Chapitre 1 Parabole ( ) ( )

Chapitre 1 Parabole Définition 1 (conique en général) Soit (D) une droite fixe, et F est un point n appartenant pas à (D) et e est un nombre réel positif non nul. On appelle conique de foer F, de directrice (D), et d excentricité e MF L ensemble des points M, du plan vérifiant = e où M est le projeté MM' MF orthogonal de M sur (D). «dist M D =e» ( ( )) la droite qui passe par F et perpendiculaire à (D) est appelée l axe focal de la conique. FH = dist F D = paramètre de la conique = p. ( ) ( ) MF = raon vecteur du point M relatif du foer F. Définition (parabole) on appelle parabole, noté par (P). L ensemble des points M, du plan vérifiant la distance de M à F égale la distance de M à (D). MF c est à- dire MF = MM = 1 e = 1. MM' F est appelé le foer de (P).(D) est appelée directrice de (P). la droite qui passe par F et perpendiculaire à (D) est appelée l axe focal de (P). 1

Exemple 1 : Soit un cercle de centre M variable passant par un point fixe A. et tangent à une droite fixe (D). quel est le lieu géométrique de M. Solution : d(m ; (D) ) = raon et d(m ;A) = raon. alors M est équidistant d un point fixe A, et d une droite fixe (D) Par suite le lieu géométrique du point M est une parabole de foer A et de directrice (D). Rappel : si (D) une droite d équation ax +b + c =, alors la distance a x M+ b M+ c d(m (D)) = a + b Exemple Dans un repère orthonormé direct ( O,i,j) F( 1; ) et (D) : =. Déterminer l équation de (P). soit M (x ;) (P), MF = d(m MF = 1-x + x +, d(m (D)) = -4 + 4 1 1 3 par suite l équation de (P) est : =- x + x +. 4 4 Application 1 Dans un repère orthonormé direct ( O,i,j), on donne le point (D)) MF = d(m (D)), on donne le point F( 1; ) et (D) : = x+1. Déterminer l équation de (P),de foer F et de directrice (D). Équation de la parabole si le repère n est pas donné. 1 ère cas : figure 1 Prenons ( ) l axe focal de (P), orienté positivement de H vers F où H est le projeté orthogonal de F sur (D). et (x x) est la médiatrice de [HF] on pose O est le milieu de [HF]. et HF = p.

p donc O est l origine O( ;), F ;, (D): = - p. soit M est un point de (P). alors MF = d, MF p p p = x + p +, d = + = + p + 4 4 1 alors x = p ou = x p Conclusion : directrice (D) : = - p x = p est une équation d une parabole de foer F. de sommet O, et d axe focal ( ), orienté p ;, et de Positivement de H vers F. F x x O H (D) Figure 1 Remarque : 1) le sommet de (P) est le milieu de [HF]. ) L axe focal de (P) est un axe de smétrie de (P). 3) L axe focal de (P) est la direction asmptotique de (P). 4) F est un point à l intérieur de (P). Exemple 3 Écrire l équation de (P) de foer F (;) et directrice (D): = - L axe focal de (P) est ', orienté positivement de H vers F, et O est 3

le milieu de [HF], donc l équation de (P) est Alors (P) : x = 8 x = p avec p =FH = 4 Exemple 4 1 Déterminer le foer et la directrice de (P) d équation : = x 4 1 = x x = 4 alors p =, c est l équation d une parabole de sommet O 4 p d axe focal ', de foer F( ; ), F( ; 1) et de directrice (D): = - p = - 1 ème cas : figure Prenons ( ) l axe focal de (P), orienté positivement de F vers H où H est le projeté orthogonal de F sur (D). et (x x) est la médiatrice de [HF] on pose O est le milieu de [HF]. et HF = p. p donc O est l origine O( ;), F ;, (D): = p. Soit M est un point de (P). alors MF = d, alors x = p Conclusion x directrice (D) : = p = p est une équation d une parabole de foer. de sommet O, et d axe focal ( ), orienté p ;, et de Positivement de F vers H. x H F O (D) x Figure 4

