Université Pierre et Marie Curie Licence Sciences et Technologies MIME Eamen de l UE LM110 Juin 2005 La durée de l eamen est de deu heures Les eercices sont indépendants les uns des autres Les notes de cours et de TD sont interdites Les calculatrices, téléphones portables et tous autres gadgets électroniques susceptibles de stocker ou transmettre des informations doivent être éteints et rangés hors d atteinte Théorème : Soit f une fonction définie, continue sur un intervalle fermé [ ab, ] et dérivable sur l intervalle ouvert ] ab, [ Alors il eiste c dans l ouvert ], [ (On suppose a<b) ab tel que f ( a) f( b) = f '( c)( b a) La démonstration s appuie sur le théorème de Rolle : Soit f une fonction définie, continue sur un intervalle fermé [, ] ouvert ] ab, [ et telle que f(a)=f(b)alors il eiste c dans l ouvert ], [ ab et dérivable sur l intervalle ab tel que f (c)=0 Démonstration du théorème des accroissements finis : ( ) ( ) Appliquons le théorème de Rolle à la fonction ( ) ( ) ( ) f b g= f a f a b a La fonction g est bien définie, continue sur [, ] ab et dérivable sur l intervalle ouvert ], [ telle que g(a)=g(b) Donc il eiste c dans l ouvert ] ab, [ tel que g (c)=0or g'( c) = f '( c) f ( b) f( a) d où le résultat b a ab et Université Pierre et Marie Curie 2005 1
Posons 1 1 1 ( ) alors '( ) ' et z"()= " 1 z y z y y 1 y' 1 = = 2 2 + 4 Donc 1 1 1 4 2 z" z' z 2 y" y' y' 1 y 1 + = + 4 + + 2 4 2 Soit en posant u = 1/ 2 z" z' + z = 2 y"( u) u + y'( u) 4u + u + y( u) Donc si y est solution de (E), z est solution de l équation différentielle linéaire proposée L équation en z est une équation linéaire, l équation caractéristique associée admet deu /2 solutions : 1et 1/2 Donc la solution générale est : z( ) = ae + be a R b R Et la solution générale de (E) est y( ) ae be 1/ 1/2 = +, a et b étant deu réels quelconques 2 Il faut que la quantité sous le radical soit positive ou nulle, or 1 = (1 )(1 + + ) Le second facteur est toujours positif, le domaine de définition de f est donc l intervalle ] ;1] La fonction est continue et dérivable sur l ouvert ] ;1[, son graphe passe bien par les points donnés car f(0) = 1 et f( 1) = 2 L équation de la tangente au point ( 0; f( 0)) est y f( 0) = ( 0) f '( 0) 2 Or f '( ) = 2 1 Au point (0,1) l équation de la tangente est y=1 Au point ( 1, 2 ) l équation de la tangente est + 2 2y 1= 0 Université Pierre et Marie Curie 2005 2
a) Le développement limité à l ordre 4 au voisinage de 0 de 1+ u est 2 4 u u 5u 4 1+ u = 1+ u + + o( u ) 8 16 8 16 Et : 2 4 4 5 4 5 4 2+ + 2 = 2 1 /2 1 /2 + + = 2 2 + o( ) = 2 2 1 + o( ) 16 64 16 2 64 2 2 4 u u u 4 Par ailleurs, au voisinage de 0 ln(1 u) = u + o( u ) 2 4 Finalement, le développement limité demandé est 2 4 4 2 4 5 4 4 f ( ) = ln(2 2) + + o( ) = ln(2 2) + o( ) 2 64 2 2 2 2 64 2 On remarque qu il n y a que des termes à une puissance paire de ce qui est normal car la fonction est paire et que le développement limité est au voisinage de 0 b) Les développements limités à l ordre 4 au voisinage de 0 de cos et ep() sont : 2 4 2 4 4 u u u u 4 cos = 1 + + o( ) e = 1+ u+ + + + o( u ) 2 24 2 6 24 2 4 4 2 4 4 4 Donc ep(cos ) = e 1 + + + o( ) = e 1 + + o( ) 2 24 8 2 6 La fonction est définie, continue et dérivable sur R, de dérivée f '( ) cos ( 4sin 4 ) π π est donc du signe de cos L intervalle cherché est I = ; 2 2 = +, elle Université Pierre et Marie Curie 2005
Sur I la fonction est continue et strictement croissante donc bijective de I sur f(i) d après le π π théorème de la bijection monotone Et f( I) = f, f = [ 4,4] 2 2 Toujours d après le théorème de la bijection réciproque, on a : g 1 1 '( y ) = Or (0) 0 donc '(0) f '( g( y)) g = g = 1 La formule g'( y) = f '( g( y)) montre qu au voisinage de 0, g est deu fois dérivable et 1 g''( y) = f "( g( y)) g'( y) On montre de façon analogue que g est fois dérivable f '( g( y)) ( ) 2 au voisinage de 0 Donc g admet un développement limité à l ordre en 0 Le calcul effectif de la dérivée est pénible, nous pouvons l éviter, en procédant comme suit, utilisant le d) et le fait que g est impaire on a g( y) = y/+ ay + o( y ), on écrit ensuite que g( f( )) = Université Pierre et Marie Curie 2005 4
Le développement de f en 0 à l ordre est f ( ) = + o( ) 2 Reportant, on obtient = + o( ) /+ a + o( ) + o( ) 2 2 En considérant le terme de degré on obtient 27a-1/6=0 soit a=1/162 On a donc g( y) = y/ + y /162 + o( y ) Le point d abscisse 0 a aussi pour ordonnée 0 car g(0)=0 Une équation de la tangente au graphe de g est : y = Le développement limité montre que la courbe est au dessus de la tangente pour > 0 (et en dessous pour < 0) On pouvait remarquer aussi que le graphe de f est au dessus de la tangente pour > 0 (et en dessous pour < 0) d après e) Les deu graphes sont symétriques par rapport à la première bissectrice d où la conclusion pour le graphe de g Université Pierre et Marie Curie 2005 5