Limites et fonctions continues

Exercices 6 Limites et fonctions continues Extension de la notion de limite aux fonctions. Étude des propriétés locales et globales des fonctions continues sur un intervalle. 6 Limites et fonctions continues......................................................... 1 1 Limite d une fonction en un point.................................................. 2 2 Fonctions continues............................................................... 2 3 Image continue d un intervalle..................................................... 4 4 Points fixes........................................................................ 6 5 Équations fonctionnelles........................................................... 6 6 Indications........................................................................ 8

Les difficultés sont échelonnées de la manière suivante : aucune,,, et. Certains énoncés sont tirés des annales des concours (oral et écrit) ; leur provenance est le plus souvent précisée. Les exercices notés et sont particulièrement délicats. 1. Limite d une fonction en un point 1. [ Autour de la partie entière ] ( ind ) 1 1. Déterminer les limites en 0 et + de x. x 2. Déterminer la limite en + de x x. 3. Montrer que x x n admet pas de limite en +. x x 2. [ La fonction de Pringsheim ] ( ind ) Soit x R. Justifier l existence et calculer lim n + 3. [ Théorème de Césaro fonctionnel ] ( ind ) lim m + cos(n!πx) m. f (x) Soit f : R + R + croissante telle que f (x) f (x 1) 0. Montrer que x + x 0. x + 2. Fonctions continues 4. [ Académique ] ( ind ) Étudier la continuité sur R de la fonction f définie par x Q f (x) = 1 x, x Q f (x) = x. 5. [ Partie entière ] ( ind ) Étudier la continuité sur R puis représenter les graphes des fonctions définies par : 1. x x + x x ; 2. x f (x) = x sin(πx) ; 3. x x + (x x ) 2. 6. [ Fonction croissante surjective ] ( ind ) Soit f une fonction croissante définie sur [a, b], qui prend au moins une fois toute valeur comprise entre f (a) et f (b). Montrer que f est continue en tout point de [a,b]. LLG PCSI 2 Exercices 6 2

7. [ Non injectivité et limites aux bords ] ( ind ) Soit f une fonction définie et continue sur I =]a,b[ telle que : lim f (x) = lim f (x) x a x b les limites étant réelles ou infinies. Montrer que f n est pas injective. 8. [ Fonctions monotones ] ( ind ) Soit f :]0,+ [ R telle que : 1. f est croissante ; Établir que f est continue. 2. x > 0 f (x) x est décroissante. 9. [ Fonction définie par une intégrale ] ( ind ) Soit φ : [0,1] R continue. Montrer que f : x 10. [ Enveloppe ] ( ind ) 1 0 x φ(t) dt est continue. Soient f et g deux applications continues sur I = [a,b]. On définie une application ϕ sur R par : ( ) ϕ(x) = sup f (t) + xg (t) t I Montrer que ϕ est continue sur R. 11. [ Théorème de Césaro fonctionnel ] ( ind ) Soit f : [0,+ [ R continue. On suppose que f (t + 1) f (t) t + 0. 1. Montrer que f (t) t 0. x + 2. Est-ce que la conclusion reste valable si on prend pour hypothèse f (t + 2) f (t) 0? t + 3. La réciproque est-elle vraie? 4. Soit l R. Montrer qu on peut généraliser le résultat de la manière suivante : f (t) f (t + 1) f (t) l = t + t l t + 12. [ Un théorème d inversion ] ( ind ) 1. Soit f, une application continue et injective du segment [a,b] dans R. On suppose que f (a) < f (b). Montrer que f est strictement croissante. 2. Soit f, une application continue et injective, définie sur un intervalle ouvert I et à valeurs réelles. En utilisant le résultat de la question précédente, démontrer que f est strictement monotone. LLG PCSI 2 Exercices 6 3