3 ème cas : figure 3 Prenons (x x) l axe focal de (P), orienté positivement de H vers F où H est le projeté orthogonal de F sur (D). et ( ) est la médiatrice de [HF] on pose O est le milieu de [HF]. et HF = p. p donc O est l origine O( ;), F ;, (D): x = - p. Soit M est un point de (P). alors MF = d, alors Conclusion : directrice (D) : x= - p = + = = px = px est une équation d une parabole de foer F. de sommet O, et d axe focal (x x), orienté px px p ;, et de Positivement de H vers F. (D) = + px x H O F x = px figure 3 5

4 ème cas : figure 4 Prenons (x x) l axe focal de (P), orienté positivement de F vers H où H est le projeté orthogonal de F sur (D). et ( ) est la médiatrice de [HF] on pose O est le milieu de [HF]. et HF = p. p donc O est l origine O( ;), F ;, (D): x = p. Soit M est un point de (P). alors MF = d, alors Conclusion = + px = = px p ; px = px est une équation d une parabole de foer F de directrice (D): x= p. de sommet O, et d axe focal (x x), orienté Positivement de F vers H., et (D) x F O H x Figure 4 6

Exemple 5 Déterminer le foer et la directrice de (P) d équation = -8x. L équation de (P) sous la forme = px avec -p = -8, p = 4 p c est une équation d une parabole de foer F ;, et de directrice (D): x= p de sommet O, et d axe focal (x x), orienté Positivement de F vers H. alors F( -;) et (D): x = Rappel : formule changement du repère ou translation d axes du repère avec O'(a;b) ( O;i,j) ( O';i,j) ( x;) ( X;Y ) alors x = X + a = Y + b X = x - a ou Y = - b Attention : les courbes des équations respectives = px et x = p sont smétriques par rapport à la première bissectrice «= x» Exercice 1 Déterminer le foer et la directrice de (P) d équation = x -x +3 = x -x +3 ( x-1 ) X = x -1 = -, on pose Y = - On obtient X = Y c est l équation réduite d une parabole «dans le nouveau repère (XO Y) avec O ( 1 ;)» p de foer F ;, et de directrice (D): Y = - p. de sommet O, et d axe focal (Y Y). 1 X = Y p = 1, p = par suite F 1 ; 4 et (D): Y= 1 4 7

Il faut déterminer le foer et la directrice dans le repère xo. X = x -1 Pour cela en utilisant la formule, Y = - 9 F 1; 4, et (D): = 7 dans le repère xo 4 Exercice 1) écrire l équation d une parabole de foer F(1,-1) de directrice (D): = 3. ) écrire l équation d une parabole de foer F(, ) et de sommet O. 3) Déterminer le foer et la directrice de (P) d équation = -x +4. 4) Déterminer le foer et la directrice de (P) d équation + x + -1 =. 5) soit F ( 1 ; ) et (D) : = x +. a. calculer le paramètre p de (P). b. Déterminer le sommet J de (P). c. déterminer l équation de (P), dans le repère orthogonal ( ) 1. MF = d x x + 8 7 =. J,u,v où u = HF.. puisque F est le foer et O est le sommet alors (OF) est l axe focal,par suite (x x) est l axe focal,donc l équation de (P) sous la forme = px. p avec xf =, alors p = 4, donc (P): = 8x. X = x - 3. = ( x ), on pose On obtient Y = -X est une équation d une Y = parabole «dans le nouveau repère (XO Y) avec O ( ;)» p de foer F ;, et de directrice (D): X= p. de sommet O, et d axe focal (X X). 1 Y = -X p =, p = 1 par suite F ; et (D): X= 1 Il faut déterminer le foer et la directrice dans le repère xo. 8

