AN1 Dérivées et différentielles

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Dérivée et tangente : Page 5 sur 30

3 Cette fonction admet en 0 : une dérivée à droite égale à + 1 et une dérivée à gauche égale à 1. Au regard de la définition, elle n est donc pas dérivable en 0. Page 6 sur 30

Les schémas ci-dessous illustrent ce dernier point : Notre intérêt se porte en particulier sur l étude du sens de variation d une fonction. Comme on le voit, l étude de l annulation d une dérivée n apporte aucun élément à ce sujet. On devra systématiquement mener l étude du signe de sa dérivée. Page 7 sur 30

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y f ( x h) f ( x) k k 0 6 = + = = et ce x. y Donc, pour tout x nous avons : lim = 0 h 0 x f x = k f x = ( ) ( ) 0 y f ( x h) f ( x) x h x h 7 = + = + = et ce x. y h Donc, pour tout x nous avons : lim = lim = lim1 = 1 h 0 x h 0 h h 0 1.1.1 Opérations sur les dérivées Les exercices d autonomie vous proposent de démontrer, en appliquant la définition de la dérivée d une fonction, les relations suivantes, qu il convient de bien connaître pour calculer les dérivées des fonctions diverses que vous rencontrerez en mathématiques, mais aussi en sciences et en techniques de l ingénieur. u Dérivée d une fonction multipliée par une constante : ( λu) = λ. Dérivée de la somme de deux fonctions : ( ) Dérivée du produit de deux fonctions : ( ) u + v = u + v uv = u v + uv Dérivée de l inverse d une fonction : 2 1 v = v v u u v uv = v v g f = f g f Dérivée du quotient de deux fonctions : 2 Dérivée de la composée de deux fonctions : ( ) ( ) 1 Dérivée de la réciproque d une fonction : ( f ) 8 1 = f f 1 Page 11 sur 30

9 n n 1 ( ) = ( ) =. f x x f x n x Page 12 sur 30

Ceci peut se montrer facilement en utilisant la notation différentielle : 10 dy dy du g f x. g u. f x g f x. f x dx du dx ( ) ( ) = = = ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) Note : Bien retenir ce principe de dérivation car la majorité des fonctions rencontrées en sciences et en techniques de l ingénieur sont des fonctions composées. Fonctions composées usuelles Fonction logarithme népérien Fonction exponentielle de base e Fonction puissance Page 13 sur 30

11 f 1 1 1 ( y) = = f x f f y ( ) 1 ( ) ( ) Page 14 sur 30

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Exemple : écrire le développement limité en 1 et à l ordre 2 de la fonction ln 15 f ( x) = ln ( x) f ( 1) = 0 1 f ( x) = x f ( 1) = 1 1 f ( x) = 2 x f ( 1) = 1 La formule de Taylor-Young nous permet d écrire : 2 ( x 1) 2 3 1 2 2 ( x) = + ( x ) + ( ) + ( x ) ε ( x) ln ( x) = + 2x x + ( x 1 ). ε ( x) ln 0 1.1. 1 1. 2 2 2 On vérifiera que pour x proche de 1, ln(x) est proche de 3 1 2 2 2 + 2x x. Page 19 sur 30

16 1 1 f ( x) = ln ( 1 + x) ; f ( x) = ; f ( x) = 1+ x 1+ ( ) ( ) ( ) f 0 = 0 ; f 0 = 1 ; f 0 = 1 ( x) La formule de MacLaurin nous permet d écrire le DL de f à l ordre 2 : 2 2 x 2 x 2 ln 1+ x = 0 + x.1 +. 1 + x ε x = x + x ε x 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 Page 20 sur 30

Exemple 2 : DL complet d une fonction polynômiale Nous obtenons les dérivées successives suivantes : 17 2 f x = 12x + 4x + 1 ( ) ( ) ( x) ( k ) ( ) f x = 24x + 4 f = 24 f x = 0, k 4 et appliquées à 0 : f f f f ( ) = ( ) = ( ) = ( k ) ( ) 0 1 0 4 0 24 0 = 0, k 4 Reportons ceci dans la formule de Mac Laurin à un ordre supérieur ou égal à 4 et nous obtenons : 2 3 x x x 2 3 f ( x) = f ( 0 ) +.1 +.4 +.24 + 0 +... + 0 = 1+ x + 2x + 4x 1! 2! 3! Page 21 sur 30

18 2 1 + h 1 + 2h h << 1 Il vient : ( ) avec ( ) f19 x = x 1 f ( x) = 2 x f ( ) 1 = 1 1 f ( 1) = 2 α 1+ α 1+ avec α << 1 2 Page 22 sur 30

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A 2 y -2-1 0 0 1 0,4 2 x -2 Page 26 sur 30

20 f x ( x y), = 2x 3 f y et ( x y), = 4y + 1 21 22 f x ( ) 1, 2 = 5 f y 1, 2 = 9 et ( ) et la différentielle de f en ce point est : df ( A) = 5. dx + 9. dy Page 27 sur 30

23 f variera de 5dx + 9dy = -5 (-0,05) + 9 0,1 = 1,15 (donc une augmentation). 24 df = 5dx + 9dy = -5 (-0,5) + 9 0,5 = 2 (augmentation de 2) alors que le calcul exact de la nouvelle valeur est f(0,5, -1,5) = -2,75 soit une augmentation réelle de 6,25 et non 2 comme annoncé par la différentielle! (très fort pourcentage d erreur) Page 28 sur 30

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