3. Soit f : R R continue. On suppose qu il existe un réel a > 0 tel que (x, y) R 2, f (x) f (y) a x y Démontrer que f est bijective et que la bijection réciproque est continue sur R. 13. [ Mines-Ponts PSI-2014 ] ( ind ) Soient M l ensemble des parties non vides minorées de R et f : R R. 1. Montrer que f est croissante si et seulement si P M, inf f (P) f (infp). 2. Montrer que f est croissante et continue à droite si et seulement si P M, inf f (P) = f (infp). 14. [ Continuité du maximum sur intervalle variable ] ( ind ) Soit f : R + R continue. Montrer que ψ : R + sup f (t) est continue sur R +. t [0,x] 3. Image continue d un intervalle 15. [ Un gramme de finesse ] ( ind ) Soit f : R R continue telle que f (R) Q. Etablir que f est constante. 16. [ Fonctions continues et périodiques ] ( ind ) Soit f : R R continue et périodique de période T > 0. Démontrer que t 0, f (t 0 ) = f ( t 0 + T ). 2 17. [ Sous la diagonale ] ( ind ) Soit f, une application continue de R + dans R +, telle que f (x) < x pour tout x > 0. 1. Démontrer que f (0) = 0. 2. Soient a et b, deux réels tels que 0 < a < b. Démontrer l existence d un réel 0 M < 1 tel que x [a,b], f (x) Mx 18. [ Fonctions continues de limite finie en + ] ( ind ) Soit A R et f : [A,+ [ R une fonction continue. 1. On suppose que f (x) +. Montrer que f est minorée sur [A,+ [ et qu elle atteint sa borne inférieure. x + 2. On suppose que f (x) l R. Montrer que f est bornée sur [A,+ [. x + LLG PCSI 2 Exercices 6 4

19. [ Moyennes arithmétiques ] ( ind ) Soient f : [0,1] R une application continue, n N et x 1,..., x n [0,1]. Montrer qu il existe x R tel que f (x) = 1 n f (x k ) n k=1 20. [ Le marcheur ] ( ind ) Un marcheur parcourt continuement 12 km en une heure. Montrer qu il existe un intervalle d une demi-heure pendant lequel il parcourt exactement 6 km. 21. [ Fonctions continues qui commutent, X-PC 1994 ] ( ind ) Soient f et g dans C 0 ([a,b],[a,b]) deux applications continues telles que f g = g f. On note f n et g n leurs n-ièmes itérées. 1. On suppose que f > g. a. Montrer qu il existe K > 0 tel que x [a,b], f (x) K + g (x). b. Établir que n N, x [a,b], f n (x) nk + g n (x). 2. Montrer qu il existe c [0, 1] tel que f (c) = g (c). 22. [ X-PC 2009 ] ( ind ) Soit f C 0 (R +,R). On suppose que f est surjective. Montrer que l ensemble des zéros de f est infini. 23. [ Il pleut des cordes ] ( ind ) Soit f une fonction de [0,1] dans R. On dit qu un réel c > 0 est une corde de f s il existe t [0,1 c] tel que f (t + c) = f (t). Si c est une corde de la fonction f et si t est le point donné par la définition, alors le segment horizontal joignant les points (t, f (t)) et (t +c, f (t +c)) a ses deux extrémités sur le graphe et sa longueur est c. 1. Soient n un entier naturel non nul et f : [0,1] R une fonction continue vérifiant f (0) = f (1). Prouver que 1/n est une corde de f. 2. Disons maintenant qu un réel c > 0 est une corde universelle si c est une corde pour toute fonction f de [0,1] dans R, continue sur [0,1] et vérifiant f (0) = f (1). D après la question précédente, les inverses des entiers naturels non nuls sont donc des cordes universelles. La question est maintenant de savoir s il existe d autres cordes universelles que les inverses des entiers positifs. Soit c un réel strictement positif qui n est pas l inverse d un entier naturel non nul. On considère la fonction f définie sur [0,1] par f (t) = t sin2 (πt/c) sin 2 (π/c). a. Montrer que la fonction f est continue, et qu elle vérifie f (0) = f (1). b. Justifier que l équation f (t + c) = f (t) n a aucune solution dans [0,1 c]. c. Déterminer toutes les cordes universelles. LLG PCSI 2 Exercices 6 5