X = x - Pour cela en utilisant la formule, Y = F 3 ;, et (D): x= 5 dans le repère xo X = x - 4. + x + -1 = ( + 1) = ( x ) on pose On obtient Y = -X est Y = +1 une équation d une parabole «dans le nouveau repère (XO Y) avec O ( ;-1)» p de foer F ;, et de directrice (D): X= p. de sommet O, et d axe focal (X X). 1 Y = -X p = 1, p = par suite F 1 ; 4 et (D): X= 1 4 Il faut déterminer le foer et la directrice dans le repère xo. X = x - Pour cela en utilisant la formule, Y = +1 F 7 ; 1 4, et (D): x= 9 dans le repère xo. 4 5. a) p =FH = dist ( F» (D)) = 3. b) il faut déterminer les coordonnées de H, puis J est le milieu de [HF] 1 3 H ; et 1 3 J ; 4 4. c) v = pu v = 3 u. Équation de la tangente en A ( x ; ) à (P) d équation = px Soit A (P),(T) la tangente en A à (P). m x x L équation de (T) est : = ( ). or A (P) donc ( ) il faut déterminer. ( ) ( ) = px ' = px ' ' = p ' = p p p m ' xa = x x p Alors = ( ) = =. donc (T): ( ) A m = ' x A. p = ( x x ) = px px or A (P) donc = px 9

p px = px px = p x + x = x + x ( ) ( ) Conclusion : l équation de la tangente en A ( x ; ) à ( P ) p = +. d équation = px est (T): ( x x ) Définition 3 : ( sous tangente) (T) coupe l axe focal en I, et A le projeté orthogonal de A sur l axe focal. A I est appelée sous tangente en A à (P). (D) A (T) x I H O F A x Théorème 1 le sommet de (P),est le milieu de la sous tangente Démonstration : { I } = (T) ( x' x) alors I =. p x I + x = x I + x = I x ;, or A ( x ; ) par suite O est donc ( ) ( ) le milieu de [A I]. Définition 4 On appelle la normale en A à (P), la droite (N) perpendiculaire en à (P). 1

Équation de la normale (N) en A ( x ; ) à (P) d équation = px = ( ) or (N) (T). m' x x Donc pente de (N) pente de (T) = - 1. par suite m' = p Conclusion l équation de la normale en A ( x ; ) à ( P ) =. p d équation = px est (N): ( x x ) Définition 5 : ( sous normale) (N) coupe l axe focal en J, et A le projeté orthogonal de A sur l axe focal. A J est appelée sous normale en A à (P). Théorème la sous normale en A à (P), est égale au paramètre de (P) C est à- dire A J = p. Démonstration : { J } = (N) ( x' x) alors J =. donc xj x = p. Théorème 3 (de poncelet): 1) la tangente en A à la parabole (P), est la bissectrice intérieure de l angle ˆ FAK où K est le projeté orthogonal de A sur la directrice (D). ) la tangente en A à la parabole (P), est la médiatrice du segment [FK]. 3) la normale en A à la parabole (P), est la bissectrice extérieure de l angle ˆ FAK 11

Démonstration La tangente à la parabole coupe ( ) au point G 1 ; A p p Or K ; A et F ;, par vérification G est le milieu du segment [FK]. Or le triangle KAF est isocèle en A, par suite (AG) est à la fois médiatrice médiane hauteur bissectrice. Donc la tangente en A à la parabole (P), est la bissectrice intérieure de l anglefak. ˆ Exercice 3 juin 4 (.5 points) Dans le plan rapporté à un repère orthonormé( O,i,j) on donne les paraboles (P) et (P ) d équations respectives = x 1 et x = - 1. ( unité 3 cm). 1. déterminer le sommet, le foer et la directrice de chacune de ces deux paraboles.. vérifier que le point A (1 ;1) est commun à (P) et (P ) et démontrer que (OA) est une tangente commune aux deux paraboles. 3. démontrer que la perpendiculaire (d) en O à (OA) est une tangente commune à (P) et (P ). 4. tracer (d), (P) et (P ). 5. L aire du domaine limite par (P), l axe des abscisses et la droite d équation x = 1vaut 3 cm. Déduire l aire, en cm, du domaine limite par (P), (P ), l axe des abscisses et l axe des ordonnées. 1 1 1. = x 1 = x- X = x - on pose On obtient Y = X est une Y = équation d une parabole «dans le nouveau repère (XO Y) avec O (½ ;)» p de foer F ;, et de directrice (D): X= - p. de sommet O, et d axe focal (X X). 1 Y = X p =, p = 1 par suite F ; et (D): X= -1 1

