modes de définition d une suite 3.1. Étude qualitatives de suites récurrentes 22. [ La suite babylonienne ] ( ind ) Soient c et a deux réels strictement positifs. On définit (a n ) par n, a n+1 = a n 2 + c 2a n. a) Montrer que la suite (a n ) est convergente. b) Déterminer sa limite. 23. [ Une primitive non explicite ] ( ind ) Soit (u n ) la suite définie par u = 1 et n N, u n+1 = un e x2 dx. a) Vérifier que la suite (u n ) est bien définie et qu elle est monotone. b) Montrer qu elle converge. c) Déterminer sa limite. 24. [ Étude de quelques systèmes ] ( ind ) Étudier les suites récurrentes suivantes : a) u n+1 = 4 + 3u n ; b) u n+1 = 1 4 sin ( 1 u n ) + 1 ; c) u n+1 = π 3 3 cos(u n) ; d) u n+1 = exp(1 u n ) ; e) u n+1 = 2 1 + un 2 ; f) u n+1 = 6 2 + un 2 ; g) u n+1 = 1 6 (u2 n + 8) ; h) u n+1 = exp(u n 1) ; i) u n+1 = exp(u n ) ; j) u n+1 = 1 1 exp(u n) ; k) u n+1 = arctan(u n ) ; l) u n+1 = u n + sin(u n ) ; m) u n+1 = exp( u n) u n, u > ; n) u n+1 = 1 u 2 n. 25. [ Une suite déguisée ] ( ind ) n 1 Soit a >. Étudier la suite (u n ) définie par u 1 = ln(a) et n 2, u n = ln(a u k ). 26. [ Une suite définie par u n+1 = f n (u n ) ] ( ind ) On définit une suite (u n ) par u 1 = 1 et la relation de récurrence u n = n + u n 1. a) Montrer que, pour tout n N, u n n 2. b) En déduire que ( u n / n ) converge et donner sa limite. c) Déterminer la limite de ( u n n ). LLG PCSI 2 Exercices 6 6

27. [ Un classique indémodable ] ( ind ) u = 5 On considère la suite réelle (u n ) définie par u n+1 = u n + 1 u n a) Établir que, pour tout n N, u 2 n u2 + 2n. b) Montrer que n N, n 1 k ln(n). c) En déduire que 45 < u 1 < 45,1. 3.2. Suites récurrentes d ordre deux 28. [ Variations sur les récurrences linéaires ] ( ind ) Dans chacun des cas suivants, calculer u n en fonction de n, u et u 1 : a) u n 2cos(α)u n 1 + u n 2 = ; b) u n+2 + 4u n+1 4u n = n. 29. [ Fibonacci party ] ( ind ) Soit (φ n ) la suite définie par φ =, φ 1 = 1 et n, φ n+2 = φ n+1 + φ n. a) Exprimer φ n en fonction de n. b) Montrer que n, φ 2 n+1 = φ nφ n+2 + ( 1) n. n ( 1) k c) En déduire que la suite définie par S n = converge vers une limite que l on calculera. φ k φ k+1 3. [ Une équation fonctionnelle ] ( ind ) Déterminer les bijections du segment [,1] dans lui-même vérifiant x [,1], f ( 2x f (x) ) = x. 3.3. Suites de nombres complexes, suites de points du plan 31. [ Deux suites classiques ] ( ind ) a) Soit (z n ) vérifiant n N, z n+1 = 2z n z n. Expliciter z n en fonction de n. b) Étudier la convergence d une suite (z n ) définie par n N, z n+1 = z n + z n. 2 32. [ Récurrence couplée ] ( ind ) Soient (a n ) et (b n ) deux suites définies par (a,b ) ( R 2 +) et a n a n+1 = an 2 + bn 2 n N, b n b n+1 = an 2 + bn 2 Exprimer a n et b n en fonction de n. LLG PCSI 2 Exercices 6 7

3.4. Suites définies implicitement 33. [ Étude d une suite définie implicitement ] ( ind ) a) Soit n N. Montrer que l équation x 1 ln(x +n) = admet une unique solution sur R +. On note x n cette solution. b) Montrer que x n 1 + ln(n) pour tout n N. En déduire la limite de (x n ). c) Montrer que (x n ) est strictement croissante. d) Soit α >. Montrer que f n (n α ) n + +. En déduire que x n n α à partir d un certain rang. e) Montrer que, pour tout α >, n α x n n +. 34. [ Centrale-PSI 21 ] ( ind ) Soit n N. a) Prouver l existence d un unique a n [,1] tel que an n = cos(a n). b) Établir que la suite (a n ) converge puis déterminer sa limite. 35. [ Centrale-PSI 28 ] ( ind ) Soit n N. On considère l équation E n : e x x n =. a) Montrer que, à partir d un certain rang, E n admet exactement deux racines positives u n v n. b) Montrer que (u n ) converge vers une limite que l on précisera. c) La suite (v n ) converge-t-elle? 36. [ Un classique ] ( ind ) On considère une suite (a n ) de réels positifs ou nuls, avec a > et a n >. Pour tout n N, on pose n P n (x) = a + a k x k a) Montrer que P n admet une et une seule racine strictement positive. On notera u n cette racine. b) Montrer que la suite (u n ) est convergente. c) Dans le cas particulier où la suite (a n ) est définie par a n = n + 1, calculer la limite de (u n ). 3.5. Suites définies par une somme ou un produit 37. [ Avec partie entière ] ( ind ) a) Soit x R. Etudier le comportement asymptotique de la suite de terme général u n = nx n. b) Soit x R. Etudier le comportement en + de la suite définie par u n = n kx n 2. LLG PCSI 2 Exercices 6 8

