Nombres Complexes Exercice 1. [5 pts] Équations On se propose d étudier les solutions de l équation (E) z + 1 = 0 1. Vérifier que pour tout nombre complexe z, on a : z + 1 = (z + 1)(z z + 1). En déduire les solutions de (E). Donner chaque résultat sous forme algébrique puis sous forme exponentielle.. Placer les images A, B et C de ces solutions sur une figure en tenant compte des renseignements suivants : - l affixe a de A est un réel - l affixe b de B est un nombre complexe dont la partie imaginaire est strictement positive. Montrer que ABC est un triangle équilatéral et que O est le centre du cercle circonscrit à ce triangle. Exercice. [5 pts] Forme exponentielle 1. On considère z 1 = e i π, z = e i π z 1 et Z = z a) Mettre sous forme algébrique z 1 et z. b) En déduire la forme algébrique de Z c) Mettre Z sous forme exponentielle : que peut-on en déduire pour le cosinus et le sinus de π 1?. On note z = 1 + i. a) Mettre z sous forme exponentielle. b) En déduire la forme exponentielle puis la forme algébrique de z 01 c) Soit n un entier naturel : pour quelles valeurs de n le nombre z n est réel? Exercice. [10 pts] Lieux Dans le plan rapporté au repère orthonormé (O, u, v ), on note A et B les points d affixes respectives a = i et b = i. On note C le milieu du segment [AB] et M un point quelconque du plan d affixe z = x + iy (x et y réels). On se propose d étudier de deux façons différentes le quotient Z = z b z a 1. Figure. Placer les points A, B et C. Construire le cercle (C) de diamètre [AB]. Construire la droite (AB) puis la droite ( ) médiatrice du segment [AB].. Déterminer l affixe c du point C. Vérifier que si z = 9 i, alors Z est un réel. Vérifier que si z = + i, alors Z est un imaginaire pur.. Déterminer le nombre complexe z qui est tel que Z = i.. Dans cette question, on étudie l expression de Z en fonction des réels x et y : (x + iy) i Z = (x + iy) ( i) 1
Nombres Complexes a) Déterminer la partie réelle puis la partie imaginaire de Z b) En déduire une équation de l ensemble des points M tels que le quotient Z est un réel. Préciser l ensemble obtenu. c) De manière analogue, déterminer l ensemble des points M tels que le quotient Z est un imaginaire pur. 5. Solution géométrique. a) Montrer que Z est le quotient des affixes de deux vecteurs. b) Quelle propriété géométrique est vérifiée par ces vecteurs lorsque Z est réel? lorsque Z est imaginaire pur? c) Retrouver les résultats de la question précédente. 6. Déterminer l ensemble des points M tels que Z est un nombre complexe de module 1.
Exercice 1. Équations 1. On développe : (z + 1)(z z + 1) = z + z z z + z + 1 = z + 1. L équation (E) est donc équivalente à z + 1 = 0 ou z z + 1 = 0. La première équation a une solution z 0 = 1. Le discriminant de la deuxième équation est = ( 1) 1 1 = Elle a donc deux solutions complexes conjuguées : z 1 = 1 i et z = 1 + i L équation (E) a par conséquent trois solutions dans C qui sont z 0, z 1 et z. On peut écrire : z 0 = 1 = cos π + i sin π = e iπ z 1 = 1 ( i = cos π ) ( + i sin π ) = e i π z = 1 ( π ) ( π ) + i = cos + i sin = e i π. Figure v B A O u C. On va calculer les trois côtés de ABC : AB = b a = 1 + i + 1 = + i 9 = + = AC = c a = 1 i + 1 = i 9 = + = CB = b c = 1 + i 1 + i i = = Le triangle ABC est donc équilatéral. On peut alors remarquer que a = b = c = 1, ce qui se traduit par OA = OB = OC = 1. Le point O est donc le centre du cercle circonscrit à ce triangle. Exercice. Forme exponentielle 1. a) Formes algébriques z 1 = cos π + i sin π = 1 + i = 1 + i z = cos π + i sin π + i = + i = b) Calcul de Z sous forme algébrique :