24. [ Une autre preuve du théorème des valeurs intermédiaires ] ( ind ) Soient (a,b) R 2 tel que a b et f : [a,b] R continue telle que f (a) > 0 et f (b) < 0. On pose E = { x [a,b]; f (x) > 0 }. 1. Justifier l existence de c := sup(e). 2. Prouver que f (c) 0. 3. Démontrer que c < b puis établir que f (c) = 0. 4. Points fixes 25. [ Point fixe ] ( ind ) Soit f : [0,1] R telle que 1 0 f (t)dt = 1. Démontrer qu il existe c [0,1] tel que f (c) = c. 2 26. [ Point fixe de f f ] ( ind ) Soit f : R R continue telle que f f admette un point fixe. La fonction f admet-elle un point fixe? 5. Équations fonctionnelles 27. [ Variations géométriques I ] ( ind ) Déterminer les fonctions f : R R continues telles que a R \ { 1,1}, x R, f (ax) = f (x). 28. [ Variations géométriques II ] ( ind ) Déterminer les fonctions f : R R continues telles que n N, x R, f (x n ) = f (x). 29. [ Les classiques ] ( ind ) 1. Trouver les fonctions f continues sur R telles que (x, y) R 2, f (x + y) = f (x) + f (y). 2. En déduire les fonctions g : R R continues telles que ( x + y ) (x, y) R 2, 2g = g (x) + g (y) 2 3. Déduire du a) les fonctions h continues sur R telle que (x, y) R 2,h(x + y) = h(x) + h(y) + x y. LLG PCSI 2 Exercices 6 6

30. [ De sommes en produits, X-PC 2013 ] ( ind ) Déterminer les fonctions f : R R continues telles que (x, y) R 2, f (x + y) = f (x)f (y). 31. [ Equation f f = id ] ( ind ) Soit f : [0,1] [0,1] continue telle que f f = id [0,1] et f (0) = 0. 1. Etablir que f est strictement croissante. 2. En déduire que f = id [0,1]. 32. [ Equation f f = f ] ( ind ) Déterminer les fonctions f : [0, 1] [0, 1] continues telles que f f = f. 33. [ Une équation fonctionnelle, X-PC 2009 ] ( ind ) 1. Déterminer les f C 0 (R,R) telles que x R, (f f )(x) = f (x) + 1. 2. Donner un exemple de fonction non continue vérifiant l équation fonctionnelle du a). 34. [ Une équation fonctionnelle, X-PC 2010 ] ( ind ) Soit a R tel que a 1. Déterminer les fonctions f : R R continues en 0 telles que x R, f (x) f (ax) = x 35. [ Une équation fonctionnelle, X-PC 2001 ] ( ind ) Trouver les fonctions f continues de R dans R telles que (x, y) R 2, f ( x 2 + f (y) ) = y + f (x) 2. LLG PCSI 2 Exercices 6 7

6. Indications 1. [ Autour de la partie entière ] Utiliser le critère séquentiel au 3). 2. [ La fonction de Pringsheim ] Notons f (x) cette limite. Commencer par étudier le cas où x Q. On trouve que f = χ Q (fonction indicatrice de Q), ie f (x) = 1 si x Q et f (x) = 0 sinon. 3. [ Théorème de Césaro fonctionnel ] Deux pistes : appliquer Césaro à ( f (n) f (n 1) ) et encadrer f (x) au moyen de la partie entière ; adapter la preuve du théorème de Césaro séquentiel au cas d une fonction. 4. [ Académique ] La fonction est continue en 1, discontinue en tout autre point de R. On pourra utiliser le critère séquentiel ainsi que la densité de Q et R \Q dans 2 R. 5. [ Partie entière ] La fonction est continue sur R. 6. [ Fonction croissante surjective ] D après le théorème de la limite monotone, f admet en tout point x 0 de ]a,b[ une limite à droite et une limite à gauche. Prouver par l absurde que les deux sont égales à f (x 0 ). Puis traiter les cas x 0 = a et x 0 = b. Remarque : on peut également faire de l epsilonométrie. 7. [ Non injectivité et limites aux bords ] Prolonger f par continuité en a et b puis appliquer le TVI entre (a + b)/2 et a puis (a + b)/2 et b. 8. [ Fonctions monotones ] Passer par les limites à gauche et à droite. 9. [ Fonction définie par une intégrale ] Montrer que la fonction est lipschitzienne. LLG PCSI 2 Exercices 6 8

