Lycée Paul oumer 013-014 TS1 ours Vecteurs et droites dans l espace ontents 1 aractérisations vectorielles 1 1.1 Vecteurs de l espace.................................. 1 1. aractérisations vectorielles d une droite, d un plan................ 1.3 écomposition de vecteurs.............................. 3 1.3.1 Vecteurs coplanaires............................. 3 1.3. Vecteurs non coplanaires........................... 4 Repères de l espace 5.1 oordonnées d un point............................... 5. Représentation paramétrique d une droite..................... 6.3 Représentation paramétrique d un plan....................... 6 1 aractérisations vectorielles 1.1 Vecteurs de l espace On étend à l espace la notion de vecteur définie dans le plan, aisni que les opérations associées : multiplication par un réel, somme de deu vecteurs. éfinition : Multiplication par un réel Soit λ un réel et un vecteur non nul =. On définit le vecteur λ par λ =, où est le point d abscisse λ dans le repère, ) de la droite ). e plus, pour tout réel λ, on pose λ 0 = 0 λ = λ = 3 Remarque On dit que les vecteurs et λ sont colinéaires. 1
éfinition : Somme de deu vecteurs Pour tout vecteurs et de l espace, on définit le vecteur + comme la somme vectorielle de leurs représentants repsectifs et F dans un même plan. + On a donc : + v = EF + F = E H G E F Remarque es définitions ne dépendent pas des représentants choisis pour les vecteurs. 1. aractérisations vectorielles d une droite, d un plan Propriété : aractérisation d une droite Soit un point de l espace et un vecteur non nul. L ensemble des points M de l espace tels que M =, où R, est la droite ), avec =. On dit que est un vecteur directeur de la droite ). Propriété : aractérisation d un plan Soit un point de l espace, et deu vecteurs non colinéaires de l espace. L ensemble des points M de l espace tels que M = + y où R et y R, est le plan ), où = et =. y M M Remarque : On dit alors que et dirigent le plan ), qui admet pour repère,, ).
onséquences eu droites sont parallèles si, et seulement si, leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. eu plans ayant même couple de vecteurs directeurs sont parallèles. Une droite d et un plan P sont parallèles si, et seulement si, un vecteur directeur de d est un vecteur de P. 1.3 écomposition de vecteurs 1.3.1 Vecteurs coplanaires éfinition On dit que trois vecteurs, et w de l espace sont coplanaires lorsqu il eiste quatre points,, et appartenant à un même plan et tels que : = = et w = w Propriété Soient, et w trois vecteurs de l espace, tels que et pas colinéaires. ne soient Les vecteurs, et w sont coplanaires si, et seulement si, il eiste deu réels et y tels que : w = + y Remarque : Si trois vecteurs sont non coplanaires, aucun des trois ne peut se décomposer en fonction des deu autres. 3
1.3. Vecteurs non coplanaires Propriété Soient, et w trois vecteurs de l espace non coplanaires. lors pour tout vecteur t de l espace, il eiste un unique trioplet ; y; z) de réels tel que t = + y + z w Remarque : On dit que l on a décomposé le vecteur t en fonction des vecteurs, et w. z M t w y H 4
Repères de l espace.1 oordonnées d un point éfinition et théorème Soit O un point de l espace et i, j et k trois vecteurs non coplanaires de l esapce. Pour tout point M de l espace, il eiste un unique triplet ; y; z) de réels tels que OM = i + y j + z z z M ; y; z) est le triplet des coordonnées du point M dans le repère 0, i, j, ) k k j y. O i Remarque est l abscisse de M, y est l ordonnée de M et z est la cote de M. Formulaire L espace est muni d un repère 0, i, j, ) k. Pour deu points, y, z ) et, y, z ), on a : y b y z z oordonnées de K, milieu de [] : + ; y + y ; z ) + z La distance entre les points et vaut : = ) + y y ) + z z ) oordonnées de G, centre de gravité du triangle : + + ; y + y + y ; z ) + z + z Si u y et v y, alors + + v y + y et, λ R, λ λ u λy z z z + z λz 5
. Représentation paramétrique d une droite Propriété : L espace est muni d un repère 0, i, j, ) k. Soit d une droite passant par le point ; y ; z ) et dirigée par le vecteur et soit M un point de l espace de coordonnées ; y; z). a b c On a l équivalence suivante : M d il eiste un réel t tel que = + at y = y + bt z = z + ct e système s appelle une représentation paramétrique de la droite d. Remarque : le paramètre est le réel t. Eemple = + t y = 4 est une représentation paramétrique de la droite passant par z = 1 3t ; 4; 1) et de vecteur directeur 1 u 0. 3 Le point E de coordonnées 3; 4; 4) appartient à, en effet, la valeur t = 1 permet d obtenir les coordonnées de E. Remarque : La représentation paramétrique d une droite n est pas unique. En effet, ni le point, ni le vecteur directeur ne sont uniques..3 Représentation paramétrique d un plan Propriété : L espace est muni d un repère 0, i, j, ) k. Le point M ; y; z) appartient au plan P passant par ; y ; z ) et dirigé par les vecteurs a u b et a v b si, et seulement si, il eiste deu réels t et t tels que c c = + at + a t y = y + bt + b t z = z + ct + c t e système s appelle une représentation paramétrique du plan P. 6