Z = 1 + i i + i i = ( 6 + ) + i( 6 ) c) Calcul de Z sous forme exponentielle : Z = ei π e i π = e i( π π ) = e i 1 π On en déduit : cos π 6 + 1 = Ré(Z) = sin π 6 1 = Im(Z) =. a) Soit r le module de z : 1 r = + 1 = 1 Soit θ un argument de z : cos θ = 1 = sin θ = 1 θ = π + k π = On en déduit z = e i π b) On obtient : z 01 = e i 01π. On écrit alors : 01 = 51 8 + 5, ce qui implique : 01π = 51 π + 5π Un autre argument de z 01 est donc 5π : z 01 = cos 5π + i sin 5π = i c) Le nombre z n a pour argument nπ et ce nombre est un réel lorsque : nπ = kπ où k Z Cette condition est équivalente à n = k : il faut donc que n soit un multiple de. Exercice. Lieux 1. Figure. B O v u C A
. Affixe du point C : c = a + b = Si z = 9 9 9 i : Z = i i 9 i + i = i i = Le nombre Z est alors un réel. Si z = + i : Z = + i i + i + i = i = i Le nombre Z est alors un imaginaire pur.. On cherche maintenant à résoudre pour z i l équation Z = i z i z + i = i z i = iz i 1 (1 i)z = i 1 1 i z = 1 i z = 1 i. a) Calcul de Z sous forme algébrique 1 + i 1 + i Z = = = (x + iy) i (x + iy) ( i) x + i(y 1) (x ) i(y + 1) (x ) + i(y + 1) (x ) i(y + 1) [x(x ) + (y 1)(y + 1)] + i [(x )(y 1) x(y + 1)] (x ) + (y + 1) On en déduit les parties réelle et imaginaire de Z : Ré(Z) = x + y x 1 (x ) + (y + 1) x y + Im(Z) = (x ) + (y + 1) b) Les points M tels que le quotient Z est un réel { ont des coordonnées qui vérifient : x y + = 0 Im(Z) = 0 (x, y) (, 1) On obtient la droite d équation x y + = 0 privée du point de coordonnées (, 1). Cette droite passe par A car x A y A + = 1 + = 0 Elle passe également par B car x B y B + = 0 1 + = 0 L ensemble cherché est donc la droite (AB) privée de A. c) Les points M tels que le quotient Z est un imaginaire { pur ont des coordonnées qui vérifient : x Ré(Z) = 0 + y x 1 = 0 (x, y) (, 1) On obtient le cercle d équation x + y x 1 privé du point de coordonnées (, 1). On peut écrire l équation du cercle sous la forme suivante : ( x ) + y = 1 5
( ) Les coordonnées du centre du cercle sont ; 0 : il s agit du point C. 1 Le rayon de ce cercle est. On peut remarquer que ce cercle passe par A et par B car x + A y x 1 = A A + ( 1) 1 = 0 x + B y x 1 = B B 0 + 1 0 1 = 0 Comme C est le milieu de [AB], l ensemble cherché est le cercle de diamètre [AB] privé du point A. 5. Solution géométrique a) On peut écrire Z = z M z B z M z A = z BM z AM b) Lorsque M A, on sait que Z est réel lorsque Z = 0 ou alors Z 0 et arg Z = kπ De même Z est imaginaire pur lorsque Z = 0 ou alors Z 0 et arg Z = π + kπ c) Le nombre Z est réel lorsque AM et BM sont colinéaires : M décrit la droite (AB). Le nombre Z est imaginaire pur lorsque AM et BM sont orthogonaux : M décrit le cercle de diamètre [AB]. Dans les deux cas, le point A doit être exclu car pour z = a, Z n est pas défini. Dans les deux cas, le point B doit être conservé car pour z = b, on obtient Z = 0 qui est à la fois réel et imaginaire pur. 6. La condition Z = 1 se traduit par BM = 1 BM = AM AM L ensemble cherché est la médiatrice ( ) du segment [AB]. 6