10. [ Enveloppe ] On montrera que ϕ est lipschitzienne. 11. [ Théorème de Césaro fonctionnel ] Reprendre la preuve du théorème de Césaro. Pour t R et n 0 N tels que t n 0, on a f (t) f (t n 0 ) = n 0 1 k=0 ( f (t k) f (t k 1) ) 12. [ Un théorème d inversion ] Au a), raisonner par l absurde en appliquant le théorème des valeurs intermédaires. Au c), remarquer que f est injective. 13. [ Mines-Ponts PSI-2014 ] Au 1), pour le sens non trivial, considérer pour x < y la paire P := {x, y}. Au 2), considérer une suite minimisante pour le sens ( = ). Epsilonométrie ou critère séquentiel pour la réciproque. 14. [ Continuité du maximum sur intervalle variable ] Remarquer que ψ est croissante. Distinguer les cas f (x 0 ) = ψ(x 0 ) et f (x 0 ) ψ(x 0 ). 15. [ Un gramme de finesse ] Appliquer le TVI, bien-sûr. 16. [ Fonctions continues et périodiques ] On considérera t f (t) f (t + T/2). 17. [ Sous la diagonale ] Au b), considérer la fonction x f (x) x 18. [ Fonctions continues de limite finie en + ] Se ramener au théorème de Weierstrass. 19. [ Moyennes arithmétiques ] Quitte à permuter les x i, ce qui ne change pas la moyenne des f (x i ), vous pouvez supposer que l on a f (x 1 ) f (x 2 ) f (x n ). LLG PCSI 2 Exercices 6 9

20. [ Le marcheur ] Noter t d(t) la fonction «distance parcourue». Considerer f (t) = d(t + 1/2) d(t). 21. [ Fonctions continues qui commutent, X-PC 1994 ] au a), onsidérer K := min(f g ) puis raisonner par récurrence sur n. Raisonner par l absurde au b). 22. [ X-PC 2009 ] Raisonner par l absurde. 23. [ Il pleut des cordes ] Pour t [0,1 1/n], poser g (t) = f (t + 1/n) f (t). Vérifier que ( ) n 1 g (0) + g (1/n) + g (2/n) + + g = 0. n 24. [ Une autre preuve du théorème des valeurs intermédiaires ] Raisonner par l absurde au 3. 25. [ Point fixe ] Considérer t g (t) = f (t) t. 26. [ Point fixe de f f ] Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires entre a et f (a). 27. [ Variations géométriques I ] Utiliser le critère séquentiel et (a n x) n 0. Distinguer les cas a > 1 et a < 1. 28. [ Variations géométriques II ] ( ) Utiliser le critère séquentiel et x nk. k 0 29. [ Les classiques ] Prouver que f (r ) = r f (1) pour tout rationnel r et conclure par un argument de densité. Aux b) et c), se ramener au a) par changement de fonction. LLG PCSI 2 Exercices 6 10

30. [ De sommes en produits, X-PC 2013 ] Nécessairement f (0) = 0 ou 1. Vérifier que f (0) = 0 entraîne f = 0. Si f (1) = 1, vérifier que f > 0 puis se ramener à l équation fonctionnelle g (x + y) = g (x) + g (y). 31. [ Equation f f = id ] Raisonnement par l absurde. 32. [ Equation f f = f ] Reconnaître f sur f ([0,1]). 33. [ Une équation fonctionnelle, X-PC 2009 ] Que dire de I := f (R) et de f sur I? 34. [ Une équation fonctionnelle, X-PC 2010 ] Commencer par le cas où a < 1. Il y a du télescopage dans l air. 35. [ Une équation fonctionnelle, X-PC 2001 ] Montrer qu une solution f est nécessairement bijective, impaire et strictement croissante. Déduire de la relation f f = id que f = id. LLG PCSI 2 Exercices 6 11