Il faut déterminer le foer et la directrice dans le repère xo. 1 X = x - Pour cela en utilisant la formule, Y = 1;, et (D): x= dans le repère xo F( ) même démarche, on obtient : (P ) de sommet S (, ½) de foer F ( ;1) et de directrice (x x).. les coordonnées de A vérifient les équations de (P) et (P ), donc A est un point commun à ces paraboles. 1 ère méthode : (OA) : = x ( ) ( ) ( ) OA P : x = x 1 x 1 =, x' =x'' = 1 (racine double) (OA) est tangente à (P) en A. ( ) ( ) ( ) OA P' : = 1 1 =, ' ='' = 1 (racine double) (OA) est tangente à (P ) en A. ème méthode : OFAF est un carré alors [AO) est une bissectrice intérieure de l angle FAF' ˆ avec F est le projeté orthogonal de A sur la directrice de (P) d après le théorème de poncelet (OA) est la tangente à (P) en A. De même (OA) est la tangente à (P ) en A. 3 ème méthode : 1 ' =, ' = et ' A = 1 L'equation de la tangente ( ) en A à (P) est - 1 = 1 x-1 ; = x c'est (OA) De même pour (P') 3. 1 ère méthode : (d) : = - x ( ) ( ) ( ) d P : x = x 1 x 1 =, x' =x'' = 1 (racine double) (d) est tangente à (P) en A (1 ;-1). ( ) ( ) ( ) d P' : = 1 1 =, ' ='' = 1 (racine double) (d) est tangente à (P ) en A (-1 ;1). ème méthode : (d) est la smétrique de (OA) par rapport à l axe focal (axe de smétrie) de (P). donc (d) est une tangente à (P). de même (d) est smétrique de (OA) par rapport à l axe focal ( ) de (P ). 5. S est l aire demandée l aire limitée par (P), (x x) et la droite x= 1 est égale à l aire limitée par (P ),( ) et la droite = 1. 13

S = ( L aire du carré OFAF ). 3 = 9 6 = 3 cm. Exercice 4 Soit (P) une parabole d équation : = x 4x + 3. Écrire les équations des tangentes menées de A ( ;-1) à (P). équation de tangente est à la forme (T) : ( ) = m x x = mx 1. or (T) coupe (P) en seul point. donc l équation (T) = (P) admet une racine double, c est à- dire =. = x 4 + m x + 4 = (T) (P) ( ) = m = ou m = -8. si m = alors (T1): = - 1, si m = - 8 alors (T): = -8x- 1. A A Exercice 5 Dans le plan rapporté à un repère orthonormé( O,i,j) d équation = 4x. on donne la parabole (P) a. Déterminer, le paramètre, le foer et la directrice de (P). b. trouver une équation de la tangente et une équation de la normale au point M ( 3; 3 ) de (P). c. soit L le projeté orthogonal de M sur (x Ox). (x Ox) coupe la tangente et la normale en M à (P) en T et N respectivement. comparez OT et OL et calculez LN. d. soit A(-1 ;1),Écrire les équations des tangentes menées de A à (P). e. montrer que les tangentes précédentes sont perpendiculaires. a. = 4x sous la forme = px c est une équation d une parabole de p foer F ;, et de directrice (D): x= - p. de sommet O, et d axe focal (x x) = 4x p = 4 p = alors F(1; ), et (D): x = -1. b. M est un point de (P),Par vérification. 14