38. [ Binôme story ] ( ind ) ( ( n n Étudier la convergence de la suite de terme général u n = k k= )) 1/n 3. 39. [ Un inusable ] ( ind ) a) Prouver que x, x x3 sin(x) x. 6 b) En déduire la convergence et la limite de la suite définie par n 1, u n = ( n k k n sin k= n 2 ). 4. [ X-PC 212 ] ( ind ) On pose, pour n N, n 1 n u n = n 2 + k, v 1 n n = n 2 + k, w 1 2 n = n 2 + k 3 Étudier le comportement asymptotique des suites (u n ), (v n ) et (w n ). 41. [ Binôme, quand tu nous tiens ] ( ind ) ( ) n Montrer que ( 1) k n cos(k) k 2 k. n + k= 3.6. Suites d intégrales 42. [ Interversion des limites ] ( ind ) Étudier le comportement des suites de termes généraux : a) 1 x n 1 + x dx ; b) π/2 sin n (t)dt ; c) e ln n (t)dt ; d) 1 t n 1 + t n e t dt. 43. [ Une récurrence double ] ( ind ) On note, pour tout n N, I n = π cos(nt) 2 cos(t) dt. a) Montrer que n N, I n+2 = 4I n+1 I n. b) Pour m {1,2}, calculer π (2 cos(t)) m dt et en déduire une expression de I n en fonction de n. 2 cos(t) 44. [ Une suite d intégrales ] ( ind ) Prouver que la suite définie par I n = 1 1 dt converge et déterminer sa limite. 1 + t + + t n LLG PCSI 2 Exercices 6 9

4. Indications 1. [ Puissances ] Simple passage à la limite dans les inégalités au a). Au b) et c), remarquer que u n = v n n avec v n = n u n, il ne s agit pas de formes indéterminées. Au d), on a une forme indéterminée. On pourra, par exemple, considérer les suites de la forme u n = (1 + k/n) n. 2. [ Accroissements de limite nulle ] Non, une telle suite peut même diverger vers +. Trouver un cex sous la forme de d une puissance de n. 3. [ Un classique ] En jouant sur le paramètre k, trouver une suite (ε n ) telle que u n ε n pour tout n N et vérifiant ε n n +. 4. [ Irrationnalité de 2 ] Appliquer la formule du binôme et distinguer les indices de sommation selon leur parité (ou bien raisonner par récurrence). Pour le b), considérer u n+1 u n en revenant à la définition epsilonesque de la convergence. Pour le c), raisonner par l absurde en écrivant 2 = p/q, en remarquant que la suite de terme général qu n tend vers et en se souvenant du b). 5. [ Le lemme de l escalier ] Pour le a), appliquer le lemme de Césaro à u n+1 u n. Pour le c), considérer ln(u n ). On trouve que a n 4 et b n 1/e. n + n + 6. [ Variation sur Césaro ] Considérer w n = 2 u 1 + 2u 2 + + nu n n(n + 1) et suivre la même méthode que la preuve du théorème de Césaro. 7. [ A Cesaro-like theorem ] Inspirez-vous de la preuve du théorème de Césaro. 8. [ Grand classique des suites extraites ] Prouver que les deux premières suites sont convergentes de même limite en trouvant pour chacune d elles une suite extraite qui est aussi extraite de la troisième. 9. [ Approximations rationnelles d un irrationnel ] Raisonner par l absurde au c), en supposant que (q n ) ne diverge pas vers +. Même remarque pour ( p n ). LLG PCSI 2 Exercices 6 1