3 alors ( T ) : = x + 3 et ( N ) : = - 3x + 5 3. 3 c. 1 ère méthode : TL est la sous tangente en M à (P). alors le sommet de (P) qui est O est le milieu de [TL], donc OT = OL. ème méthode : T(-3 ;) et (ML) (x x) alors xl = xm = 3 or L( 3;) par suite O est le milieu de [TL]. On va calculer LN : 1 ère méthode : LN est la sous normale en M à (P),donc LN=paramètre =. ème méthode : N( 5 ;) donc LN= xn-xl =. d. équation de tangente est à la forme (T) : ( ) = m x x = mx + m + 1. m 1 mx m 1 x = = + + m ( T ) ( P) m 4 + 4m + 4 = = 4x x = 4 1 5 1+ 5 = 4m 4m + 4 = m 1 = ou m = 1 5 1 5 1 5 si m = alors (T 1) : = x + +1 1+ 5 1+ 5 1+ 5 si m = alors (T ) : = x + +1 1 5 1+ 5 e. m 1 m = =-1. A A Attention: pour tout point de la directrice on peut mener deux tangentes à (P) perpendiculaires. Exercice 6 BAC Soit (P) la parabole de foer O (origine du repère) et de directrice la droite D équation x + 1=, on désigne par A et B les points d intersections de (P) avec l axe des ordonnées ( ). a. soit M un point de (P) d abscisse positive et H son projeté orthogonal sur ( ). Démontrer que MO MH = 1. Déduisez en que le cercle de centre M et de raon MH est tangent au cercle de diamètre [AB]. b. trouver l équation de (P). c. une droite variable (d) passant par O coupe (P) en E et F. Démontrer que le milieu de [EF] appartient à une parabole fixe. 15

a. (D): x= - 1 donc (D)//( ), or (MH) ( ) en H,donc(MH) (D) en K. alors MK = d(m..»(p) ), or M (P) donc MO= MK. MO = MH + HK, MO MH =HK. or Oˆ = Hˆ = Kˆ = 9. donc OHKK est un rectangle par suite HK = OK = 1 alors MO MH = 1. A (P) donc AO = AA = 1. B (P) donc BO = BB = 1. alors le cercle de diamètre [AB] est le cercle de centre O, et de raon R = 1. or MO = MH + 1, MO = R + R alors les deux cercles sont tangents extérieurement b. MO = d x + = x + x + 1 = x + 1. Exercice : 7 juin 3 (3points) Soit un rectangle ABCD de centre O tel que AB = cm et AD = 4 cm. F et H sont les milieux respectifs de [BC] et [AD]. on désigne par (P) la parabole de foer F et de directrice (AD). A) 1. Déterminer le sommet de (P).. démontrer que (HC) est la tangente en C à (P). 3. soit L le smétrique de H par rapport à F. Que représente la droite (BL) par rapport à (P)? Justifier la réponse. B) le plan est rapporté au repère orthonormé direct ( O;i,j) tel quei = OF. 1. écrire une équation de (P).tracer (P).. la tangente en M ( ; ) à (P) coupe la droite (OF) ent. Déterminer la longueur OT. 3. calculer l aire du domaine ( δ ) limité par la parabole (P) et la droite (BC). 4. calculer le volume du solide engendré par la rotation de ( δ ) autour de (OF). A) 1. (FH) est un axe focal de (P). par suite le milieu de [FH]est le sommet 16

donc O est le sommet de (P).. C est un point de (P), et (HC) est la médiatrice de [FD]. 3. (BH) est la smétrique de (HC) par rapport à l axe focal de (P) alors (BH) est une tangente à (P) au point B. (BL) perpendiculaire à (BH) donc (BL) est la normal de (P) au point B. B) 1. ( P ): = px = 4x. 1. équation de la tangente est : = ( x ) + alors T(-; ) donc OT = cm. 1 8 3. A = xdx = u. 3 4. 1 1 3. V = π dx = π 4xdx = πu 17