1. [ La série harmonique ] La suite (H n ) étant croissante, elle converge ou diverge vers +. L idée est de prouver par l absurde qu elle diverge vers +. 11. [ Une généralisation ] Exprimer a n+1 et b n+1 en fonction de a n et b n, puis montrez que si l une des deux suites converge, alors l autre aussi. 12. [ Partie fractionnaire de la racine carrée ] Trouver deux suites extraites de ({ n }) convergeant vers des limites différentes. 13. [ Vers Stirling ] Pour des raisons évidentes de simplification, il est adapté de former u n+1 /u n au a). Procéder par récurrence au b) en utilisant la simplification du a) pour l hérédité. Pour le c), remarquer que u 1 = 1/2. 14. [ Suites bornées convexes ou concaves ] Montrer que (u n+1 u n ) converge. Et discuter sur le signe de sa limite. 15. [ Radicaux itérés ] Au b), on note a n = v n ; vérifier que a n+1 = a + a n en notant a la valeur de u n : on est ramené à l étude d une suite récurrente. Au c), noter a un majorant de (u n ) et vérifier que (v n ) est majorée par (a n ). Utiliser le fait qu une suite convergente est majorée. 16. [ Limites supérieure et inférieure d une suite bornée ] Au b), établir que (v n ) est décroissante et (w n ) est croissante. Remarque que (v n w n ) est décroissante au d). 17. [ Un inusable du genre ] Utiliser u n + v n et u n v n. 18. [ Séries de Riemann ] La suite (u n ) est clairement croissante. Un calcul élémentaire aboutit à v n+1 v n = 2np 1 + n p (1 + n) p (1 + n) p n p 1 Montrer que (v n ) décroît en utilisant la formule du biniôme par exemple. 19. [ La constante d Euler ] Utiliser la croissance de l intégrale pour établir que n N, 1 n + 1 ln(n + 1) ln(n) 1 n LLG PCSI 2 Exercices 6 11

2. [ Oldfashioned ] On partira des inégalités suivantes : si < x < y, < x < x y < x + y 2 < y. 21. [ Le critère des séries alternées ] Au a), Vérifier que les suites (u 2n ) et (u 2n+1 ) sont adjacentes. Au c), partir de 1 k + 1 = 1 t k dt 22. [ La suite babylonienne ] La suite est minorée par c et décroissante. 23. [ Une primitive non explicite ] La suite converge vars. 24. [ Étude de quelques systèmes ] Commencez par une étude graphique. 25. [ Une suite déguisée ] Exprimer u n+1 en fonction de u n. 26. [ Une suite définie par u n+1 = f n (u n ) ] au a), remarquer que u n = 1 + u n 1 n n 1 + u n 1 n 1 puis raisonner par récurrence. Au b), encadrer u n grâce au a). On trouve que u n / n 1. Au c), n + remarquer que u n n = n + u n 1 u n 1 n = n + un 1 + n En déduire que u n n 1/2 grâce au b). n + 27. [ Un classique indémodable ] Au a), remarquer que 2 < u 2 k+1 u2 pour tout k N. Au b), utiliser la croissance de l intégrale. Au c), k remarquer que k N, 2 < u 2 k+1 u2 k 2 + 1 u 2 + 2k et déduire du b) un encadrement de u 1. 28. [ Variations sur les récurrences linéaires ] Au b), rechercher une suite (v n ) vérifiant la même relation de récurrence et de la forme v n = an + b. LLG PCSI 2 Exercices 6 12

29. [ Fibonacci party ] Raisonner par exemple par récurrence au b). Il y du télescopage dans l air au c). 3. [ Une équation fonctionnelle ] Soit x R. Considérer la suite définie par u = x et la relation de récurrence u n+1 = f (u n ). 31. [ Deux suites classiques ] Étudier parties réelles et imaginaires de (z n ) au a). Au b), la suite définie par la partie imaginaire de z n est géométrique. La suite (Re(z n )) est bornée et croissante. 32. [ Récurrence couplée ] Considérer la suite définie par z n = a n + ib n. 33. [ Étude d une suite définie implicitement ] Au e), utiliser la question d) avec α/2 au lieu de α. 34. [ Centrale-PSI 21 ] La suite (a n ) est croissante et a n n + 1. 35. [ Centrale-PSI 28 ] Par bijectivité du logarithme de R + sur R, l équation (E n) est équivalente sur R + à x n ln(x) =. La suite (u n ) converge vers 1 et (v n ) diverge vers +. 36. [ Un classique ] Étudier les variations de P n au a). Au c), simplifier P n en utilisant la formule de la série géométrique. 37. [ Avec partie entière ] Écrire la définition de la partie entière à l aide des inégalités. La suite u n tend vers x. La suite (u n ) converge vers x/2. 38. [ Binôme story ] ( ) n On a, pour k n, 1 2 n. k 39. [ Un inusable ] Encadrer u n et en déduire que la suite converge vers 1/3. 4. [ X-PC 212 ] Le théorème d encadrement permet de conclure pour u n ; reconnaître en v n une somme de Riemann ; encadrer w n finement par la méthode des rectangles. LLG PCSI 2 Exercices 6 13

41. [ Binôme, quand tu nous tiens ] Passer sur C. 42. [ Interversion des limites ] Le a) se traite directement par encadrement. Les b) et c) nécessitent un traitement plus subtil. 43. [ Une récurrence double ] Commencer par relire votre formulaire de trigonométrie. On utilisera les formules d addition pour les décompositions suivantes, (n + 2)t = (n + 1)t + t et nt = (n + 1)t t Revoir les suites récurrentes linéaires pour le b). 44. [ Une suite d intégrales ] La formule de la série géométrique et une petite analyse permettent de conjecturer que : I n n + 1 (1 t)dt LLG PCSI 2 Exercices 6 14